Практическое занятие по теме

Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»

Студент ______________________________________               группа __________________

Вариант 1

Цели практического занятия

Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”. Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки. Воспитание интереса к математике. Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен:

уметь: ·                -   решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); ·                -   проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: ·                для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле: 2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам: 3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле: 4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы: 5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле: 6. Скалярным произведением векторов называется число: где - угол между векторами.

7. Скалярное произведение векторов 8. Косинус угла между векторами и находится по формуле: 9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид: 10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид: ax + by + cz + d = 0. 11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид: a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0. 12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:

Рекомендации к решению задач:

1.     Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.

2.     Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.

3.     Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)

4.      Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?

Задача 1. В правильной трехгранной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A₁B₁и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

·         Решение. Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA₁. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A₁B₁. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C₁B₁ — чуть сложнее. Имеем:

Осталось найти косинус угла:

Ответ: arccos 0,7

Задача 2. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Решение. Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Ответ: K = (0,5; 0; 1)

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»

Студент ______________________________________               группа __________________

Вариант 2

Цели практического занятия

Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”. Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки. Воспитание интереса к математике. Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен:

уметь: ·                -   решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); ·                -   проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: ·                для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле: 2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам: 3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле: 4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы: 5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле: 6. Скалярным произведением векторов называется число: где - угол между векторами.

7. Скалярное произведение векторов 8. Косинус угла между векторами и находится по формуле: 9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид: 10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид: ax + by + cz + d = 0. 11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид: a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0. 12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:

Рекомендации к решению задач:

1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.

2.     Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.

3.     Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)

4.      Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки E и F — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Решение. Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B₁C₁. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Ответ: arccos 0,8

Задача 2. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Задача 3. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Ответ: n = (7; − 2; 4)

Краткое описание документа:

Цели практического занятия: 

• Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
• Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
• Воспитание интереса к математике.

Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен: уметь:

·                -   решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

·                -   проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур