Практические занятия по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Скачать материал

Департамент образования, науки и молодежной политики

Воронежской области

ГБПОУ ВО «Борисоглебский техникум промышленных и информационных технологий»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для проведения практических занятий

по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика

2016 г.

Методические указания для проведения практических занятий по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика разработаны на основе рабочей программы дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика по специальности 09.02.04 «Информационные системы (по отраслям)»

Разработчик:

Гущина Л.Б., преподаватель ГБПОУ ВО «Борисоглебский техникум промышленных и информационных технологий»

Рассмотрена цикловой комиссией Информационных систем

Протокол от «31» августа 2016г. № 1

Председатель ц/к _______________ Трохан Л.А.

Перечень практических занятий

1. Решение задач с элементами комбинаторики.

2. Решение задач на определение вероятностей событий.

3. Решение задач на определение вероятностей сложных событий

4. Решение задач на определение вероятностей по формулам Бернулли и Лапласа

5. Построение закона распределения и функции распределения для ДСВ.

6. Нахождение числовых характеристик ДСВ.

7. Построение биномиального закона распределения.

8. Построение функции распределения НСВ. Нахождение числовых характеристик.

9. Решение задач по определению точечных и интервальных оценок выборки.

Формирование общих и профессиональных компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы.

ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.

Методические указания для проведения практического занятия № 1

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Решение задач с элементами комбинаторики.

Цель:

- выработка практических навыков при решении комбинаторных задач;

- уважение к своей профессии, трудолюбие, внимательность;

- логическое мышление, умение находить правильное решение.

Основные теоретические положения:

Основные комбинаторные формулы.

А = n! / (n-m)! - Размещение из n элементов по m

C = n! / (m!(n-m)!) - Сочетание из n элементов по m

P = n! - перестановка из данных n

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

1 вариант.

1. Решите уравнение:

2. Сколькими способами могут разместиться пять человек вокруг круглого стола?

3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1;2;5;8;9 так чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

4. В бригаде из двадцати пяти человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

5. В вазе с фруктами лежит 12 персиков и 9 слив. Сколькими способами можно выбрать 4 персика и 3 сливы?

2 вариант.

1. Решите уравнение:

2. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг?

3. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют семь команд?

4. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

5. На полке стоит 4 энциклопедии и 11 детективов. Сколькими способами можно выбрать пять детективов и две энциклопедии?

3 вариант.

1. Решите уравнение:

2. Сколькими способами можно составить список из шести человек?

3. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9?

4. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для генеральной уборки класса требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

4 вариант.

1. Решите уравнение:

2. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

3. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется восемь учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только три из них?

4. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

5. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Что называется перестановкой из n элементов?

Какой смысл имеет запись n! ?
По какой формуле вычисляют число перестановок из n элементов?
Что называется размещением из n элементов по k?
По какой формуле вычисляют число размещений из n элементов по k?
Что называется сочетанием из n элементов по k?
По какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по k?

Используемая литература.

1. Кочетков Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник/Е. С.Кочетков,С. О. Смерчинская, В. В.Соколов.- 2-e изд., испр. и перераб.-Форум: НИЦ ИНФРА-М,2014. - 240 с.

2. 2.Березинец И. В. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: практикум/И. В. Березинец.- Высшая школа менеджмента СПбГУ. — 9-е изд., испр. и доп. — СПб.: изд-во «Высшая школа менеджмента», 2013 — 163 с.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 2

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Решение задач на определение вероятностей событий.

Цель:

- выработка практических навыков при решении задач на определение

вероятности по классической форме;

- уважение к своей профессии, трудолюбие, внимательность;

- логическое мышление, умение находить правильное решение.

Основные теоретические положения:

Вероятность Р(А) случайного события А определяется как Р(А) = M/N, где M число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, т. е тех элементарных исходов, при которых событие А происходит, N – общее число элементарных исходов. Такое определение вероятности называется классическим.

Представим себе, что из города А в город В можно добраться либо одним из m авиарейсов, либо одним из n поездов, либо одним из k теплоходов. Следовательно, из города А в город В можно попасть m+n+k способами. Это отражает комбинаторный принцип сложения.

Предположим далее, что из города А в город С можно добраться лишь через пункт В, причем А и В связаны m путями, а В и С - n путями. Тогда А и С связаны mn различными путями. При этом два пути из А в С считаются разными, если они различаются хотя бы на одном из участков АВ и ВС.

Это отражает комбинаторный принцип умножения.

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

1 вариант.

1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

3. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы 2 шара оказались белыми, а один черным?

4. Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп. Найти относительную частоту появления бракованных ламп.

5. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,8. найти число годных приборов, если всего было проверено 250 приборов.

2 вариант.

1. В урне имеется 20 шаров, среди которых 12 красного цвета. Из урны наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что извлеченные шары не красные.

2. В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных.

3. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов?

4. По цели произведено 40 выстрелов, причем зарегистрировано 37 попаданий. Найти относительную частоту промахов.

5. При испытании партии телевизоров относительная частота бракованных телевизоров оказалась равной 0,15. найти число качественных телевизоров, если было проверено 400 телевизоров.

3 вариант.

1. В ящике 100 деталей, из них 18 бракованных. Наудачу извлечены4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.

2. На складе имеется 25 кинескопов, причем 15 из них изготовлены Минским заводом. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу кинескопов окажутся 4 кинескопа Минского завода.

3. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы один шар оказался белыми, а два черным?

4. По цели произведено 30 выстрелов, причем зарегистрировано 28 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

5. При проверке качества электрических лампочек оказалось, что относительная частота бракованных лампочек равна 0,2. Найти число качественных электрических лампочек, если всего было проверено 600 лампочек.

4 вариант.

1. Устройство состоит из 15 элементов, из которых 4 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 3 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2. В группе 28 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 4 отличника.

3. В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 - стандартные.

4. Отдел технического контроля обнаружил 25 бракованных деталей в партии из случайно отобранных 300 деталей. Найти относительную частоту появления стандартных деталей.

5. При проверке учебников относительная частота качественных учебников оказалась равной 0,85. найти число бракованных книг, если всего было проверено 400 учебников.

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Какое событие называют достоверным?

Какое событие называют невозможным?
Дайте определение противоположных событий.
Сформулируйте классическое определение вероятности.
Чему равна вероятность достоверного события?
Чему равна вероятность невозможного события?
Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?
Что называется относительной частотой события?

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 3

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Решение задач на определение вероятностей сложных событий

Цель:

- выработка практических навыков при решении задач на определение вероятности

сложных событий;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, умение находить правильное

решение.

Основные теоретические положения:

Формула полной вероятности является следствием теорем о сложении и умножении вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти только вместе с одним из событий Н₁,Н₂…Н_n образующих полную группу несовместных событий.

Эти события называются гипотезами.

Так как гипотезы образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с одной из этих гипотез. Поэтому,

Так как гипотезы Н₁,Н₂…Н_n несовместны, то и комбинации Н₁А, Н₂А … Н_nА тоже несовместны. Тогда по теореме о сложении вероятностей

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1.

1. В пирамиде 10 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,85; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 25 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 15 ламп, из них 11 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,85, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набранные цифры правильные.

5. Из 50деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вариант 2.

1. В пирамиде 25 винтовок, 8 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,65. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 35 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 25 ламп, из них 10 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,7, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

5. Из 70деталей 20 изготовлены в первом цехе, 25 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех – с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вариант 3.

1. В пирамиде 30 винтовок, 12 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,75. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 50 радиоламп, из них 32 стандартных; во второй коробке – 25 ламп, из них 18 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,65, а второго – 0,85. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равна 8.

5. Из 30деталей 8 изготовлены в первом цехе, 12 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,85, второй цех – с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Вариант 4.

1. В пирамиде 10 винтовок, 7 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2. В первой коробке содержится 45 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 15 ламп, из них 11 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,5, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

5. Из 80деталей 28 изготовлены в первом цехе, 32 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте теорему умножения событий.

Сформулируйте теорему сложения событий.
Формула условной вероятности.
Формула полной вероятности.

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 4

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Решение задач на определение вероятностей по формулам Бернулли и Лапласа

Цель:

- выработка практических навыков при решении задач на определение

вероятности по формуле Бернулли;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, умение находить

правильное решение.

Основные теоретические положения:

Производится последовательность испытаний, в каждом из которых, независимо от остальных испытаний, определенное событие А происходит с одной и той же вероятностью р. Это событие А называется успехом, а противоположное событие А - неудачей. Пусть р – вероятность успеха в отдельном испытании Бернулли, а q = 1-р, вероятность неудачи.

Требуется найти вероятность события B_m, того, что событие А в серии из n опытов произойдет m раз. Обозначим ее P_mn .

Разложим событие B_mна сумму произведений событий, состоящих в появлении или не появлении события А в каждом опыте:

В каждом случае событие А происходит m раз, а событие Ā - (n-m) раз.

Число всех комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е. числу способов, какими можно из n опытов выбрать те m, в которых произошло событие А.

Вероятность каждой такой комбинации по теореме об умножении вероятностей составит

P^mqⁿ^-^m.

Так как эти комбинации несовместны, то искомая вероятность события B_m будет

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1.

1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз.

2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз.

4. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы.

5. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Вариант 2.

1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше чем 230 раз.

4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.

Вариант 3.

1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз.

2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 190 раз; меньше чем 235раз.

4. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент выключены все моторы.

5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,4.

Вариант 4.

1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6.

2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,85. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более трех?

3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 180 раз; меньше чем 220 раз.

4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

5. Найти вероятность того, что при 200 испытаниях событие наступит ровно 144 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Вероятности каких событий можно вычислять по формуле Бернулли?

Как записывается формула Бернулли?
Вероятности каких событий можно вычислять по локальной теореме Лапласа?
Вероятности каких событий можно вычислять по интегральной теореме Лапласа?
Как записывается формула локальной теоремы Лапласа?
Как записывается формула интегральной теоремы Лапласа?

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 5

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Построение закона распределения и функции распределения для ДСВ.

Цель: - выработка практических навыков на запись распределения ДСВ;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, самостоятельной

деятельности, вычислительных навыков, умение находить правильное

решение.

Основные теоретические положения:

Соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Этот закон можно задать таблицей. Строится соответствующая таблица, состоящая из двух строк. Первая указывает возможные значения, а вторая их вероятности.

Х	х₁	х₂	…	x_n
Р	p₁	p₂	…	p_n

Так как в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х=х₁, Х=х₂, …, Х= x_n образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна 1: р₁+ p₂+ …+ p_n₌1.

Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону с параметрами

n,p >0, если Х принимает значения: 0,1,2,…n и вероятность того, что случайная величина

примет значение X=m находится по формуле Бернулли:

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1

Х	2	4	5	6
Р	0,3	0,1	0,4	0,2

1. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартные. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

3. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,3. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Х	3	4	5	6	7
Р	р₁	0,15	р₃	0,25	0,35

4. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Найти вероятности р₁ и р₃, если известно, что р₃ в 4 раза больше р₁.

5. Монету подбрасывают пять раз. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадения герба.

Вариант 2

Х	2	5	8	9
Р	0,2	0,4	0,1	0,3

1. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

2. В денежной лотерее выпущено 500 билетов. Разыгрывается два выигрыша по1000 рублей, десять выигрышей по 100 рублей и двадцать – по 50 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.

4. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х	2	5	8	11	14
Р	р₁	0,15	р₃	0,45	0,15

Найти вероятности р₁ и р₃, если известно, что р₁ в 2 раза меньше р₃.

5. Банк выдает пять кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить закон распределения случайной величины Х – числа заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.

Вариант 3

Х	1	3	5	9
Р	0,2	0,4	0,1	0,3

1. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

2. Из коробки с пятью деталями, среди которых четыре стандартных, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – количества стандартных деталей среди отобранных.

3. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,4. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

4. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х	2	6	10	14	18
Р	р₁	0,15	р₃	0,45	0,15

Найти вероятности р₁ и р₃, если известно, что р₁ в 4 раза меньше р₃.

5. Монету подбрасывают шесть раз. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадения решки.

Вариант 4

Х	1	4	7	9
Р	0,1	0,6	0,2	0,1

1. . Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

2. В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 100 рублей, пять выигрышей по 50 рублей и двадцать – по 10 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

3. В партии 15% нестандартных деталей. Наудачу отобраны пять деталей. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди пяти отобранных.

4. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х	3	6	9	12	18
Р	0,25	Р₂	р₃	0,25	0,15

Найти вероятности р₂ и р₃, если известно, что р₂ в 2 раза больше р₁.

5. Банк выдает четыре кредита. Вероятность невозврата кредита равна 0,3 для каждого из заемщиков. Составить закон распределения случайной величины Х – числа заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дискретной случайной величины.

2. Дайте определение непрерывной случайной величины.

3. Дайте определение закона распределения дискретной случайной величины.

4. Дайте определение многоугольника распределения дискретной случайной величины.

5. Формула биномиального распределения.

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 6

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Нахождение числовых характеристик ДСВ.

Цель: - выработка практических навыков на вычисление характеристик ДСВ;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, самостоятельной

деятельности, вычислительных навыков, умение находить правильное

решение.

Основные теоретические положения: Основные формулы:

5. s

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1.

1. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁=0,7; р₂=0,8 и р₃=0,6.Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

2. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

3. Случайная величина Х может принимать два возможных значения: х₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7, причем х₁меньше х_2.Найти х₁ и х₂, зная, что М(Х)=2,7 и D(X)=0,21.

4. Дискретная случайная величина Х принимает 3 возможных значения: х₁=6 с вероятностью р₁=0,5, х₂=4 с вероятностью р₂=0,3 и х₃с вероятностью р_3.Найти х₃и р₃, зная, что М(Х)=12.

У	2	4	5	6
Р	0,1	0,3	0,2	0,4

5. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Вариант 2.

1. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Х	2	3	5
р	0,1	0,6	0,3

3. Случайная величина Х может принимать два возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁ и х₂ = 6 с вероятностью р_2.Найти р₁ и р₂, зная, что М(Х)=10,8 и D(X)=0,84.

4. Дискретная случайная величина Х принимает 3 возможных значения: х₁=8 с вероятностью р₁=0,2, х₂=6 с вероятностью р₂=0,4 и х₃с вероятностью р_3.Найти х₃и р₃, зная, что М(Х)=20.

Х	1	3	6	8
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

5. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Вариант 3.

1. Производится четыре выстрела с вероятностью попадания в цель р₁=0,6; р₂=0,4; р₃=0,5 и р₄=0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Х	4	7	10
р	0,2	0,4	0,4

3. Случайная величина Х может принимать два возможных значения: х₁ с вероятностью 0,6 и х₂ с вероятностью 0,9, причем х₁меньше х_2.Найти х₁ и х₂, зная, что М(Х)=5,4 и D(X)=0,42.

4. Дискретная случайная величина Х принимает 3 возможных значения: х₁=9 с вероятностью р₁=0,5, х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃с вероятностью р_3.Найти х₃и р₃, зная, что М(Х)=18.

У	4	6	7	8
Р	0,2	0,3	0,1	0,4

5. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Вариант 4.

1. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Х	3	9	16
р	0,4	0,1	0,5

3. Случайная величина Х может принимать два возможных значения: х₁=2 с вероятностью р₁ и х₂ = 3 с вероятностью р_2.Найти р₁ и р₂, зная, что М(Х)=2,7 и D(X)=0,21.

4. Дискретная случайная величина Х принимает 3 возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,1, х₂=3 с вероятностью р₂=0,2 и х₃с вероятностью р_3.Найти х₃и р₃, зная, что М(Х)=10.

Х	1	5	7	9
Р	0,4	0,1	0,3	0,2

5. Построить многоугольник распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение математического ожидания случайной величины.

2. Что называется дисперсией случайной величины?

3. Запишите формулу вычисления математического ожидания случайной величины.

4. Запишите формулу вычисления дисперсии случайной величины.

5. Свойства математического ожидания случайной величины.

6. Свойства дисперсии случайной величины.

7. Дайте определение среднего квадратического отклонения.

8. Запишите формулу вычисления среднего квадратического отклонения.

9. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.

10. Определение биномиального закона распределения.

11. Формула биноминального закона распределения дискретной случайной величины.

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 7

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Построение биномиального закона распределения.

Цель: - выработка практических навыков по построение биномиального закона

распределения случайной величины Х;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, самостоятельной

деятельности, вычислительных навыков, умение находить правильное

решение.

Основные теоретические положения:

Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n,p >0, если Х принимает значения: 0,1,2,…n и вероятность того, что случайная величина примет значение X=m находится по формуле Бернулли:

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1.

1. Партия 10 телевизоров имеет 4 неисправных. Наугад выбрали 3 телевизора. Построить ряд распределения случайной величины Х – количество неисправных телевизоров.

2. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартных, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – количества стандартных деталей среди отобранных.

Вариант 2.

1. В партии из 5 деталей имеются 3 дефектных. Наугад отобраны 3 детали. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

2. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди отобранных.

Вариант 3.

1. Построить ряд распределения случайной величины Х – число мужчин по размерам обуви - в табличной форме:

Размер обуви	38	39	40	41	42	43	44	Итого
Число мужчин	5	42	155	182	100	13	3	500

2. Завод изготовил 40 телевизоров, из них 10 телевизоров с плоским кинескопом. Для проведения эксперимента было отобрано 3 телевизора. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа телевизоров с плоским кинескопом среди отобранных.

Вариант 4.

1. Урна из 20 шаров одинаковых по размеру содержит 15 белых шаров. Наудачу отобрано 3 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа белых шаров среди отобранных.

2. Завод изготовил 200 холодильников, из них 100 холодильников двухкамерных. Для проведения эксперимента было отобрано 3 холодильника. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – количества двухкамерных холодильников среди отобранных.

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дискретной случайной величины.

2. Дайте определение закона распределения дискретной случайной величины.

3. Понятие биномиального распределения.

4. Формула биномиального распределения.

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 8

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Построение функции распределения НСВ. Нахождение числовых характеристик.

Цель: - выработка практических навыков на вычисление вероятностей и нахождение

характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной

функции распределения;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, самостоятельной

деятельности, вычислительных навыков, умение находить правильное

решение.

Основные теоретические положения:

Производная от функции распределения непрерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей Х:

f(x) = F^’(x)

Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой находятся на отрезке (а, b), называется определенный интеграл:

М(X)=

Дисперсией НСВ Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

D(X)=

Для вычисления дисперсии употребляют более удобную формулу:

D(X)= – [М(X)]².

Среднее квадратическое отклонение НСВ определяется:

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x) = 1 на интервале (0;1).

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

3. Случайная величина Х в интервале (2;4) задана плотностью распределения f(x) = - 0,75x²+ 4,5x – 6;вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0;2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Вариант 2.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x) = 2х на интервале (0;2).

3. Случайная величина Х в интервале (3;5) задана плотностью распределения f(x) = - 0,75x²+ 6x – 11,25;вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 3x в интервале (0;1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Вариант 3.

1.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x)= на интервале (0;2).

3. Случайная величина Х в интервале (0;1) задана плотностью распределения f(x)= 3x²; вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 4x в интервале (0;3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Вариант 4.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x) = х на интервале (0;3).

3. Случайная величина Х в интервале (3;5) задана плотностью распределения f(x) = - 1,5x²+ 12x – 22,5;вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду величины Х.

4. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x)=

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 5x в интервале (0;2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение математического ожидания непрерывной случайной величины.

2. Дайте определение дисперсии непрерывной случайной величины.

3. Дайте определение среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины.

4. Дайте определение моды.

5. Дайте определение начального момента.

6. Запишите формулы вычисления моды и начального момента.

Используемая литература.

Преподаватель

Методические указания для проведения практического занятия № 9

по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Тема: Решение задач по определению точечных и интервальных оценок выборки.

Цель: - выработка практических навыков на построение для заданной выборки ее

графической диаграммы, расчёта по заданной выборке её числовых

характеристик;

- логическое мышление, трудолюбие, внимательность, самостоятельной

деятельности, вычислительных навыков, умение находить правильное

решение.

Основные теоретические положения:

- выборочная дисперсия

- выборочное стандартное отклонение

- интервальная оценка

- точность оценки - выборочное среднее

Статистическое распределение выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, в которой значение х₁ исследуемого признака Х наблюдалось n₁ раз, значение х₂ - n₂ раз,…, значение х_k – n_k раз. Значения x_i называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, вариационным рядом. Числа n_i называются частотами, а их отношение к объему выборки – относительными частотами.

W_i = n_i/n , где ∑n_i=n.

Модой М_о называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой М_е называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т.е. k=2l+1, то m_e=x_i₊₁; если же число вариант четно (k=2l), то m_e= (x_i + x_i₊₁)/2. Размахом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами: R= x_max - x_min.

Перечень вариант и соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки. Здесь имеется аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей – это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – это соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами). Сумма относительных частот равна 1, т.е. ∑W_i=1.

Оснащение: конспекты, тетрадь, ручка

Порядок выполнения

Самостоятельное решение задач по вариантам (4 варианта).

Вариант 1.

№ 1. Для выборки 7,-7,2,7,7,5,5,7,5,-7 определите: а) размах выборки; б) объём выборки; в) статистический ряд; г) выборочное распределение; д) полигон частот; е) выборочное среднее; ж)выборочную дисперсию; з) несмещенную выборочную дисперсию.

№ 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки.

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот
1	10-15	2
2	15-20	4
3	20-25	8
4	25-30	4
5	30-35	2

Найти предварительно плотность частоты для каждого интервала.

Найти интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с надежностью 0,95.

Вариант 2.

№ 1. Для выборки 5,2,8,-2,5,-2,0,0,8,5 определите: а) размах выборки; б) объём выборки; в)статистический ряд; г) выборочное распределение; д) полигон частот; е) выборочное среднее; ж)выборочную дисперсию; з) несмещенную выборочную дисперсию.

№ 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки.

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот
1	2-5	6
2	5-8	7
3	8-11	4
4	11-14	5
5	14-17	3

Найти предварительно плотность частоты для каждого интервала.

Вариант 3.

№ 1. Для выборки 1,9,2,1,1,5,5,1,5,9 определите: а) размах выборки; б) объём выборки; в)статистический ряд; г) выборочное распределение; д) полигон частот; е) выборочное среднее; ж)выборочную дисперсию; з) несмещенную выборочную дисперсию.

№ 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки.

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот
1	2-7	5
2	7-12	10
3	12-17	25
4	17-22	6
5	22-27	4

Найти предварительно плотность частоты для каждого интервала.

Вариант 4.

№ 1. Для выборки 15,10,2,15,15,5,5,15,5,10 определите: а) размах выборки; б) объём выборки; в)статистический ряд; г) выборочное распределение; д) полигон частот; е) выборочное среднее; ж)выборочную дисперсию; з) несмещенную выборочную дисперсию.

№ 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки.

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот
1	3-5	4
2	5-7	6
3	7-9	20
4	9-11	40
5	11-13	20
6	13-15	4
7	15-17	6

Найти предварительно плотность частоты для каждого интервала.

Требования к оформлению результатов (отчета):

В рабочей тетради по дисциплине записывается условие задачи и решение.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение вариационного ряда.

2. Что называется размахом выборки?

3. Как для данной выборки получают статистический ряд и выборочное распределение?

4. Какие графические изображения выборок вы знаете?

5. Чему равна площадь гистограммы относительных частот?

6. Дайте определение выборочного среднего.

7. Дайте определение выборочной дисперсии.

8. Как связаны между собой выборочная дисперсия и несмещенная выборочная дисперсия?

Используемая литература.

Преподаватель

Скачать материал

Скачать материал "Практические занятия по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 661 878 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pptx

Презентация по окружающему миру на тему "Мы жители вселенной"(2 класс)

16.10.2018
485
0

docx

План-конспект урока учебной практики «Разборка и сборка автомобиля на узлы и агрегаты»

16.10.2018
1369
7

zip

Буклет " Здоров будешь-все добудешь", Буклет "Жизнь без вредных привычек"

16.10.2018
331
4

pptx

Презентация литературно – музыкальной композиции «… Ушли в бессмертие, Чтоб с нами жить», посвящённой 73 годовщине со Дня Победы советского народа в годы Великой Отечественной войны 1941 – 1945 годов.

Рейтинг: 5 из 5

16.10.2018
1111
1

pptx

Презентация на тему: " В мире танцев"

16.10.2018
10033
337

docx

Духовно – нравственное воспитание школьников на уроках английского языка

16.10.2018
405
0

pptx

Классный час "Наш Пушкин"

16.10.2018
578
0

docx

Контрольно-оценочные средства ОГСЭ.ОЗ «Иностранный язык» ОП.08 Иностранный язык в сфере профессиональной коммуникации

16.10.2018
800
3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 16.10.2018 2726
- DOCX 96.1 кбайт
- 12 скачиваний
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Гущина Людмила Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Гущина Людмила Борисовна
- На сайте: 6 лет и 11 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 41119
- Всего материалов: 17