«Практическое применение решений треугольника», проектно-исследовательская работа

МБОУ «Рассветская СОШ имени В.В. Лапина»

Ленинский район, Тульская область

Проектно-исследовательская  работа по геометрии

«Практическое применение решений треугольника»

Выполнила: ученица 9 класса Дятлова Ольга

Руководитель проекта: учитель математики Лафицкая Н.В.

2014 год

Цель проекта:

Найти способ определения высоты школьного здания без непосредственного измерения.

Задачи проекта:

1. Проанализировать имеющийся материал школьного курса геометрии и дополнительной литературы; выбрать задачи соответствующего характера (на измерение расстояния до недоступной точки).

2. Изучить (повторить и освоить) теорию, необходимую для решения задач.

3. Разобрать методы решения задач на измерение расстояния до недоступных точек.

4. Выбрать группу задач наиболее подходящих для выполнения задачи проекта.

ВВЕДЕНИЕ

С древнейших времен у людей возникала необходимость измерять труднодоступные предметы: высоту горы, скалы, ширину рек и озер и т.д. Ученые той эпохи пытались решить эту проблему, опираясь на  известные  геометрические свойства фигур и выводя новые.

Для решения поставленной задачи мне потребовалось применить различную теорию: признаки подобия фигур, теорема Пифагора, признаки равенства треугольников, теорема синусов, косинусов, свойства прямоугольных треугольников.

Связано это с тем, что задачи на измерение предметов разнообразны по фактуре, способам решения.

Прежде чем приступить к непосредственному  решению стоящей передо мной задачи, я ещё раз внимательно разобрала задачи,  которые рассматривались на уроках геометрии,  а  также самостоятельно решила остальные задачи из подобранной мной группы задач.

Рассмотрела решение ряда задач в дополнительной литературе.

Задача 1:  Определить высоту столба (А₁С₁) на рис.1

рис.1

Метод решения задачи

На определенном расстоянии СС₁ поставим шест АС (его высота известна) с вращающейся планкой. Направим ее на точку А₁ столба. Затем отметим на поверхности земли (прямая СС₁) точку В - точку пересечения СС₁ и АА₁. Образуются прямоугольные треугольники  А₁С₁В₁ и АСВ, которые подобны по первому признаку подобия треугольников (<С₁ = <С; <В - общий). Из этого подобия следует: А₁С₁ : АС = ВС₁ : ВС,         А₁С₁= АС × ВС₁ : ВС                                

Измерив расстояния ВС₁ и ВС, зная длину шеста (АС)_, по полученной формуле определяем высоту столба (А₁С₁).

Задача 2: Определить расстояние (АВ) до недоступной точки В на рис. 2.

В

   

 —-,

А1         С1

Метод решения задачи

Для нахождения расстояния АВ выберем т. С, проведем и измеряем отрезок АС. Затем с помощью астролябии узнаем градусную меру углов А и С. На листе бумаги строим треугольник А₁В₁С₁, у которого <А₁ = <А, <С₁ = <С,  измеряем А₁В₁ и А₁С₁ этого треугольника. Треугольник  АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁ и АВ  :  А₁В₁ = АС  :  А₁С_1, откуда АВ = АС × А₁В₁ : А₁С₁

По известным расстояниям АС, А₁С₁ и А₁В₁ находим расстояние АВ.

Задача 3:  Измерить высоту предмета АН на рис. З.

А

Н            В   С
рис.З

Метод решения задачи

Для нахождения высоты АН отметим т. В на определенном расстоянии m от Н, измерим угол АВН: <АВН=α. Из прямоугольного ка АНВ находим высоту предмета (катет): АН=m × tg α.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии s друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: < АВН = α; < АСВ = β. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле, < АВН - внешний для < АВС,  <А = а - β. Используя теорему синусов, находим АВ:  АВ = (ВС × sinβ) : sin (α – β).

Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета (катет):      АН = АВ × sinα.

Задача 4.  Определить расстояние d от пункта А до С на рис.4

 А—точка наблюдения  В

рис.4

Метод решения задачи

На местности выберем т. В и измерим отрезок с (АВ). Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: <А= α и <В =β. Эти данные, т.е. с, α и β позволяют решить  треугольник АВС и найти искомое d = АС. Сначала находим < Си sin < С: <С = 180° - α - β; sin С = sin (180^е - α - β) = sin (α + β). Затем с помощью теоремы синусов находим  d.

АС : sin В = АВ : sin С,  АС = d; АВ = с; < B = β, тогда d = (c × sin β) : sin (α+β). 

Задача 5. Определить высоту дерева (FЕ) на рис. 5

Зеркало

рис.5

Метод решения задачи

Для определения высоты предмета (FЕ) можно использовать зеркало, установленное в точке D. Луч света FD, отражаясь от зеркала (т. D), попадает в глаз человека (т. В). Образуются подобные  прямоугольные  треугольники  АСD  и  ЕFD  (подобны по первому признаку - все углы равны, значит АС : ЕF =АD : ЕD.  Зная АD и ЕD (расстояния до краев зеркала) и АС (рост человека) можем узнать FЕ (высоту дерева):    FЕ = АС × ЕD : AD.

Задача 6. Определить высоту башни (DЕ) на рис.6, если человек находится на расстоянии 50 м (АЕ=ВС), основание башни (СЕ) он видит под углом 10° к горизонту, а вершину (D) под углом 45° к горизонту.

Рис. 6

Метод решения задачи

На рис. 6 рассмотрим прямоугольный треугольник ВСD: он равнобедренный, т.к. имеет угол в 45°. ВС = СD = 50 м.

Рассмотрим  прямоугольный  треугольник ВСЕ:  tg < ЕВС = tg 10°= СЕ : ВС

СЕ = 50 × tg10°, DЕ = DС + СЕ = 50 + 50 × tg 10°.

Задача 7. Определить ширину реки (АВ) Метод решения задачи

Для определения ширины реки на одном из берегов (напр. где т. А) отмечают  т. С. (расстояние АС известно). Соединяют («провешивают» визуально) т. А, В, и С: образуется треугольник АВС. Измеряют углы САВ и АВС (Угол АСВ =180°- <САВ - < АВС) и в треугольнике АВС по теореме синусов получается АВ: sin < АСВ = АС : sin < АВС, откуда  АВ = (АС × sin<АСВ): sin< АВС

Задача 8.  Определить ширину озера (АВ) на рис.8

Задача 9.  Определить ширину реки (ВВ1) на рис.9

Задача 1О  Найти высоту горы (Н) на рис.10.

рис. 10

Решения см. в приложении                                   

Теория, необходимая для решения задач:

- ПРОПОРЦИЯ

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, если а, в, с и е - некоторые числа и равенство а:в = с:е  является верным, то такое равенство отношений называется пропорцией.

- ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Подобные треугольники - треугольники, у которых соответствующие углы равны и сходственные стороны пропорциональны.

 Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника

пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

- РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Решение треугольника - нахождение его неизвестных элементов по трем известным элементам, определяющим данный треугольник.

- ТЕОРЕМА СИНУСОВ

Она говорит о том, что длины а, b, и с сторон любого треугольника АВС пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

α : sin A =b : sin B =c : sin C

Теорема синусов была впервые доказана в Х веке математиками Ближнего и Среднего Востока. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.

- ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Она говорит о том, что во всяком треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними. Т.е. в треугольнике АВС со сторонами а, в, с и С - величиной угла, противолежащего стороне с:  с² = а² + в² – 2ав соsС. Если угол С - прямой, nо теорема косинусов переходит в теорему Пифагора, т. к. косинус прямого угла равен нулю. Теорему знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида

Я поставила перед собой задачу: определить высоту школы. Выполнить эту задачу можно различными способами. Кстати, в книге Жюль Верна "Таинственный остров" описана похожая ситуация: герои, потерпевшие крушение и очутившиеся на необитаемом острове, пытались измерить высоту плато над уровнем моря и вот что с ними произошло:

«Нужно было дополнить данные вчерашних наблюдений, измерив высоту плато Кругозора над уровнем моря,

— Вам, наверно, понадобится измерительный прибор вроде вчерашнего?— спросил инженера Герберт.

— Нет, дитя мое,— ответил Сайрес Смит,— мы применим другой прием, обеспечивающий, пожалуй, не меньшую точность.

