Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Практические работы по математике

Практические работы по математике

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж»






«Утверждаю»

Зам.директора по УР

___________ О.Н. Сухановская

«___» __________ 20__ г.





КУРС ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

учебной дисциплины, ПМ «Математика»

по специальностям

38.02.01Экономика и бухгалтерский учет (по отрослям)

38.02.06 Финансы




Разработан:

(Казимова З.А.)

Дата разработки:

«___» _______ 20___ г.

Согласован:

Председатель ЦК

Юзвак Л.Н.



Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии

от «_____» _____________ 20___г., протокол №______


Симферополь, 2016 г.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 1

Дисциплина: Математика

Тема: Построение, геометрическое преобразование графиков функций. Определение области определения и области значения функции

Цель занятия: изучить различные преобразования функций.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Построение графиков.

2. Геометрические преобразования функций.


Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
  • вправо, если b > 0;

  • влево, если b < 0.

y = f(x + b)

  • влево, если b > 0;

  • вправо, если b < 0.

y = f(x) + m

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

  • вверх, если m > 0,

  • вниз, если m < 0.


Отражение графика

y = f( - x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = - f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.


Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

  • При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,

  • при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

  • При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

  • при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.


Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

  • При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

  • при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f( | x | )

  • При xhello_html_m3ad98d4a.png0 — график остаётся без изменений,

  • при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 2

Дисциплина: Математика

Тема: Решение упражнений на определение свойств функций. Использование свойств функций к решению уравнений

Цель занятия: научится использовать свойства функций для решения уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Применение теории для решения упражнений

2. Самостоятельное решение задач.

  1. Нарисуйте график функции и перечислите, какие преобразования функций применялись: hello_html_3bd88bf4.gif

  2. Изобразить график непрерывной функции, зная что:

    1. Область определения функции есть промежуток [-4; 4];

    2. Значения функции составляют промежуток [-3; 5];

    3. В правом конце области определения функция принимает наибольшее значение;

    4. 1-единственная точка экстремума функции.

  3. Нарисуйте график функции и перечислите, какие преобразования функций применялись: hello_html_m44e81e15.gif

  4. Изобразить график непрерывной функции, зная что:

    1. Область определения функции есть промежуток [-5; 2];

    2. Значения функции составляют промежуток [-2; 5];

    3. Промежутки убывания функции [-5; -2] и [0; 2];

    4. Функция возрастает на промежутке [-2; 0];

    5. Отрицательные значения функция принимает только в точках промежутка [-5; -3].

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 3

Дисциплина: Математика

Тема: Преобразование выражений, содержащих степени с произвольным действительным показателем

Цель занятия: научится преобразовывать выражения, содержащие степени с произвольным действительным показателем

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.
































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 4

Дисциплина: Математика

Тема: Построение графиков, определение свойств степенной функции

Цель занятия: научится строить графики степенной функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

Уровень 1

а) В одной системе координат построить графики функций:

у=х3 и у=х1/3

б) Найти область определения и множество значений для каждой функции.

в) С помощью графиков решить уравнение х31/3

с) С помощью графиков решить неравенство х31/3

Уровень 2

Изобразить схематически график функции у = хП+1

Найти область определения и множество значений функции.

Определить возрастает или убывает функция.

Уровень 3

Построить график функции и указать область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания функции:

у |х|1/3

Уровень 1

а) В одной системе координат построить графики функций:

у = х2 и у = х -2

б) Найти область определения и множество значений для каждой функции.

в) С помощью графиков решить уравнение х2-2

с) С помощью графиков решить неравенство х2 -2

Уровень 2

Изобразить схематически график функции hello_html_903d34.gif

Найти область определения и множество значений функции.

Определить возрастает или убывает функция.

Уровень 3

Построить график функции и указать область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания функции:

у =|х|5

Уровень 1

а) В одной системе координат построить графики функций:

у = х4 и у = х 1/4

б) Найти область определения и множество значений для каждой функции.

в) С помощью графиков решить уравнение х41/4

с) С помощью графиков решить неравенство х4 1/4

Уровень 2

Изобразить схематически график функции hello_html_3a96b015.gif

Найти область определения и множество значений функции.

Определить возрастает или убывает функция.

Уровень 3

Построить график функции и указать область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания функции:

у =|х|3+1

Уровень 1

а) В одной системе координат построить графики функций:

у = х5 и у = х -5

б) Найти область определения и множество значений для каждой функции.

в) С помощью графиков решить уравнение х5-5

с) С помощью графиков решить неравенство х5 -5

Уровень 2

Изобразить схематически график функции hello_html_m3c08ef96.gif

Найти область определения и множество значений функции.

Определить возрастает или убывает функция.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.






















ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 5

Дисциплина: Математика

Тема: Построение графиков показательных функций. Использование свойств показательной функции к решению задач

Цель занятия: научится строить графики показательной функции.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Представить числа:  1; 32; 164 ; 0,25 в виде степени числа 2;

2. Найти координаты точки пересечения графиков функций:  y = 2x и y = 2;

3. Найти область определения функции: 1) y = 56x; 2) y = 56x;

1. Представить числа: 13; 81; 3; 1 в виде степени числа 3.

2. Найти координаты точки пересечения графиков функций:   y = 3x и y= 1

3. Найти область определения функции: 1)  y= 2x; 2)  y= 61x +1 .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.








































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 6

Дисциплина: Математика

Тема: Решение простейших показательных уравнений

Цель занятия: научиться решать простейшие показательные уравнения

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

Решить уравнения:

1. 2. 3.  4. 5.

Решить уравнения:

1. 2. 3.  4. 5.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.









































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 7

Дисциплина: Математика

Тема: Решение показательных неравенств

Цель занятия: научиться решать показательные неравенства

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

Решить неравенства:

1. 2. 3.  4. 5.

Решить неравенства:

1. 2. 3.  4. 5.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.









































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 8

Дисциплина: Математика

Тема: Преобразование выражений, содержащих логарифмы. Логарифмирование и потенцирование

Цель занятия: преобразовать выражения, содержащие логарифмы. Логарифмирование и потенцирование

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

Вычислить:

hello_html_560137e2.jpg

Вычислить:

hello_html_560137e2.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 9

Дисциплина: Математика

Тема: Построение графиков логарифмической функции. Использование свойств логарифмической функции к решению задач

Цель занятия: научиться строить графики логарифмической функции. Использование свойств логарифмической функции к решению задач

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1 Пересекается   ли   логарифмическая   кривая y =  logax;:

а) с осью х; б)    с осью у?

2 Используя график функции у = log2x, найти логарифмы по основанию 2 чисел 0,5;   0,6;   0,7;   1,5;   2,3;   3,0.

Логарифмы каких чисел по основанию 2 равны 0,7;  0,8;  0,9;  1,0;   1,5?

1387.  Исходя из графика функции у = log2 x , построить графики функций:

а) у = log2(x — 1);          в) у = log2 x;           д) у = | log2 x |;

б)  у = log2(x + 2);           г) у = log2 | x |;       е) у = log2(—x).

3  Построить   графики  функций:

а)  у = log1/3 x ;                 в) у = log1/3 (x + 2);       д) у = log1/3 | x |;

б)  у = log1/3 (x — 1);       г) у = | log1/3 x | ;             е) у = log1/3 (—x).

4  На одном и том же рисунке построить графики функций

у = log3 x   и   у = log1/3 x.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.





























ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 10

Дисциплина: Математика

Тема: Решение простейших логарифмических уравнений

Цель занятия: решение простейших логарифмических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение простейших логарифмических уравнений

2. Разбор примеров

Вариант 1

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 11

Дисциплина: Математика

Тема: Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции числового аргумента

Цель занятия: научиться преобразовывать выражения, содержащие тригонометрические функции числового аргумента

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции числового аргумента

2. Примеры

1. Найти градусную меру угла, если радианная мера равна: 2,5;

2. Найти радианную меру угла, если градусная мера равна:

3. Найти значение выражения:

1. Найти градусную меру угла, если радианная мера равна: 45;

2. Найти радианную меру угла, если градусная мера равна:

3. Найти значение выражения:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.























ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 12

Дисциплина: Математика

Тема: Построение и преобразование графиков тригонометрических функций. Определение свойств тригонометрических функций

Цель занятия: построение и преобразование графиков тригонометрических функций. Определение свойств тригонометрических функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Построение и преобразование графиков тригонометрических функций. Определение свойств тригонометрических функций

2. Примеры

Найдите основной период функции:

hello_html_m4668edc1.jpg

Постройте график функции hello_html_40080399.jpg

Найдите основной период функции:

hello_html_m6ec1a6a5.jpg

Постройте график функции hello_html_m1bbfb2f4.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



















ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 13

Дисциплина: Математика

Тема: Тождественное преобразование тригонометрических выражений

Цель занятия: тождественное преобразование тригонометрических выражений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Тождественное преобразование тригонометрических выражений

1. Найти значения тригонометрических функций угла hello_html_m35a7aac4.png

2. Упростить выражение: hello_html_m72311c8a.png

3. Упростить выражение: hello_html_m38ead17a.png

4. Упростить выражения: sin (π/2 + α ) + cos (π + α ) + tg (/2 — α ) + ctg (2π — α ).

5. Доказать тождества: cos (45° — α ) = sin (45° + α )

1. Найти значения тригонометрических функций угла .

2. Упростить выражения: tg (360° — α ) + ctg (270° — α ) + tg (180° — α ) + ctg (90 — α );

3. Упростить hello_html_2339b7b9.png

4. Упростить выражение: hello_html_m72311c8a.png

5. Доказать тождества: cos (45° + α ) = sin (45° — α )

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 14

Дисциплина: Математика

Тема: Тождественное преобразование тригонометрических выражений

Цель занятия: тождественное преобразование тригонометрических выражений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Тождественное преобразование тригонометрических выражений

2. Примеры

1. Найти значения тригонометрических функций угла hello_html_m35a7aac4.png

2. Упростить выражение: hello_html_m72311c8a.png

3. Упростить выражение: hello_html_m38ead17a.png

4. Упростить выражения: sin (π/2 + α ) + cos (π + α ) + tg (/2 — α ) + ctg (2π — α ).

5. Доказать тождества: cos (45° — α ) = sin (45° + α )

1. Найти значения тригонометрических функций угла .

2. Упростить выражения: tg (360° — α ) + ctg (270° — α ) + tg (180° — α ) + ctg (90 — α );

3. Упростить hello_html_2339b7b9.png

4. Упростить выражение: hello_html_m72311c8a.png

5. Доказать тождества: cos (45° + α ) = sin (45° — α )

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 15

Дисциплина: Математика

Тема: Построение и преобразование графиков обратных тригонометрических функций. Определение свойств обратных тригонометрических функций

Цель занятия: построение и преобразование графиков обратных тригонометрических функций. Определение свойств обратных тригонометрических функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Построение и преобразование графиков обратных тригонометрических функций. Определение свойств обратных тригонометрических функций

2. Примеры

a)hello_html_m1fc9a4c5.png так как hello_html_m758a9cf6.pngи hello_html_m34fbfb9b.png

б) hello_html_439b0cb8.pngтак как hello_html_68cbc7df.pngи hello_html_m647ee4.png

в) hello_html_m330960ed.pngтак как hello_html_m1dbe15f0.pngи hello_html_308779fa.png

г) hello_html_m2db50d19.pngтак как hello_html_m4c251324.pngи hello_html_m55356767.png

д) hello_html_m2d368487.pngтак как hello_html_2beda585.pngи hello_html_4df38a1e.png.

