Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

библиотека
материалов

Практическая работа №1 Способы приближенных вычислений по заданной формуле


    1. Вычисление по правилам подсчета цифр


При вычислении данным методом явного учёта погрешностей не ведётся, правила подсчёта цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надёжными.


Правила метода:

  1. При сложении и вычитании приближенных чисел следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой.

  2. При умножении и делении приближенных чисел нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы в них было лишь на одну значащую цифру больше, чем в наименее точном числе.

  3. При определении количества верных цифр в значениях функций от приближённых значений аргумента следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении функции можно считать верными столько знаков после запятой, сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной функции превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в аргументе на величину, равную разряду оценки производной.

  4. В записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем описано в правилах 1-3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.

Правила подсчёта цифр носят оценочный характер, но практическая надёжность этих правил достаточно высока.

При исследовании данного метода используется расчётная таблица – расписка формул.


Пример: Вычислить значение функции hello_html_207b8a74.gif, а = 2,156, b = 0,927.

а

2,156

пояснения при подсчете верных цифр

b

0,927

hello_html_24e34788.gif

8,637

hello_html_5c5192a4.gif= 8,63652,

оценим производную (hello_html_24e34788.gif)’ = hello_html_437af5e0.gif, значит (используя правило 3), надо сохранить на один знак меньше, чем в значении аргумента + 1 запасная цифра.

hello_html_76d1ffd.gif

0,9628

hello_html_76d1ffd.gif= 0,9628083,

оценим производную hello_html_m5475bb75.gif, (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif

9,600

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif=8,637+0,9628=9,5998,

(по правилу 1)результат округляется до трёх знаков после запятой, т.е. 9,600.

hello_html_118f560d.gif

0,8593

hello_html_7b5312c8.gif,

(по правилу 2) результат округляем до трех цифр, как аргумент + 1 запасная цифра.

hello_html_m20306a3a.gif

3,0153

hello_html_4057c7ab.gif,

(используя правило 1)округляем результат до трех цифр + 1 запасная цифра.

hello_html_m145d1723.gif

1,1037

hello_html_6af3d18c.gif,

оценим производную hello_html_21c03f9.gif, (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.

A

8,698

hello_html_73ba5d9e.gif,

при округлении результата использовали правило 2.

А

8,70

8-запасная цифра,

По правилу 4, запасная цифра в окончательном результате округляется hello_html_m660facee.gif


    1. Вычисление со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей


Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в предыдущем примере, и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности hello_html_5f61d9cf.gif, т.е. у a и b все цифры верны.

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.


Пример: Вычислить значение функции hello_html_207b8a74.gif, а = 2,156, b = 0,927.

а

b

hello_html_24e34788.gif

hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_118f560d.gif

a+hello_html_118f560d.gif

ln(a+hello_html_118f560d.gif)

A

2,156

0,927

8,637

0,9628

9,603

0,860

3,016

1,104

8,70

hello_html_mad477dd.gifа

hello_html_mad477dd.gifb

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_24e34788.gif)

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_76d1ffd.gif)

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif)

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_118f560d.gif)

hello_html_mad477dd.gif(a+hello_html_118f560d.gif)

hello_html_mad477dd.gifln(a+hello_html_118f560d.gif)

hello_html_mad477dd.gifA

0,0005

0,0005

0,0049

0,00027

0,0054

0,0016

0,0021

0,00076

0,016


Используя калькулятор, имеем hello_html_m6c42ef9c.gif.

При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем таблицу 1.2. hello_html_56325f32.gif.

Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой:hello_html_35ffba35.gif и вносим его в таблицу.

При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.

Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.

Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7 hello_html_m2da51680.gif0,1.


Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.


    1. Вычисление по методу границ


Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений – метод границ.

Пусть f(x, y) – функция непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов x и y. Нужно получить её значение f(a, b), где a и b – приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

hello_html_m66b6e84.gif; hello_html_m6575e28f.gif.

Здесь НГ, ВГ - обозначение соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения (a, b) при известных границах значений a и b.


Допустим, что функция f(x, y) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

hello_html_mfb97645.gif.

Пусть теперь f(x, y) возрастает по аргументу x и убывает по аргументу y. Тогда будет строго гарантировано неравенство

hello_html_m73091446.gif.

Рассмотрим указанный принцип на примере основных арифметических действий. Пусть hello_html_m5d0e8ab7.gif. Тогда очевидно, что

hello_html_626b7399.gif.

Точно так же для функции hello_html_de4f12f.gif(она по x возрастает, а по y убывает) имеем

hello_html_34f8b1b3.gif.

Аналогично для умножения и деления:

hello_html_1256c949.gif

Вычисляя по методу границ с пошаговой регистрацией промежуточных результатов, удобно использовать обычную вычислительную таблицу, состоящую из двух строк – отдельно для вычисления НГ и ВГ результата (по этой причине метод границ называют ещё методом двоичных вычислений). При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчёта цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведётся по недостатку, а верхних по – избытку. Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.

Пример: Вычислить значение функции hello_html_207b8a74.gif, а = 2,156, b = 0,927.

Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0, 927 все цифры верны (hello_html_m264455f.gif,

т.е. 2,1555 < a < 2,1565; 0,9265 < b < 0,9275.


а

b

hello_html_24e34788.gif

hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_118f560d.gif

a+hello_html_118f560d.gif

ln(a+hello_html_118f560d.gif)

A

НГ

2,1555

0,9265

8,63220

0,96255

9,59475

0,85840

3,01434

1,10338

8,6894

ВГ

2,1565

0,9275

8,64084

0,96307

9,60391

0,86026

3,01676

1,10419

8,7041


Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет вид 8,6894 < А < 8,7041.


По результатам вычислений получаем

hello_html_m4431e651.gif

что дает А = 8,697hello_html_m2da51680.gif0,008, или при записи верными цифрами, А=8,7hello_html_m2da51680.gif0,01.


Задания практического занятия №1


Задание 1.


Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданны значениях параметров a, b и c, использую «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

  1. по правилам подсчета цифр;

  2. с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;

  3. по способу границ.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.


В результате выполнения практической работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.


Номер варианта

Z

a

b

c

1

hello_html_596b5736.gif

3,4

6,22

0,149

2

hello_html_m1f0bd938.gif

4,05

6,723

0,03254

3

hello_html_m55f61f3c.gif

0,7219

135,347

0,013

4

hello_html_a34640f.gif

3,672

4,63

0,0278

5

hello_html_197cfa5b.gif

1,24734

0,346

0,051

6

hello_html_m46a642c3.gif

11,7

0,0937

5,081

7

hello_html_32d94b99.gif

1,75

1,21

0,041

8

hello_html_m386b405e.gif

18,0354

3,7251

0,071

9

hello_html_m3c3fe69a.gif

0,113

0,1056

89,4

10

hello_html_7f67648e.gif

0,0399

4,83

0,072

11

hello_html_32b86376.gif

1,574

1,40

1,1236

12

hello_html_m5f31fee8.gif

12,72

0,34

0,0290

13

hello_html_6c2f0127.gif

3,49

0,845

0,0037

14

hello_html_5816b20a.gif

0,0976

2,371

1,15874

15

hello_html_457ce741.gif

0,11587

4,25

3,00971



Практическая работа №2

hello_html_m24fdb67b.png

hello_html_41061d78.png

hello_html_34d7716.png

Практическая работа №3



hello_html_m539f78de.png

Практическая работа №4



hello_html_35a4337a.png




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 16.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров885
Номер материала ДВ-161584
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх