Инфоурок Математика Другие методич. материалыПрактическое занятие на тему: Составление уравнений кривых второго порядка

Практическое занятие на тему: Составление уравнений кривых второго порядка

Скачать материал

Практическое занятие №5

ТЕМА: Составление уравнений кривых второго порядка.

Цель: Сформировать навыки составления уравнений кривых второго порядка

Ход работы

1)     Изучить торетический материал и рассмотренные примеры, применяя теоретические знания для составления уравнений кривых второго порядка (всю теорию и  примеры законспектировать в рабочую тетрадь).

2)      Практическую часть выполнить в тетрадях для практических занятий.

3)     Ответы на контрольные вопросы законспектировать  в тетрадях для практических занятий.

 

 

1)  Теоретический материал:

 

Определение. Уравнение второй степени относительно x и y

                                                                  (1)

называется общим уравнением линии второго порядка.

            в уравнении (1) можно освободиться от члена с произведением координат, и общее уравнение примет вид

.                                                                             (2)

            Уравнение (2)определяет на плоскости xOy эллипс, гиперболу или параболу:

1.           - эллипс,

2.           - гипербола,

3.           - парабола.

 

 Окружность

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от ее центра.

            Пусть точка  - центр окружности. Расстояние любой точки окружности до центра обозначим через  - радиус окружности (рис.1). Пусть  текущая точка окружности. Из определения окружности следует, что расстояние от точки  до центра окружности будет равно радиусу этой окружности. Используя формулу для расстояния между двумя точками, получим каноническое уравнение окружности

.                                                                                                          (4)

Этому уравнению будут удовлетворять координаты точек, лежащих на окружности. Уравнение (4) называется нормальным уравнением окружности.

                 Если центр окружности лежит в начале координат, то есть , то уравнение (4) принимает вид:

.                                                                                                                         (5)

Этот простейший вид уравнения окружности называется каноническим.

 

..\..\..\..\..\26-1.gif

Рис. 2.11.1.

 

4Пример.Составить уравнение окружности, проходящей через точку , если центр окружности совпадает с точкой .

            Решение. Поскольку окружность проходит через точку , координаты этой точки удовлетворяют уравнению , то есть , откуда , тогда уравнение окружности принимает вид .

 Эллипс. Эксцентриситет и директрисы эллипса

            Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости  и , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

 

            Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Расстояние между фокусами - .

            Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.

Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть  (Рис. 2). Пусть  текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

,                                                                                                            (6)

где  - большая,  - малая полуоси эллипса, . Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (6), совпадает с началом координат. Уравнение вида (6) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.

..\..\..\..\..\26-2.gif

Рис. 2.

 

Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса -  (для окружности - ). Отрезки  и  называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам  и . Если эллипс определен уравнением (6) и , то прямые  называются директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями ).

                Если центр эллипса перенесен в точку , то его каноническое уравнение принимает вид

.

 

                4Пример 1. Дано уравнение эллипса . Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.

            Решение. Разделим обе части уравнения на 4225: . Сравнивая полученное уравнение с выражением , заключаем, что , то есть , то есть . Тогда , а .

3

 

 Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты

 

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости  и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Расстояние между фокусами -.

Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат (Рис. 2.13.1), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид

                                                                                                           (7)

..\..\..\..\..\26-3.gif

Рис. 3.

 

где . Уравнение вида (7) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Ось  называется действительной осью, а  - мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы.

            Прямоугольник со сторонами  и , расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы и определяются уравнениями

, .                                                                                                                        (8)

Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число , где  - расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы .

                Если гипербола задана уравнением (8), то прямые, определяемые уравнениями , называются ее директрисами.

 

            4Пример 1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если точка  лежит на гиперболе и известны уравнения асимптот .

            Решение. Из уравнений для асимптот находим , или . Поскольку точка  принадлежит гиперболе, ее координаты удовлетворяют уравнению (2.13.1): , где  или . Отсюда находим , тогда , следовательно, уравнение гиперболы имеет вид .

 

4Пример 2. Дана гипербола . Найти ее полуоси  и , фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот.

Решение. Разделим обе части этого уравнения на 144. Получим . Значит , следовательно оси гиперболы соответственно равны  и . Так как , то фокусы гиперболы находятся в точках  и . Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле . В соответствии с (8), уравнения асимптот имеют вид: .

3

 

 Парабола, ее директриса

 

            Определение.Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (Рис. 4). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением:

,                                                                                                                                    (9)

где  - расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы). Уравнение (9) есть каноническое уравнение параболы.

 

..\..\..\..\..\26-4.gif

 

Рис. 4.

 

            Директриса данной параболы определяется уравнением . Фокальный радиус произвольной точки  параболы может быть вычислен по формуле

.                                                                                                                                    (10)

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осьюпараболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется вершиной параболы. При указанном выше выборе системы координат ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, а вся парабола лежит в правой полуплоскости.

 

            Если вершину параболы (10) перенести в точку , то ее каноническое уравнение примет вид .

 

4Пример 1. Найти фокус  и уравнение директрисы параболы .

Решение. Параметр данной параболы . Поскольку расстояние от фокуса до директрисы равно , то фокус имеет координаты , а уравнение директрисы , то есть .

3

 

4Пример 2. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке .

Решение. Поскольку фокус параболы лежит на оси ординат, а ее вершина - в начале координат, то уравнение параболы можно записать в виде . Так как ордината фокуса отрицательна, то уравнение параболы следует искать в виде .

Фокусное расстояние , откуда . Следовательно, уравнение параболы имеет вид .

2) Практическая часть

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/0.gif, а малая полуось http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/1.gif.

 

Задача 2. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/9.gif. Написать уравнение её асимптот и вычислить эксцентриситет.

Задача 3. Составить уравнение параболы и её директрисы, зная, что она симметрична относительно оси http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/22.gif, фокус находится в точке http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/23.gif, вершина совпадает с началом координат.

Задача 4. Найдите координаты центра и радиус окружности:

http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/29.gif

 

Задача 5. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/34.gif.

 

Задача 6. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

http://edu.tltsu.ru/er/er_files/page703/img/40.gif.

3)     Контрольные вопросы:

1.     Каноническое уравнение эллипса

2.     Что такое эксцентриситет?

3.     Каноническое уравнение окружности

4.     Каноническое уравнение гиперболы

5.     Асимптоты гиперболы

6.     Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат?

7.     Что такое директриса?

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Практическое занятие на тему: Составление уравнений кривых второго порядка"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Директор по маркетингу (тур. агенства)

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 701 230 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Презентация к урока математики по теме: "Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями "(5 класс)
  • Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
  • Тема: 26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • 02.02.2021
  • 273
  • 1
«Математика (в 2 частях)», Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 02.02.2021 885
    • DOCX 174.9 кбайт
    • 24 скачивания
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Пономарёва Любовь Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 8 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 18859
    • Всего материалов: 11

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Секретарь-администратор

Секретарь-администратор (делопроизводитель)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 63 человека из 26 регионов
  • Этот курс уже прошли 85 человек

Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 169 человек из 43 регионов
  • Этот курс уже прошли 1 096 человек

Курс повышения квалификации

Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 160 человек из 51 региона
  • Этот курс уже прошли 829 человек

Мини-курс

Психология личности: свойства и характеристики личности

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 65 человек из 28 регионов

Мини-курс

Adobe Animate: анимация и производство контента

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Занимательное обучение русскому языку: основы орфоэпии и тайны русской орфографии

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 39 человек из 22 регионов
  • Этот курс уже прошли 39 человек