Герберт, юноша чрезвычайно любознательный, всегда стремившийся узнать что-нибудь новое, отправился вместе с инженером. Сайрес Смит отошел от гранитной стены к краю берега. Тем временем Пенкроф, Наб и журналист заняты были другими делами.

Сайрес Смит захватил с собою прямую ровную жердь длиной около двенадцати футов - длину он определил по собственному росту, который он знал совершенно точно. Герберту Сайрес Смит поручил нести отвес -  то есть гибкую лиану, к концу которой был привешен обыкновенный камень.

Остановившись шагах в двадцати от кромки моря и шагах в пятистах от гранитного кряжа, Сайрес Смит воткнул жердь в песок и старательно выпрямил ее, добившись путем выверки отвесом, чтобы она стояла перпендикулярно к плоскости горизонта.

Сделав это, Сайрес Смит отошел и лег на землю на таком расстоянии, чтобы в поле его зрения находился и верхний конец жерди и гребень гранитной стены. Это место он отметил на песке колышком и, повернувшись к Герберту, спросил:

— Ты знаком с геометрией?

— Немножко, мистер Сайрес,— ответил Герберт, боясь попасть впросак.

— Помнишь свойства подобных треугольников?

— Да,— ответил юноша,— у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

— Так вот, дитя мое, у меня тут два подобных прямоугольных треугольника,— один поменьше, в нем двумя сторонами будут: жердь, воткнутая перпендикулярно в песок, и прямая, равная расстоянию от нижнего конца жерди до колышка, а гипотенузой — мой луч зрения; у второго треугольника сторонами явятся: отвесная линия гранитной стены, высоту которой нам нужно измерить, расстояние от колышка до подошвы стены, а в качестве гипотенузы — мой луч зрения, то есть продолжение гипотенузы первого треугольника.

— Понял, мистер Сайрес! Я все понял! - воскликнул Герберт.— Расстояние от колышка до жерди пропорционально расстоянию от колышка до подошвы стены, а высота жерди пропорциональна высоте стены.

 —  Правильно, Герберт,— подтвердил инженер.— И когда мы измерим оба расстояния от колышка, то, зная высоту жерди, мы быстро решим пропорцию и таким образом узнаем высоту стены, что избавит нас от труда измерять ее непосредственно.

Основания обоих треугольников были измерены при помощи той же самой жерди, высота которой над поверхностью песка равнялась десяти футам: оказалось, что расстояние между колышком и жердью — пятнадцать футов, а расстояние между колышком и подошвой стены — пятьсот футов.

Закончив измерения, Сайрес Смит и юноша возвратились в Трущобы.

Там инженер взял плоский камень, принесенный им из прежних экспедиций, нечто вроде шиферного сланца, на котором легко было нацарапать цифры остроконечной ракушкой. И на этой аспидной доске Сайрес Смит составил следующую пропорцию:

15 : 500 = 10 : х

500×10=5000

5000 : 15 = 333,33

Следовательно, высота гранитной стены равнялась тремстам тридцати трем футам».

На основе приведенных задач я выбрала наиболее подходящие методы измерения высоты школы:

- По аналогии с методом, изложенным в романе.

- С помощью методов, изложенных в задачах

- С помощью школьной документации, содержащей габаритные размеры здания.

- Непосредственным измерением школьного здания.

Я выбрала наиболее оптимальный метод измерения высоты школьного здания: по фотографии, используя понятие подобия фигур. Дело в том_, что фотография представляет собой практически неискаженную фигуру, уменьшенную в несколько раз, т.е. фотография и непосредственное изображение здания представляют собой подобные фигуры.

Таким образом, получается, что высота двери (вход е школу) на фотографии относится к реальному размеру этой двери, также как и высота школы на фотографии к ее настоящему размеру. Отсюда получается, что реальная высота школы равна реальной высоте двери умноженной на высоту школы на фотографии. Полученное произведение делится на высоту двери на фотографии.  

Высота школы на фотографии равна = 7 см.

Реальная высота двери равна = 250 см.

Высота двери на фотографии = 1,5 см.

Отсюда высота школы = 11,7 м