Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости

библиотека
материалов

Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.





Выполнил: Чепкасов Родион

учащийся 6 «Б» класса

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул



Руководитель: Булыкина О.Г.

учитель математики

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул




Содержание.


  1. Введение. 1

  2. Отношения и пропорции. 3

  3. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 4

  4. Применение прямой и обратной пропорциональной 6

зависимости при решении различных задач.

  1. Заключение. 11

  2. Литература. 12








































Введение.


Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.


Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.


Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.


Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура писал: "Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению". Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона по знает ученый".


Пропорциями пользовались при решении разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач и теперь легко и быстро решаются при помощи пропорций. Пропорции и пропорциональность применялись и применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами разных частей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения искусств. Пропорциональность в таких случаях является условием правильного и красивого построения и изображения


В своей работе я пытался рассмотреть применение прямой и обратной пропорциональной зависимостей в различных областях окружающей жизни, проследить связь с учебными предметами через задачи.

2



Отношения и пропорции.


Частное двух чисел называется отношением этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Задача.

В магазин привезли 2,4 т груш и 3,6 т яблок. Какую часть привезённых фруктов составляют груши?

Решение. Найдём сколько всего привезли фруктов: 2,4+3,6=6(т). Чтобы найти какую часть привезённых фруктов составляют груши, составим отношение 2,4:6=hello_html_m2444681c.gif. Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах: hello_html_m2444681c.gif= 0,4 = 40 %.

Взаимно обратными называют числа, произведения которых равно 1. Поэтому отношения hello_html_eb1efe.gif называют обратным отношению hello_html_3de040a5.gif.

Рассмотрим два равных отношения: 4,5:3 и 6:4. Поставим между ними знак равенства и получим пропорцию: 4,5:3=6:4.

Пропорция – это равенство двух отношений: a: b=c:d или hello_html_eb1efe.gif= hello_html_m66561aa3.gif, где a и dкрайние члены пропорции, c и bсредние члены ( все члены пропорции отличны от нуля).

Основное свойство пропорции:

в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Применив переместительное свойство умножения, получим, что в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены. Получившиеся пропорции также будут верными.


Используя основное свойство пропорции, можно находить её неизвестный член, если все остальные члены известны.


Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и разделить на известный крайний член. x : b = c : d, x=hello_html_m6633861.gif

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены и разделить на известный средний член. a: b=x : d, x=hello_html_m49b6fc17.gif.




3




Прямая и обратные пропорциональные зависимости.



Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно - длина стороны квадрата зависит от его площади.

Две величины называют пропорциональными, если при увеличении

( уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пример прямой пропорциональной зависимости.

На заправочной станции 2 л бензина весят 1,6 кг. Сколько будут весить 5 л бензина?



Решение:

Вес керосина пропорционален его объему.

Полилиния 7Полилиния 82л — 1,6 кг

5л — х кг

2:5=1,6:х,

х= 5*1,6 х =4

Прямая соединительная линия 9 2

Ответ: 4 кг.

Здесь отношение веса к объему остается неизменным.



Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается ( увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.





4



Пример обратной пропорциональной зависимости.

Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдём ширину второго прямоугольника.

РПолилиния 10ешение:

Полилиния 111 прямоугольник 3,6 м 2,4 м

2 прямоугольник 4,8 м х м

Прямая соединительная линия 123,6 м х м

4Прямая соединительная линия 13Прямая соединительная линия 14Прямая соединительная линия 15,8 м 2,4 м

х = 3,6*2,4 = 1,8 м

Прямая соединительная линия 16 4,8

Ответ: 1,8 м.

Как видим, задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.



Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.
















5



Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Задача № 1

В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотечном фонде?

Решение:

Всего учебников - ? - 100%

Математики - 210 -15%

15 % 210 уч.

Прямая соединительная линия 18Прямая соединительная линия 17 = х = 100* 210 = 1400 учебников

Прямая соединительная линия 19100% х уч. 15

Ответ: 1400 учебников.

Задача № 2

Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время велосипедист проедит 125 км с той же скоростью ?

Решение:

3 ч – 75 км

? ч – 125 км

Время и расстояние являются прямо пропорциональными величинами, поэтому

3 : х = 75 : 125,

х=hello_html_55aff7f5.gif,

х=5.

Ответ: за 5 ч.

Задача № 3

8 одинаковых труб заполняют бассейн за 25 минут. За сколько минут заполнят бассейн 10 таких труб ?

Решение:

8 труб – 25 минут

10 труб - ? минут

Количество труб обратно пропорционально времени, поэтому

8: 10 = х : 25,

х = hello_html_693ce109.gif

х = 20

Ответ: за 20 минут.

6

Задача № 4

Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 15 дней. Сколько рабочих сможет выполнить задание за 10 дней, работая с той же производительностью ?

Решение:

8 рабочих – 15 дней

? рабочих - 10 дней

Количество рабочих обратно пропорционально количеству дней, поэтому

х: 8 = 15 : 10,

х= hello_html_3aa25357.gif,

х= 12.

Ответ: 12 рабочих.


Задача № 5

Из 5,6 кг помидоров получают 2 л соуса. Сколько литров соуса можно получить из 54 кг помидоров ?

Решение:

5,6 кг – 2 л

54 кг - ? л

Количество килограммов помидоров прямо пропорционально количеству получаемого соуса, поэтому

5,6 : 54 = 2 : х,

х = hello_html_m665607d6.gif ,

х = 19hello_html_mcdcd79f.gif .

