Задания районного этапа олимпиады
школьников по математике
2013-2014 учебный год
11 класс
1.
Доказать, что, если а, в,
с – положительные числа, то .
(5 баллов)
2.
Решите уравнение: .
(7 баллов)
3.
Непараллельные стороны
трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена
прямая, параллельная основаниям трапеции, Найти отрезок её, ограниченный
продолжениями диагоналей, если основания равны а и в (а>в).
(10 баллов)
4.
Известно, что , найти .
(5 баллов)
5.
При каких значениях
параметра a уравнение не имеет корней?
(5 баллов)
Ответы и указания
к заданиям районного этапа олимпиады
школьников по математике
2013-2014 учебный год
11
класс
1. Указание. Использовать неравенство ;
1) ; 2) ; 3)
. Складывая три неравенства, получим то,
что нужно было доказать.
2. Пусть , тогда уравнение принимает вид .
Найдём нули модулей Решим уравнение:
1) Вернёмся к замене ; корней нет.
2)
3) Вернёмся к замене ; два корня. .
Ответ: .
3. Указание.
Сделать рисунок и
рассмотреть три пары подобных треугольников, записать пропорциональность
сторон, обозначив высоту искомой трапеции за h, а построенной трапеции
за .
Пусть ДМNЕ
искомая трапеция, точка С точка пересечения продолжения диагоналей, а АВ
искомый отрезок. Тогда треугольники ДМЕ и СМА; ДNЕ и ВNС; МNЕ и АСЕ
являются подобными, поэтому
Откуда следует АС=СВ, а из первого и
третьего равенства следует АС=.
Ответ: .
4. Возвести в квадрат
обе части уравнения ,
Ответ: .
5. Уравнение не имеет
корней, если . ; .
Ответ:
Задания районного этапа олимпиады
школьников по математике
2013-2014 учебный год
9 класс
1.
Известно, что , . Чему
может равняться .
(5 баллов)
2.
Решите уравнение: .
(5 баллов)
3.
На сторонах АВ и ВС
параллелограмма АВСД вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСN.
Докажите, что треугольник ДМN равносторонний.
(5 баллов)
4.
Четверо ребят -
Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий
день, на вопрос кто какое место занял, они ответили так:
Алексей: Я не был ни первым и ни
последним;
Борис: Я не был последним;
Владимир: Я был первым;
Григорий: Я был последним.
Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а
один -
ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?
(5 баллов)
5.
Среди 81 монеты имеется
одна фальшивая (более лёгкая) монета. Как её найти, используя не более четырёх
взвешиваний.
(5 баллов)
Ответы и указания
к заданиям районного этапа олимпиады
школьников по математике
2013-2014 учебный год
9 класс
1. Указание. Возведите обе части выражения в
квадрат.
Ответ. 15.
2. Умножьте обе части уравнения на 2, , , после
группировки получим , откуда .
Ответ: .
3. Построить. Стороны треугольника ДМN найти по теореме
косинусов. Эти стороны равны.
4. Проверить каждое рассуждение, предположив, что оно ложно. Если солгал
Алексей, то солгали ещё Владимир и Григорий, чего не может быть : Пусть солгал
Борис, тогда он был последним, но Григорий: также утверждает, что он был последним.
Значит, данного случая тоже не может быть. Пусть солгал Владимир, тогда он был
ни первым, в этом случае всё получается и первым был Борис. Последний случай,
когда солгал Григорий не может быть, так как тогда последним никто из ребят
не был.
Ответ. Правду сказали Алексей, Борис и Григорий. Первым
был Борис.
5. Разделим монеты
на три кучки по 27 монет. Взвесим первую и вторую кучки. Если весы в
равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке.
Если весы не в равновесии,
то фальшивая монета в той кучке, которая легче. После этого разбиваем кучку из
27 монет (в которой есть фальшивая монета) на три кучки по 9 монет и вторым
взвешиванием определяем более лёгкую кучку. Третьим взвешиванием определяем
более лёгкую тройку монет. И, наконец, четвёртым взвешиванием определяем
фальшивую монету.
Задания районного этапа олимпиады
школьников по математике
2013-2014 учебный год
10 класс
1.
Упростите выражение: и найти его значение, если .
(6 баллов)
2.
Решите уравнение .
(5 баллов)
3.
Из горячего крана ванна
заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала
горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к
моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
(8 баллов)
4.
Найдите площадь
прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен
5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.
(5 баллов)
5.
Сколько цифр содержит
число ?
(5 баллов)
Ответы и указания
к заданиям районного этапа олимпиады
школьников по математике
2013-2014 учебный год
10 класс.
1. Складываем последние два слагаемых, затем полученную сумму с
впереди стоящим слагаемым и т. д. В результате получим . Подставляя вместо , получаем ответ .
2. Рассмотреть два случая, когда и решить квадратные уравнения.
Ответ: -5; 3.
3. За 1минуту наливается горячей водой часть
ванны, а за 1минуту наливается холодной водой часть
ванны. Пусть холодной воды налили х литров, а горячей 1,5х литров. Итак, , откуда , то
есть холодной водой заполнено ванны, горячей ванны. Для заполнения холодной водой
ванны потребуется минут, а горячей минут, значит кран нужно открыть через 7
минут.
4. Используя свойства вписанной и описанной окружности и теорему Пифагора,
запишем систему. .
Откуда . Площадь равна .
Ответ: .
5. .
Ответ: 13 цифр.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.