Инфоурок Математика Другие методич. материалыПрактические работы по математике для специальности 38.02.01

Практические работы по математике для специальности 38.02.01

Скачать материал

бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Вологодской области

«Череповецкий лесомеханический техникум им. В.П. Чкалова»

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ЕН. 01   МАТЕМАТИКА

 

Для специальности

 

 38.02.01        «Экономика и бухгалтерский учет(по отраслям)»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Череповец

2016 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СОСТАВЛЕНЫ

Березиной М. С., Захаровой С.В., Масляковой А.В. преподавателями БПОУ ВО «ЧЛМТ» в соответствии с рабочей программой дисциплины ЕН.01 «Математика» для специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», утвержденной ПЦК «Математических, естественнонаучных дисциплин и информатики» от 12.03.2015 протокол № 6

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ РАССМОТРЕНЫ

на заседании предметной цикловой комиссии «Математических, естественнонаучных дисциплин,  информатики»

Протокол № ____ от «___»___________20_____ г.

Председатель ПЦК    ________________  Березина М.С.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИНЯТЫ

на заседании Методического совета  БПОУ ВО «ЧЛМТ»

«___»___________20_____ г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методически рекомендации изданы в количестве 16 экземпляров

Пояснительная записка

 

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине  ЕН.01 «Математика» предназначены для студентов 2 курса  специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Практические работы выполняются студентами в аудитории под руководством преподавателя.

Практические работы, которые вызывают у учащихся затруднение (при необходимости) выполняются во время занятия на черновике, под руководством преподавателя.  По результатам выполненной работы составляется отчет, включающий в себя номер работы, тему, цель, решение задач, ответы на вопросы

По результатам отчета по практическим работам  выставляются оценки «3», «4» и «5». В случае «незачет» студент устраняет ошибки и недочеты и сдает работу на повторную проверку.

В конце учебного года при выполнении всех практических работ студент оформляет подшивку, содержащую титульный лист, содержание, отчеты по всем практическим работам, список литературы.

 Одним из условий получения дифференцированного зачета по математике является получение положительной оценки по всем работам.

Студент, пропустивший практическую работу по  уважительной причине или без нее, должен восстановить ее на консультации.

На каждой работе студенту выдается карта, где он ставит вариант, выполняемой работы, дату и подпись. Преподаватель при проверке выставляет в карту, полученную студентом оценку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Название

стр

 

Практические работы

 

 

1

Вычисление пределов и производных различных функций

6

2

Применение производных к исследованию функции и построению графиков. Применение производной для решения профессиональных задач

11

3

Вычисление интегралов (неопределенных и определенных). Геометрические приложения определенного интеграла

17

4

Решение задач ТВ с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

22

5

Закон распределения ДСВ, и ее числовые характеристики.

26

 

 

Список используемой литературы

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

1.     Отвести рамку на расстоянии 1клеточка сверху, справа и снизу, а слева отступить 4 клеточки от края листа (лицевая сторона), на оборотной стороне сделать симметрично (слева – 1 клеточка, справа – 4 клеточки)

2.     Текст от рамки должен отступать сверху и снизу на 2 клеточки, а слева и справа – на 1 клеточку. Соблюдая красную строку, отступить от рамки на 2 клеточки.

3.     Заголовок «ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА» пишется седьмым шрифтом (печатные буквы, высота 7 мм), знак № не ставится, а работы нумеруются и раскладываются в папке по порядку с 1 по 10, после аудиторных работ раскладываются домашние внеаудиторные практические работы  1 и 2.

4.     Тема работы подписывается с красной строки, слово «тема» не пишется.

5.     Заголовки «Цель », «Выполнение работы», «Вывод» пишутся печатными буквами высотой: заглавная буква 7 мм, прописные – 5 мм по центру страницы.

6.     Переносы слов в заголовках не допускаются.

7.     Между заголовками оставить интервалы 2 клеточки.

8.     Точки в конце предложения в заголовках не ставятся.

9.     Все, что необходимо вычислить, записывается в отчете с пояснениями.

10.  Записывается формулировка задачи, решение начинается со слова «Решение», в конце записывается ответ.  Если требуется выполнить построение – рисунок и будет ответом.

11.Таблица ограничивается справа, слева, снизу. Между измерениями поперечные линии не проводятся.

12.От таблицы отступаются 2 клеточки, а затем записываются вычисления к работе с пояснениями. Единицы измерения проставляются у каждого числа, а так же в ответе.

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ   РАБОТА 1

Вычисление пределов и производных различных функций

ЦЕЛЬ:

Вычислить пределы.  Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

 

Вариант 1

1.     Вычислить пределы:

а) ;   б) ; в) ;  г) ; д) .

2. Вычислить производные:

а); б) ; в) ; г) ; д).

3. Найти частные производные: .

 

Вариант 2

1.     Вычислить пределы:

а) ;   б) ; в) ;  г) ; д) .

2. Вычислить производные:

а); б) ; в) ; г) ; д).

3. Найти частные производные: .

 

Вариант 3

1.     Вычислить пределы:

а) ;   б) ; в) ;г) ; д) .

2. Вычислить производные:

а); б) ; в) ; г) ; д).

3. Найти частные производные: .

 

Работа состоит 3 заданий.На оценку «3» необходимо решить задания 1 и 2 под (а-г), на оценку  «4» - 1-2, на оценку «5» - все задания

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ   РАБОТА 1

Вычисление пределов и производных различных функций

ЦЕЛЬ:

 Вычислить пределы.  Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

 

Вариант 4

1.     Вычислить пределы:

а);б) ;в) ;г) ; д).

2. Вычислить производные:

а); б) ; в) ; г) ; д).

3. Найти частные производные: .

Вариант 5

1.Вычислить пределы:

а) ;б) ; в) ; г) ; д) .

2. Вычислить производные:

а); б) ; в) ; г) ; д).

3. Найти частные производные: .

4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: .

 

Вариант 6

1.     Вычислить пределы:

а);б);в) ;г);д).

2. Вычислить производные:

а); б) ; в) ; г) ; д).

3. Найти частные производные: .

 

Работа состоит 3 заданий.На оценку «3» необходимо решить задания 1 и 2 под (а-г), на оценку  «4» - 1-2, на оценку «5» - все задания.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  1

Вычисление пределов и производных различных функций

ЦЕЛЬ: Вычислить пределы.  Используя таблицу производных и правила дифференцирования, решить задачи.

Образец выполнения

1.  Вычислите пределы:

Примеры:

1) Вычислите предел: .

Решение:  Вычислим предел, подставив вместо х 5. Ответ: =.

2)Вычислите предел: (неопределенность).

Решение:  =.

Чтобы избавиться от данной неопределенности, разложим на множители числитель и знаменатель. Для того, чтобы разложить знаменатель применим формулу: , , чтобы разложить числитель применим формулу: , где х1 и х2 – корни уравнения. .

.

===. Ответ: =.

3)Вычислите предел: (неопределенность ).

Решение: Подставив  вместо х бесконечность, получим в пределе неопределенность . Чтобы избавиться от данной неопределенности, разделим числитель и знаменатель почленно  на старшую степень знаменателя, т.е на х2.

= ===.

Ответ: =∞.

4)Вычислить предел: . , чтобы вычислить данный предел, нужно чтобы аргумент функции синус и числитель (знаменатель) совпадали. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Получим ===60∙1=60. Ответ: =60

Задание 2. Вычислить производные данных функций, пользуясь соответствующими правилами дифференцирования:

ПРИМЕРЫ:  

1), найти  :

.

2) , найти :

 

.

Вычислите производные сложной функции.

3)

Здесь две функции:  у = х 3 – 4х + 1 и z = у 3 .

Найдем производную:  х 3 – 4х + 1 = t

Тогда

f ´(x)=.

3. Найдите частные производные: .

найдем производную данной функции по переменной х, при этом у считаем константой (постоянной величиной). Используем правило дифференцирования произведения.

=.

Найдем производную по переменной у, считая х постоянной величиной.

.

