Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическая работа №1 Способы приближенных вычислений по заданной формуле


    1. Вычисление по правилам подсчета цифр


При вычислении данным методом явного учёта погрешностей не ведётся, правила подсчёта цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надёжными.


Правила метода:

  1. При сложении и вычитании приближенных чисел следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой.

  2. При умножении и делении приближенных чисел нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы в них было лишь на одну значащую цифру больше, чем в наименее точном числе.

  3. При определении количества верных цифр в значениях функций от приближённых значений аргумента следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении функции можно считать верными столько знаков после запятой, сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной функции превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в аргументе на величину, равную разряду оценки производной.

  4. В записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем описано в правилах 1-3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.

Правила подсчёта цифр носят оценочный характер, но практическая надёжность этих правил достаточно высока.

При исследовании данного метода используется расчётная таблица – расписка формул.


Пример: Вычислить значение функции hello_html_207b8a74.gif, а = 2,156, b = 0,927.

а

2,156

пояснения при подсчете верных цифр

b

0,927

hello_html_24e34788.gif

8,637

hello_html_5c5192a4.gif= 8,63652,

оценим производную (hello_html_24e34788.gif)’ = hello_html_437af5e0.gif, значит (используя правило 3), надо сохранить на один знак меньше, чем в значении аргумента + 1 запасная цифра.

hello_html_76d1ffd.gif

0,9628

hello_html_76d1ffd.gif= 0,9628083,

оценим производную hello_html_m5475bb75.gif, (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif

9,600

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif=8,637+0,9628=9,5998,

(по правилу 1)результат округляется до трёх знаков после запятой, т.е. 9,600.

hello_html_118f560d.gif

0,8593

hello_html_7b5312c8.gif,

(по правилу 2) результат округляем до трех цифр, как аргумент + 1 запасная цифра.

hello_html_m20306a3a.gif

3,0153

hello_html_4057c7ab.gif,

(используя правило 1)округляем результат до трех цифр + 1 запасная цифра.

hello_html_m145d1723.gif

1,1037

hello_html_6af3d18c.gif,

оценим производную hello_html_21c03f9.gif, (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.

A

8,698

hello_html_73ba5d9e.gif,

при округлении результата использовали правило 2.

А

8,70

8-запасная цифра,

По правилу 4, запасная цифра в окончательном результате округляется hello_html_m660facee.gif


    1. Вычисление со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей


Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в предыдущем примере, и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности hello_html_5f61d9cf.gif, т.е. у a и b все цифры верны.

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.


Пример: Вычислить значение функции hello_html_207b8a74.gif, а = 2,156, b = 0,927.

а

b

hello_html_24e34788.gif

hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_118f560d.gif

a+hello_html_118f560d.gif

ln(a+hello_html_118f560d.gif)

A

2,156

0,927

8,637

0,9628

9,603

0,860

3,016

1,104

8,70

hello_html_mad477dd.gifа

hello_html_mad477dd.gifb

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_24e34788.gif)

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_76d1ffd.gif)

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif)

hello_html_mad477dd.gif(hello_html_118f560d.gif)

hello_html_mad477dd.gif(a+hello_html_118f560d.gif)

hello_html_mad477dd.gifln(a+hello_html_118f560d.gif)

hello_html_mad477dd.gifA

0,0005

0,0005

0,0049

0,00027

0,0054

0,0016

0,0021

0,00076

0,016


Используя калькулятор, имеем hello_html_m6c42ef9c.gif.

При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем таблицу 1.2. hello_html_56325f32.gif.

Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой:hello_html_35ffba35.gif и вносим его в таблицу.

При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.

Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.

Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7 hello_html_m2da51680.gif0,1.


Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.


    1. Вычисление по методу границ


Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений – метод границ.

Пусть f(x, y) – функция непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов x и y. Нужно получить её значение f(a, b), где a и b – приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

hello_html_m66b6e84.gif; hello_html_m6575e28f.gif.

Здесь НГ, ВГ - обозначение соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения (a, b) при известных границах значений a и b.


Допустим, что функция f(x, y) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

hello_html_mfb97645.gif.

Пусть теперь f(x, y) возрастает по аргументу x и убывает по аргументу y. Тогда будет строго гарантировано неравенство

hello_html_m73091446.gif.

Рассмотрим указанный принцип на примере основных арифметических действий. Пусть hello_html_m5d0e8ab7.gif. Тогда очевидно, что

hello_html_626b7399.gif.

Точно так же для функции hello_html_de4f12f.gif(она по x возрастает, а по y убывает) имеем

hello_html_34f8b1b3.gif.

Аналогично для умножения и деления:

hello_html_1256c949.gif

Вычисляя по методу границ с пошаговой регистрацией промежуточных результатов, удобно использовать обычную вычислительную таблицу, состоящую из двух строк – отдельно для вычисления НГ и ВГ результата (по этой причине метод границ называют ещё методом двоичных вычислений). При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчёта цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведётся по недостатку, а верхних по – избытку. Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.

Пример: Вычислить значение функции hello_html_207b8a74.gif, а = 2,156, b = 0,927.

Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0, 927 все цифры верны (hello_html_m264455f.gif,

т.е. 2,1555 < a < 2,1565; 0,9265 < b < 0,9275.


а

b

hello_html_24e34788.gif

hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_24e34788.gif+hello_html_76d1ffd.gif

hello_html_118f560d.gif

a+hello_html_118f560d.gif

ln(a+hello_html_118f560d.gif)

A

НГ

2,1555

0,9265

8,63220

0,96255

9,59475

0,85840

3,01434

1,10338

8,6894

ВГ

2,1565

0,9275

8,64084

0,96307

9,60391

0,86026

3,01676

1,10419

8,7041


Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет вид 8,6894 < А < 8,7041.


По результатам вычислений получаем

hello_html_m4431e651.gif

что дает А = 8,697hello_html_m2da51680.gif0,008, или при записи верными цифрами, А=8,7hello_html_m2da51680.gif0,01.


Задания практического занятия №1


Задание 1.


Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданны значениях параметров a, b и c, использую «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

  1. по правилам подсчета цифр;

  2. с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;

  3. по способу границ.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.


В результате выполнения практической работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.


Номер варианта

Z

a

b

c

1

hello_html_596b5736.gif

3,4

6,22

0,149

2

hello_html_m1f0bd938.gif

4,05

6,723

0,03254

3

hello_html_m55f61f3c.gif

0,7219

135,347

0,013

4

hello_html_a34640f.gif

3,672

4,63

0,0278

5

hello_html_197cfa5b.gif

1,24734

0,346

0,051

6

hello_html_m46a642c3.gif

11,7

0,0937

5,081

7

hello_html_32d94b99.gif

1,75

1,21

0,041

8

hello_html_m386b405e.gif

18,0354

3,7251

0,071

9

hello_html_m3c3fe69a.gif

0,113

0,1056

89,4

10

hello_html_7f67648e.gif

0,0399

4,83

0,072

11

hello_html_32b86376.gif

1,574

1,40

1,1236

12

hello_html_m5f31fee8.gif

12,72

0,34

0,0290

13

hello_html_6c2f0127.gif

3,49

0,845

0,0037

14

hello_html_5816b20a.gif

0,0976

2,371

1,15874

15

hello_html_457ce741.gif

0,11587

4,25

3,00971



Практическая работа №2

hello_html_m24fdb67b.png

hello_html_41061d78.png

hello_html_34d7716.png

Практическая работа №3



hello_html_m539f78de.png

Практическая работа №4



hello_html_35a4337a.png



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 16.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров673
Номер материала ДВ-161584
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх