Практические работы по математике на тему "Геометрия"

Методическая разработка

Практические работы по математике

ЧАСТЬ 2

ГЕОМЕТРИЯ

Пермь, 2015г.
Практическая работа №1

Тема: Параллельность прямых и плоскостей.

Цели:

·       Изучить случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

·       Научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §15 стр. 184 (§16 стр. 239).

Ход работы

Ответь на вопросы:

1. Какие прямые в пространстве называются пересекающимися? Укажите три примера таких прямых на модели куба.

2. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

3. Даны параллельные прямые а и в и плоскость α, проходящая через прямую в. Пересекает ли прямая а плоскость α?

4. Какое положение занимает прямая, лежащая на плоскости, относительно прямой, пересекающей эту плоскость?

Решите задачи:

1. Через концы отрезка МN и его середину А проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках М₁, N₁, А₁. Найдите длину отрезка АА₁, если отрезок МN не пересекает плоскость и ММ₁=13 см., NN₁=3см.

2. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если СС₁=8,1 см, АВ:АС=11:9.

3. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А₁, а сторону ВС – в точке В₁. Найдите длину отрезка А₁В₁, если: АВ=8 см, АА₁:АС=2:3.

Дополнительные задания:.

1. Дан куб АВСДА₁В₁С₁Д₁. Как расположены прямые: а) АА₁ и ВВ₁; б) А₁В₁ и ВВ₁; в) А₁А и Д₁С₁?

2. Могут ли пересекаться плоскостип, параллельные одной и той же прямой?

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: просвещение).

Практическая работа №2

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Цели:

·       Изучить случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

·       Научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §16 стр. 195 (§17 стр. 252).

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Укажите три примера таких прямых на модели куба.

2. Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на плоскость?

3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямы, то как она располагается по отношению к другой?

4. Как располагаются между собой плоскости, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости?

Докажите теорему: Пересекающееся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.

Решите задачи:

1. Прямые АВ, АС и АД попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка ВС, если АД=5 см, ДС=15 см, ДВ=9 см.

2. Точка А находится на расстоянии а от вершин прямоугольного плоскости треугольника.

3. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2, а соответствующие им проекции равны 1 см. и 7 см.

Дополнительное задание:

АВСД – квадрат, ВМ(АВС). Найдите отрезок ДМ, если АВ= см, а ВМ=5 см.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11кл. сред. Шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение.

Практическая работа №3

Тема: Координаты в пространстве

Цели:

·       Научиться находить расстояние между точками, заданными своими координатами, середину отрезка, параллельный перенос.

Методические указания: Повторить: §17, п.92, 93 стр. 209 (§18, п. 152 – 159 стр.270).

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Как определяется прямоугольная система координат в пространстве?

2. Как называются координаты точек в пространстве?

3. По какой формуле можно найти расстояние между двумя точками, заданными своими координатами?

4. По какой формуле можно найти координаты середины отрезка?

5. Какие существуют преобразования фигур в пространстве?

6. Какое преобразование называется движением?

7. Что называется параллельным переносом в пространстве?

Решите задачи:

1. Докажите, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, если А (2; 3; 2), В (0; 2; 4), С (4; 1; 0), Д (6; 2; -2).

2. Докажите, что четырехугольник АВСД является ромбом, если А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3; 2), Д (2; 8; 4).

3. CDEF – Параллелограмм: С (-4, 1, 5), D (-5, 4, 2), E (3, -2, -1), F (x, y, z). Найдите координаты точки F и в ответе запишите число, равное x+y+z.

4. При параллельном переносе точка А (2, -5, 3) переходит в точку А₁ (4, -1, 5). В какую точку переходит точка В (-3, 0, 4)?

5. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С переходит в точку Д, если: А (3; -2; 1), В (2; -3; 0), С (2; 1; 0), Д (1; 0; 1).

Дополнительные задания:

Решите задачи:

1. Даны координаты точек А (4, -3, 2), В (-1, -5, 4). Найдите сумму координат точки С, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек А и В.

2. При параллельном переносе точка М (-3, 2, -5) переходит в точку М₁ (1, -3, -2). Найдите сумму координат точки К₁, в которую при этом параллельном переносе переходит точка К (1, -2, -5).

Литература: Учебник: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение)

Практическая работа №4

Тема: Векторы в пространстве

Цели:

·       Научиться выполнять действия над векторами, находить скалярное произвоведение векторов, косинус угла между векторами.

Методические указания: Повторить: гл. 17 §1, стр.269; гл. 21 §1, §2 стр. 335.

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что называется вектором в пространстве?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие векторы называются компланарными?

4. Какие векторы называются равными?

5. Что называется прямоугольным базисом в пространстве?

6. Что называется прямоугольной системой координат в пространстве?

7. Как называются координаты точек в пространстве?

8. Что называется суммой векторов а (а₁; а₂; а₃) и в (в₁; в₂; в₃)

9. Что называется произведением вектора а (а₁; а₂; а₃) на число λ?

10. Что называется скалярным произведением двух векторов

11. По какой формуле находится косинус угла между векторами?

Решите задачи:

1. Даны точки А(4; -3; 2), В(-2; 4; -3), М(0; 5; 1), N(-4; 0; -3). Найдите координаты векторов АВ и MN.

2. Даны векторы а(2; 3; -4), в(-1; 2; 1) и с(3; 0; 2). Найдите координаты векторов: 1) а+в, 2) а+с, 3) а+в-с, 4) 3а, 5) –а+2с

3. При каких значениях m и n векторы коллинеарны: а(3, N, 3) в(6, 2, M)?

4. При каких значениях m векторы а (2; m; 6) и в (-3; m-2; 1) перпендикулярны?

5. Определите cos В; где В – угол ∆АВС; если даны точки А (1; 2; 8); В (-1; -2; -3); С (1; 0; 5).

Дополнительные задания:

Решите задачи:

1. Даны координаты точек А (-3; 2; -1), В (2; -1; -3), С (1; -4; 3), Д (-1; 2; -2). Найдите |2АВ+3СД|.

2. Даны координаты точек С (3; -2; 1), Д (-1; 2; 1), М (2; -3; 3), N (-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами СД и МN.

Литература: Учебник: Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2010.

Практическая работа №5

Тема: Призма

Цели:

·       Изучить понятие многогранника, виды многогранников, теоремы о многогранниках, призмы, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §18стр.230(§19 стр.296)

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что такое двугранный угол?

2. Что такое многогранник?

3. Какой многогранник называется призмой?

4. Какие существуют виды призмы?

5. Какая призма называется прямой? Правильной?

6. Что называется параллелепипедом?

7. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

8. Что такое куб?

Решите задачи

1. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Определите боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 см².

2. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его стороны основания равны 1 см и 2 см, а высота – 4 см.

3.Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – треугольник АВС, в котором АВ=ВС=5 м, АС=6 м. Высота призмы равна56м. Найдите периметр сечения, проходящего через вершины А, В, С.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение.

Практическая работа №6

Тема: Пирамида

Цели:

·       Изучить понятие пирамида, виды пирамид, теоремы о пирамидах, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §18стр.230(§19 стр.296)

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется правильной?

3. Что является высотой пирамиды

4. Что такое апофема правильной пирамиды?

5. Какой многогранник называется правильным?

6. Какие типы правильных многогранников существуют?

Решите задачи:

1. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания 6 см боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите

 высоту пирамиды.

2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а H= 13см. Найдите боковое ребро пирамиды.

3. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Высота пирамиды равна 12см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые рёбра пирамиды.

4. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 30см и 40см. Вершина пирамиды удалена от сторон основания на 13см. Найдите высоту пирамиды. 

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение.

Практическая работа №7

Тема: Сечения многогранников.

Цели:

·       Научиться строить сечения многогранников.

Методические указания: Изучить (§19 стр.298, стр. 306)

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что такое сечение многогранника?

2. Способы построения сечений многогранников?

3. Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым рёбрам?

4. Что такое диагональное сечение призмы?

5. Что представляет собой сечение пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину?

6. Что такое диагональное сечение пирамиды?

7. Что такое усечённая пирамида?

Постройте сечения многогранников:

1.На какие многогранники разбивает призму АВСА₁В₁С₁ плоскость, проходящая через вершины А, В и С₁ ? Сделайте рисунок.

2.Сечение правильной треугольной призмы проходит через центры оснований и одну из вершин. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.

3. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ проведено сечение через середины рёбер АВ и АD и вершину С₁ . Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.

4.В правильной четырёхугольной пирамиде проведено сечение через диагональ основания параллельно непересекающемуся с ней боковому ребру. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.

5. Правильная  четырёхугольная пирамида рассечена на два многогранника плоскостью, проходящей через сторону основания и медиану боковой грани. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение
Практическая работа №8

Тема: Цилиндр.

Цели:

Ø Изучить  тело вращения – цилиндр, его элементы теоремы о телах вращения, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §19 стр. 248 (§20 стр. 319).

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что называется цилиндром?

2. Определение высоты цилиндра.

3. Определения радиуса цилиндра.

4. Какой цилиндр называется прямым?

5. Виды сечения цилиндра.

6. Какая призма называется вписанной в цилиндр?

7. Какая призма называется описанной около цилиндра?

8. Какую фигуру надо вращать, чтоб получить цилиндр?

Докажите теорему о плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.

Решите задачи:

1. В цилиндре с высотой 10 см площадь осевого сечения 120 см². Определите:  а) радиус основания цилиндра; б) площадь сечения цилиндра, параллельного оси и отстоящего от нее на 2 см.

2. Диагональ осевого сечения цилиндра 13см, радиус основания 6см. Найдите площадь этого сечения.

3. Цилиндр вписан в прямую треугольную призму, стороны основания которой равны 13см, 14см, 15см, а высота равна 20см. Требуется вычислить площадь осевого сечения цилиндра.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение.

Практическая работа №9

Тема: Конус.

Цели:

Ø Изучить тело вращения – конус, его элементы, теоремы о телах вращения, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §19 стр. 248 (§20 стр. 319).

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что называется конусом?

2. Определение высоты конуса.

3. Определения радиуса конуса.

4. Виды сечения конуса

5. Что называется усеченным конусом?

6. Какой конус называется прямым?

7. Какой конус  называется усечённым?

8. Какая пирамида называется описанной около конуса?

9. Какую фигуру надо вращать, чтоб получить конус?

Решите задачи:

1. Найдите высоту конуса, если его образующая равна 10см, а радиус 3см.

2. Найдите площадь основания конуса, если его образующая равна 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120⁰.

3. В усечённом конусе радиус большего основания составляет 21см, образующая 39см, диагональ осевого сечения 45см. вычислите радиус меньшего основания.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение.

Практическая работа №10

Тема: Шар.

Цели:

Ø Изучить тело вращения – шар, его элементы, теоремы о телах вращения, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §19 стр. 248 (§20 стр. 319).

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что называется шаром?

2.Что называется сферой?

3.Что такое радиус шара?

4.Что такое диаметр шара ?

5.Какая плоскость называется диаметральной плоскостью?

6. Какая фигура является сечением шара?

7. Какую фигуру надо вращать, чтоб получить шар?

8. Какой многогранник называется вписанным в шар?

Решите задачи:

1. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна    4π см². Найдите  длину окружности данного сечения шара.

2. Точка С – единственная точка плоскости α и шара с центром О и диаметром 6 м. Точка А лежит в плоскости α, АС=4 м. Найдите ОА.

3. Найдите площадь сечения шара радиуса 41см плоскостью, проведённой на расстоянии 29см от центра шара.

4. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объём шара, если АВ=21см, ВО= 29см.

5. Город N находится на 60^о северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000км.

Дополнительное задание:

Решите задачу:

Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ=8 см, ВС=10 см, АС=12 см и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно .

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение.

Практическая работа №11

Тема: Объем призмы.

Цели:

Ø Повторить понятия многогранников , изучить формулы для нахождения объемов геометрических тел, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §20, п. 110 – п. 118 стр. 263 (§21 п. 194 – п. 207 стр. 339, п. 171 стр. 300).

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что называется объемом?

2. Какой многогранник называется параллелепипедом?

3. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

4. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда? Куба?

5. Чему равен объем наклонного параллелепипеда?

6. Какой многогранник называется призмой?

7. Чему равен объем прямой  призмы?

8. Чему равен объем прямой наклонной призмы?

Решите задачи:

1. Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба.

2.Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136см², а стороны основания 4см и 6см. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда.

3. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 408см², а стороны основания 9см и 6см. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6 – 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 7 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение

Практическая работа № 12

Тема: Объем пирамиды.

Цели:

Ø Повторить понятия пирамиды , изучить формулы для нахождения объемов геометрических тел, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §20, п. 110 – п. 118 стр. 263 (§21 п. 194 – п. 207 стр. 339, п. 171 стр. 300).

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Чему равен объем пирамиды?

Решите задачи:

1. Основание пирамиды – квадрат со стороной равнoй 4м, а высота пирамиды равна диагонали основания. Найдите объем пирамиды.

2.  Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 10см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите объём пирамиды. 

3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём пирамиды. 

4.Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые рёбра равны 13см. Найдите объём пирамиды.

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6 – 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 7 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение).

Практическая работа №13

Тема: Вычисление объёмов тел вращения.

·       Изучить понятие объёма тел вращения, научиться применять полученные знания к решению задач.

Методические указания: Изучить §18стр.230(§19 стр.296)

Ход работы

Ответьте на вопросы:

1. Что называется цилиндром?

2. Чему равен объем цилиндра?

3. Что называется конусом?

4. Чему равен объем конуса?

5. Что называется шаром?

6. Чему равен объем шара?

Решите задачи:

1.Радиус основания цилиндра равен 4см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите объём цилиндра.

2. Найдите объём тела, полученного  вращением прямоугольника со сторонами 4см и 6см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.

3. Объём конуса с радиусом основания 6см равен 96π см³. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Радиус основания конуса равен 5см, а образующая конуса равна 13 см. Найдите объём конуса.

5. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна    4π см². Найдите объём шара.

6. Сколько кубиков с ребром 2см можно отлить из металлического шара диаметром 4см?

Литература: Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение (для 10 – 11 кл. сред. шк. М. Просвещение.