Пример 2.

Преобразовать выражение hello_html_4dd9ea6d.png.

Решение:
Из основного тригонометрического тождества имеем:

hello_html_m45745145.png
или применительно к нашему примеру:

hello_html_77f0f3af.pnghello_html_35578ed8.png.

Ответ:

hello_html_5c4dd48c.png.

Аналогично получим

hello_html_4d14afc0.png

hello_html_m1bd68ebb.png

Пример 3.

Вычислить hello_html_m71cfe4e5.png

Решение:
Пусть
hello_html_2c485de1.png, тогда hello_html_m27ddbf19.png. Чтобы найти hello_html_m763d6ad3.png, найдем hello_html_62fdf980.png.

hello_html_398316b0.png

(см. пример 2).

Значение корня берем арифметическое, так как угол hello_html_mabd1c54.pngнаходится в первой четверти (hello_html_mabd1c54.png значение арксинуса и hello_html_511fa024.png).

hello_html_19d3fa45.png.

Ответ:

hello_html_6b816573.png.

Примep 4.

Найти hello_html_71b85411.png.

Решение:
hello_html_m5e2e2720.png
hello_html_1d2a92a5.png
hello_html_102abb3b.png

Ответ:

hello_html_m655b348a.png.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 16

Дисциплина: Математика

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений

Цель занятия: решение простейших тригонометрических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение простейших тригонометрических уравнений

1. hello_html_m522498ee.png

2. hello_html_m66c73b2b.png

3. hello_html_m1aa3829a.png

4hello_html_m3adb46b5.png

5. hello_html_3b8ea9b4.png

1. hello_html_mb25ec9.png

2. hello_html_m2200135b.png

3. hello_html_7bb1f84e.png

4. hello_html_m7f76ee7e.png

5. hello_html_1f22bcb.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 17

Дисциплина: Математика

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Цель занятия: решение тригонометрических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Решение тригонометрических уравнений

П р и м е р  1 .   Решить систему уравнений:

hello_html_3d3fe12f.gif

П р и м е р   2 .  Решить систему уравнений:

                           hello_html_f7c43e3.gif

Р е ш е н и е .  Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:

                          hello_html_eb04682.gif

                         Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения:

                         hello_html_m72a86348.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 18

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства пределов функций

Цель занятия: изучить свойства пределов функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: Ку

План занятия:

1. Свойства пределов функций

2. Примеры

Свойства пределов функции

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

hello_html_1e3aac3f.png

Пример

Задание. Вычислить предел hello_html_mf5f0f7a.png

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

hello_html_m6a514dfd.png

Ответ. hello_html_m514ad7a0.png

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

hello_html_m6232f7c9.png

Пример

Задание. Вычислить предел hello_html_m1414c840.png

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

hello_html_m3efdab46.png

hello_html_m5411e377.png

Ответ. hello_html_808af0e.png

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

hello_html_b65b764.png

Пример

Задание. Вычислить предел hello_html_m49d957c4.png

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

hello_html_m5ef60a07.png

Ответ. hello_html_m6bd33166.png

4°   Константу можно выносить за знак предела:

hello_html_2be258dc.png

Пример

Задание. Вычислить предел hello_html_2ffa5fb9.png

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

hello_html_606399c9.png

hello_html_m3decce4a.png

Ответ. hello_html_32ad1c8e.png

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

hello_html_m3ae837ed.png

Пример

Задание. Вычислить предел hello_html_78ec9cce.png

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

hello_html_67bee027.png

Ответ. hello_html_4338d566.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 19

Дисциплина: Математика

Тема: Решение задач на применение геометрического, физического и экономического смысла производной

Цель занятия: решать задачи на применение геометрического, физического и экономического смысла производной

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение задач на применение геометрического, физического и экономического смысла производной

2. Примеры

  1. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  3. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.





ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 20

Дисциплина: Математика

Тема: Вычисление производных

Цель занятия: научится вычислять производные

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Вычисление производных

Найти производную функции .

Найти производную функции .

.

.

.

.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.









































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 21

Дисциплина: Математика

Тема: Вычисление производных

Цель занятия: вычисление производных

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Вычисление производных

Найти производные функций: 1) у=arccosx2; 2) у=х•arctgx; 3) у=(1+5х-3х3)4; 4) у=arccos х; 5) у=log23(3+2).

hello_html_m18ee79ac.jpg

Замечание: Найдем производную степенной функции у=хa с любым показателем a єR. В этом случае функция рассматривается для х>0.

Можно записать хa =еαln(x). По правилу дифференцирования сложной функции находим

hello_html_9a5e39b.jpg

т.е. (хa )'=aхa -1 .

Формула остается справедливой и для х<0, если функция у=хa существует:

hello_html_m24e43e1b.jpg

при всех х≠0.

<< Пример 20.9

Показать, что функцияhello_html_m57c4bf04.jpgудовлетворяет уравнению х3•у'+1=х4.

Решение: Находим у':

hello_html_m30058f16.jpg

hello_html_6903ce26.jpg

Подставляем значение у' в данное уравнение:

hello_html_7c238fb2.jpg

Функция удовлетворяет данному уравнению.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 22

Дисциплина: Математика

Тема: Решение упражнений на исследование функции для построения ее графика

Цель занятия: решение упражнений на исследование функции для построения ее графика

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Решение упражнений на исследование функции для построения ее графика

2. Примеры

Исследовать функцию и построить ее график.

.

.

.

.

.

.

.

.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 23

Дисциплина: Математика

Тема: Решение задач на нахождение неопределенных интегралов

Цель занятия: решение задач на нахождение неопределенных интегралов

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов

  1. Докажите, что F1 (x) = , F2 (x) = , F3 (x) = - 4 являются первообразными одной и той же функции f(x) = х2 на промежутке R. По какой схеме проводим доказательство?

  2. Для функции f(x) = х найдите такую первообразную, график которой проходит через точку М(2; 5)

  3. Найдите первообразные: 1) f(x) = 3 cos x + x2; 2) f(x) = ;

3) f(x) = ; 4) f(x) = ; 5) f(x) = sin (2x + 3);

6) f(x) = .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.





































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 24

Дисциплина: Математика

Тема: Решение задач на вычисление определённых интегралов

Цель занятия: решение задач на вычисление определённых интегралов

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение задач на вычисление определённых интегралов

2. Примеры

Вычислить определенный интеграл: .

Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .

Вычислите интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7); 8) .

Вычислить определенный интеграл: .

Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 25

Дисциплина: Математика

Тема: Решение комбинаторных задач

Цель занятия: решение комбинаторных задач

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Решение комбинаторных задач

Задача 1.

На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

Задача 2.

На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й тома рядом?

Задача 3.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии 30-ти книг?

Решение.

Определим общее число размещений из 30 элементов по 15 по формуле
A3015 = 30·29·28·...·(30−15+1) = 30·29·28·...·16 = 202843204931727360000.
Ответ: 202843204931727360000.

Будете размещать реальные книги? Удачи! Посчитайте, сколько жизней потребуется, чтобы перебрать все варианты.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Решение.

Способ I.
Представим себе, что первую полку мы заполняем так же, как в предыдущей задаче. Тогда вариантов размещения из 30-ти книг по 15 будет
A3015 = 30·29·28·...·(30−15+1) = 30·29·28·...·16.
И при каждом размещении книг на первой полке мы еще
P15 = 15! способами можем расставить книги на второй полке. Ведь для второй полки у нас осталось 15 книг на 15 мест, т.е. возможны только перестановки.
Всего способов будет
A3015·P15, при этом произведение всех чисел от 30 до 16 еще нужно будет умножить на произведение всех чисел от 1 до 15, получится произведение всех натуральных чисел от 1 до 30, т.е. 30!
Способ II.
Теперь представим себе, что у нас была одна длинная полка на 30 мест. Мы расставили на ней все 30 книг, а затем распилили полку на две равные части, чтобы удовлетворить условию задачи. Сколько вариантов расстановки могло быть? Столько, сколько можно сделать перестановок из 30 книг, т.е.
P30 = 30!
Ответ: 30!.

Задача 5.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинакового формата расположены в произвольном порядке. Читатель, не глядя, берет 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Решение.

Событие A - у читателя первые три тома. С учетом порядка выбора он мог взять их 6-ю способами. (Это перестановки из 3-ёх элементов P3 = 3! = 1·2·3 = 6, которые легко перечислить 123, 132, 213, 231, 312, 321.)
Таким образом, число благоприятствующих элементарных событий равняется 6.
Общее число возможных элементарных событий равно числу размещений из 6-ти по 3, т.е.
A63 = 6·...·(6−3+1) = 6·5·4 = 120.
P(A) = 6/120 = 1/20 = 0,05.
Ответ: 0,05.

Задача 6.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг?

Решение.

Мы решаем эту задачу в контексте работы дизайнера интерьеров, поэтому порядок следования на полке 15-ти выбранных внешне одинаковых книг не имеет значения. Нужно определить общее число сочетаний из 30 элементов по 15 по формуле

С3015 = 30!/(30 − 15)!/15! = 155117520.

Ответ: 155117520.

Задача 7.

Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Если мы снова отвечаем на этот вопрос с точки зрения дизайнера интерьеров, то порядок следования книг на каждой из полок несущественен. Но заказчику может быть важно или неважно, как книги распределены между полками.
1) Например, если обе полке находятся рядом, обе открыты, обе на одинаковой высоте, то заказчик может сказать, что это неважно. Тогда ответ очевиден - 1 способ, так как при расстановке используется всё множество из 30-ти книг, и никакие перестановки не учитываются.
2) Но когда одна из полок находится слишком высоко, заказчику важно какие книги на ней расположены. В этом случае ответ будет такой же, как в предыдущей задаче - 155117520 способов, потому что первую полку заполняем выборками-сочетаниями из 30 по 15, а на вторую помещаем остальные 15 книг без учёта перестановок.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 26

Дисциплина: Математика

Тема: Табличное и графическое представление данных. Выборочные характеристики

Цель занятия: изучить табличное и графическое представление данных. Выборочные характеристики

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Табличное и графическое представление данных.

2. Выборочные характеристики

Определение. Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых расположены на оси и длины их равны длинам частичных интервалов , а высоты равны отношению:

- для гистограммы частот; - для гистограммы частостей.

Гистограмма является графическим изображением интервального ряда.

Площадь гистограммы частот равна , а гистограммы частостей равна 1.

Можно построить полигон для интервального ряда, если его преобразовать в дискретный ряд. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и ставят в соответствие интервальные частоты (частости). Полигон получим, соединив отрезками середины верхних оснований прямоугольников гистограммы.


Пример 3. Дана выборка значений случайной величины объема 20:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12

18, 17, 15, 13, 17, 14, 14, 13, 14, 16


Требуется: - построить дискретный вариационный ряд;

- найти размах варьирования , моду , медиану ;

- построить полигон частостей.

¦ 1) Ранжируем выборку : 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14,

15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19.

2) Находим частоты вариантов и строим дискретный вариационный ряд (табл.3)


Таблица 3.


3) По результатам таблицы 3 находим:

, ,



4) Строим полигон частостей.


hello_html_me714cee.gif


Рис. 2



Пример 4. Результаты измерений отклонений от нормы диаметров

50 подшипников дали численные значения ( в мкм ), приведенные в табл. 4.


Таблица 4.

Для данной выборки: - построить интервальный вариационный ряд;

- построить гистограмму и полигон частостей.



¦ 1. Строим интервальный ряд.

По данным таблицы 4 определяем: ;

Для определения длины интервала используем формулу Стерджеса:

.

Число интервалов .



Примем =0,6 , .

За начало первого интервала примем величину

.

Конец последнего интервала должен удовлетворять условию:

.

Действительно, ; .

Строим интервальный ряд (табл. 5).

Таблица 5.




Строим гистограмму частостей.

hello_html_7ad91589.gif


Рис.3

Вершинами полигона являются середины верхних оснований прямоугольников гистограммы.

Убедимся, что площадь гистограммы равна 1.


Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

















































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 27

Дисциплина: Математика

Тема: Решение задач на вычисление вероятности с использованием комбинаторных схем

Цель занятия: решение задач на вычисление вероятности с использованием комбинаторных схем

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение задач на вычисление вероятности с использованием комбинаторных схем

2. Примеры

1 Пусть имеется 80 деталей, среди которых 60 исправленных, а 20 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется исправной.

2 В ящике содержится 10 одинаковых деталей помеченных номерами 1,2,3,…10. научу извлечены 6-сть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей останется деталь № 1 и №2.

3 В лотерее из 10 000 билетов имеются 2 000 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность тому, что билет выигрышный.

4 Из урны, в которой находятся 5 белых и 4 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар черный.

5. В ячейке содержится 10 одинаковых деталей помеченных номерами 1,2,3,…,10. Наудачу извлечены 6-ть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей останется деталь № 1.

6. В ящике 12 белых и 17 черных шаров. Извлекают наудачу один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 28

Дисциплина: Математика

Тема: Решение задач на применение аксиом и их следствий

Цель занятия: решение задач на применение аксиом и их следствий

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Решение задач на применение аксиом и их следствий

2. Примеры

Дан тетраэдр АВСD (Рис. 6). Даны следующие точки: точка Е – внутренняя точка ребра АВ, точка Р – внутренняя точка отрезка ЕD, точки М и К, соответственно, на ребрах ВD и .

hello_html_39bd6595.png

Рис. 6. 

Задача 1

а) В какой плоскости лежит прямая hello_html_m275701aa.png

Ответ: hello_html_m10af00c0.png. Прямая РЕ лежит в плоскости АВD, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка Е лежит в плоскости АВD и точка Р лежит в этой же плоскости. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВD.

 б) В какой плоскости лежит прямая hello_html_m70ded04f.png

Ответ: hello_html_3d7bbc54.png. Прямая MK лежит в плоскости DBC, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка M лежит в плоскости DBC и точка K лежит в плоскости DBC. По второй аксиоме все точки прямой MK лежат в плоскости DBC.

 в) В каких плоскостях лежит прямая hello_html_m7a3c38da.png

Ответ: Прямая BD лежит в плоскости BDА и в плоскости BDС. Значит, прямая BD одновременно лежит в двух плоскостях. Прямая BD есть линия пересечения двух плоскостей. Говорят, что грани АBD, BDС пересекаются по прямой BD. Это можно записать так:

hello_html_m3d00d2b7.png

г) В каких гранях лежит прямая hello_html_5dd8cae3.png?

Ответ: Прямая АB лежит в грани АВС и в грани АBD. Значит, прямая АВ есть линия пересечения двух этих граней.

hello_html_m58a5e069.png

д) В каких гранях лежит прямая hello_html_16e30a18.png?

Ответ: Прямая EC лежит в плоскости АВС и в плоскости ECD, так как точки Е и С лежат одновременно в плоскости АВС и в плоскости ECD. Значит, прямая ЕС есть линия пересечения этих плоскостей. 

hello_html_m6d978652.png 

Задача 2.

а) Найдите точку пересечения прямой с плоскостью АВС.

Решение:

Прямая содержит точку С. Плоскость АВС содержит точку С. Значит, прямая и плоскость АВС пересекаются в точке С.

б) Найдите точку пересечения прямой СЕ с плоскостью АDВ.

Решение: 

Точка Е принадлежит и прямой СЕ, и плоскости АDВ. Значит, Прямая СЕ пересекается с плоскостью АDВ в точке Е

Задача 3.

а) Найдите точки, лежащие одновременно в плоскостях АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, hello_html_m1decdea2.png. Все точки прямой являются ответом. 

б) Найдите прямые, по которым пересекаются плоскость АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, прямая есть прямая, по которой пересекаются заданные плоскости. 

в) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости АDВ и СDА.

Решение: Точки А, D лежат в плоскости АDВ, а также точки А, D лежат в другой плоскости СDА. Значит, АD – линия их пересечения: hello_html_28c23855.png

г) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости РDС и АВС.

Решение:  Плоскость РDС совпадает с плоскостью ЕDС. Точка Е и точка С одновременно лежат в двух плоскостях: РDС и АВС. Значит, СЕ – это линия пересечения двух плоскостей. hello_html_mf7e2880.png 

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 29

Дисциплина: Математика

Тема: Решение простейших и типовых задач на параллельность прямой и плоскости

Цель занятия: решение простейших и типовых задач на параллельность прямой и плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение простейших и типовых задач на параллельность прямой и плоскости

Задача 1.

Параллельные прямые а и b лежат в плоскости hello_html_1c7f42f4.png. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости hello_html_1c7f42f4.png.

Дано: а || b, hello_html_m1f9abf9c.png

Доказать: hello_html_m7440a2d6.png

hello_html_5b3c5dbf.jpg

Рис. 12.

Доказательство: (Рис. 12.)

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости hello_html_1c7f42f4.png. Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости hello_html_1c7f42f4.png. Так как две точки прямой с принадлежат плоскости hello_html_1c7f42f4.png, то и вся прямая лежит в плоскости hello_html_1c7f42f4.png, в силу аксиомы А2.

Задача 2.

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость hello_html_1c7f42f4.png. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость hello_html_1c7f42f4.png.

Дано: ABCD – параллелограмм, hello_html_20232937.png

Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость hello_html_1c7f42f4.png.

hello_html_221f58d7.png

Рис. 13.

Доказательство: (Рис. 13.)

Обозначим плоскость АВС как hello_html_m7ce870b1.png. Тогда плоскости hello_html_1c7f42f4.png и hello_html_m7ce870b1.png пересекаются по прямой MN. Прямая АВ пересекается с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png, и прямые АВ и CD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD также пересекается с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png. Аналогично, прямая ВCпересекается с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png, и прямые ВС и АD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD также пересекается с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png, что и требовалось доказать.

Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD пересекается с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png в точке Q, а прямая АD пересекается с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png в точке F.

Плоскости hello_html_1c7f42f4.png и hello_html_m7ce870b1.png пересекаются по прямой MN, значит все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и  АD до их пересечения с прямой MNи получим соответственно точки Q и F (Рис. 14.).

hello_html_m1ad14ffe.png

Рис. 14.

Задача 3.

Средняя линия трапеции лежит в плоскости hello_html_1c7f42f4.png, не совпадающей с плоскостью hello_html_m7ce870b1.png. Пересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью hello_html_1c7f42f4.png?

Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия. hello_html_24593d43.png

Найти: пересекаются ли прямые AD и ВC плоскость hello_html_1c7f42f4.png.

hello_html_m6a749d5f.png

Рис. 15.

Решение: (Рис. 15.)

Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости hello_html_1c7f42f4.png. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD параллельна плоскости hello_html_1c7f42f4.png.

Аналогично, прямые ВC и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости hello_html_1c7f42f4.png. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, ВC параллельна плоскости hello_html_1c7f42f4.png.

Ответ задачи: нет, не пересекаются.

Задача 4.

Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что MN || DKL.

Дано: KLMN – прямоугольник, hello_html_4db9a7ef.png

Доказать: MN || DKL

hello_html_5d5b0ff6.png

Рис. 16.

Доказательство: (Рис. 16.)

Прямые KL и MN параллельны, а прямая KL принадлежит плоскости DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN параллельна плоскости DKL, что и требовалось доказать.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 30

Дисциплина: Математика

Тема: Задачи на тетраэдр

Цель занятия: научиться решать задачи на тетраэдр

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Задачи на тетраэдр

Задача 1

Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD (рис. 1). Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. Найдите длину отрезка МN, если ВС = а.

hello_html_89bb446.png

Рис. 1.

Решение:

АМ = ВМ, так как М – середина отрезка АВ, АN = СN, так как N - средина отрезка АС. МN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, МN параллельна ВС и hello_html_mb78d28d.png.

Прямая МN параллельна прямой ВС, которая лежит в плоскости ВСD, и не лежит в плоскости ВСD. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая МN параллельна плоскости ВСD, что и требовалось доказать.

Задача 2

Через середины ребер АВ и АС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SАB и SBС по параллельным прямым.

hello_html_35f9ccf6.png

Рис. 2.

Доказательство:

Обозначим середины ребер АВ и АС – как М и N соответственно, а плоскость, проходящую через точки М и N параллельно ребру SB, как φ.

Плоскость АВS проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой МL, hello_html_m66d8194c.png. Значит, прямая МL параллельна прямой SB.

Плоскость ВSС проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой NP, hello_html_3f0d15cd.png. Значит, прямая PN параллельна прямой SB.

Имеем, что две прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой SB. Значит, прямые МL и NP параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 3

Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD параллельна плоскости BCD.

hello_html_6b0375e4.png

Рис. 3.

Доказательство:

Пусть А1, В1, С1 – середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD (рис. 3). Докажем, что плоскость А1В1С1параллельна плоскости BCD.

А1С1 – средняя линия треугольника АВD. Из свойств средней линии следует, что А1С1параллельна BD.А1В1 – средняя линия треугольника АСD. Из свойств средней линии следует, что А1В1параллельна СD. Прямые А1С1и А1В1 пересекаются в точке А1. По признаку параллельности плоскостей, плоскости А1В1С1 и BCD параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 4

а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью α, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.

б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.

в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен𝜑.

hello_html_m7e444989.png

Рис. 4.

а) Построение:

1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ, hello_html_644895a0.png.

2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD, hello_html_m32f45044.png.

3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC,  hello_html_m582a631f.png.

4) Проведем прямую LP.

5) Так как прямая АD, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD параллельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку. Значит, MNLP – искомое сечение.

б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой  АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.

в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу LМN. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна π. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо 𝜑, либо π𝜑.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.





ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 31

Дисциплина: Математика

Тема: Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Цель занятия: научиться решать задачи на построение сечений в параллелепипеде

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Задача 1

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью А1В1М, где hello_html_3d0803d4.png.

Решение (см. рис. 5)

hello_html_m35c57b6d.png

Рис. 5.

1 способ

Соединим точки А1 и М. Эти точки лежат одновременно в плоскости AA1D1 и в секущей плоскости. Значит, А1М – линия пересечения этих плоскостей.

Если две параллельные плоскости АВВ1 и DCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую MN параллельно А1В1, hello_html_m1fd53aed.png. Соединим точки В1 и N. A1B1NM - искомое сечение. Заметим, что A1B1NM – параллелограмм.

2 способ

Соединим точки А1 и М.

Если две параллельные плоскости АDD1 и BCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую B1N параллельно А1M, hello_html_m1fd53aed.png. Соединим точки M и N. A1B1NM - искомое сечение.

Задача 2

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью Р1Р2Р3, где hello_html_mdeb4103.png (рис. 6).

hello_html_64b24aa3.png

Рис. 6.

Комментарий. В этой и в следующих задачах вид сечения зависит от расположения точек. Например, если бы в задачи 2 расположение точек было бы другим, то и сечение получилось бы иным.

Решение:

1 способ (рис. 7)

hello_html_m3d4cda74.png

Рис. 7.

Соединим точки Р1и Р2 и получим прямую Р1Р2 – линию пересечения плоскости АВВ1 и секущей плоскости.

Соединим точки Р3и Р2 и получим прямую Р3Р2 – линию пересечения плоскости СВВ1 и секущей плоскости.

Если две параллельные плоскости АDD1 и BCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую Р1S1 параллельно Р3Р2, hello_html_3a82c705.png.

Если две параллельные плоскости АВВ1 и DCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую P3S2 параллельно P1P2, hello_html_7ba070b2.png.

Соединим точки S1 и S1. Пятиугольник Р1Р2Р3S2S1- искомое сечение.

2 способ (рис. 8)hello_html_73db6573.png

Соединим точки Р1и Р2 и получим прямую Р1Р2 – линию пересечения плоскости АВВ1 и секущей плоскости. Продлим прямые Р1P2 и АВ до их пересечения в точке Q1.

Соединим точки Р3и Р2 и получим прямую Р3Р2 – линию пересечения плоскости СВВ1 и секущей плоскости. Продлим прямые Р3P2 и ВС до их пересечения в точке Q2.

Точки Q1 и Q2лежат в плоскости АВС. Соединим точки Q1и Q2. Получаем hello_html_7cd59f10.png.

Соединим точки Р1и S1, Р3 и S2. Пятиугольник Р1Р2Р3S2S1- искомое сечение.

Задача 3

Изобразите параллелепипед АВСDА1B1C1D1 и отметьте точку М грани АА1В1В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно:

а) плоскости основания ABCD

б) плоскости BDD1.

Решение:

а) Заметим, что секущая плоскость и плоскость АВС пересекаются третьей плоскостью АВВ1. Значит, линии пересечения параллельны. Поэтому через точку М проведем прямую М1М2 параллельно АВ (рис. 9),  hello_html_260d8b73.png, hello_html_m5a60998f.png. М1М2– это линия пересечения секущей плоскости и грани АВВ1А1.

Проведем прямую М2М3 параллельно ВС,  hello_html_65f502c3.png.

Проведем прямую М3М4 параллельно CD,  hello_html_2eb619f1.png.

Соединим точки М1 и М4. М1М2М3М4 – искомое сечение.

hello_html_368637c4.png 

Рис. 9.

б) Плоскость BDD1 и секущая плоскость рассекаются третьей плоскостью АВВ1 по параллельным прямым. Поэтому через точку М проведем прямую N1N2 параллельно прямой ВВ1, hello_html_6e8ee77c.png.

Проведем прямую N2N3 параллельно ВD,  hello_html_m321bc48a.png.

Проведем прямую N1N4 параллельно B1D1 hello_html_6a8fa760.png.

Соединим точки N3 и N4. N1N2N3N4 – искомое сечение.

hello_html_2ae45390.png

Рис. 10.

Задача 4

Постройте сечение параллелепипеда AD1 плоскостью ACM, где hello_html_m51cd03f8.png. Определите вид полученного сечения.

Решение: (рис. 11)

Параллельные плоскости АВСD и А1B1C1Dрассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку М нужно провести прямую NK параллельно АС, hello_html_m560568d1.png.

Соединим точки A и N, K и C. ANKC – искомое сечение. ANKC – трапеция, так как NK || AC.

hello_html_m14681337.png

Рис. 11.


Задача 5

Ребро куба равно а.

1) Постройте сечение куба плоскостью ACN, где N – середина ребра A1D1 (рис. 12).

hello_html_m285d0e31.png

Рис. 12.

Решение:

Точки А и С лежат одновременно и в секущей плоскости, и в плоскости АВС. Значит, АС – линия пересечения этих плоскостей.

Параллельные плоскости АВСD и А1B1C1Dрассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку N нужно провести прямую NK параллельно АС, hello_html_m9fa7b1a.png (рис. 13).

Соединим точки A и N, K и C. ANKC – искомое сечение. ANKC – трапеция, так как NK || AC.

Заметим, что NK – средняя линия треугольника A1D1C1.

hello_html_m1ede309c.png

Рис. 13.

2) Найдите периметр сечения ANKC.

По условию, ребро куба равно а (рис. 14). Значит, диагональ hello_html_66ceec51.png.

Найдем длину отрезка NK: hello_html_5bda4111.png, так как NK – средняя линия треугольника A1D1C1. То естьhello_html_m3fbda685.png.

AN = KC, так как треугольники AA1N и CC1K равны.

Найдем AN из прямоугольного треугольника AA1N. По теореме Пифагора  hello_html_7467cebf.png.

Вычислим периметр: hello_html_62981b29.png

Ответ: hello_html_m5aad74ba.png.

hello_html_159828a4.png

Рис. 14.

Задача 6

По рисунку (рис. 15) найти точку пересечения прямой MN (hello_html_m5c4bff4c.png) и плоскости АВС параллелепипеда AD1.

hello_html_2dcecc75.png

Рис. 15.

Решение:

Рассмотрим плоскость АСС1А1. В этой плоскости лежит прямая NM и прямая AC. Эти прямые не параллельны. Найдем точку пересечения прямых NM и AC. Обозначим точку пересечения Q (рис. 16).

Точка Q лежит на прямой NM и на прямой АС, а значит и в плоскости АВС. Мы нашли след прямой NM на плоскости АВС. Точка Q – искомая.

hello_html_7ac8dd44.png

Рис. 16. 

Задача 7

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью MNP, где hello_html_m768fa17c.png (рис. 17).

hello_html_m7545e942.png

Рис. 17.

Решение:

Найдем точку пересечения прямой NM и плоскости АВС (см. зад. 6). Обозначим эту точку Q (рис. 18).

Соединим точки Q и Р, так как эти точки лежат одновременно и в плоскости сечения и в плоскости АВС. Получим точки пересечения прямой QР и ребер AD и DC – точки S1и S2 соответственно, hello_html_1c9956e6.png.

Соединим точки S1 и N, S2 и M.

Проведем S3M параллельно S1N, hello_html_34fd15c8.png.

Проведем S4N параллельно S2M, hello_html_m59441cdc.png.

Соединим точки S3 и S4. S1S2MS3S4N – искомый шестиугольник.

hello_html_m17ebd52e.png

Рис. 18.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 32

Дисциплина: Математика

Тема: Решение простейших и типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Цель занятия: решение простейших и типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение простейших и типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Задача 1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

hello_html_1c11c781.png

Рис. 4

Дано: hello_html_m5e262618.png,

hello_html_m69467d12.png 

hello_html_m5066d8ff.png 

hello_html_350a80fa.png 

Доказать: hello_html_m4977063f.png

Доказательство:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР1Q1Q. В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

Задача 2

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1.

Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

hello_html_4bc3d934.png

Рис. 5

Дано: hello_html_67cd6cba.png см

hello_html_c964f32.png см

hello_html_mbc12ed3.png см

Найти: hello_html_27e01b90.png

Решение:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ1P1. Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р1Q1. Так как прямые РР1 и QQ1 параллельны, а угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q - прямоугольная трапеция.

hello_html_7708ed25.png

Рис. 6

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.

Отрезок Q1A равен отрезку РР1. Найдем QA: QA = QQ1 - АQ1 = QQ1 - РР1 = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

hello_html_4662087c.png см.

P1Q1 = РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

Задача 3

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

hello_html_md493d2c.png

Радиус вписанной окружности равен:

hello_html_702e8e6e.png

hello_html_m1cc83514.png

Рис. 7

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

hello_html_541aa32e.png 

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

hello_html_5d6ded62.png

Рис. 8

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

hello_html_m5733a4d7.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

hello_html_298a72a3.png

Ответ: 3 см.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 33

Дисциплина: Математика

Тема: Решение простейших и типовых задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

Цель занятия: решение простейших и типовых задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Решение простейших и типовых задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

2. Примеры.

Задача 1, пункт 1

Прямая ОМ перпендикулярна плоскости треугольника АВС и проходит через центр О вписанной в него окружности.

Докажите, что точка М равноудалена:

1.      от прямых АВ, ВС, СА.

2.      от всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.

3.      Найдите это расстояние, если известны радиус r окружности и длина ОМ = h.

4.      Докажите равенство углов наклона прямых МТ (где Т – любая точка окружности) к плоскости АВС.

5.      Найдите тангенс этих углов.

Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ АВС.

1.      Доказать: ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА)

Доказательство: см. рис. 5

hello_html_740ccf62.png

Рис. 5

Пусть А1, В1, С1 – это точки касания окружности к сторонам треугольника. ОС1, ОА1, ОВ1 – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству, ОС1 АВ, ОА1 ВС, ОВ1 АС.

МО – перпендикуляр к плоскости АВС. ОС1 – проекция наклонной МС1 на плоскость АВС. Так как ОС1 АВ, то МС1 АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, МС1 – это расстояние от точи М до прямой АВ, МС1 = ρ (М, АВ). Аналогично получаем, что МА1 = ρ (М, ВС), МВ1 = ρ (М, СА).

Треугольники МОС1, МОА1, МОВ1 равны по двум катетам (катеты ОС1, ОА1, ОВ1 равны как радиусы вписанной окружности, катет ОМ – общий). Из равенства треугольников следует, что МС1 = МА1 = МВ1. А значит, ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА), что и требовалось доказать.

Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию (рис. 6) и введем некоторые дополнительные  обозначения.

Имеем окружность с центром в точке О и радиусом r, ОМ ОТ1Т, ОМ = h, OT = r (рис. 6).

Пусть t1, t – две произвольные касательные. Т1, Т – точки касания касательных t1, tк окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.

Задача 1, пункт 2

1.      Доказать:  ρ (М, Т) = ρ (М, Т1)

                                   ρ (М, t) = ρ (М, t1)

hello_html_m5b5ca53f.png

Рис. 6

 Касательные t1, касаются окружности в точках Т, Т1 соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть ОТ t.

ρ (М, Т) = МТ, ρ (М, Т1) = МТ1

ОТ – это проекция наклонной МТ на плоскость окружности. Прямая лежит в этой плоскости. Так как ОТ t, то МТ tпо теореме о трех перпендикулярах. Значит, ρ (М, t) = МТ. Аналогично, ρ (М, t1) = МТ1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники МОТ и МОТ1. Катет ОМ – общий, ОТ = ОТ1 как радиусы. Значит, треугольники МОТ и МОТ1 равны по двум катетам. Следовательно, МТ = МТ1, а значит, ρ (М, t) = ρ (М, t1), ρ (М, Т) = ρ (М, Т1), что и требовалось доказать.

Задача 1, пункт 3

1.      Найти: ρ (М, t)

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ (рис. 6). Из теоремы Пифагора:

hello_html_m7990bb68.png

hello_html_m2c8c9946.png

Ответ: hello_html_48180d4f.png.

Задача 1, пункт 4

1.      Доказать: (МТ, АВС) = (МТ1, АВС) = φ.

ОТ – проекция наклонной МТ на плоскость ABC. Значит, (МТ, АВС) = (МТ, ОТ) = МТО. Аналогично, (МТ1, АВС) = (МТ1, ОТ1) = МТ1О. Мы доказали, что треугольники МОТ и МОТ1 равны, а значит, и углы МТО и МТ1О равны. Обозначим, их величину за φ. Тогда, (МТ, АВС) = (МТ1, АВС) = φ, что и требовалось доказать.

Задача 1, пункт 5

1.      Найти: tg φ.

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ. hello_html_5aa7a3dc.png

Ответ: hello_html_m3ca5def4.png.

Задача 2, пункт а

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О.

а) Докажите, что расстояние от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.

б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 8 дм, BD = 6 дм.

hello_html_m2b3e6e54.png

Рис. 7

Дано: ABCD – ромб, ОК АВС, ОК = 4.5 дм, АС = 8 дм, BD = 6 дм.

а) Доказать: ρ (К, АВ) = ρ (К, BC) = ρ (К, CD) = ρ (К, DA) .

Доказательство:

hello_html_m2fd24a62.png

Рис. 8

Сделаем вспомогательный рисунок (рис. 8). Также вспомним, что в ромб можно вписать окружность, центр этой окружности – точка пересечения диагоналей ромба. Н1, Н2, Н3, Н4 – точки касания вписанной окружности и сторон ромба.

Н1 точка касания стороны АВ к окружности. Тогда ОН1 АВ. ОН1 – это проекция наклонной КН1. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, КН1 АВ. А значит, КН1 – это и есть расстояние от точки К до прямой АВ, : ρ (К, АВ) = КН1. Аналогично,  ρ (К, BC) = КН2, ρ (К, CD) = КН3, ρ (К, DA) = КН4.

Рассмотри прямоугольные треугольники КОН1, КОН2, КОН3, КОН4. Катет ОК – общий, ОН1 = ОН2 = ОН3 = ОН4 , так как ОН1, ОН2, ОН3, ОН4   радиусы одной окружности. Значит, треугольники КОН1, КОН2, КОН3, КОНравны по двум катетам. Значит, КН1 = КН2 = КН3 = КН4. Получаем, ρ (К, АВ) = ρ (К, BC) = ρ (К, CD) = ρ (К, DA), что и требовалось доказать.

Задача 2, пункт б

Найти: ρ (К, BC).

Радиус окружности ОН2 является высотой в треугольнике СОВ. Выпишем, чему равна площадь треугольника СОВ.

hello_html_m43b4a2d4.png

hello_html_m1ee2914.png дм, hello_html_m5dafd82f.png дм. Тогда:

hello_html_m6718d888.png дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник КН2О. По теореме Пифагора:

hello_html_mf08d6b0.png

Мы показали, что ρ (К, BC) = КН2. Значит, ρ (К, BC) = 5,1 дм.

Ответ: 5,1 дм.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.







ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 34

Дисциплина: Математика

Тема: Усеченная пирамида. Решение задач по теме

Цель занятия: усеченная пирамида. Решение задач по теме

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Усеченная пирамида.

2. Решение задач по теме

Стандартные задания на пирамиды (Sосн,Sбок ,ha)

Известны стороны основания – а и высота пирамиды – h. Необходимо найти:

1. Sосн

2. Sбок  ,ha

3. (AB)

4. (SC)

Решение:

1. Найти Sосн

Если есть ∆АВС (рис. 3), сторона которого равна а, то

hello_html_64675f68.png

hello_html_m1b8a2bd9.png

Рис. 3

2. Найти Sбок ,hа

Отрезок SC1 называется апофемой ha(рис. 2). Апофему найдем из прямоугольного треугольника SC1O. Известен катет SO=h, второй катет С1О найдем из ∆АВС (рис. 3).

Для начала найдем высоту АА1 из прямоугольного треугольника АА1С:

hello_html_43c6ada6.png

Высота АА1 состоит из радиуса вписанной окружности r=С1О и из радиуса описанной окружности R (причем R=2r). hello_html_73c14fab.png

Следовательно

hello_html_m54e4301e.png

 hello_html_m44b61039.png

Зная катеты ∆SC1O, мы можем найти гипотенузу

hello_html_6345977f.png

Найдя апофему haможно без труда найти

hello_html_5b2b0e6f.png

И hello_html_37fb912f.png

Стандартные задания на пирамиды (двухгранные углы)

Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

hello_html_710d504b.png

3. Найти (АВ)

Двугранный угол при ребре АВ есть угол между плоскостями SAB и ABC. Обозначим его

hello_html_1d6ca0eb.png

hello_html_m3ed2abb7.pngИзбавимся от иррациональности в знаменателе путем умножения и деления выражения на hello_html_m34d112c0.png 

hello_html_m20797685.png

Зная тангенс угла, можем найти сам угол

hello_html_m5cb07f1d.png

5)4. Найти( (SC)

Проведем BPSC и APSC ,SC, тогда (SC)= APB. Обозначим его как α (рис. 4)

hello_html_37e1af1d.png

Рис. 4

Для нахождения угла рассмотрим равнобедренный треугольник АРВ. Основание треугольника АВ=а, а боковые стороны найдем из ∆ACS (который тоже является равнобедреннымтреугольником) в).

B ∆SAC S известны основание АС = а и боковые стороны hello_html_mb4fbdba.png. Необходимо найти высоту ,высоту, проведенную из точки А. Для этого нужно найти площадь треугольника:

hello_html_44f0646f.png

Из данного уравнения найдем АР:

hello_html_m755426bc.png

По теореме косинусов

hello_html_m5a08e39f.png

hello_html_69767773.png

Косинус угла однозначно определяет угол в треугольнике, поэтому дальше задача очевидная.

Усеченная правильная пирамида

Усеченная правильная пирамида

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полу суммы периметров на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

hello_html_m219f2b6f.png

hello_html_59e1eab2.png

Рис. 5

А площадь всей боковой поверхности

hello_html_m38a83a55.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 35

Дисциплина: Математика

Тема: Решение типовых задач по теме

Цель занятия: решение типовых задач по теме

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Решение типовых задач по теме

2. Примеры

Задача 1

Укажите число плоскостей симметрии у правильной треугольной призмы.

Ответ: 4

Решение:

Пусть hello_html_3d1af8c1.png и М – середины ребер hello_html_m5fa15bc7.png и АВ соответственно (рисунок 1). Вершине hello_html_m3f2ed98d.png соответствует плоскость симметрии hello_html_1ff825d5.png. данная плоскость является плоскостью симметрии потому что ребро АВ перпендикулярно МС по свойствам правильного треугольника и перпендикулярно hello_html_57455f8d.png по свойствам прямой призмы. Значит ребро АВ перпендикулярно плоскости hello_html_1ff825d5.png. аналогично ребро hello_html_m5fa15bc7.png перпендикулярно той же плоскости. Так, при выполнении симметрии точка А перейдет в точку В и наоборот; точка hello_html_5c9b2e90.png перейдет в точку hello_html_5a4c5846.png и наоборот; точки hello_html_m3f2ed98d.png и С останутся без изменений. То есть призма переходит сама в себя.

Мы рассмотрели плоскость симметрии относительно вершины hello_html_m3f2ed98d.png, таких вершин три – значит три плоскости симметрии. Четвертая плоскость симметрии проходит через середины боковых ребер (рисунок 2).

hello_html_m13d48db3.jpg

Рис. 2. Плоскость симметрии правильной треугольной призмы

Других плоскостей симметрии рассматриваемая призма не имеет, т. к. наличие плоскостей симметрии связано с количеством осей симметрии в основаниях и боковых гранях фигуры.

Прямоугольный параллелепипед:

Задача 2

Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно трем.

Решение: пусть задана n-угольная призма. Количество вершин призмы равно удвоенному количеству вершин основания, то есть 2n, а такое число кратно двум при любом n – мы доказали, что число вершин любой призмы четно.

Число ребер призмы состоит из ребер оснований и боковых ребер. Основания содержат 2n ребер и еще n ребер – боковые ребра. Всего призма содержит 3n ребер, что кратно трем при любом n – мы доказали, что число ребер любой призмы кратно трем.

Задача 3

d – диагональ куба. Найти площадь полной поверхности куба.

Решение:

hello_html_m2993bd84.jpg

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Пусть ребро куба равно hello_html_f2e3645.png, тогда по свойству прямоугольного параллелепипеда: hello_html_62123801.png

hello_html_3251ca91.png – это площадь одной грани, куб состоит из шести одинаковых граней, имеем площадь полной поверхности:

hello_html_5d90ebf.png

Задача 4

В кубе hello_html_3a91f5a3.png найти угол между скрещивающимися прямыми hello_html_m66cf82b8.png и BD.

Решение:

hello_html_3e078851.jpg

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Проведем прямую hello_html_1bbc54ed.png, она параллельна прямой BD. Значит искомый угол – это угол hello_html_m68426beb.png. Он равен hello_html_5990d30a.png, так как треугольник hello_html_59ad5faf.png равносторонний – его стороны равны как диагонали равных квадратов.

Задача 5

В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания и высота равны 2. Найти расстояние от центра основания до боковой грани.

Решение:

hello_html_1eaf04f0.jpg

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5

Пусть задана пирамида с основанием ABCD и вершиной S. Из условия ABCD – квадрат, пусть О – точка пересечения его диагоналей, тогда SO – высота пирамиды. hello_html_m71ef1c4a.png. Требуется найти расстояния от точки О до плоскости CSD. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра опущенного из заданной точки на плоскость.

Пусть точка М – середина DС. Опустим перпендикуляр ОК на апофему SM. Докажем, что построенный таким образом отрезок ОК перпендикулярен всей плоскости CSD. Поскольку CD перпендикулярно всей плоскости MOS, то ОKCD. Так, ОК есть перпендикуляр к плоскости CDS, его и требуется найти.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MOS. В нем hello_html_58c408e1.png как средняя линия треугольника DBC. Имеем hello_html_5030ef3a.png. SO по условию равно 2. Найдем гипотенузу MS по теореме Пифагора: hello_html_m7329d588.png.

Найдем площадь рассматриваемого треугольника двумя способами:

hello_html_dc6f667.png.

Задача на прямую призму

Задача 6

Боковое ребро прямой призмы hello_html_684e072b.png равно единице. hello_html_m340b6ef7.png. hello_html_m61d1b2f0.png, М – середина hello_html_605df988.png. Найти hello_html_5fd128d0.png.

Решение:

Для наглядности произведем сечение призмы заданной плоскостью ВСМ. Для этого проведем MN параллельно hello_html_15fca4f2.png, полученная фигура hello_html_2918bc71.png и будет искомым сечением (рисунок 8).

hello_html_m70f31aff.jpg

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 7

Чтобы найти расстояние от точки hello_html_m3f2ed98d.png до плоскости ВСМ, нужно опустить из этой точки перпендикуляр к плоскости. Опустим перпендикуляр hello_html_m78b36176.png к прямой СМ и докажем, что он является перпендикуляром ко всей плоскости ВСМ.

Из условия: hello_html_m3e114dcb.png; hello_html_m7237e761.png, отсюда hello_html_1b5e1f8.png., т. к. hello_html_m733213d7.png.

Так, hello_html_m78b36176.png перпендикулярно двум прямым из плоскости сечения ВСМ: ВС и СМ, эти прямые пересекаются, отсюда hello_html_m78b36176.png перпендикулярно всей плоскости сечения, значит hello_html_m78b36176.png – искомое расстояние от точки до плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_1f38a02d.png. в нем hello_html_5aec1a2e.png по условию, hello_html_m2ea65ffb.png. Найдем гипотенузу СМ по теореме Пифагора:

hello_html_32f91698.png.

Запишем площадь треугольника двумя способами:

hello_html_mee6825e.png.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 36

Дисциплина: Математика

Тема: Операции над векторами в пространстве и их свойства

Цель занятия: выполнять операции над векторами в пространстве и их свойства

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Операции над векторами в пространстве и их свойства

2. Примеры

Пусть заданы два произвольных вектора в пространстве (рис. 1):

hello_html_7404574e.jpg

Рис. 1. Произвольные векторы в пространстве

Определим, что же называется суммой двух этих векторов.

Точно так же, как в планиметрии, из любой удобной точки, назовем ее точкой А, можно единственным образом отложить вектор, равный вектору hello_html_m79c2339.png. Напомним, что заданные векторы, как и любые другие, свободны, важно лишь направление и длина, сам вектор можно параллельно переносить в любое место как на плоскости, так и в пространстве. Так, мы получили вектор hello_html_m1b6eba83.png – в результате действия вектора hello_html_m79c2339.png точка А переместилась в точку В. Теперь из точки В откладываем единственно возможным образом вектор hello_html_m7973b2e.png, получаем вектор hello_html_6cf7ef8e.png – так, в результате действия вектора hello_html_m7973b2e.png точка В переместилась в точку С. В результате точка А переместилась в точку С, получен вектор hello_html_497590d6.png, который и называется суммой векторов hello_html_m79c2339.png и hello_html_m7973b2e.png (рис. 2).

hello_html_m2f3ca5d6.jpg

Рис. 2. Сумма двух векторов в пространстве

Так, получено правило треугольника для сложения векторов в пространстве.

Правило треугольника

Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.

Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.

Определение

Разностью двух векторов называется такой третий вектор, который, будучи сложенным со вторым вектором, даст первый вектор.

Введем разность векторов hello_html_m79c2339.png и hello_html_m7973b2e.png, для этого сложим вектор hello_html_m79c2339.png с противоположным вектором hello_html_m4bc28fe4.png:

hello_html_68291b7b.png

Итак, из произвольной точки А откладываем вектор hello_html_m79c2339.png, получаем точку В. Чтобы получить вектор hello_html_m747cfb82.png мы строим вектор, равный вектору hello_html_m7973b2e.png по длине, но противонаправленный. Полученный вектор откладываем из точки В – получаем точку D. Вектор hello_html_7997c3c0.png и будет искомым вектором разности.

Проиллюстрируем (рис. 3):

hello_html_m12c0c37.jpg

Рис. 3. Вычитание двух векторов в пространстве

Построим на заданных векторах hello_html_m79c2339.png и hello_html_m7973b2e.png параллелограмм (рис. 4):

hello_html_2c7fd63e.jpg

Рис. 4. Параллелограмм на двух заданных векторах

Т. к. вектор hello_html_5640a6f5.png; аналогично hello_html_m6f9cdf81.png.

По правилу треугольника:

hello_html_m47b0f26d.png

Так, одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов.

Рассмотрим разность векторов. По правилу треугольника:

hello_html_363418df.png.

Так, вторая диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует разности этих векторов.

Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы hello_html_m17f8e8f8.png и hello_html_m3eb28f2f.png:

hello_html_1ec1b078.jpg

Рис. 5. Три вектора в пространстве

Необходимо построить вектор hello_html_mc1137bc.png.

Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы hello_html_7d205f8b.png и hello_html_241e0698.png. Вектор hello_html_7d205f8b.png сонаправлен с вектором hello_html_42d3d3b2.png, длина его в три раза больше. Вектор hello_html_241e0698.png противонаправлен вектору hello_html_m7973b2e.png, длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):

hello_html_4a339c.jpg

Рис. 6. Умножение вектора на число

Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор hello_html_7d205f8b.png – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор hello_html_241e0698.png – получаем точку С. Из точки С откладываем вектор hello_html_m5240ebaf.png – получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор hello_html_5220c39a.png соответствует искомому вектору hello_html_m5fd445e.png:

hello_html_m5c0931b3.jpg

Рис. 7. Сложение векторов по правилу многоугольника

Задача 1:

Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:

  hello_html_78836bc8.pnghello_html_m1bd5b427.png

hello_html_281864c1.jpg

Рис. 8. Тетраэдр, задача 1

Решение:

По правилу треугольника: hello_html_455ea04f.png

Аналогично: hello_html_m2311de8b.png

hello_html_6cd09c01.png, ч. т. д.

По правилу треугольника: hello_html_3076ab56.png

Аналогично: hello_html_m37956e9c.png, ч. т. д.

Задача 2

Упростить выражение: hello_html_m14a16111.png

Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: hello_html_m5b259ee9.png, ее значение очевидно:

hello_html_3076ab56.png

Проиллюстрируем (рис. 9):

hello_html_33e21666.jpg

Рис. 9. Сумма двух векторов

Теперь сократим противоположные векторы:

hello_html_m397f157.png

Можно было сразу заметить:

hello_html_m1d59f898.png

hello_html_6be72b8c.png.

В результате упрощения получено:

hello_html_m748f271e.png.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.









































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 37

Дисциплина: Математика

Тема: Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Цель занятия: изучить разложение вектора по трём некомпланарным векторам

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

2. Задачи

Если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам (рис. 1, 2):

hello_html_m3d9df4df.jpg

Рис. 1. Векторы на плоскости

hello_html_4ad995f0.png

hello_html_m6f46c506.jpg

Рис. 2. Разложение вектора через два неколлинеарных

Данный факт легко доказывается. Пусть hello_html_m2da5f726.png. Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору hello_html_4aeb6c73.png. Получаем вектор hello_html_m596a3d7f.png, коллинеарный вектору hello_html_4f0a601d.png. Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору hello_html_4f0a601d.png. Получаем вектор hello_html_548eec87.png, коллинеарный вектору hello_html_4aeb6c73.png. Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:

hello_html_c459fde.png

Вопрос на понимание компланарности векторов. Если вектор hello_html_mba88e03.png можно представить в виде hello_html_4ad995f0.png, где х и у – конкретные числа, то векторы hello_html_5d353fba.png и hello_html_mba88e03.png компланарны.

Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем однозначно разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы hello_html_5d353fba.png и hello_html_mba88e03.png. Тогда любой вектор hello_html_16e3deb.png можно представить в виде суммы: hello_html_m22347b6f.png, где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.

Решение задачи на разложение вектора по трем некомпланарным

Задача 1: дан куб hello_html_403bbc94.png с ребром m. Точка К – середина ребра hello_html_m41d1e133.png. Разложить вектор hello_html_3974b21a.png по векторам hello_html_1c0111f5.png и найти его длину.

Решение: построим заданный куб (рис. 3).

hello_html_m60dc5ac3.jpg

Рис. 3. Куб, задача 1

Векторами hello_html_4aeb6c73.png и hello_html_4f0a601d.png задается плоскость квадрата hello_html_m46b09fd2.png. Третий вектор hello_html_mba88e03.png не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора hello_html_4aeb6c73.png, hello_html_4f0a601d.png  и hello_html_mba88e03.png  некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор hello_html_3974b21a.png. Найдем вектор hello_html_3974b21a.png по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: hello_html_m7cebf502.png. вектор hello_html_187ed32d.png мы по условию обозначили как вектор hello_html_mba88e03.png. Вектор hello_html_mf15467d.png согласно свойствам куба равен вектору hello_html_m4782a86a.png, обозначенному за вектор hello_html_4aeb6c73.png.

вектор hello_html_99353c9.png составляет половину вектора hello_html_m13c436d4.png, так как точка К – середина ребра hello_html_m41d1e133.png по условию: hello_html_m38927e6b.png. Вектор hello_html_m56615291.png согласно свойствам куба, равен вектору hello_html_m27293953.png, обозначенному как вектор hello_html_4f0a601d.png. Имеем: hello_html_m29144791.png

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m53e8345d.png. Он прямоугольный потому, что ребро hello_html_m5329314.png перпендикулярно всей плоскости основания hello_html_m63a4470a.png, значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой hello_html_m79377d94.png. Один из катетов hello_html_m5329314.png равен m как ребро куба. Катет hello_html_m79377d94.png найдем из другого прямоугольного треугольника – hello_html_m3ca7f35a.png, где он уже является гипотенузой. Здесь катет hello_html_21183bb4.png равен m как ребро куба. Катет hello_html_m36bfbba.png равен hello_html_6ee4641d.png, так как точка К – середина ребра hello_html_m41d1e133.png. Имеем: hello_html_1e085de3.png

Вернемся к первому треугольнику: hello_html_788eb43.png

Задача на усвоение понятия компланарности

Задача 2: векторы hello_html_4aeb6c73.png, hello_html_4f0a601d.png и hello_html_mba88e03.png компланарны. Компланарны ли векторы hello_html_4aeb6c73.png, hello_html_5d842019.png и hello_html_m28ff9bc5.png? Компланарны ли векторы hello_html_m290425f4.png?

Решение: тот факт, что векторы hello_html_4aeb6c73.png, hello_html_4f0a601d.png и hello_html_mba88e03.png компланарны, означает, что, будучи отложенными от одной точки, они расположены в одной плоскости (рисунок 4.а). Это значит, что один из векторов, например, вектор hello_html_mba88e03.png, можно однозначно разложить по двум другим: hello_html_4ad995f0.png. Очевидно, что векторы hello_html_4aeb6c73.png, hello_html_5d842019.png и hello_html_m28ff9bc5.png тоже компланарны, т. к. умножение вектора на положительное число не меняет его направления, а меняет только длину, и векторы останутся в той же плоскости (рисунок 4.б).

Рис. 4. б

Очевидно, что тройка векторов hello_html_m290425f4.png также компланарна, потому что всякая линейная комбинация компланарных векторов есть вектор, им компланарный. Мы имеем три вектора, компланарных заданным векторам, очевидно, что они компланарны между собой.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 38

Дисциплина: Математика

Тема: Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Цель занятия: изучить скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

2. Задачи

Введем сначала понятие направляющего вектора прямой. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой параллельной данной. То есть для прямой a вектор AB является направляющим.

Пусть даны две прямые  a и b, и их направляющие вектора hello_html_853f932.png и hello_html_m69a4b8aa.png, заданные координатами. Найдем угол β между прямыми.

Возможны два случая:

1)  Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов:hello_html_16cd540.png (см. рис. 1).

 hello_html_16fca089.jpg

 Рис. 1. Острый угол между прямыми

2)  Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен – (180-φ). Тогда: hello_html_63936a1b.png (см. рис. 2).

hello_html_m29fac951.jpg

Рис. 2. Тупой угол между прямыми

Можно объединить два случая  в  одной  формуле: hello_html_70f9e414.png, где 𝛃 – угол между прямыми, а вектора hello_html_853f932.png и hello_html_m69a4b8aa.png - их направляющие вектора.

 В 10 классе мы ввели понятие угла между прямой и плоскостью. Углом между прямой и  плоскостью называется угол между прямой  и ее проекцией на эту плоскость.

 Если нам известен направляющий вектор hello_html_853f932.png прямой a и вектор hello_html_m407f7daa.png, перпендикулярный плоскости α (см. рис. 3), то мы можем выразить угол между прямой и плоскостью через угол между данной прямой и прямой, перпендикулярной плоскости α: hello_html_6110d4c5.png

 hello_html_18c4ab14.jpg

 Рис. 3. Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми и угла между прямой и плоскостью.

Дано: правильная треугольная призма ABCA1B1C1, hello_html_7d285c3.png.

Найдите:

а) угол между прямыми АС1 и A1B;

б) угол между прямой АС1 и плоскостью АВС.

 Решение: Пусть AB=a, тогда AA1=a√2. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке С, и определим координаты точек A, B, C1 и A1: hello_html_dfaed72.png, hello_html_20d53831.png, hello_html_m6785b9e0.png, hello_html_572660d0.png.

 Зная координаты конца и начала векторов, находим координаты векторов: hello_html_46b59f8b.png, hello_html_79e5d07d.png.

 а)Векторы hello_html_1b2366b9.pngи hello_html_m7f089394.pngявляются направляющими векторами прямых  AC1 и BA1, следовательно угол φ можно найти по формуле :hello_html_m4924ae2.png 

 б) Так как призма правильная, следовательно hello_html_m3401527f.png. Чтобы найти угол между плоскостью и прямой  необходимо знать вектор hello_html_1b2366b9.png и вектор, перпендикулярный плоскости ABC – вектор нормали-hello_html_m407f7daa.png, hello_html_m6b6b84e2.png. Находим угол между прямой и плоскостью:

 hello_html_m7e0df3be.png

С помощью скалярного произведения можно также найти угол между плоскостями.

Рассмотрим две плоскости α и β с нормальными векторами hello_html_m7c1b480b.png и hello_html_mad74c6d.png. Угол φ  между плоскостями α и β можно выразить через угол hello_html_m7739675e.png.

Возможны два случая:

1) Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ;

2) Если ψ > 90°, то φ = 180°-ψ .

 Значит, угол φ можно найти по формуле: hello_html_m7e818309.png.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



















ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 39

Дисциплина: Математика

Тема: Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра. Объем цилиндра

Цель занятия: изучить площадь боковой и полной поверхностей цилиндра. Объем цилиндра

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

2. Объем цилиндра

Получим формулу для нахождения боковой поверхности цилиндра. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости α (см. рис. 1). В результате в плоскости α получится прямоугольник АВВ1А1. Стороны АВ и В1А1 прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА1 прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВ — образующей цилиндра, поэтому АА1 = 2πr, АВ = h, где г — радиус цилиндра, h — его высота.

hello_html_2b1163be.jpg

Рис. 1.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника АВВ1А1 равна hello_html_m1e75607b.png, то для вычисления площади Sбок боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h получается формула: hello_html_m2b459f46.png.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна πr2, то для вычисления площади  полной поверхности цилиндра получаем формулу: hello_html_a8a8a62.png.

Задача 1. Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

hello_html_17e4d130.png

Рис. 2.

Решение: hello_html_m2b459f46.png. По рисунку (см. рис. 2) площадь осевого сечения – это площадь прямоугольника ABCD. hello_html_76087efb.png.

Из формулы нахождения площади боковой поверхности: hello_html_m2a5b9e78.png. Подставим это выражение в формулу осевого сечения: hello_html_f3e2a9.png.

Ответ: hello_html_79a3d753.png.

Задача 2. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?

Дано: L=4; d=20см=0,2м. Найти: S.

Решение: Воспользуемся формулой площади полной поверхности цилиндра: hello_html_m2b459f46.png.

Радиус равен половине диаметра – 0,1м, а высота цилиндра равна длине нужной трубы – 4м.

Так на швы нужно добавить 2,5% площади ее боковой поверхности, нужно найти: (S+2,5%S). Подставим вместо S формулу площади боковой поверхности, и вычислим:

hello_html_2164629e.pngОтвет: 2,6 м2.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 40

Дисциплина: Математика

Тема: Площадь боковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса

Цель занятия: изучить площадь боковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Площадь боковой и полной поверхностей конуса.

2. Объем конуса

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (см. рис. 1).

hello_html_5d2dfb11.jpg

Рис. 1.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.

hello_html_a37cd5c.png.

hello_html_macf306a.png. Если сектору S соответствует угол α, то hello_html_m327b0bbc.png.

Найдем угол α, чтобы подставить в полученную формулу. Составим пропорцию, связывающую угол и дугу, на которую он опирается.

hello_html_16bb9309.png. hello_html_m5a2e6760.png.

Подставим полученную дробь в формулу и найдем S. hello_html_m6ac8076e.png.

Зная формулу площади боковой поверхности, напишем формулу для нахождения Sполн (см. рис. 2).

hello_html_5a8d55ba.png

Рис. 2.

hello_html_1f1c8653.png;

hello_html_3e2dc230.png.

Рассмотрим задачу на нахождение площади полной поверхности конуса.

Дано: конус, угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6 см. Найти: площадь боковой поверхности конуса.

Решение:hello_html_748886db.png(см. рис. 2).

Рассмотрим hello_html_55df5ec.png- прямоугольный, hello_html_748886db.png, значит, hello_html_m7996766a.png.

Выразим катет AO в треугольнике APO: hello_html_3d8db69.png

Подставим числа в формулу: hello_html_m5ac0a2ee.png.

Выведем формулу для вычисления объёма конуса. Для этого рассмотрим конус как фигуру, которая получается путём вращения прямоугольного треугольника OAB вокруг осиOX(рис. 1).

hello_html_m4521a259.png

Рис. 1. Иллюстрация к формуле

Точка O имеет координаты (0;0), B (H;0), A(H;R), где H – высота получившегося в результате вращения конуса, R – радиус основания конуса.

1. Прямая OA имеет общий вид hello_html_a08ab84.png, где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла наклона (hello_html_m7d8d0f40.png), следовательно, уравнение прямой OA:

hello_html_471fdc0.png 

2. Для того чтобы вывести формулу объёма конуса, воспользуемся основной формулой, позволяющей выразить объем тела через площади сечений этого тела (объём тела равен интегралу от площади параллельного сечения).

Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается круг с радиусом y. Площадь круга равна:

hello_html_m3ba72004.png

Поэтому объём конуса равен:

hello_html_289e2d9a.png 

hello_html_7bc5ae56.png 

Стоит отметить, что данная формула совпадает с формулой объёма пирамиды:

hello_html_642f4941.png , где S – площадь основания.

Основанием конуса является круг, его площадь hello_html_m692170f9.png, поэтому объём конуса:

hello_html_m3dfcea9c.png 

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 41

Дисциплина: Математика

Тема: Решение задач на вычисление объема шара, площади сферы

Цель занятия: решение задач на вычисление объема шара, площади сферы

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Решение задач на вычисление объема шара, площади сферы

Задача 1 (вычисление объёма шарового сектора)

Найти объём шарового сектора, если известен радиус шара – 75 см, и радиус окружности, лежащей в основании соответствующего шарового сегмента – 60 см (рис. 1).

hello_html_m71e7be94.png

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Дано: r = 60 см; R = 75 см

Найти: hello_html_35ee26ff.png

Решение: 1. Введём обозначения:

hello_html_7b4cde32.png – радиус основания сегмента

hello_html_m685582d.png – радиус шара

hello_html_2eb6ce89.png – высота шарового сегмента

2. Для того чтобы вычислить объём шарового сектора, необходимо знать радиус шара (он нам известен) и высоту сегмента hello_html_2eb6ce89.png.

Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m70e38d33.png. В нём OM – радиус шара, hello_html_7b4cde32.png – радиус окружности, а hello_html_m1414b2af.png можем найти по теореме Пифагора:

hello_html_66bc3728.png 

hello_html_m77f41f21.png см

3. Найдём высоту сегмента H:

hello_html_md691f2e.png 

hello_html_75317b94.png см

4. Подставим в формулу объёма шарового сектора известные величины:

hello_html_m1f9492ac.png 

hello_html_m3af13b58.png hello_html_6688f60e.png 

Ответ: hello_html_79c81395.png hello_html_6688f60e.png

Задача 2 (определение объёма шарового сегмента)

Высота шарового сегмента составляет 0,1 диаметра шара. Определить, какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента.

Дано: hello_html_m7dc34f3.png

Найти: hello_html_m77eba154.png

Решение: 1. Так как высота H шарового сегмента – это hello_html_m5ccecf11.png диаметра шара, то:

hello_html_m1235987d.png, где R – радиус шарового сегмента

2. Найдём объём шарового сегмента:

hello_html_m6a6577bf.png 

hello_html_5996be7e.png 

3. Найдём отношение объёма сегмента к объёму шара, то есть узнаем, какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента.

Объём сегмента:

hello_html_5f9294fd.png 

Объём шара:

hello_html_31ded610.png 

Отношение объёма сегмента к объёму шара:

hello_html_m67659074.png  

Ответ: объём шарового сегмента составляет hello_html_56ad91aa.png объёма шара.

