Практические работы по математике

Практическая работа №1

Тема:  «Нахождение членов последовательности и прогрессий»

Цель работы: Рассмотреть виды последовательностей. Способы заданий последовательностей. Общий член последовательности. Рассмотреть нахождение членов последовательностей.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, учебники, конспекты.

Задания:

1. Вычислите пять первых членов последовательностей:

a)     

b)     

c)     

d)     

e)     

f)      

2. Напишите общий член последовательности:

a)      1;   ;    ; ; …

b)      1; 7; 13; 19; …

c)      2; 4; 8; 16; …

d)      1; 7; 17; 31; …

3. Определите возрастающие или убывающие последовательности:

a)     

b)     

c)     

Порядок выполнения работы:

Последовательности бывают возрастающие, убывающие, монотонными, ограниченные сверху(снизу), постоянными.

Последовательности задаются формулой, выражающий общий член последовательности через n. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-й член последовательности. Такой способ задания называется рекуррентным.

Если общий член последовательности вместо n подставлять последовательно числа 1; 2; 3; 4; … , то получится числовая последовательность.

Форма предоставление результата:

1)      Вычислить 5 первых членов последовательности заданной формулой  -подставим вместо n последовательно числа 1; 2; 3; 4; 5; , получим:  ;  ;  ;  ; .

-Запишем последовательность: …

2)      Последовательность задана рекуррентным соотношение

-Зададим первый член последовательности пусть , полагаем в рекуррентном соотношение n=2, получим

-При n=3; 4; 5 соответственно находим:

-В результате получаем: 2; 7; 22; 67; 202; …

3)      Докажите, что последовательность с общим членом , монотонно убывает.

-Для убывающий последовательности выполняется неравенство  или 

-Запишем  (n+1)-ый член последовательности

, тогда  , т.к.  при любом натуральном n =>данная последовательность убывающая.

Практическая работа 2

Тема:  «Нахождение пределов функции»

Цель работы: Научиться вычислять пределы функций, применяя теоремы о  пределах; раскрывать неопределенности различных типов.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, учебники, конспекты, справочники.

Задание:

Вычислить пределы:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Порядок выполнения работы:

При вычислении пределов функций применяются теоремы о переделах:

-Если существуют пределы функций  то существует так де и передел их суммы (разности) равный сумме (разности) пределов этих функций:

-Предел произведения (частного) равен произведению (частному) пределов этих функций:

-Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

-Если n-натуральное число, то предел степени равен степени предела

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Если предел знаменателе равен нулю, то применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае возникает неопределенность . В первом случае предел равен , а во втором нужно разложить числитель и знаменатель дроби на множители и после сокращения применить теорему о пределе частного.

Если , то может получиться неопределенность .В первом случае числитель и знаменатель сокращают на наивысшею степень знаменателя, а во втором случае предел равен 0.

Форма предоставления результата:

1. Вычислить предел:

-Пределы числителя и знаменателя при , равны нулю

-Разложим квадратный трехчлен числителя на множители по формуле

2. Вычислить предел:

-Пределы числителя и знаменателя при  равны нулю

-Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и сократив дробь на x, получим :

3. Вычислите предел:

-При  числитель и знаменатель величины бесконечно большие, получается неопределенность

-Разделим числитель и знаменатель на x.

  -   величины бесконечно малые => их пределы равны нулю.

Практическая работа №3

Тема: „Нахождение производной по определению ”

Цель работы: Отработать определение производной функции. Применять правила дифференцирования . Научиться находить производную в заданной точке.

Количество часов 2

Материальное обеспечение: Карточки, таблицы, справочники, учебники, конспекты.

Задания:

1. Найдите
2. Найдите
3. Найдите

Порядок выполнения работы:

Вычисление производной функции  производится по общему правилу дифференцирования:

1)      Придавая аргументу x приращение  и подставляя в выражение функции вместо аргумента x наращенное значение  находим наращенное значение функции: 

2)      Вычитая из наращенного значение функции её первоначальное значение находим приращение функции:

3)      Делим приращение функции  на приращение аргумента  т.е. составляем отношение 

4)      Находим предел этого отношения при

Этот предел и есть производная от функции

Форма предоставления результата:

1. Найти:

-Находим производную по общему правилу:

1)     

2)     

3)     

4)     

-Найдём значение производной при

2. Найти

1)     

2)     

3)     

4)     

-Найдем значение производной в точке .

Практическая работа 4

Тема: „Техника дифференцирования “

Цель работы: Разобрать основные правила дифференцирования. Научиться находить производные от функции используя правило дифференцирования .

Количество часов -2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, справочники, учебники, конспекты

Задание:

Найдите производные следующих дифференцирований.

1. 
2. 
3. 

Порядок выполнения работы:

Обозначения:C-постоянная, x-аргумент, -функции от x, имеющие производные

Основные правила дифференцирования

1. Производная алгебраической суммы функций:

2. Производная произведения двух функций:
3. Производная произведения трёх функций:
4. Производная произведения постоянной:
5. Производная частного:

Частные случаи:

Форма предоставления результата:

Найти производные следующих функций:

1. 

-применив последовательно формулы 1 и 4 получаем:

2. 

-используем формулы 2,1 находим:

3. 

-используя формулы 5 и 1, получаем:

Практическая работа 5

Тема: „Вычисление производных сложных функций”.

Цель работы: Научиться находить производные сложных функций, находить производные в заданной точке.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники , конспекты лекций.

Задание:

Найти производные следующих функций

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Порядок выполнение работы:

Пусть  ,а –дифференцируемые функции. Тогда сложная функция  есть также дифференцииромая функция, причем   или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, её составляющих.

сложная функция

Форма предоставления результата:

Найти производные следующих сложные функций .

1. 

-полагая  ,получаем

-по формуле   находим

2. 

-введем отрицательный показатель и применим формулу 10:

3. 

-пологая  ,получим  , по формуле   находим:

4.  ,вычислите

-для упрощения нахождения производной предварительно прологарифмируем дробь:

-далее по формулам получим:

-найдём  при

Практическая работа  6

Тема: « Геометрическое приложение производной» .

Цель работы: Научиться составлять уравнение касательной к данной кривой в точке касания; находить угловой коэффициент касательной, проведенный к кривой.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе  в точке
2. Найдите угол наклонена к оси  касательной, проведенной к кривой в точке
3. Составьте уравнение касательной к кривой   в точке

Порядок выполнения работы:

1. Значение производной функции  при   равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой   в ёё точке с абсциссой  , т.е. 
   где -угол между касательной к кривой в точке   и положительным направлением оси  .
2. Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид.
3. Направление кривой в каждой точке определяется направление касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклонной кривой в данной точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью  .

Форма предоставления результата:

1. Найти угол наклона к оси   касательной проведенной к кривой   в точке

-найдем производную функцию 

-найдем значение производной в точке

-тангенс угла наклона касательной в данной точке равен   , откуда

2. Под какими углами парабола   пересекает ось  ?

-Найдем точки пересечения параболы с осью, решив систему

-Парабола пересекает ось   в точках  A  . Найдём угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках 

-  вычислили углы   , образуемые касательными в точках пересечения параболы с осью :

3. Составьте уравнение касательной к кривой   в точке

-найдём производную кривой в точке

-найдем координату точки касания: 

-поставим в формулу уравнения касательной:

Практическая работа №7

Тема: Исследования функции с помощью производной и построение графиков.

Цель работы: Научиться применять производную к исследованию функции на монотонность, экстремум и с помощью такого исследования строить график данной функции.

Рассмотреть схему исследования функции.

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:

Построить график функции

1. 
2. 
3. 

Порядок выполнение работы

Для того, чтобы исследовать функцию и построить графит, необходимо выполнить следующие пункты:

1. Найти область определения функции
2. Выяснить, является ли функция чётной или нечетной, или общего вида.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)
4. Найти промежутки монотонности функции
5. Найти экстремумы функции
6. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Форма предоставления результата:

Исследовать функцию   и построить график.

-функция определенна на всей числовой прямой:

-данная функция не является ни четной, ни нечетной:

-найдём точку пересечения графика с осью , пологая  , получим  точки пересечения графика с осью   в данном случае найти затруднительно.

-найдём производную:

-найдём критические точки, для этого  ,т.е

-исследуем функцию на монотонность               +                     -                             +              

                                                                                        1                                 3

 график функции возрастает, -убывает

-исследуем функцию на экстремум:

-используя полученные данные строим искомый график.

Практическая работа 8

Тема работы: «Прикладные задачи на экстремум».

Цель работы: научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, решать задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин.

Количество часов-2

Материальное обеспечение: Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:

1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке
2. Сумма двух положительных чисел равна a. Каковы эти числа, если сумка их кубов является наименьшей?
3. Каким должен быть прямоугольник наибольшей площади который можно согнуть из куска проволки длиной 50 см

Порядок выполнения работы:

Для нахождение наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;
2. Найти значение функции на концах промежутка;
3. Сравнить полученные значения: тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Форма предоставление результата:

1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции   в промежутке

-имеем

-находим критические точки:

-вычисляем значение функции в точке  , т.е.  , на концах промежутка.

-итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигаются ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.

2. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот , у которого площадь наибольшая.

-пусть периметр прямоугольника равен  p.

-обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны

-обозначим площадь прямоугольника через y, имеем

-исследуем функцию на max и min

-вторая производная отрицательная, следовательно функция имеет max при

-таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

Практическая работа  9

Тема занятия:„ Решение физических задач на производную».

Цель работы: Научиться применять производные при решении физических задач.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:

1. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущиеся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

a)     

b)     

2. Температура теля T изменится в зависимости от времени t по закону  . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени?
3. Тело массой 100кг движется по закону   . Найдите кинетическую энергию тела через 2секуды после начала движения.

Порядок выполнения работы:
При прямолинейном движении точки скорости   в данный момент времени   есть производная   от пути S по времени t, вычисленная при 

Ускорение a в данный момент времени  есть производная   от скорости  ко времени t, вычисленная при 

Пусть S выражается в метрах(м), время t в секундах(с), скорость v в(м/с), ускорение a в().

Форма предоставление результата:

1. Точка движется прямолинейно по закону   . Найти значение скорости и ускорения в момент времени t=4c

-найдём скорость движения точки в момент времени t:

-вычислим скорость движения точки в момент времени t=4 c:

          -найдём ускорение движения точки в момент времени t:

-вычислим ускорение точки в момент времени t=4 c:

2. Тело массой 10кг движется прямолинейно по закону   . Найдите кинетическую энергию тела () через 4с послу начала движения.

-найдем скорость движения тела в момент времени t:

-вычислим скорость тела в момент времени t=4с:

-определим кинетическую энергию тела в момент t=4c:

Практическая работа 10

Тема занятия: „Нахождение неопределенных интегралов при помощи свойств интегрирования».

Цель работы: Научиться находить неопределённые интегралы непосредственным интегрированием при помощи свойств интегрирования.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:

Найти следующие интегралы:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

Порядок выполнение работы:

Совокупность всех первообразных для функции  называется неопределенным интегралом.

Основные свойства неопределённого интеграла

1)     

2)     

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Могут представиться следующие случаи:

1)      Данный интеграл находиться непосредственно по соответствующему табличному интегралу.

2)      Данный интеграл после применения свойств 1и2 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3)      Данный интеграл после элементарных тождественных преобразований, над подынтегральной функцией и применяя свойства 1и2 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Форма предоставления результата:

Найти следующие интегралы:

1.    –используем свойство 2 и формулу 2.

   Получим:

 

2.     Используя свойства 1 и 2 и, формулы 1 и 2 получим:

- постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования .

3. 
4.            –разделим почленно на x, получим:

5.        –используем формулу 2

Практическая работа 11

Тема занятия:„ Интегрирование методом замены переменной».

Цель работы: Научиться вычислять интегралы способом подстановки.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:

 Найти интегралы:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

Порядок выполнение работы:

В основе интегрирования методом замены переменной ( или способом постановки) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если   , то  , где    производная дифференцируемая функция от x.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видом:

1.    , где t-новая переменная, а   непрерывно дифференцируемая функция
2.     ,где t-новая переменная, тогда:

Форма предоставления результата:

1. 

-т.к.           , то

-полагая   , получим:

2. -поэтому, используя подстановку   , приходим к табличному интегралу:
3. 

-воспользовавшись подстановкой  , приводим к табличному интегралу

Примечание:

Практическая работа 12

Тема работы:„ Интегрирование различными методами».

Цель работы: Научиться находить интегралы различными методами: интегрирование подстановкой и по частям.

Количество часов-2

Материальное обеспечение:

Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.

Задание:
Найти интегралы

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Порядок выполнение работы:

1. Первые два интеграла решаются методом замены переменной ( этот случай рассматривался в практической работе № 35).
2. Следующие интегралы решаются методом интегрирования по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:                     где    непрерывно дифференцируемые функции от x.

Интегрируя обе части равенства           , получим

С помощью этой формулы вычисление интеграла   сводится к вычислению интеграла  , если последний окажется проще исходного.

Форма предоставления результата:

Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:

1. 

-полагая  

-найдём  

-следовательно:

2.  

 –пусть  

-тогда

-на основании формулы находим