Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практические работы по математике для специальности 38.02.01
  • Математика

Практические работы по математике для специальности 38.02.01

библиотека
материалов


бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Вологодской области

«Череповецкий лесомеханический техникум им. В.П. Чкалова»







МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ЕН. 01 МАТЕМАТИКА


Для специальности


38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет(по отраслям)»














Череповец

2016 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СОСТАВЛЕНЫ

Березиной М. С., Захаровой С.В., Масляковой А.В. преподавателями БПОУ ВО «ЧЛМТ» в соответствии с рабочей программой дисциплины ЕН.01 «Математика» для специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», утвержденной ПЦК «Математических, естественнонаучных дисциплин и информатики» от 12.03.2015 протокол № 6

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ РАССМОТРЕНЫ

на заседании предметной цикловой комиссии «Математических, естественнонаучных дисциплин, информатики»

Протокол № ____ от «___»___________20_____ г.

Председатель ПЦК ________________ Березина М.С.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИНЯТЫ

на заседании Методического совета БПОУ ВО «ЧЛМТ»

«___»___________20_____ г.

















Методически рекомендации изданы в количестве 16 экземпляров

Пояснительная записка


Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.01 «Математика» предназначены для студентов 2 курса специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Практические работы выполняются студентами в аудитории под руководством преподавателя.

Практические работы, которые вызывают у учащихся затруднение (при необходимости) выполняются во время занятия на черновике, под руководством преподавателя. По результатам выполненной работы составляется отчет, включающий в себя номер работы, тему, цель, решение задач, ответы на вопросы

По результатам отчета по практическим работам выставляются оценки «3», «4» и «5». В случае «незачет» студент устраняет ошибки и недочеты и сдает работу на повторную проверку.

В конце учебного года при выполнении всех практических работ студент оформляет подшивку, содержащую титульный лист, содержание, отчеты по всем практическим работам, список литературы.

Одним из условий получения дифференцированного зачета по математике является получение положительной оценки по всем работам.

Студент, пропустивший практическую работу по уважительной причине или без нее, должен восстановить ее на консультации.

На каждой работе студенту выдается карта, где он ставит вариант, выполняемой работы, дату и подпись. Преподаватель при проверке выставляет в карту, полученную студентом оценку.





















Содержание

Практические работы



1

Вычисление пределов и производных различных функций

6

2

Применение производных к исследованию функции и построению графиков. Применение производной для решения профессиональных задач

11

3

Вычисление интегралов (неопределенных и определенных). Геометрические приложения определенного интеграла

17

4

Решение задач ТВ с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

22

5

Закон распределения ДСВ, и ее числовые характеристики.

26



Список используемой литературы

30























ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

  1. Отвести рамку на расстоянии 1клеточка сверху, справа и снизу, а слева отступить 4 клеточки от края листа (лицевая сторона), на оборотной стороне сделать симметрично (слева – 1 клеточка, справа – 4 клеточки)

  2. Текст от рамки должен отступать сверху и снизу на 2 клеточки, а слева и справа – на 1 клеточку. Соблюдая красную строку, отступить от рамки на 2 клеточки.

  3. Заголовок «ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА» пишется седьмым шрифтом (печатные буквы, высота 7 мм), знак № не ставится, а работы нумеруются и раскладываются в папке по порядку с 1 по 10, после аудиторных работ раскладываются домашние внеаудиторные практические работы 1 и 2.

  4. Тема работы подписывается с красной строки, слово «тема» не пишется.

  5. Заголовки «Цель », «Выполнение работы», «Вывод» пишутся печатными буквами высотой: заглавная буква 7 мм, прописные – 5 мм по центру страницы.

  6. Переносы слов в заголовках не допускаются.

  7. Между заголовками оставить интервалы 2 клеточки.

  8. Точки в конце предложения в заголовках не ставятся.

  9. Все, что необходимо вычислить, записывается в отчете с пояснениями.

  10. Записывается формулировка задачи, решение начинается со слова «Решение», в конце записывается ответ. Если требуется выполнить построение – рисунок и будет ответом.

  11. Таблица ограничивается справа, слева, снизу. Между измерениями поперечные линии не проводятся.

  12. От таблицы отступаются 2 клеточки, а затем записываются вычисления к работе с пояснениями. Единицы измерения проставляются у каждого числа, а так же в ответе.




ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

Вычисление пределов и производных различных функций

ЦЕЛЬ:

Вычислить пределы. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.


Вариант 1

  1. Вычислить пределы:

а) hello_html_m32eb17fc.gif; б) hello_html_6acddb44.gif; в) hello_html_143afaa4.gif; г) hello_html_m56128d61.gif; д) hello_html_5d316a80.gif.

2. Вычислить производные:

а)hello_html_m794ac61c.gif; б) hello_html_m3933a0ef.gif; в) hello_html_m42fedf7b.gif; г) hello_html_m1adb8ac3.gif; д)hello_html_m35b1fb8b.gif.

3. Найти частные производные: hello_html_m1a579694.gif.


Вариант 2

  1. Вычислить пределы:

а) hello_html_m231ce59e.gif; б) hello_html_561d21a7.gif; в) hello_html_c8a9d93.gif; г) hello_html_4d838b39.gif; д) hello_html_m63590553.gif.

2. Вычислить производные:

а)hello_html_c1c59a1.gif; б) hello_html_59f85129.gif; в) hello_html_mc38a53d.gif; г) hello_html_47e3fdc3.gif; д)hello_html_23044bd4.gif.

3. Найти частные производные: hello_html_6146c1a0.gif.


Вариант 3

  1. Вычислить пределы:

а) hello_html_m7417a06f.gif; б) hello_html_66198428.gif; в) hello_html_m7f414705.gif;г) hello_html_m1412a19c.gif; д) hello_html_m7cd937d0.gif.

2. Вычислить производные:

а)hello_html_5fad20d8.gif; б) hello_html_m3dcb03a3.gif; в) hello_html_m7e4ebf3d.gif; г) hello_html_6c54fdbf.gif; д)hello_html_7eb0aed9.gif.

3. Найти частные производные: hello_html_m446d7dde.gif.


Работа состоит 3 заданий.На оценку «3» необходимо решить задания 1 и 2 под (а-г), на оценку «4» - 1-2, на оценку «5» - все задания


ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

Вычисление пределов и производных различных функций

ЦЕЛЬ:

Вычислить пределы. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.


Вариант 4

  1. Вычислить пределы:

а)hello_html_mbe014f9.gif;б) hello_html_66e5a0b3.gif;в) hello_html_d201b48.gif;г) hello_html_m26296db8.gif; д)hello_html_7dbf4318.gif.

2. Вычислить производные:

а)hello_html_7512bddb.gif; б) hello_html_m115f9542.gif; в) hello_html_e2ca4cd.gif; г) hello_html_m67c44e1c.gif; д)hello_html_23044bd4.gif.

3. Найти частные производные: hello_html_6ab34611.gif.

Вариант 5

1.Вычислить пределы:

а) hello_html_644adecb.gif;б) hello_html_m134d9c86.gif; в) hello_html_6d8d72ec.gif; г) hello_html_m6f4728b5.gif; д) hello_html_m65f665f.gif.

2. Вычислить производные:

а)hello_html_106c5624.gif; б) hello_html_3185a1d0.gif; в) hello_html_427ed4a4.gif; г) hello_html_7c56897d.gif; д)hello_html_5ec93c3a.gif.

3. Найти частные производные: hello_html_42268eb7.gif.

4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: hello_html_5ec57ab.gif.


Вариант 6

  1. Вычислить пределы:

а)hello_html_75bd2cad.gif;б)hello_html_m3384fc17.gif;в) hello_html_m70d9f1c2.gif;г)hello_html_m39b4133a.gif;д)hello_html_m4bd04ce3.gif.

2. Вычислить производные:

а)hello_html_c34475d.gif; б) hello_html_m6b61bca.gif; в) hello_html_m2b272977.gif; г) hello_html_m2875c2ee.gif; д)hello_html_7858b5ae.gif.

3. Найти частные производные: hello_html_2820c769.gif.


Работа состоит 3 заданий.На оценку «3» необходимо решить задания 1 и 2 под (а-г), на оценку «4» - 1-2, на оценку «5» - все задания.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

Вычисление пределов и производных различных функций

ЦЕЛЬ: Вычислить пределы. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

Образец выполнения

1. Вычислите пределы:

Примеры:

1) Вычислите предел: hello_html_m1a313ac8.gif.

Решение: Вычислим предел, подставив вместо х 5. hello_html_m1a313ac8.gif= hello_html_4bf0fac7.gif. Ответ: hello_html_m1a313ac8.gif=hello_html_69f2c3a4.gif.

2)Вычислите предел: hello_html_35a949df.gif(неопределенностьhello_html_m26fa456d.gif).

Решение: hello_html_35a949df.gif=hello_html_m28a0d320.gif.

Чтобы избавиться от данной неопределенности, разложим на множители числитель и знаменатель. Для того, чтобы разложить знаменатель применим формулу: hello_html_79865f94.gif, hello_html_m6cdf7ca.gif, чтобы разложить числитель применим формулу: hello_html_m3b91d678.gif, где х1 и х2 – корни уравнения. hello_html_6292a35f.gif.

hello_html_m59204fa3.gif.

hello_html_35a949df.gif=hello_html_5edc1388.gif=hello_html_5f763d6c.gif=hello_html_300c3891.gif. Ответ: hello_html_35a949df.gif=hello_html_6029d.gif.

3)Вычислите предел: hello_html_m27760e59.gif, (неопределенность hello_html_6fc560ac.gif).

Решение: Подставив вместо х бесконечность, получим в пределе неопределенность hello_html_6fc560ac.gif. Чтобы избавиться от данной неопределенности, разделим числитель и знаменатель почленно на старшую степень знаменателя, т.е на х2.

hello_html_m27760e59.gif= hello_html_m7ed8298c.gif=hello_html_26560e.gif=hello_html_m145a637e.gif=hello_html_46b7eb4a.gif.

Ответ: hello_html_m27760e59.gif=∞.

4)Вычислить предел: hello_html_m4868f242.gif. , чтобы вычислить данный предел, нужно чтобы аргумент функции синус и числитель (знаменатель) совпадали. Для этого домножим числитель и знаменатель на hello_html_4d5d0658.gif. Получим hello_html_m4868f242.gif=hello_html_m11d66d1c.gif=hello_html_m4b2fbb2a.gif=60∙1=60. Ответ: hello_html_m4868f242.gif=60

Задание 2. Вычислить производные данных функций, пользуясь соответствующими правилами дифференцирования:

ПРИМЕРЫ:

1)hello_html_37959a59.gif, найти hello_html_m4e6f3a82.gif:

hello_html_m19d3a109.gif

hello_html_61e89708.gifhello_html_63fe734a.gif.

2) hello_html_64679a03.gif, найти hello_html_m4e6f3a82.gif:

hello_html_ac9070c.gifhello_html_511464f5.gif


hello_html_7668145e.gifhello_html_31d7c24e.gif.

Вычислите производные сложной функции.

3) hello_html_m2622bef1.gif

Здесь две функции: у = х 3 – 4х + 1 и z = у 3 .

Найдем производную: х 3 – 4х + 1 = t

Тогда

f ´(x)=hello_html_m1fa94292.gif.

3. Найдите частные производные: hello_html_m139d44ca.gif.

найдем производную данной функции по переменной х, при этом у считаем константой (постоянной величиной). Используем правило дифференцирования произведения.

hello_html_m632b687f.gif=hello_html_2a73952d.gif.

Найдем производную по переменной у, считая х постоянной величиной.

hello_html_72ea2fdb.gif

hello_html_m441f5b65.gif.

Ответ: hello_html_7b6e4fd9.gif, hello_html_mc3868db.gif.






































ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2

Применение производных к исследованию функции и построению графиков. Применение производной для решения профессиональных задач

Цель работы:

Научиться исследовать функцию, применяя первую и вторую производную, строить график функции, пользуясь общей схемой исследования функции.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ:

Для выполнения работы необходимо повторить следующие темы курса:

  • основные свойства функции (область определения, четность-нечетность, промежутки возрастания-убывания, точки максимума-минимума, максимум-минимум функции)

  • применение первой производной к исследованию функции (необходимое условие наличия экстремума в точке, определение критических точек, условие возрастания-убывания функции на промежутке, достаточное условие существования экстремума в точке)

  • применение второй производной к исследованию функции (точка перегиба, промежутки выпуклости-вогнутости)

Для задания 1:

ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ y =f(x):

1) Область определения функции D(y);

2) Чётность-нечётность, периодичность функции;

3) hello_html_m660f926d.gif, критические точки функции: hello_html_m73f41b1e.gif;

4) Промежутки возрастания-убывания, точки максимума-минимума функции – по знакам первой производной на полученных интервалах;

5) hello_html_71182129.gif, точки перегиба: hello_html_1c6051e9.gif, промежутки выпуклости-вогнутости по знакам второй производной на полученных интервалах.

6) Таблица значений, график функции.

Для задания 2:

ПЛАН РЕШЕНИЯ: найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m35933436.gifна отрезке hello_html_m32df1433.gif

  • найти критические точки функции (hello_html_m73f41b1e.gif);

  • определить, какие из этих точек попадают на отрезок hello_html_61f59e23.gif;

  • найти значения функции на концах отрезка и в попавших на отрезок критических точках;

  • выбрать наибольшее и наименьшее значения функции, записать ответ.

Для задания 3:

Геометрический смысл производной.

Пусть дана функция hello_html_m35933436.gif. Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной) к графику этой функции в точке х0 равен значению производной в точке касания:

hello_html_47b554c3.gif.

Уравнение касательной к графику hello_html_m35933436.gif в точке х0 имеет вид:

hello_html_1c94991a.gif

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

Задание 1. Исследовать функцию по общей схеме, построить график.

ВАРИАНТ 1: 1)hello_html_3ccd445.gif; 2) hello_html_ab96cb3.gif;

ВАРИАНТ 2: 1) hello_html_5b87f013.gif; 2) hello_html_44aae5ae.gif;

ВАРИАНТ 3: 1) hello_html_m63c436ce.gif; 2) hello_html_m21fe56a5.gif;

ВАРИАНТ 4: 1) hello_html_mf918ec0.gif; 2) hello_html_m1ade0c6b.gif.

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m35933436.gifна отрезке hello_html_m32df1433.gif

ВАРИАНТ 1. hello_html_a17aa5a.gif; ВАРИАНТ 2. hello_html_m7c38844d.gif;

ВАРИАНТ 3. hello_html_mc493b56.gif; ВАРИАНТ 4. hello_html_m2ac4b7b2.gif

Задание 3. Найти угловой коэффициент касательной к графику hello_html_m35933436.gif в точке х0, записать уравнение этой касательной.

ВАРИАНТ 1. hello_html_ab7887b.gif, hello_html_588c6759.gif; ВАРИАНТ 2. hello_html_m33cdfe99.gif, hello_html_m7399d085.gif;

ВАРИАНТ 3. hello_html_585aa86a.gif, hello_html_1c70fe62.gif; ВАРИАНТ 4. hello_html_55a39867.gif, hello_html_m47b28581.gif.


Критерии оценки: на оценку «3» - 1(1)) и 2, «4» -1 и 2, «5» -1-3.






















Методические указания по выполнению практической работы

Примеры выполнения заданий и образцы записи решения:

ЗАДАЧА 1: Исследовать функцию, построить график: hello_html_m5c846aff.gif

Решение:

1) hello_html_m477768b1.gif - ограничений по независимой переменной нет.

2) hello_html_20a174c2.gif - функция общего вида. График не имеет симметрии.

3) Критические точки:

hello_html_718ecfff.gif

hello_html_403822c.gifhello_html_m63529c6e.gif- критические точки.

4) Промежутки монотонности и точки экстремума. Знаки производной на полученных интервалах:

hello_html_6740b453.jpg

Функция возрастает при hello_html_m717d325f.gif, убывает при hello_html_89cafb3.gif.

х=0 – точка перегиба функции (так как не меняется возрастание);

х=3 – точка максимума функции, hello_html_6600e7c3.gif - максимум функции.

5) hello_html_m61c59ef5.gif, hello_html_m1a74b6e0.gif

Получили две точки перегиба: х=0 и х=2. hello_html_m3b41ac61.jpg

х=0 – точка перегиба, hello_html_m25a309d5.gif - значение функции в точке перегиба.

х=2– точка перегиба, hello_html_m3f4f07f4.gif- значение функции в точке перегиба.

Функция выпукла при hello_html_m128116e7.gif, функция вогнута при hello_html_m3f92f65b.gif.

6) Построение графика функции.

Таблица значений:

График:

hello_html_12f64237.jpg

ЗАДАЧА 2: Исследовать функцию, построить график: hello_html_m4582ab5e.gif

РЕШЕНИЕ:

1) D(y): hello_html_7ff4c0cc.gif(т.к.знаменатель дроби не должен быть равен нулю) или hello_html_4fab2a4f.gif.

2)Четность-нечетность: hello_html_m23b9f618.gif

Т.к. hello_html_m46b21846.gif - функция нечетна, график симметричен относительно начала координат.

3) hello_html_m2622584e.gif

hello_html_539b7470.gif- критические точки.

4) Монотонность и экстремумы:hello_html_28a091b7.jpg

Функция возрастает при hello_html_773f2974.gif, функция убывает при hello_html_mab27f51.gif.

hello_html_m52881364.gif- точка разрыва функции;

hello_html_419e129f.gif- точка максимума функции, hello_html_229bcf79.gif - максимум функции;

hello_html_m64377e31.gif- точка минимума функции, hello_html_23823aa7.gif - минимум функции.

5) Выпуклость-вогнутость, перегибы:

hello_html_235a85ec.gif

hello_html_26fea7ff.gifhello_html_m433675d3.jpg, ноhello_html_6cfcf9ea.gif - точек перегиба нет, вторая производная не существует при х=0.



Функция выпукла при hello_html_m53d118fd.gif, функция вогнута при hello_html_113990d3.gif.

6)Таблица значений:

так как функция нечетная, то: Гhello_html_m2138fd3.jpgрафик:











ЗАДАЧА 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном интервале: hello_html_10b74f18.gif, hello_html_m6f98f003.gif

РЕШЕНИЕ: критические точки функции:

hello_html_m1729e3c6.gif; hello_html_m43a5752b.gifhello_html_75996b0f.gif или hello_html_57db8bbc.gif,

hello_html_28d0c7a0.gif, hello_html_m31f28e85.gif, найдем значение функции на концах отрезка и в попавшей на отрезок критической точке.

hello_html_m42d8c3a5.gif-min

hello_html_m1578d3f5.gif

hello_html_1c1b25b1.gif-max

Ответ: hello_html_5133651.gif, hello_html_mc6efd14.gif.

ЗАДАЧА 4.

Найти угловой коэффициент касательной к графику hello_html_2c1ad574.gif в точке х0=-1, записать уравнение этой касательной.

РЕШЕНИЕ: согласно геометрическому смыслу производной, hello_html_47b554c3.gif.

hello_html_m578ce377.gif

hello_html_m72dc4ce5.gif

Ответ: угловой коэф-т касательной k=-8.

Запишем уравнение касательной.

Общий вид уравнения касательной: hello_html_1c94991a.gif,

hello_html_18281d5d.gif, х0=-1

hello_html_m1d6d71aa.gifhello_html_m2265af0e.gif,

hello_html_m5a990e2e.gif, hello_html_7c1f113d.gif (см. выше).

hello_html_m4300a000.gif

Ответ: hello_html_m2652e189.gif


























ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3

Вычисление интегралов (неопределенных и определенных). Геометрические приложения определенного интеграла

ЦЕЛЬ:

Научиться решать интегралы различными методами, используя таблицу и свойства интегралов и применять определенный интеграл для решения прикладных задач.

Практическая работа состоит из шести заданий, которые оцениваются от 1 до 4 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, выполнив все задания – 28. На оценку «3» нужно набрать 16 баллов, на оценку «4» - 22 балла, на «5» - 26-28 баллов.

Вариант 1

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) hello_html_646b4b80.gif; 2) hello_html_42a85d9c.gif; (по 2 балла); 3) hello_html_3f01cc7e.gif.

(3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) hello_html_53463df6.gif;(3 балла) 2) hello_html_m5a9cc9c5.gif. ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) hello_html_m4b4821cd.gif;(3 балла) 2) 6) hello_html_m11bdad8e.gif. (4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: hello_html_1877e976.gif(4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:hello_html_27fabc2c.gif.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой hello_html_m4d5cd77e.gif. Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)

Вариант 2

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) hello_html_646b4b80.gif; 2) hello_html_42a85d9c.gif; (по 2 балла); 3)hello_html_3f01cc7e.gif.

( 3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) hello_html_71bab59.gif;(3 балла) 2) hello_html_15e13daf.gif. (2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) hello_html_m2c8881ea.gif; (3 балла)2) hello_html_51a4509a.gif. ( 4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: hello_html_439ada7e.gif.(4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x, y=0, x=1, x=3.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой hello_html_268083d3.gif. Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)


Вариант 3

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) hello_html_646b4b80.gif; 2) hello_html_42a85d9c.gif; (по 2 балла); 3) hello_html_3f01cc7e.gif.

( 3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) hello_html_1fc2df27.gif; (3 балла)2)hello_html_m46a5b2c8.gif.( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) hello_html_m1998cf55.gif; (3 балла)2) hello_html_m4e417f65.gif. (4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: hello_html_m5cc27c77.gif. (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_mda1a103.gif.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой hello_html_m7ab45997.gif. Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2- 3 балла)


Вариант 4

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) hello_html_646b4b80.gif; 2) hello_html_42a85d9c.gif; (по 2 балла); 3) hello_html_3f01cc7e.gif.

(3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) hello_html_75a76cef.gif(3 балла); 2)hello_html_19e7df58.gif. ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) hello_html_6bf270e6.gif; (3 балла)2) hello_html_2b1e0102.gif. (4 балла)

4.Применить метод интегрирования по частям: hello_html_c439d5a.gif. (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_4e24fa10.gif.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой hello_html_m578cdc33.gif. Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)


Вариант 5

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) hello_html_646b4b80.gif; 2) hello_html_42a85d9c.gif; (по 2 балла); 3) hello_html_3f01cc7e.gif.

(3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) hello_html_1fc2df27.gif;(3 балла) 2) hello_html_m3b8b7808.gif. ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) hello_html_m5423413b.gif;(3 балла) 2) hello_html_72afc597.gif. (4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: hello_html_m319ad485.gif.(4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_36c9ac35.gif.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой hello_html_280c1a47.gif. Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)



Вариант 6

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) hello_html_646b4b80.gif; 2) hello_html_42a85d9c.gif; (по2 балла); 3) hello_html_3f01cc7e.gif.

( 3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) hello_html_71bab59.gif; (3 балла ) 2) hello_html_17bce974.gif. ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) hello_html_m42edc9a1.gif;(3 балла) 2)hello_html_69e822cc.gif.(4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: hello_html_m213ab54.gif(4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_23ac5b91.gif.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой hello_html_ef9477d.gif. Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)





ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3

Вычисление интегралов (неопределенных и определенных). Геометрические приложения определенного интеграла

ЦЕЛЬ:

научиться решать интегралы различными методами, используя таблицу и свойства интегралов и применять определенный интеграл для решения прикладных задач.

Практическая работа состоит из шести заданий, которые оцениваются от 2 до 4 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, выполнив все задания – 28. На оценку «3» нужно набрать 16 баллов, на оценку «4» - 22 балла, на «5» - 26-28 баллов.

Методические рекомендации

1. Вычислить неопределенный интеграл:

непосредственное интегрирование, по свойствам интеграла и таблице интегралов: hello_html_65ccc8d4.gif.

2. Вычислить определенный интегралhello_html_m29c43cf1.gif. Решение: согласно правилуhello_html_79231c6b.gifhello_html_7396762c.gif.

3. а) Интегрирование методом подстановки, введем новую переменную:

hello_html_m237fd31a.gifhello_html_m78a05200.gifhello_html_m3765677e.gif= t = 4+х3 = hello_html_447150f5.gifhello_html_m53d4ecad.gif= hello_html_m65a04353.gif=hello_html_70051576.gif=hello_html_6d88777d.gif=

dt = d (4+х3) = hello_html_m4967a8f.gif

dt = (4+х3)′∙dx

dt = 3x2dx

dx = hello_html_m1a8c4d7e.gif

б) Вычислить определенный интеграл методом подстановки hello_html_15e47b72.gif.

Пусть 1-xhello_html_m5699b49b.gif т.к. ввели новые переменные, связанные с первым

-2xdx=dz равенством hello_html_39984113.gif, то границы изменения переменного

hello_html_6391c5.gifz уже будут другими. Они найдутся из равенства hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_39984113.gifзаменой аргумента x его значениями 0 и hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m51841a06.gif. Сделав эту замену получим hello_html_31cfdb6f.gifhello_html_m53d4ecad.gif,hello_html_321169fe.gif. Таким образом,

hello_html_7b0f283e.gif.


4. Интегрирование по частям, используем формулу hello_html_m95ff17.gif:

hello_html_m48becf71.gif, для нахождения полученного в правой части равенства снова интегрируем по частям:

hello_html_m3d5cd345.gif, а значит

hello_html_74ad61f1.gif


5. Необходимо сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями графиков функций по формуле: hello_html_m35881ac8.gif.

6. Определяем путь по формуле: hello_html_m48618e1d.gif.


Основные свойства определенного интеграла.

1) hello_html_68f2ed67.gif; 2) hello_html_739d5975.gif; 3) hello_html_m4a77a4a.gif;

4) hello_html_349a9738.gif; 5) hello_html_1b3d1789.gif.

Формула Ньютона-Лейбница.

hello_html_6311c43a.gif

Замена переменной в определенном интеграле

hello_html_m1566bcf1.gif











ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4

Решение задач ТВ с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

Цель работы: решить задачи, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

Решить предложенные задачи, ответить на вопросы.

ВАРИАНТ 1.

Задача 1. В закрытой коробке находится 5 белых, 6 черных и 4 синих шара. Наугад вынимают два. Найти вероятность того, что вынули либо два белых шара, либо синий и чёрный шары.

Задача 2. Мастер обслуживает три станка. Вероятность нормальной работы (без неисправностей) первого станка в течение рабочего дня составляет 0,85; второго станка – 0,8; третьего станка – 0,75. Найти вероятность того, что:

а) в течение рабочего дня нормально проработают все три станка;

б) в течение рабочего дня потребуют ремонта все три станка;

в) в течение рабочего дня нормально проработают только два станка.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) достоверного события; в) независимых событий.

Вопрос 4. Сформулируйте и запишите теорему о вероятности суммы несовместных событий.

ВАРИАНТ 2.

Задача 1. В закрытой коробке лежат 10 красных, 4 чёрных и 6 синих карандашей. Наугад вынимают два. Найти вероятность того, что вынули либо два синих карандаша, либо красный и чёрный карандаши.

Задача 2. Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым стрелком составляет hello_html_m75f0d430.gif, вторым стрелком - hello_html_m3e13eeec.gif, третьим стрелком - hello_html_m39197242.gif. Найти вероятность того, что:

а) в цель попадут все три стрелка;

б) все три стрелка промахнутся;

в) в цель попадёт только один стрелок.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) невозможного события; в) несовместных событий.

Вопрос 4. Сформулируйте и запишите теорему о вероятности произведения независимых событий.

Работа выполняется на оценку «зачтено».







ВАРИАНТ 3.

Задача 1. В закрытой коробке находится 6 белых и 4 красных ленты. Наугад вынимают две. Найти вероятность того, что вынутые ленты одного цвета (либо две белых, либо две красных ленты).

Задача 2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность того, что в цель попадёт первый стрелок составляет 0,8. Вероятность того, что в цель попадёт второй стрелок составляет 0,7. Найти вероятность того, что:

а) в цель попадут все стрелки;

б) оба стрелка промахнутся;

в) в цель попадет только один стрелок.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) достоверного события; в) независимых событий.

Вопрос 4. Запишите следствие из теоремы о сумме вероятностей


ВАРИАНТ4.

Задача 1. В закрытой коробке находится 5 зеленых и 10 жёлтых пуговиц. Наугад вынимают две. Найти вероятность того, что вынули пуговицы одного цвета (либо две зелёных, либо две жёлтых пуговицы).

Задача 2. Дачник купил саженцы яблони и груши. Вероятность того, что приживётся саженец яблони составляет 0,75. Вероятность того, что приживётся саженец груши составляет 0,6. Найти вероятность того, что:

а) приживутся оба саженца;

б) не приживётся ни один;

в) приживётся только один саженец.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) невозможного события; в) несовместных событий.

Вопрос 4. Сформулируйте и запишите теорему об умножении вероятностей.


Работа выполняется на оценку «зачтено».



Методические рекомендации

Задача 1. В закрытой коробке 7 белых, 8 черных и 15 красных шаров. Наугад вынимают два. Найти вероятность того, что вынули либо два белых, либо два красных, либо чёрный и красный шары.

РЕШЕНИЕ: Введём в рассмотрение следующие события:

А – из коробки вынули два белых шара,

В – из коробки вынули два красных шара,

С – из коробки вынули черный и красный шары,

D – из коробки вынули либо два белых, либо два красных, либо чёрный и красный шары. При этом: D=A+B+C. (“+” = ”или”).

События-слагаемые А, В и С являются несовместными (появление одного исключает появление других), поэтому применим теорему о вероятности суммы несовместных событий: P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

Найдём каждую вероятность.

I. А – из коробки вынули два белых шара;

1) общее число исходов: выбрать два шара из имеющихся 7+8+15=30 (без учёта порядка) можно hello_html_m6097bf0c.gif способами.

2) благоприятные исходы: выбрать два белых шара из 7 имеющихся можно

hello_html_6bff8006.gifспособом.