Задача 3 (определение объёма шарового сегмента)

В шаре проведена плоскость, которая перпендикулярна диаметру и делит диаметр на два отрезка длиной 6 см и 12 см. Найти объёмы частей, на которые делит плоскость шар.

hello_html_me540236.png

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Дано: hello_html_m3f3599b7.png см; hello_html_13f74749.png см

Найти:hello_html_m2a9a3594.png; hello_html_m426bcbf0.png

Решение: На рисунке 2 изображено осевое сечение шара (окружность) и плоскости (DC), AB – диаметр шара.

1. Диаметр шара равен:

hello_html_m3034858c.png 

hello_html_68bfe86c.png см

Следовательно, радиус шара:

hello_html_m778b8542.png 

hello_html_1a10d05.png см

2. Плоскость разделила шар на два сегмента, найдём объём меньшего с высотой hello_html_m3f3599b7.png см. Для этого подставим значение высоты сегмента и радиуса шара в формулу объёма шарового сегмента:

hello_html_m47c64b6e.png 

hello_html_23022b4b.png hello_html_6688f60e.png

3. Объём второго сегмента можно аналогично найти по формуле объёма шарового сегмента или как разность объёма шара и объёма сегмента с высотой hello_html_m3f3599b7.png см.

hello_html_486a2610.png 

Объём шара:

hello_html_7097ac3e.png 

hello_html_92f7428.png hello_html_6688f60e.png

Ответ: hello_html_137836fd.png hello_html_6688f60e.png; hello_html_6cf9b152.png hello_html_6688f60e.png.

Разветвление: задача 4

В III веке до нашей эры жил великий учёный своих дней – Архимед. Он сделал множество открытий, но, согласно легенде, больше всего он гордился тем, что получил соотношение между объёмом цилиндра и объёмом вписанного в этот цилиндр шара. Согласно этой же легенде, на могиле Архимеда, которая не сохранилась до наших дней, был изображен цилиндр и вписанный в него шар, а также написано соотношение объёмов цилиндра и шара.

В то время это было великое достижение, так как точных формул для нахождения объёмов цилиндра и шара ещё не было.

Найдём это соотношение.

hello_html_m1f100765.png           

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

hello_html_m68fd739f.png , где R – радиус цилиндра; r – радиус шара (рис. 3)

hello_html_236a835d.png, где H – высота цилиндра, так как шар можно вписать только в равносторонний цилиндр.

Объём шара:

hello_html_7097ac3e.png 

Объём цилиндра:

hello_html_m5996d96f.png 

Отношение этих объёмов:

hello_html_5a1f5eb8.png 

hello_html_48a3af4.png 

Отношение площадей этих фигур будет таким же. Докажем это. Площадь шара:

hello_html_m325ccaa3.png 

Площадь цилиндра

hello_html_39cfec14.png 

Отношение этих площадей:

hello_html_17185692.png 

hello_html_m3a67da5b.png 

Разветвление: задача 5

Диаметр шара, равный 12 см, разделён в отношении 1:3:4. Через точки деления проведены две параллельные плоскости. Найти объём шарового слоя, отсечённого этими плоскостями (рис. 4).

hello_html_m1fbb6a35.png

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Дано:hello_html_m13721879.png см; (1:3:4)

Найти: hello_html_51e6eb22.png

Решение: 1. Введём следующие обозначения: hello_html_3b2b2279.png 

Так как диаметр hello_html_m13721879.png см делится плоскостями в отношении 1:3:4, то

hello_html_7dfd0c7.png 

hello_html_703e6fcd.png 

2. hello_html_32704a79.png 

hello_html_m3757f38d.png 

hello_html_m1d187ad6.png 

hello_html_m4345f4a1.png 

hello_html_664934c.png – высота шарового сегмента

Радиус шара равен половине диаметра, то есть:

hello_html_m52bccbb6.png 

hello_html_2acd6263.png 

3. Найдём объём шарового слоя. Это будет разность объёма полушара и объёма шарового сегмента.

Объём полушара:

hello_html_m16a411ae.png 

Объём шарового сегмента:

hello_html_m2f1ac984.png 

Объём шарового слоя:

hello_html_d14c623.png 

hello_html_b0e0565.png hello_html_6688f60e.png

Ответ:  hello_html_m5f55ec79.png hello_html_6688f60e.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 42

Дисциплина: Математика

Тема: Повторение, обобщение и систематизация учебного материала

Цель занятия: повторение, обобщение и систематизация учебного материала

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Практическое занятие

Тип занятия: ПОКЗУН

План занятия:

1. Повторение, обобщение и систематизация учебного материала

Задача 1 (нахождение объёма пирамиды)

Дано: hello_html_m618515d4.png – треугольная призма; hello_html_m113464a.png – объём призмы; hello_html_19737096.png – секущая плоскость (рис. 3).

Найти: 1. hello_html_5f62b3ec.png – объём пирамиды hello_html_7c6301dd.png; 2. hello_html_db3c03e.png – объём фигуры над секущей плоскостью; 3. hello_html_m75bd12.png – объём пирамиды hello_html_m68dcf358.png; 4. hello_html_m78db766a.png – объём пирамиды hello_html_7cf07aad.png

Решение:

1. Найдём объём пирамиды hello_html_7c6301dd.png:

hello_html_3ee253b0.png , где hello_html_m29774ca1.png – объём призмы hello_html_m618515d4.png

Так как hello_html_m113464a.png, то

hello_html_24c3140f.png 

hello_html_3c1fe32.png

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

2. Для нахождения объёма верхней части из общего объёма вычтем объём нижней части, то есть объём пирамиды hello_html_7c6301dd.png:

hello_html_m4fc1b757.png 

hello_html_m25e4c983.png 

3. Найдём объёмпирамиды hello_html_m68dcf358.png и hello_html_7cf07aad.png. Для этого рассмотрим боковую грань призмы hello_html_m43f6150b.png.Это параллелограмм, следовательно, площадь треугольника hello_html_74c54200.png равна площади треугольника hello_html_650cd5c2.png. А так как эти треугольники являются основаниями пирамид hello_html_m68dcf358.png и hello_html_7cf07aad.png, то такие пирамиды равновеликие, то есть их объёмы равны и в сумме дают объём верхней части hello_html_m55f71246.png.

hello_html_25737c3a.png 

hello_html_592d804c.png 

Ответ: 1. hello_html_24c3140f.png; 2. hello_html_m76a9e13f.png; 3.hello_html_md954a63.png; 4. hello_html_m248e2067.png

Задача 2 (нахождение объёма многогранника с помощью формулы объёма пирамиды)

Дана правильная треугольная призма hello_html_m618515d4.png (рис. 4), площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки hello_html_5ce44b08.png.

Дано: hello_html_44049397.png; hello_html_m3f1c3f8e.png hello_html_3478ed17.png; hello_html_3f987f3b.png – секущая плоскость.

Найти: hello_html_m5dc068b5.png

Решение:

Секущая плоскость делит призму на две фигуры.

1. Найдём объём призмы hello_html_m618515d4.png.

hello_html_4a28c6f6.png , hello_html_m1ef79e16.png – площадь основания призмы, hello_html_506f12e.png – высота призмы

hello_html_m71d7290b.png 

hello_html_m28c3d596.png

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

2. Найдём объём пирамиды hello_html_m27f36cdc.png, то есть части призмы, находящейся над секущей плоскостью hello_html_ba4927.png.

hello_html_m221480fd.png , где hello_html_m343aab9f.png – основание пирамиды, hello_html_53a70151.png – высота пирамиды

hello_html_79138ed.png 

3. Искомый нами объём – это объём фигуры hello_html_m1a8e0d8d.png, которая находится под секущей плоскостью  hello_html_ba4927.png, следовательно, её объём равен:

hello_html_m51642b47.png 

hello_html_m7d6e5ca8.png 

Ответ: hello_html_m5267dd4.png 


Задача 3 (нахождение объёма пирамиды)

Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны hello_html_613350de.png и hello_html_m1960aa52.png, высота пирамиды равна 4. Найти объём данной пирамиды.

Дано: hello_html_m1342f451.png; hello_html_m28216ca3.png;hello_html_m4109f236.png (рис. 5).

Найти:hello_html_304aa6.png

Решение:

Вспомним формулу вычисления объёма усечённой пирамиды:

1. hello_html_m79e26572.png , где hello_html_1307a390.png  – высота усечённой пирамиды, hello_html_m4266249b.png – площадь нижнего основания (hello_html_m1adf2a41.png), hello_html_m36fa660a.png – площадь верхнего основания (hello_html_me057c77.png).

hello_html_38ad9122.png

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

2. Дана правильная усечённая пирамида, следовательно, в основаниях лежат равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника равна:

hello_html_5d0e4f0a.png , где a – длина стороны треугольника

Площадь нижнего основания:

hello_html_7779fe86.png 

Площадь верхнего основания:

hello_html_m1cd7cfa5.png 

3. Подставляем известные значения в формулу объёма усечённой пирамиды:

hello_html_m79e26572.png 

hello_html_m3d1b252.png

Ответ: hello_html_m7d841bd7.png


Задача 4 (нахождение объёма призмы)

Расстояние между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 3; 4; 5, боковое ребро равно 10. Найдите объём призмы.

Дано: hello_html_1d8cbdcc.png; hello_html_m3b052bc0.png; hello_html_m596e27ed.png; hello_html_m22b21a86.png; hello_html_3edd7042.png; hello_html_7945daef.png (рис. 6).

Найти: hello_html_304aa6.png

Решение:

В решении этой задачи используем такую формулу нахождения объёма призмы:

hello_html_66a3b7a5.png

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

hello_html_m68f6f86e.png , где hello_html_56015df.png – площадь перпендикулярного сечения; hello_html_m33dc9703.png – боковое ребро призмы.

Чтобы получить расстояние между боковыми рёбрами, берём любую точку K на одном из рёбер (в нашем случае hello_html_21b2675f.png), проводим перпендикуляр (KL) к этому ребру в одной плоскости и перпендикуляр (KN) к этому же ребру в другой плоскости. Боковое ребро перпендикулярно по построению двум пересекающимся прямым из плоскости KLN, следовательно, все боковые рёбра перпендикулярны этой плоскости, поэтому hello_html_m596e27ed.png; hello_html_m22b21a86.png; hello_html_3edd7042.png. Плоскость KLN – перпендикулярное сечение призмы. Найдём площадь этой призмы:

hello_html_m1805cf9a.png прямоугольный, так как видим, что сумма квадратов стороны hello_html_m6b711f07.png и hello_html_d825ea8.png равна квадрату стороны hello_html_58ad98b6.png (теорема Пифагора). Площадь прямоугольного треугольника равна

hello_html_m770659ce.png , где a и b – длина катетов

hello_html_4c12a919.png 

Подставим значение площади перпендикулярного сечения и длины боковой грани в формулу объёма призмы:

hello_html_m68f6f86e.png 

hello_html_m279c74a3.png

Ответ: hello_html_42407d1a.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 29.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров65
Номер материала ДБ-135159
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх