Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Математика Другие методич. материалыПрактическое занятие по теме

Практическое занятие по теме

библиотека
материалов

Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»


Студент ______________________________________ группа __________________


Вариант 1


Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.

Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.

Воспитание интереса к математике.

Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен:


уметь:

  •    решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  •    проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

  • для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.


1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:

hello_html_m5eda7bb.png

2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:

hello_html_5d8d025b.png

3. Модуль вектора hello_html_4cf9ad61.pngзаданного своими координатами, находится по формуле:

hello_html_m394b6e8b.png

4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:

hello_html_29ef802a.png

5. Единичный вектор hello_html_41b7309e.pngсонаправленный с вектором hello_html_74f18b7d.pngнаходится по формуле:

hello_html_2329523c.png

6. Скалярным произведением hello_html_m1a60c18d.pngвекторов hello_html_m6a8421d5.pngназывается число:

hello_html_m554aeba4.png

где hello_html_m471f2f54.png- угол между векторами.

7. Скалярное произведение векторов

hello_html_m2aa80a6f.png

8. Косинус угла между векторами hello_html_m5c6642da.pngи hello_html_6bcccfe6.pngнаходится по формуле:

hello_html_m6860e77c.png

9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов hello_html_m61c64022.pngи hello_html_6bcccfe6.pngимеет вид:

hello_html_4346416b.png

10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору hello_html_m5095f29d.pngимеет вид:

ax + by + cz + d = 0.

11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору hello_html_m7b4d7fa3.pngи проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:

a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:

hello_html_3bdd3fa0.png











Рекомендации к решению задач:


  1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.

  2. Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.

  3. Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)

  4. Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?


Задача 1. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

hello_html_440a42ec.png

  • Решение. Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее. Имеем:

hello_html_m286961cb.png

Осталось найти косинус угла:

hello_html_m58bd6da2.png

Ответ: arccos 0,7




Задача 2. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.

hello_html_3722fb6c.png

Решение. Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

hello_html_49fed9e9.png

Ответ: K = (0,5; 0; 1)



Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 
2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 
B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 
2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

hello_html_4b750272.png

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0







Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»


Студент ______________________________________ группа __________________


Вариант 2


Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.

Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.

Воспитание интереса к математике.

Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен:


уметь:

  •    решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  •    проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

  • для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.


1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:

hello_html_m5eda7bb.png

2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:

hello_html_5d8d025b.png

3. Модуль вектора hello_html_4cf9ad61.pngзаданного своими координатами, находится по формуле:

hello_html_m394b6e8b.png

4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:

hello_html_29ef802a.png

5. Единичный вектор hello_html_41b7309e.pngсонаправленный с вектором hello_html_74f18b7d.pngнаходится по формуле:

hello_html_2329523c.png

6. Скалярным произведением hello_html_m1a60c18d.pngвекторов hello_html_m6a8421d5.pngназывается число:

hello_html_m554aeba4.png

где hello_html_m471f2f54.png- угол между векторами.

7. Скалярное произведение векторов

hello_html_m2aa80a6f.png

8. Косинус угла между векторами hello_html_m5c6642da.pngи hello_html_6bcccfe6.pngнаходится по формуле:

hello_html_m6860e77c.png

9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов hello_html_m61c64022.pngи hello_html_6bcccfe6.pngимеет вид:

hello_html_4346416b.png

10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору hello_html_m5095f29d.pngимеет вид:

ax + by + cz + d = 0.

11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору hello_html_m7b4d7fa3.pngи проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:

a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:

hello_html_3bdd3fa0.png











Рекомендации к решению задач:


1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.

  1. Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.

  2. Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)

  3. Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?



Задача 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

hello_html_m70fbf15f.png

Решение. Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

hello_html_m21e34573.png

Ответ: arccos 0,8

Задача 2. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Задача 3. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Ответ: n = (7; − 2; 4)


Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Цели практического занятия: 

  • Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
  • Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
  • Воспитание интереса к математике.

Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

 

Студент должен: уметь:

 

·                -   решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

·                -   проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур

 

Проверен экспертом
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.