3) hello_html_42ec2db7.gif - вероятность вынуть два белых шара.

II. В – из коробки вынули два красных шара;

1) общее число исходов: выбрать два шара можно hello_html_4dbd4a85.gif способами.

2) благоприятные исходы: выбрать два красных шара из 15 имеющихся можно

hello_html_2192c436.gifспособами.

3) hello_html_m58dc24e0.gif - вероятность вынуть два красных шара.

III. С – из коробки вынули чёрный и красный шары;

1) общее число исходов: выбрать два шара можно hello_html_4dbd4a85.gif способами.

2) вынуть чёрный шар из этого ящика можно 8 способами, вынуть красный шар можно 15 способами. Всего благоприятных исходов hello_html_m5965eb9.gif способами.

3) hello_html_62179810.gif - вероятность вынуть чёрный и красный шар.

Окончательно: P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=hello_html_m5debd81c.gif

Ответ: вероятность того, что из коробки вынули либо два белых, либо два красных, либо чёрный и красный шары составляет hello_html_1450dbdd.gif.

Задача 2. Аэропорт принимает каждый день три авиарейса. Вероятность того, что вовремя прибудет первый рейс составляет 0,9. Вероятность того, что вовремя прибудет второй рейс составляет 0,85. Вероятность того, что вовремя прибудет третий рейс составляет 0,8. Найти вероятность того, что:

а) все три рейса прибудут вовремя; б) все три рейса опоздают; в) вовремя прибудут только два рейса.

РЕШЕНИЕ: введём в рассмотрение события и найдём их вероятности:

А1 – первый самолёт прилетел вовремя. Р(А1)=0,9

А2 – второй самолёт прилетел вовремя. Р(А2)=0,85

А3 – третий самолёт прилетел вовремя. Р(А3)=0,8

Также рассмотрим противоположные события и найдём их вероятности:

hello_html_m1048d7f6.gif- первый самолёт опоздал. hello_html_342bf5d.gif.

hello_html_79c5f693.gif- второй самолёт опоздал. hello_html_m1423f9ac.gif.

hello_html_m5ae9b255.gif- третий самолёт опоздал. hello_html_36998a0c.gif.

а) Событие В: все три рейса прибудут вовремя. При этом: hello_html_m5e21905.gif (“.” = “и”).

Так как события-множители независимы (прилет вовремя-опоздание одного рейса не влияют на другие), то применим теорему о вероятности произведения независимых событий: hello_html_7bc89c34.gifhello_html_264dca26.gif=hello_html_m24dc7e59.gif

Ответ: вероятность того, что все три рейса прибудут вовремя, составляет 0,612 (61,2%)

б) Событие С: все три рейса опоздают. При этом: hello_html_m2d0d6c0b.gif. Так как события-множители независимы (прилет вовремя-опоздание одного рейса не влияют на другие), то применим теорему о вероятности произведения независимых событий: hello_html_34e5753b.gifhello_html_m26e95158.gif=hello_html_433f089e.gif

Ответ: вероятность того, что все три рейса опоздают, составляет 0,003 (0,3%)

в) Событие D: вовремя прибудут только два рейса – то есть два прибывают вовремя, при этом третий рейс опаздывает. Имеем: hello_html_m3bd0e7b.gifhello_html_42283cb3.gifhello_html_m1c969619.gif

События-слагаемые – несовместны (один и тот же самолёт не может и опоздать, и прилететь вовремя). Множители в каждом слагаемом – независимы. Значит, применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и о вероятности произведения независимых событий:

hello_html_m1e9e2f45.gifhello_html_42283cb3.gifhello_html_m5a19ecc4.gif=hello_html_m3e917105.gifhello_html_m37ab6261.gifhello_html_7198717a.gif

hello_html_3bf02bd6.gifhello_html_m568edd24.gifhello_html_m2d830d78.gif

hello_html_7160c7c1.gif0,153+0,108+0,068=0,329

Ответ: вероятность того, что вовремя прибудут только два рейса, составляет 0,329 (32,9%)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики

Цель работы:

научиться составлять закон распределения дискретной случайной величины и вычислять ее основные характеристики

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

ВАРИАНТ 1

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Известно, что М[X] = hello_html_712ff084.gif. Найти р1, р2 , вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. Мастер и ученик изготавливают одинаковые детали. Вероятность того, что мастер изготовит стандартную деталь, составляет 0,95. Вероятность того, что ученик изготовит стандартную деталь, составляет 0,6. Каждый из них сделал по одной детали. Случайная величина Х – количество изготовленных нестандартных деталей .

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие из числовых характеристик случайной величины НЕ МОГУТ БЫТЬ отрицательными и почему?

ВАРИАНТ 2

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Известно, что М[X] = hello_html_7e27c8f9.gif. Найти р1, р2 , вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. В цехе установлены два станка, изготавливающие одинаковые детали (новый и старый). Вероятность того, что новый станок не сломается в течение рабочей смены, составляет 0,85. Вероятность того, что старый станок не сломается во время рабочей смены, составляет 0,5. Случайная величина Х: количество станков, сломавшихся в течение рабочей смены.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие из числовых характеристик случайной величины МОГУТ БЫТЬ отрицательными и почему?