Ответ: 19hello_html_mcdcd79f.gif л.


Задача № 6

Для отопления здания школы заготовлено угля на 180 дней при норме расхода

0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если его расходовать ежедневно по 0,5 т ?

Решение:

Кол-во дней

Норма расхода

180

0,6

?

0,5

Количество дней обратно пропорционально норме расхода угля, поэтому

180 : х = 0,5 : 0,6,

х = 180*0,6 :0,5,

х = 216.

Ответ: на 216 дней.


7



Задача № 7

В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа ?

Решение:


Кол-во частей

Масса

Железо

7

73,5

Примеси

3

Х

Количество частей прямо пропорционально массе, поэтому

7 : 73,5 = 3 : х.

х = 73,5 * 3 : 7,

х = 31,5.

Ответ: 31,5 т


Задача № 8

Автомобиль проехал 500 км, истратив 35 л бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 420 км ?

Решение:


Расстояние, км

Бензин, л

500

35

420

х

Расстояние прямо пропорционально расходованию бензина, поэтому

500: 35 = 420 : х,

х = 35*420:500,

х = 29,4.

Ответ: 29,4 л


Задача № 9

За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа ?

Решение:

Количество карасей не зависит от времени. Эти величины не являются ни прямо пропорциональными, ни обратно пропорциональными.

Ответ: ответа не существует.


Задача № 10

Горнорудному предприятию требуется закупить на определённую сумму денег 5 новых машин по цене 12 тыс.рублей за одну. Сколько таких машин сможет купить предприятие, если цена за одну машину станет 15 тыс.рублей ?





8



Решение:


Кол-во машин, шт.

Цена, тыс.руб.

5

12

х

15

Количество машин обратно пропорционально стоимости, поэтому

5 : х = 15 : 12,

х= 5*12:15,,

х=4.

Ответ: 4 машины.


Задача № 11

В городе N на площади P находится магазин, хозяин которого настолько строг, что за опоздание вычитает из заработной платы 70 рублей за 1 опоздание в день. В одном отделе работают две девушки Юля и Наташа. Их заработная плата зависит от числа рабочих дней. Юля за 20 дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но она опаздывала 3 дня подряд. Сколько рублей получит Наташа ?

Решение:


Рабочие дни

Зарплата, руб.

Юля

20

4100

Наташа

21

Х

Зарплата прямо пропорционально количеству рабочих дней, поэтому

20 : 21 = 4100 : х,

х= 4305.

4305 руб. должна была получить Наташа.

4305 – 3 * 70 = 4095 ( руб.)

Ответ: Наташа получит 4095 руб.


Задача № 12

Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1 : 250000.

Решение:

Обозначим расстояние между городами на местности через х ( в сантиметрах) и найдём отношение длины отрезка на карте к расстоянию на местности, которое будет равно масштабу карты: 6 : х = 1 : 250000,

х = 6*250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Ответ: 15 км.


9



Задача № 13

В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Какова концентрация соли в данном растворе ?

Решение:


Масса, г

Концентрация, %

Раствор

4000

100

Соль

80

х


4000: 80 = 100 : х,

х = hello_html_6d2c92f9.gif ,

х = 2.

Ответ: концентрация соли составляет 2 %.


Задача № 14

Банк даёт кредит под 10% годовых. Вы получили кредит 50 000 рублей. Какую сумму Вы должны вернуть банку через год ?

Решение:

50 000 руб.

100%

х руб.

10%


50000 : х = 100 : 10,

х= 50000*10:100,

х=5000.

5000 руб. составляет 10%.

50 000 + 5000=55 000 (руб.)

Ответ: через год банку вернут 55 000 руб.
















10




Заключение.



Как видим из приведённых примеров, прямая и обратная пропорциональные зависимости применимы в различных областях жизни:

-экономике,

- торговле,

- на производстве и промышленности,

-школьной жизни,

- кулинарии,

- строительстве и архитектуре.

- спорте,

- животноводстве,

- топографии,

- физики,

- химии и т.д.


В русском языке также встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимости:

- Как аукнется, так и откликнется.

- Чем выше пень, тем выше тень.

- Чем больше народа, тем меньше кислорода.

- И готово, да бестолково.



Математика – одна из древнейших наук, возникла она на основе потребностей и нужд человечества. Пройдя историю становления еще с Древней Греции, она до сих пор остается актуальной и необходимой в повседневной жизни любого человека. Понятие о прямой и обратной пропорциональной зависимости известны еще с древних времен, поскольку именно законы пропорции двигали архитекторами при какой-либо постройке или создании какой-либо скульптуры.

Знания о пропорциях широко используются во всех сферах жизни и деятельности человека – без них не обойтись при написании картин (пейзажей, натюрмортов, портретов и прочее), также имеют широкое распространение среди архитекторов и инженеров, – , в общем, тяжело себе представить создание хоть чего-нибудь без использования знаний о пропорциях и их соотношении.






11






Литература.



  1. Математика-6, Н.Я. Виленкин и др.

  2. Алгебра -7, Г.В. Дорофеев и др.

  3. Математика-9, ГИА-9, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

  4. Математика-6, дидактические материалы, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

  5. Задачи по математике для 4-5 классов, И.В.Баранова и др., М. «Просвещение»1988

  6. Сборник задач и примеров по математике 5-6 класс, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997





























12








Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 27 сентября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Краткое описание документа:

Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.

 

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

 

Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.

 

 

Общая информация

Номер материала: 456277

Похожие материалы

2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации. Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии.

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

Конкурс "Законы экологии"