Практические работы по математике для студентов 1 курса

• 1 слайд

  Первообразная.
  подготовила: Кочеткова М.М.
  

• 2 слайд

  Задача №1
  Найти скорость легковой машины, движущейся прямолинейно по закону S(t)=t2-20t через минуту после начала движения( скорость м/с).
  Решение:
  V=S´(t)=(t2-20t)´=2t-20
  Т.к. 1 мин=60 сек, получаем:
  V=S´(60)=2·60-20=100 м/с
  Ответ: V=100 м/с
  
  

• 3 слайд

  Задача №2 (обратная)
  Скорость движения точки задана формулой V(t)=at, где а – ускорение равное 1,5 м/с2. Найти пройденный ее путь S(t) после 20 секунд от начала движения.
  Решение:
  Т.к. V(t)=at, а V=S´(t) =>S(t)= (at2)/2, т.к.
  именно S´(t)=(at2/2)´=at=v(t).
  Получаем:
  S(20)= (1,5·202)/2=300 м.
  Ответ: 300м
  Примечание: в данной задаче нам пришлось восстанавливать функцию S(t), производная которой равнялась скорости движения точки V(t) .
  Функцию S(t), такую, что S´(t)=V(t), называют первообразной.
  
  
  
  

• 4 слайд

  Определение первообразной.
  О1: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство:
  F´(x)=f(x)
  
  Другими словами: нахождение первообразной – это обратное действие нахождения производной.
  

• 5 слайд

  Примеры.
  1) F(x)=sinx является первообразной функции f(x)=cosx, т.к. F´(x)=(sinx)´=cosx.
  
  2) F(x)= является первообразной функции f(x)= x3, т.к. F´(x)=( )´= = x3.
  
  3) Доказать, что функции , , являются первообразными функции f(x)=x2.
  Решение:
  F´(x)=( )´= = x2 – да является
  
  F´(x)=( )´= = x2 – да является
  
  F´(x)=( )´= = x2 – да является
  
  Вывод: Любая функция , где С – любое число, является первообразной функции f(x)= x2, т.к. С´=0
  

• 6 слайд

  Определение
  О2: F(x)+С, где С- произвольная постоянная (любое число), называется семейством первообразных.
  Задача.
  Для функции f(x) найти такую первообразную, график которой проходит через т. М(2;5).
  Решение:
  Все первообразные функции f(x)=х находятся по формуле F(x)= , т.к.
  F´(x)= = =x.
  Найдем число С, при котором наш график будет проходить через точку М (2;5).
  В уравнение F(x)= подставим координаты т. М и найдем число С.
  5= => С=3
  Таким образом, F(x)= .
  Ответ: F(x)=
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Решаем задачи.
  №983-986 (нечет), №987 (весь)
  

• 8 слайд

  Таблица первообразных.
  

• 9 слайд

  Правила интегрирования.
  Правила интегрирования – это правила нахождения первообразных.
  Правила:
  Пусть F(x), G(x) первообразные функций f(x) и g(x) соответственно
  и а – постоянная (любое число), тогда:
  
  1. F(x)+G(x) – первообразная для функции f(x)+g(x).
  2. F(x) - G(x) – первообразная для функции f(x) - g(x).
  3. а·F(x) – первообразная для функции а·f(x).
  

• 10 слайд

  Решаем задачи.
  №988-996 (нечет)
  

• 11 слайд

  Площадь криволинейной трапеции
  О1: Рассмотрим фигуру, сверху ограниченную
  графиком функции f(x), снизу осью Ох, а
  Со сторон отрезком [a;b]. Такую фигуру
  называют криволинейной трапецией.
  Площадь S криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:
  
  
  
  
  О2: Разность F(b)-F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают:
  
  

• 12 слайд

  Формула Ньютона – Лейбница.
  Другими словами площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
  
  S=
  - формула Ньютона - Лейбница
  
  

• 13 слайд

  Устная работа.
  Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
  

• 14 слайд

  Задача №1
  Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.
  Решение:
  Используя формулу (1), получаем:
  
  
  
  1) F(x)= 2) F(3)= 3) F(1)=
  

• 15 слайд

  Задача №2
  Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.
  Решение:
  Используя формулу (1), получаем:
  
  
  
  
  
  
  1) F(x)=-cosx 2) F(π)=-cosπ=-(-1)=1 3) F(0)=-cos0=-1
  
  
  
  

• 16 слайд

  Решаем задачи.
  №999-1001 (нечет)
  

• 17 слайд

  Вычисление интегралов.
  При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозначение:
  
  
  
  Отсюда получаем:
  

• 18 слайд

  Вычисление площадей с помощью интегралов
  1. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу осью Ох и по бокам отрезком [a;b].
  
  
  
  

• 19 слайд

  Вычисление площадей с помощью интегралов
  2. Фигура, ограниченная сверху только графиком функции y=f(x) и снизу осью Ох.
  
  
  
  
  
  
  Точки а и b находим из уравнения f(x)=0
  

• 20 слайд

  Вычисление площадей с помощью интегралов
  3. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью Ох, снизу графиком функции y=f(x) и по бокам отрезком [a;b].
  

• 21 слайд

  Вычисление площадей с помощью интегралов
  4. Фигура, ограниченная сверху двумя графиками функций y=f(x)и у=g(x), снизу осью Ох и по бокам отрезком [a;b].
  
  
  
  
  
  
  Точку с находим из уравнения f(x)=g(x)
  

• 22 слайд

  Вычисление площадей с помощью интегралов
  5. Фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) и отрезком [a;b].
  
  
  
  
  
  
  
  Точки c и d находим из уравнения f(x)=0
  

• 23 слайд

  Вычисление площадей с помощью интегралов
  6. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу графиком функции у=g(x).
  
  
  
  
  
  
  
  Точки a и b находим из уравнения f(x)=g(x)
  

• 24 слайд

  Пример.
  Вычислить площадь фигуры,
  ограниченной графиками функций
  у= х2-4х+2 и у=х-2.
  Решение:
  Используем формулу (6), получаем:
  
  
  
  
  
  
  Ответ S= 4,5 кв.ед.
  

• 25 слайд

  Решаем задачи.
  № 1013-1021 (нечет)