Ответ: ,   .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                     ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2

Применение производных к исследованию функции и построению графиков. Применение производной для решения профессиональных задач

Цель работы:

 Научиться исследовать функцию, применяя первую и вторую производную, строить график функции, пользуясь общей схемой исследования функции.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ:

Для выполнения работы необходимо повторить следующие темы курса:

·                                основные свойства функции (область определения, четность-нечетность, промежутки возрастания-убывания, точки максимума-минимума, максимум-минимум функции)

·                                применение первой производной к исследованию функции (необходимое условие наличия экстремума  в точке, определение критических точек, условие возрастания-убывания функции на промежутке, достаточное условие существования экстремума в точке)

·                                применение второй производной к исследованию функции (точка перегиба, промежутки выпуклости-вогнутости)

Для задания 1:

ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ y =f(x):

1) Область определения функции D(y);

2) Чётность-нечётность, периодичность функции;

3) , критические точки функции: ;

4) Промежутки возрастания-убывания, точки максимума-минимума функции – по знакам первой производной на полученных интервалах;

5) , точки перегиба: , промежутки выпуклости-вогнутости по знакам второй производной на полученных интервалах.

6) Таблица значений, график функции.

Для задания 2:

ПЛАН РЕШЕНИЯ: найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

ü       найти критические точки функции ();

ü       определить, какие из этих точек попадают на отрезок ;

ü       найти значения функции на концах отрезка и в попавших на отрезок   критических точках;

ü       выбрать наибольшее и наименьшее значения функции, записать ответ.

Для задания 3:

Геометрический смысл производной.

Пусть дана функция . Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной) к графику этой функции в точке х0 равен значению производной в точке касания:

 .

Уравнение касательной к графику  в точке х0 имеет вид:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

Задание 1. Исследовать функцию по общей схеме, построить график.

ВАРИАНТ 1: 1); 2) ;

ВАРИАНТ 2: 1) ; 2) ;

ВАРИАНТ 3:  1) ; 2) ;

ВАРИАНТ 4:  1) ;  2) .

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

ВАРИАНТ 1. ;   ВАРИАНТ 2. ;

ВАРИАНТ 3. ;  ВАРИАНТ 4. 

Задание 3. Найти угловой коэффициент касательной к графику  в точке х0, записать уравнение этой касательной.

ВАРИАНТ 1. , ;   ВАРИАНТ 2. , ;

ВАРИАНТ 3. , ;  ВАРИАНТ 4. , .

 

Критерии оценки: на оценку «3» - 1(1)) и 2, «4» -1 и 2, «5» -1-3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методические указания по выполнению практической работы

Примеры выполнения заданий и образцы записи решения:

ЗАДАЧА 1: Исследовать функцию, построить график:                  

Решение:

1)  - ограничений по независимой переменной нет.

2)  - функция общего вида. График не имеет симметрии.

3) Критические точки:

 - критические точки.

4) Промежутки монотонности и точки экстремума. Знаки производной на полученных интервалах:

Функция возрастает при , убывает при .

х=0 – точка перегиба функции (так как не меняется возрастание);

х=3 – точка максимума функции,  - максимум функции.

5) ,

Получили две точки перегиба: х=0 и х=2.

х=0 – точка перегиба,  - значение функции в точке перегиба.

х=2– точка перегиба, - значение функции в точке перегиба.

Функция выпукла при , функция вогнута при .

6) Построение графика функции.

Таблица значений:                                        

х

-2

-1

0

1

2

3

4

у

-12

-1,75

0

0,75

4

6,75

0

                                                                 

График:

ЗАДАЧА 2: Исследовать функцию, построить график:

РЕШЕНИЕ:

1) D(y): (т.к.знаменатель дроби не должен быть равен нулю) или .

2)Четность-нечетность:

Т.к.  - функция нечетна, график симметричен относительно начала координат.

3)

 - критические точки.

4) Монотонность и экстремумы:

Функция возрастает при , функция убывает при .

 - точка разрыва функции;

 - точка максимума функции,  - максимум функции;

 - точка минимума функции,  - минимум функции.

5) Выпуклость-вогнутость, перегибы:

, но - точек перегиба нет, вторая производная не существует при х=0.

 

 

Функция выпукла при , функция вогнута при .

6)Таблица значений:           

х

4

2

1

0,5

у

4,25

2,5

2

2,5

 так как функция нечетная, то:

х

-4

-2

-1

-0,5

у

-4,25

-2,5

-2

-2,5

График:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном интервале:  ,

РЕШЕНИЕ: критические точки функции:

;  или ,

, , найдем значение функции на концах отрезка и в попавшей на отрезок критической точке.

-min

 

-max

Ответ: , .

ЗАДАЧА 4.

Найти угловой коэффициент касательной к графику  в точке х0=-1, записать уравнение этой касательной.

РЕШЕНИЕ: согласно геометрическому смыслу производной, .

Ответ: угловой коэф-т касательной k=-8.

Запишем уравнение касательной.

Общий вид уравнения касательной: ,

, х0=-1

,

,  (см. выше).

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  3

Вычисление интегралов (неопределенных и определенных). Геометрические приложения определенного интеграла

ЦЕЛЬ:

Научиться решать интегралы различными методами, используя таблицу и свойства интегралов и применять определенный интеграл для решения прикладных задач.

Практическая работа состоит из шести  заданий, которые оцениваются от 1 до 4 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, выполнив все задания – 28. На оценку «3» нужно набрать 16 баллов, на оценку «4» - 22 балла, на «5» -  26-28 баллов.

Вариант 1

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по 2 балла); 3) .

(3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) ;(3 балла) 2) ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ;(3 балла) 2) 6) . (4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям:  (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения?  (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)

Вариант 2

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по 2 балла); 3).

( 3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) ;(3 балла) 2) . (2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ; (3 балла)2) .  ( 4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: .(4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x, y=0, x=1, x=3.

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения?  (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)

 

Вариант 3

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по 2 балла); 3) .

( 3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) ; (3 балла)2).( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ; (3 балла)2) . (4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: . (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения? (задачи 1- 4 балла, 2- 3 балла)

 

Вариант 4

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по 2 балла); 3) .

(3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) (3 балла); 2)( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ; (3 балла)2) . (4 балла)

4.Применить метод интегрирования по частям: . (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения?  (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)

 

Вариант 5

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по 2 балла); 3) .

(3  балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) ;(3 балла) 2) . ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ;(3 балла) 2) . (4 балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: .(4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения?  (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)

 

 

Вариант 6

1.Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) ; (по2 балла); 3) .

( 3 балла), где n – количество букв в фамилии.

2. Вычислить определенные интегралы:

1) ; (3 балла )  2) . ( 2 балла)

3. Проинтегрировать методом подстановки:

1) ;(3 балла) 2).(4  балла)

4. Применить метод интегрирования по частям: (4 балла).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

6. Материальная точка движется по прямой с скоростью, определяемой формулой  . Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения?  (задачи 1- 4 балла, 2 - 3 балла)

 

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  3

Вычисление интегралов (неопределенных и определенных). Геометрические приложения определенного интеграла

ЦЕЛЬ:

научиться решать интегралы различными методами, используя таблицу и свойства интегралов и применять определенный интеграл для решения прикладных задач.

Практическая работа состоит из шести  заданий, которые оцениваются от 2 до 4 баллов. Максимальное количество баллов, которые можно заработать, выполнив все задания – 28. На оценку «3» нужно набрать 16 баллов, на оценку «4» - 22 балла, на «5» -  26-28 баллов.

Методические рекомендации

1.  Вычислить неопределенный  интеграл:

 непосредственное интегрирование, по свойствам интеграла и таблице интегралов: .

2. Вычислить определенный интеграл. Решение: согласно правилу.

3.  а) Интегрирование методом подстановки, введем новую переменную:

  =  t = 4+х3                                 =  = ===

                    dt = d (4+х3)                  =

                    dt  = (4+х3)′∙dx

                    dt = 3x2 dx

                    dx =    

б) Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

Пусть 1-x      т.к. ввели новые переменные, связанные с первым

          -2xdx=dz       равенством , то границы изменения переменного

                  z уже будут другими. Они найдутся из равенства

                                  заменой аргумента x его значениями 0 и         

                    . Сделав эту замену получим ,. Таким образом,

.

 

                

4. Интегрирование по частям, используем формулу :

, для нахождения полученного в правой части равенства снова интегрируем по частям:

, а значит

 

5. Необходимо сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями графиков функций по формуле: .

6. Определяем путь по формуле: .

 

Основные свойства определенного интеграла.

1) ;   2) ;     3) ;

 4) ;  5) .

Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4

Решение задач ТВ с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

Цель работы: решить задачи, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

Решить предложенные задачи, ответить на вопросы.

ВАРИАНТ 1.

Задача 1. В закрытой коробке находится 5 белых, 6 черных и 4 синих шара. Наугад вынимают  два. Найти вероятность того, что вынули либо два белых шара, либо синий и чёрный шары.