ВАРИАНТ 3

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти р, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, составляет hello_html_7aa94223.gif. Вероятность того, что второй стрелок попадет в мишень, составляет hello_html_mc62f5e0.gif. Эти два стрелка делают по одному выстрелу. Случайная величина Х: количество попаданий в мишень.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете, запишите формулы для их вычисления. Приведите пример случайной величины.

ВАРИАНТ 4

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти р, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине А, составляет 0,7. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине В, составляет 0,4. В сессию студент должен сдать два экзамена (по дисциплинам А и В). Случайная величина Х: количество экзаменов, которые студент сдал.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете, запишите формулы для их вычисления. Приведите пример случайной величины.


Работа выполняется на оценку «зачтено».


УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1. Закон распределения случайной величины Х можно записать в виде:

где hello_html_m4603b277.gif, hello_html_2ad4e97f.gif,...hello_html_m4abb8034.gif - все возможные значения случайной величины, а hello_html_35977fe7.gif, hello_html_mdbfeded.gif,...hello_html_6dd084a0.gif - соответствующие этим значениям вероятности.

Характеристическое свойство закона распределения: hello_html_m475c3fc.gif

Числовые характеристики:

Математическое ожидание - hello_html_5a1488b2.gif

Дисперсия - hello_html_m5efdf8c9.gif

Среднее кв. отклонение: hello_html_70fdaede.gif


Задание 2. Студент в сессию должен сдать два экзамена. Вероятность того, что он сдаст первый из экзаменов, составляет 0,9. Вероятность того, что студент сдаст второй экзамен, составляет 0,75. Случайная величина Х: количество экзаменов, которые студент сдал.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

Решение:

Количество сданных студентом экзаменов Х: 2, 1, 0 – все возможные значения случайной величины. Найдем соответствующие этим значениям вероятности.

Введем в рассмотрение события:

А1 – студент сдал первый экзамен, вероятность hello_html_m617dc64d.gif (по условию);

А2 – студент сдал второй экзамен, вероятность hello_html_795af0a5.gif (по условию).

И противоположные события:

hello_html_41799d7f.gif- студент не сдал первый экзамен, вероятность hello_html_4263f240.gif;

hello_html_504e70cc.gif- студент не сдал второй экзамен, вероятность hello_html_m6b4c247d.gif.

Событие В – студент сдал два экзамена (х1=2), hello_html_m6c8f67e.gif

hello_html_m4296da73.gif.

Событие С – студент сдал только один экзамен (т.е. один сдал и один не сдал, х2=1)

hello_html_5bb2edaa.gif, вероятность

hello_html_7a6572d2.gifhello_html_m1adf80a7.gifhello_html_m31f829d1.gif

hello_html_m194373f9.gif.


Событие D – студент не сдал ни одного экзамена (х3=0), hello_html_4306eb34.gif, вероятность

hello_html_10acecd8.gifhello_html_6a448c53.gif.

Запишем закон распределения случайной величины Х:

Проверка: hello_html_m60cc9d70.gif - ряд распределения записан верно.

Числовые характеристики:

hello_html_m4c2c4a39.gif- математическое ожидание;


hello_html_66246417.gif- дисперсия;

hello_html_ea0a41e.gif- среднее кв. отклонение.






























Литература

  1. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика/ учебное пособие.-2-е изд.перераб. и доп. –Ростов н/Д: Феникс,2007.-380с.-СПО

  2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл. – М.: Дрофа, 2001. – 400с

  3. Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений СПО /А.А. Дадаян. – 2-е изд. – М.: Форум - Инфра-М, 2011. – 542,(1)с.: ил. – (Профессиональное образование).

  4. Дадаян А.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие / А.А. Дадаян. – М.: Форум-Инфра-М, 2007 – 350с.: ил.

  5. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. Под. ред. Колмогорова А.Н. – М.: «Просвещение». 2000г.

  6. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

  7. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с


ИНТЕРНЕТ - РЕСУРСЫ

  1. http://www.youtube.com/watch?v=TxFmRLiSpKo (Геометрический смысл производной)

  2. http://www.youtube.com/watch?v=PbbyP8oEv-g (Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл)

  3. http://www.youtube.com/watch?v=3qGZQW36M8k&feature=channel (Лекция 2. Таблица основных интегралов)

  4. http://www.youtube.com/watch?v=7lezxG4ATcA&feature=channel (Лекция 3. Непосредственное интегрирование)

  5. http://www.youtube.com/watch?v=s-FDv3K1KHU&feature=channel (Лекция 4. Метод подстановки)

  6. http://www.youtube.com/watch?v=2N-1jQ_T798&feature=channel (Лекция 5. Интегрирование по частям)

  7. http://www.youtube.com/watch?v=dU_FMq_lss0&feature=channel (Лекция 12. Понятие определенного интеграла)

  8. http://www.youtube.com/watch?v=C_7clQcJP-c (Теория вероятности)










Автор
Дата добавления 15.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров116
Номер материала ДБ-122519
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх