Практическое занятие по теме

Предпросмотр материала:

Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»

Студент ______________________________________ группа __________________

Вариант 1

Цели практического занятия

Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
Воспитание интереса к математике.
Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен:

уметь:

· - решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

· - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

· для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:

2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:

3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле:

4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:

5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле:

koord14

6. Скалярным произведением векторов называется число:

где - угол между векторами.

7. Скалярное произведение векторов

koord18

8. Косинус угла между векторами и находится по формуле:

koord21

9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:

10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид:

ax + by + cz + d = 0.

11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:

a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:

Рекомендации к решению задач:

1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.

2. Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.

3. Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)

4. Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?

Задача 1. В правильной трехгранной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A₁B₁и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

Трехгранная призма

· Решение. Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA₁. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A₁B₁. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C₁B₁ — чуть сложнее. Имеем:

Осталось найти косинус угла:

Косинус второго угла между векторами

Ответ: arccos 0,7

Задача 2. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Единичный куб и точка K

Решение. Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Ответ: K = (0,5; 0; 1)

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Система уравнений

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»

Студент ______________________________________ группа __________________

Вариант 2

Цели практического занятия

Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
Воспитание интереса к математике.
Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен:

уметь:

· - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:

2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:

3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле:

5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле:

koord14

6. Скалярным произведением векторов называется число:

где - угол между векторами.

7. Скалярное произведение векторов

koord18

8. Косинус угла между векторами и находится по формуле:

koord21

9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:

10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид:

ax + by + cz + d = 0.

11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:

a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:

Рекомендации к решению задач:

1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки E и F — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Куб

Решение. Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B₁C₁. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Ответ: arccos 0,8

Задача 2. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Задача 3. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Ответ: n = (7; − 2; 4)

Краткое описание материала

Цели практического занятия:

Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
Воспитание интереса к математике.

Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен: уметь:

· - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур

Практическое занятие по теме

Математика

Другие методич. материалы

DOCX

07.01.2015

1666

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Краткое описание материала

Цели практического занятия:

Обобщение и систематизация знаний по теме: “Метод координат в пространстве”.
Выявить уровень усвоения учащимися материала по данной теме, с целью последующей корректировки.
Воспитание интереса к математике.

Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества

Студент должен: уметь:

· - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

Автор материала

Синилова Татьяна Николаевна

преподаватель

На сайте: 11 лет и 1 месяц
Всего просмотров: 35473
Подписчики: 0
Всего материалов: 27

35473
просмотров
27
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Синилова Татьяна Николаевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.