Задача 2. Мастер обслуживает три станка. Вероятность нормальной работы (без неисправностей) первого станка в течение рабочего дня составляет 0,85; второго станка – 0,8; третьего станка – 0,75. Найти вероятность того, что:

а) в течение рабочего дня нормально проработают все три станка;

б) в течение рабочего дня потребуют ремонта все три станка;

в) в течение рабочего дня нормально проработают только два станка.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) достоверного события; в) независимых событий.

Вопрос 4. Сформулируйте и запишите теорему о вероятности суммы несовместных событий.

ВАРИАНТ 2.

Задача 1. В закрытой коробке лежат 10 красных, 4 чёрных и 6 синих карандашей. Наугад вынимают  два. Найти вероятность того, что вынули либо два синих карандаша, либо красный и чёрный карандаши.

Задача 2. Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым стрелком составляет , вторым стрелком - , третьим стрелком - . Найти вероятность того, что:

а) в цель попадут все три стрелка;

б) все три стрелка промахнутся;

в) в цель попадёт только один стрелок.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) невозможного события; в) несовместных событий.

Вопрос 4. Сформулируйте и запишите теорему о вероятности произведения независимых событий.

Работа выполняется на оценку «зачтено».

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 3.

Задача 1. В закрытой коробке находится 6 белых и 4 красных ленты. Наугад вынимают  две. Найти вероятность того, что вынутые ленты одного цвета (либо две белых, либо две красных ленты).

Задача 2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность того, что в цель попадёт первый стрелок составляет 0,8. Вероятность того, что в цель попадёт второй стрелок составляет 0,7. Найти вероятность того, что:

а) в цель попадут все стрелки;

б) оба стрелка промахнутся;

в) в цель попадет только один стрелок.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) достоверного события; в) независимых событий.

Вопрос 4. Запишите следствие из теоремы о сумме вероятностей

 

ВАРИАНТ4.

Задача 1. В закрытой коробке находится 5 зеленых и 10 жёлтых пуговиц. Наугад вынимают  две. Найти вероятность того, что вынули пуговицы одного цвета (либо две зелёных, либо две жёлтых пуговицы).

Задача 2. Дачник купил саженцы яблони и груши. Вероятность того, что приживётся саженец яблони составляет 0,75. Вероятность того, что приживётся саженец груши составляет 0,6. Найти вероятность того, что:

а) приживутся оба саженца;

б) не приживётся ни один;

в) приживётся только один саженец.

Вопрос 3. Дайте определения и приведите примеры: а) случайного события; б) невозможного события; в) несовместных событий.

Вопрос 4. Сформулируйте и запишите теорему об умножении  вероятностей.

 

Работа выполняется на оценку «зачтено».

 

 


Методические рекомендации

Задача 1. В закрытой коробке 7 белых, 8 черных и 15 красных шаров. Наугад вынимают два. Найти вероятность того, что вынули либо два белых, либо два красных, либо чёрный и красный шары.

РЕШЕНИЕ: Введём в рассмотрение следующие события:

А – из коробки вынули два белых шара,

В – из коробки вынули два красных шара,

С – из коробки вынули черный и красный шары,

D – из коробки вынули либо два белых, либо два красных, либо чёрный и красный шары. При этом: D=A+B+C. (“+” = ”или”).

События-слагаемые А, В и С являются несовместными (появление одного исключает появление других), поэтому применим теорему о вероятности суммы несовместных событий: P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

Найдём каждую вероятность.

I. А – из коробки вынули два белых шара;

         1) общее число исходов: выбрать два шара из имеющихся 7+8+15=30 (без учёта порядка) можно  способами.

         2) благоприятные исходы: выбрать два белых шара из 7 имеющихся можно

 способом.

         3)  - вероятность вынуть два белых шара.

II. В – из коробки вынули два красных шара;

1) общее число исходов: выбрать два шара можно   способами.

         2) благоприятные исходы: выбрать два красных шара из 15 имеющихся можно

 способами.

         3)  - вероятность вынуть два красных шара.

III. С – из коробки вынули чёрный и красный шары;

         1) общее число исходов: выбрать два шара можно   способами.

         2) вынуть чёрный шар из этого ящика можно 8 способами, вынуть красный шар можно 15 способами. Всего благоприятных исходов  способами.

         3)  - вероятность вынуть чёрный и красный шар.

Окончательно: P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

Ответ: вероятность того, что из коробки вынули либо два белых, либо два красных, либо чёрный и красный шары составляет .

Задача 2. Аэропорт принимает каждый день три авиарейса. Вероятность того, что вовремя прибудет первый рейс составляет 0,9. Вероятность того, что вовремя прибудет второй рейс составляет 0,85. Вероятность того, что вовремя прибудет третий рейс составляет 0,8. Найти вероятность того, что:

а) все три рейса прибудут вовремя; б) все три рейса опоздают; в) вовремя прибудут только два рейса.

РЕШЕНИЕ: введём в рассмотрение события и найдём их вероятности:

А1 – первый самолёт прилетел вовремя. Р(А1)=0,9

А2 – второй самолёт прилетел вовремя. Р(А2)=0,85

А3 – третий самолёт прилетел вовремя. Р(А3)=0,8

Также рассмотрим противоположные события и найдём их вероятности:

- первый самолёт опоздал. .

 - второй самолёт опоздал. .

 - третий самолёт опоздал. .

а)  Событие В: все три рейса прибудут вовремя. При этом:  (“.” = “и”).

Так как события-множители независимы (прилет вовремя-опоздание одного рейса не влияют на другие), то применим теорему о вероятности произведения независимых событий: =

Ответ: вероятность того, что все три рейса прибудут вовремя, составляет 0,612 (61,2%)

б) Событие С: все три рейса опоздают. При этом: . Так как события-множители независимы (прилет вовремя-опоздание одного рейса не влияют на другие), то применим теорему о вероятности произведения независимых событий: =

Ответ: вероятность того, что все три рейса опоздают, составляет 0,003 (0,3%)

в) Событие D: вовремя прибудут только два рейса – то есть два прибывают вовремя, при этом третий рейс опаздывает. Имеем:

События-слагаемые – несовместны (один и тот же самолёт не может и опоздать, и прилететь вовремя). Множители в каждом слагаемом – независимы. Значит, применим  теоремы о вероятности суммы несовместных событий и о вероятности произведения независимых событий:

=

0,153+0,108+0,068=0,329

Ответ: вероятность того, что вовремя прибудут только два рейса, составляет 0,329 (32,9%)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  5

Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики

Цель работы:

научиться составлять закон распределения дискретной случайной величины и вычислять ее основные характеристики

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

ВАРИАНТ 1

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

xi

-2

-0,5

0

2

3

pi

P1

P2

Известно, что М[X] = . Найти р1, р2 , вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение  случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. Мастер и ученик изготавливают одинаковые детали. Вероятность того, что мастер изготовит стандартную деталь, составляет 0,95. Вероятность того, что ученик изготовит стандартную деталь, составляет 0,6. Каждый из них сделал по одной детали. Случайная величина Х – количество изготовленных нестандартных деталей .

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие из числовых характеристик случайной величины НЕ МОГУТ БЫТЬ отрицательными и почему?

ВАРИАНТ 2

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

xi

-2

0

0.5

1

2

pi

P1

P2

Известно, что М[X] = . Найти р1, р2 , вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение  случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. В цехе установлены два станка, изготавливающие одинаковые детали (новый и старый). Вероятность того, что новый станок не сломается в течение рабочей смены, составляет 0,85. Вероятность того, что старый станок не сломается во время рабочей смены, составляет 0,5. Случайная величина Х: количество станков, сломавшихся в течение рабочей смены.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие из числовых характеристик случайной величины МОГУТ БЫТЬ отрицательными и почему?

ВАРИАНТ 3

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

xi

-3

-2

0

1

2

pi

0,1

р

0,4

0,2

0,1

 

Найти р, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение  случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, составляет . Вероятность того, что второй стрелок попадет в мишень, составляет . Эти два стрелка делают по одному выстрелу. Случайная величина Х: количество попаданий в мишень.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете, запишите формулы для их вычисления. Приведите пример случайной величины.

ВАРИАНТ 4

ЗАДАНИЕ 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

xi

-1

0

1

2

3

pi

0,2

р

0,3

0,1

0,1

 

Найти р, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение  случайной величины Х.

ЗАДАНИЕ 2. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине А, составляет 0,7. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине В, составляет 0,4. В сессию студент должен сдать два экзамена (по дисциплинам А и В). Случайная величина Х: количество экзаменов, которые студент сдал.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

ЗАДАНИЕ 3. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете, запишите формулы для их вычисления. Приведите пример случайной величины.

 

Работа выполняется на оценку «зачтено».

 


УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1. Закон распределения случайной величины Х можно записать в виде:

xi

...

pi

...

где , ,... - все возможные значения случайной величины, а , ,... - соответствующие этим значениям вероятности.

Характеристическое свойство закона распределения:

Числовые характеристики:

Математическое ожидание -

Дисперсия -

Среднее кв. отклонение:

 

Задание 2. Студент в сессию должен сдать два экзамена. Вероятность того, что он сдаст первый из экзаменов, составляет 0,9. Вероятность того, что студент сдаст второй экзамен, составляет 0,75. Случайная величина Х: количество экзаменов, которые студент сдал.

Составить закон распределения случайной величины Х и вычислить её числовые характеристики.

Решение:

Количество сданных студентом экзаменов Х: 2, 1, 0 – все возможные значения случайной величины. Найдем соответствующие этим значениям вероятности.

Введем в рассмотрение события:

А1 – студент сдал первый экзамен, вероятность  (по условию);

А2 – студент сдал второй экзамен, вероятность  (по условию).

И противоположные события:

 - студент не сдал первый экзамен, вероятность ;

 - студент не сдал второй экзамен, вероятность .

Событие В – студент сдал два экзамена (х1=2),

.

Событие С – студент сдал только один экзамен (т.е. один сдал и один не сдал, х2=1)

, вероятность

.

 

Событие D – студент не сдал ни одного экзамена (х3=0), , вероятность

.

Запишем закон распределения случайной величины Х:

xi

2

1

0

pi

0,675

0,3

0,025

Проверка:  - ряд распределения записан верно.

Числовые характеристики:

- математическое ожидание;

 

- дисперсия;

 - среднее кв. отклонение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.                 Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика/ учебное пособие.-2-е изд.перераб. и доп. –Ростов н/Д: Феникс,2007.-380с.-СПО

2.                 Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл. – М.: Дрофа, 2001. – 400с

3.                 Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений СПО /А.А. Дадаян. – 2-е изд. – М.: Форум - Инфра-М, 2011. – 542,(1)с.: ил. – (Профессиональное образование).

4.                 Дадаян А.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие / А.А. Дадаян. – М.: Форум-Инфра-М, 2007 – 350с.: ил.

5.                 Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. Под. ред. Колмогорова А.Н. – М.: «Просвещение». 2000г.

6.                 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник.  – М., 2003.

7.                 Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина;  под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с

 

ИНТЕРНЕТ - РЕСУРСЫ

1.     http://www.youtube.com/watch?v=TxFmRLiSpKo (Геометрический смысл производной)

2.           http://www.youtube.com/watch?v=PbbyP8oEv-g (Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл)

3.           http://www.youtube.com/watch?v=3qGZQW36M8k&feature=channel (Лекция 2. Таблица основных интегралов)

4.           http://www.youtube.com/watch?v=7lezxG4ATcA&feature=channel (Лекция 3. Непосредственное интегрирование)

5.           http://www.youtube.com/watch?v=s-FDv3K1KHU&feature=channel (Лекция 4. Метод подстановки)

6.           http://www.youtube.com/watch?v=2N-1jQ_T798&feature=channel (Лекция 5. Интегрирование по частям)

7.     http://www.youtube.com/watch?v=dU_FMq_lss0&feature=channel (Лекция 12. Понятие определенного интеграла)

8.     http://www.youtube.com/watch?v=C_7clQcJP-c (Теория вероятности)

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Практические работы по математике для специальности 38.02.01"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Таргетолог

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 748 материалов в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 15.06.2016 1124
    • DOCX 1004.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Березина Марина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Березина Марина Сергеевна
    Березина Марина Сергеевна
    • На сайте: 8 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 9458
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

HR-менеджер

Специалист по управлению персоналом (HR- менеджер)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 43 человека из 22 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика и информатика")

Учитель математики и информатики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 19 регионов

Мини-курс

Сельский и индустриальный туризм

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Современные направления в архитектуре

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Педагогические идеи выдающихся педагогов, критиков и общественных деятелей

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе