- 24.03.2015
- 1074
- 0
Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.
Выполнил: Чепкасов Родион
учащийся 6 «Б» класса
МБОУ «СОШ № 53»
г. Барнаул
Руководитель: Булыкина О.Г.
учитель математики
МБОУ «СОШ № 53»
г. Барнаул
Содержание.
1. Введение. 1
2. Отношения и пропорции. 3
3. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 4
4. Применение прямой и обратной пропорциональной 6
зависимости при решении различных задач.
5. Заключение. 11
6. Литература. 12
Введение.
Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.
Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.
Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.
Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура писал: "Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению". Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона по знает ученый".
Пропорциями пользовались при решении разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач и теперь легко и быстро решаются при помощи пропорций. Пропорции и пропорциональность применялись и применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами разных частей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения искусств. Пропорциональность в таких случаях является условием правильного и красивого построения и изображения
В своей работе я пытался рассмотреть применение прямой и обратной пропорциональной зависимостей в различных областях окружающей жизни, проследить связь с учебными предметами через задачи.
2
Отношения и пропорции.
Частное двух чисел называется отношением этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Задача.
В магазин привезли 2,4 т груш и 3,6 т яблок. Какую часть привезённых фруктов составляют груши?
Решение. Найдём сколько всего привезли фруктов:
2,4+3,6=6(т). Чтобы найти какую часть привезённых фруктов составляют груши,
составим отношение 2,4:6=
. Ответ можно также
записать в виде десятичной дроби или в процентах: = 0,4
= 40 %.
Взаимно обратными называют числа, произведения которых
равно 1. Поэтому отношения 
называют обратным
отношению 
.
Рассмотрим два равных отношения: 4,5:3 и 6:4. Поставим между ними знак равенства и получим пропорцию: 4,5:3=6:4.
Пропорция – это равенство двух отношений: a: b=c:d или = 
, где a и d – крайние
члены пропорции, c и b – средние члены ( все члены пропорции
отличны от нуля).
Основное свойство пропорции:
в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Применив переместительное свойство умножения, получим, что в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены. Получившиеся пропорции также будут верными.
Используя основное свойство пропорции, можно находить её неизвестный член, если все остальные члены известны.
Чтобы найти
неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и разделить
на известный крайний член. x : b = c : d, x=
Чтобы найти
неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены и разделить
на известный средний член. a: b=x : d, x=
.
3
Прямая и обратные пропорциональные зависимости.
Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно - длина стороны квадрата зависит от его площади.
Две величины называют пропорциональными, если при увеличении
( уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих
значений этих величин равны.
Пример прямой пропорциональной зависимости.
На заправочной станции 2 л бензина весят 1,6 кг. Сколько будут весить 5 л бензина?
Решение:
Вес керосина пропорционален его объему.
2л — 1,6
кг
5л — х кг
2:5=1,6:х,
х= 5*1,6 х =4
2
Ответ: 4 кг.
Здесь отношение веса к объему остается неизменным.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается ( увеличивается) во столько же раз.
Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
4
Пример обратной пропорциональной зависимости.
Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдём ширину второго прямоугольника.
Решение:
1 прямоугольник 3,6
м 2,4 м
2 прямоугольник 4,8 м х м
3,6
м х м
4,8 м 2,4
м
х = 3,6*2,4 = 1,8 м
4,8
Ответ: 1,8 м.
Как видим, задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.
Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.
5
Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.
Задача № 1
В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотечном фонде?
Решение:
Всего учебников - ? - 100%
Математики - 210 -15%
15 % 210 уч.
= х = 100* 210
= 1400 учебников
100% х уч.
15
Ответ: 1400 учебников.
Задача № 2
Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время велосипедист проедит 125 км с той же скоростью ?
Решение:
3 ч – 75 км
? ч – 125 км
Время и расстояние являются прямо пропорциональными величинами, поэтому
3 : х = 75 : 125,
х=
,
х=5.
Ответ: за 5 ч.
Задача № 3
8 одинаковых труб заполняют бассейн за 25 минут. За сколько минут заполнят бассейн 10 таких труб ?
Решение:
8 труб – 25 минут
10 труб - ? минут
Количество труб обратно пропорционально времени, поэтому
8: 10 = х : 25,
х = 
х = 20
Ответ: за 20 минут.
6
Задача № 4
Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 15 дней. Сколько рабочих сможет выполнить задание за 10 дней, работая с той же производительностью ?
Решение:
8 рабочих – 15 дней
? рабочих - 10 дней
Количество рабочих обратно пропорционально количеству дней, поэтому
х: 8 = 15 : 10,
х= 
,
х= 12.
Ответ: 12 рабочих.
Задача № 5
Из 5,6 кг помидоров получают 2 л соуса. Сколько литров соуса можно получить из 54 кг помидоров ?
Решение:
5,6 кг – 2 л
54 кг - ? л
Количество килограммов помидоров прямо пропорционально количеству получаемого соуса, поэтому
5,6 : 54 = 2 : х,
х = 
,
х = 19
.
Ответ: 19 л.
Задача № 6
Для отопления здания школы заготовлено угля на 180 дней при норме расхода
0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если его расходовать ежедневно по 0,5 т ?
Решение:
|
Кол-во дней |
Норма расхода |
|
180 |
0,6 |
|
? |
0,5 |
Количество дней обратно пропорционально норме расхода угля, поэтому
180 : х = 0,5 : 0,6,
х = 180*0,6 :0,5,
х = 216.
Ответ: на 216 дней.
7
Задача № 7
В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа ?
Решение:
|
|
Кол-во частей |
Масса |
|
Железо |
7 |
73,5 |
|
Примеси |
3 |
Х |
Количество частей прямо пропорционально массе, поэтому
7 : 73,5 = 3 : х.
х = 73,5 * 3 : 7,
х = 31,5.
Ответ: 31,5 т
Задача № 8
Автомобиль проехал 500 км, истратив 35 л бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 420 км ?
Решение:
|
Расстояние, км |
Бензин, л |
|
500 |
35 |
|
420 |
х |
Расстояние прямо пропорционально расходованию бензина, поэтому
500: 35 = 420 : х,
х = 35*420:500,
х = 29,4.
Ответ: 29,4 л
Задача № 9
За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа ?
Решение:
Количество карасей не зависит от времени. Эти величины не являются ни прямо пропорциональными, ни обратно пропорциональными.
Ответ: ответа не существует.
Задача № 10
Горнорудному предприятию требуется закупить на определённую сумму денег 5 новых машин по цене 12 тыс.рублей за одну. Сколько таких машин сможет купить предприятие, если цена за одну машину станет 15 тыс.рублей ?
8
Решение:
|
Кол-во машин, шт. |
Цена, тыс.руб. |
|
5 |
12 |
|
х |
15 |
Количество машин обратно пропорционально стоимости, поэтому
5 : х = 15 : 12,
х= 5*12:15,,
х=4.
Ответ: 4 машины.
Задача № 11
В городе N на площади P находится магазин, хозяин которого настолько строг, что за опоздание вычитает из заработной платы 70 рублей за 1 опоздание в день. В одном отделе работают две девушки Юля и Наташа. Их заработная плата зависит от числа рабочих дней. Юля за 20 дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но она опаздывала 3 дня подряд. Сколько рублей получит Наташа ?
Решение:
|
|
Рабочие дни |
Зарплата, руб. |
|
Юля |
20 |
4100 |
|
Наташа |
21 |
Х |
Зарплата прямо пропорционально количеству рабочих дней, поэтому
20 : 21 = 4100 : х,
х= 4305.
4305 руб. должна была получить Наташа.
4305 – 3 * 70 = 4095 ( руб.)
Ответ: Наташа получит 4095 руб.
Задача № 12
Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1 : 250000.
Решение:
Обозначим расстояние между городами на местности через х ( в сантиметрах) и найдём отношение длины отрезка на карте к расстоянию на местности, которое будет равно масштабу карты: 6 : х = 1 : 250000,
х = 6*250000,
х = 1500000.
1500000 см = 15 км
Ответ: 15 км.
9
Задача № 13
В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Какова концентрация соли в данном растворе ?
Решение:
|
|
Масса, г |
Концентрация, % |
|
Раствор |
4000 |
100 |
|
Соль |
80 |
х |
4000: 80 = 100 : х,
х = 
,
х = 2.
Ответ: концентрация соли составляет 2 %.
Задача № 14
Банк даёт кредит под 10% годовых. Вы получили кредит 50 000 рублей. Какую сумму Вы должны вернуть банку через год ?
Решение:
|
50 000 руб. |
100% |
|
х руб. |
10% |
50000 : х = 100 : 10,
х= 50000*10:100,
х=5000.
5000 руб. составляет 10%.
50 000 + 5000=55 000 (руб.)
Ответ: через год банку вернут 55 000 руб.
10
Заключение.
Как видим из приведённых примеров, прямая и обратная пропорциональные зависимости применимы в различных областях жизни:
-экономике,
- торговле,
- на производстве и промышленности,
-школьной жизни,
- кулинарии,
- строительстве и архитектуре.
- спорте,
- животноводстве,
- топографии,
- физики,
- химии и т.д.
В русском языке также встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимости:
- Как аукнется, так и откликнется.
- Чем выше пень, тем выше тень.
- Чем больше народа, тем меньше кислорода.
- И готово, да бестолково.
Математика – одна из древнейших наук, возникла она на основе потребностей и нужд человечества. Пройдя историю становления еще с Древней Греции, она до сих пор остается актуальной и необходимой в повседневной жизни любого человека. Понятие о прямой и обратной пропорциональной зависимости известны еще с древних времен, поскольку именно законы пропорции двигали архитекторами при какой-либо постройке или создании какой-либо скульптуры.
Знания о пропорциях широко используются во всех сферах жизни и деятельности человека – без них не обойтись при написании картин (пейзажей, натюрмортов, портретов и прочее), также имеют широкое распространение среди архитекторов и инженеров, – , в общем, тяжело себе представить создание хоть чего-нибудь без использования знаний о пропорциях и их соотношении.
11
Литература.
1. Математика-6, Н.Я. Виленкин и др.
2. Алгебра -7, Г.В. Дорофеев и др.
3. Математика-9, ГИА-9, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
4. Математика-6, дидактические материалы, П.В. Чулков, А.Б. Уединов
5. Задачи по математике для 4-5 классов, И.В.Баранова и др., М. «Просвещение»1988
6. Сборник задач и примеров по математике 5-6 класс, Н.А. Терешин,
Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997
12
Настоящий материал опубликован пользователем Булыкина Ольга Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Курс профессиональной переподготовки
Курс профессиональной переподготовки
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.
Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.
Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.
7 240 554 материала в базе
Вам будут доступны для скачивания все 218 512 материалов из нашего маркетплейса.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.