Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическое занятие "Сходящиеся и расходящиеся последовательности"

Практическое занятие "Сходящиеся и расходящиеся последовательности"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 29


СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ


Цель:

- сформировать навыки выполнения действий над числовыми последовательностями;

- развить умение исследовать сходимость последовательности по заданному признаку;

- закрепить знания о пределе последовательности;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

  1. Изучить краткие теоретические сведения;

  2. Выполнить задания;

  3. Сделать вывод по работе;

  4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

На конкретных примерах покажем правила нахождения членов последовательности по заданному общему члену, подбор формулы общего члена последовательности, исследование сходимости числовых последовательностей.

Пример 1. Написать первые пять членов последовательности по заданному общему члену:

hello_html_m50a0a3a7.gif

Решение:

1. Придавая номеру n согласно условия задачи значения 1, 2, 3, 4, 5, получим:


hello_html_m5cb84af1.gif


Сложив члены, получим последовательность:


hello_html_m4a4ac2d3.gif

2. Придавая номеру n значения 1, 2, 3, 4, 5 и учитывая, что n!-факториал – это произведение первых n натуральных чисел, имеем:

hello_html_m5c6b7b21.gif.

Следовательно:

hello_html_396714b1.gif.

Сложив члены, получим последовательность:


hello_html_2ae197f7.gif


Пример 2. Найти общий член последовательности по заданным её первым членам:hello_html_456c169a.gif

Решение:

Наша задача – найти закономерность, по которой изменяются все члены данной последовательности. Очевидно, что числители не меняются и равны 1. Знаменатели членов последовательности являются нечётными числами, но начинаются не с 1, а с 3, следовательно, они изменяются по формуле 2n+1.Тогда общий член последовательности имеет вид hello_html_m28dc2e94.gif. Итак, преобразуя члены последовательности hello_html_m20ed7b55.gif, получим формулу: hello_html_m371e6364.gif.

Пример 3. Установить расходимость последовательности hello_html_m7f0ebd23.gif с помощью необходимого признака.

Решение: Согласно необходимому признаку сходимости, последовательность сходится только при условии, что её общий член un стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е. если существует предел hello_html_m19fc56cd.gif.

Находим предел общего члена un, учитывая, что в теории пределовhello_html_ae9338a.gif: hello_html_m262aff40.gif.

Последовательность расходится, так как hello_html_71ef1781.gif.

Пример 4. Исследовать сходимость последовательности, используя признак Даламбера:

hello_html_mcc4cb6f.gif.

Решение: Согласно признаку Даламбера, последовательность un сходится, если коэффициент Даламбера Д =hello_html_78297e0a.gif и расходится, если Д =hello_html_11259f37.gif.

Найдём общий член последовательности hello_html_m680f4620.gif, а вместо un+1 члена подставим hello_html_m1c142b4f.gif Вычислим предел отношения hello_html_m22a96fc9.gifи получим:

Д =hello_html_7442b58.gif


Следовательно, по Даламберу, данная последовательность сходится.


Пример 5. Используя радикальный признак Коши, исследуйте сходимость последовательности:

hello_html_m4c29dcb.gif

Решение:

Согласно признаку Коши последовательность un сходится, если коэффициент Коши К=hello_html_2bf7201.gif и расходится, если К=hello_html_m55a0fc21.gif.

Используя радикальный признак Коши и известные преобразования, имеем:

hello_html_56ad4f53.gif

Очевидно, по признаку Коши последовательность сходится.


Задания для самостоятельного выполнения:

I. Написать первые пять членов последовательности по заданному общему члену.

II. Найти формулу общего члена последовательности.

III. Используя признак Даламбера, исследовать сходимость последовательности.

IV. Исследовать сходимость последовательности, применяя необходимый признак и радикальный признак Коши.

Вариант 1.

1. а) hello_html_m71d4db91.gif б) hello_html_m2bd657f8.gif 2. а) hello_html_m5243e506.gif б) hello_html_74c41eac.gif

3. а) hello_html_977ec94.gif б) hello_html_m3311f523.gif 4. а) hello_html_6b5bf588.gif б) hello_html_4493463d.gif


Вариант 2.

1. а) hello_html_m5bdcbe12.gif б) hello_html_3fe4591a.gif 2. а) hello_html_32d227d9.gif б) hello_html_m53b1a8e.gif

3. а) hello_html_66247dd9.gif б) hello_html_m75ff9612.gif 4. а) hello_html_m51dd677b.gif б) hello_html_6c3e6715.gif


Вариант 3.

1. а) hello_html_m3aadda65.gif б) hello_html_52c32863.gif 2. а) hello_html_35acacef.gif б) hello_html_m3e0676b2.gif

3. а) hello_html_m46f71f97.gif б) hello_html_e452a73.gif 4. а) hello_html_m2c7cc2fc.gif б) hello_html_1a5befb4.gif


Вариант 4.

1. а) hello_html_2fb888b9.gif б) hello_html_m646404f9.gif 2. а) hello_html_518f1f18.gif б) hello_html_m44e3c7a0.gif

3. а) hello_html_m2caa5c96.gif б) hello_html_m7a2f6a59.gif 4. а) hello_html_m506825fa.gif б) hello_html_a3daa13.gif


Вариант 5.

1. а) hello_html_44d2ec94.gif б) hello_html_27d9fdd4.gif 2. а) hello_html_m463fe21d.gif б) hello_html_2a1817eb.gif

3. а) hello_html_m7eb3712c.gif б) hello_html_m70b3f276.gif 4. а) hello_html_m3a4bd30a.gif б) hello_html_m186f987f.gif


Вариант 6.

1. а) hello_html_m155f35df.gif б) hello_html_b06a14f.gif 2. а) hello_html_16f043c2.gif б) hello_html_m55507c1d.gif

3. а) hello_html_m57538db7.gif б) hello_html_m65788baf.gif 4. а) hello_html_m1c246a4f.gif б) hello_html_879110a.gif

Вариант 7.

1. а) hello_html_m40aaaff9.gif б) hello_html_m83bfe9.gif 2. а) hello_html_6e12e511.gif б) hello_html_d6b0bf1.gif

3. а) hello_html_6ebe7db8.gif б) hello_html_m23e19b2e.gif 4. а) hello_html_m5680ef6d.gif б) hello_html_5898fdae.gif

Вариант 8.

1. а) hello_html_7e93cf7f.gif б) hello_html_m62437d1e.gif 2. а) hello_html_m3b7cb719.gif б) hello_html_m5ce04171.gif

3. а) hello_html_m48eff5fa.gif б) hello_html_md7d384.gif 4. а) hello_html_m6806df6.gif б) hello_html_m455dda24.gif


Вариант 9.

1. а) hello_html_a4fab77.gif б) hello_html_455136d2.gif 2. а) hello_html_1174a4e3.gif б) hello_html_36ba965a.gif

3. а) hello_html_m105b5cf0.gif б) hello_html_m46f71f97.gif 4. а) hello_html_m68cb79fb.gif б) hello_html_m2d946009.gif


Вариант 10.

1. а) hello_html_m51e1180e.gif б) hello_html_4f655231.gif 2. а) hello_html_m25b81a64.gif б) hello_html_m53c40c99.gif

3. а) hello_html_4826df1a.gif б) hello_html_m679adf2f.gif 4. а) hello_html_m712df5fc.gif б) hello_html_7974aeb9.gif


Вариант 11.

1. а) hello_html_50cf2e04.gif б) hello_html_3a7fe33b.gif 2. а) hello_html_m6067984d.gif б) hello_html_32ddec27.gif

3. а) hello_html_m37e22e99.gif б) hello_html_65f6618.gif 4. а) hello_html_75e1cb7.gif б) hello_html_23fbbc79.gif


Вариант 12.

1. а) hello_html_29e4ed9b.gif б) hello_html_120efafd.gif 2. а) hello_html_3185ae6a.gif б) hello_html_m4387b7a0.gif

3. а) hello_html_m32f6042c.gif б) hello_html_m7bb84248.gif 4. а) hello_html_m756e0066.gif б) hello_html_52052a1a.gif


Вариант 13.

1. а) hello_html_m7d6bae79.gif б) hello_html_m4e806d88.gif 2. а) hello_html_338cf02e.gif б) hello_html_586fb37f.gif

3. а) hello_html_m3baae5ba.gif б) hello_html_m2d344b98.gif 4. а) hello_html_3d6f56e3.gif б) hello_html_7a48203b.gif


Вариант 14.

1. а) hello_html_m63a3e061.gif б) hello_html_m24a99cf5.gif 2. а) hello_html_m715c0b8.gif б) hello_html_m1429203c.gif

3. а) hello_html_326f35e0.gif б) hello_html_m3e5ea63e.gif 4. а) hello_html_m53bb15ab.gif б) hello_html_m4d65ff77.gif


Вариант 15.

1. а) hello_html_4a20bbea.gif б) hello_html_3cd24abd.gif 2. а) hello_html_7fc4117b.gif б) hello_html_29cbdc1.gif

3. а) hello_html_24f9ec9c.gif б) hello_html_3b5ee866.gif 4. а) hello_html_4e6e3dab.gif б) hello_html_54be2e9.gif


Вопросы для самоконтроля:

  1. Дать определение числовой последовательности.

  2. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

  3. Сформулируйте необходимое условие сходимости числовой последовательности.




6




Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров199
Номер материала ДВ-403709
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх