Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыПрактико-значимая работа «ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ И ПРОЕКТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ «ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА»

Практико-значимая работа «ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ И ПРОЕКТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ «ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА»

Скачать материал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практико-значимая работа по теме:

«ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ И ПРОЕКТНЫЕ ЗАДАНИЯ  ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ 

«ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА»

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ И ПРОЕКТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ «ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА»

 

ОПИСАНИЕ УСЛОВИЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ ПО ПРЕДМЕТУ

 Программа учебно-исследовательской и проектной деятельности обучающихся является средством реализации требований Стандарта к личностным и метапредметным результатам освоения основной образовательной программы, конкретизирует методы формирования универсальных учебных действий учащихся на этой ступени образования в части повышения мотивации и эффективности учебной деятельности обучающихся.  Программа направлена на развитие творческих способностей обучающихся, формирование у них основ культуры исследовательской и проектной деятельности, системных представлений и позитивного социального опыта применения методов и технологий этих видов деятельности, развитие умений обучающихся самостоятельно определять цели и результаты (продукты) такой деятельности.

При этом:

      под учебно-исследовательской деятельностью понимается учебная деятельность, направленная на реализацию основных этапов научного исследования, ориентированная на формирование у обучающихся культуры исследовательского поведения как способа освоения новых знаний, развитие способностей к познанию, но, в отличие от научного исследования, не предполагающая получение нового научного результата;

      под проектной деятельностью понимается любая социально значимая организованная деятельность обучающихся, опирающаяся на их индивидуальные интересы и предпочтения, направленная на достижение реальной, личностно значимой, достижимой цели, имеющая план и критерии оценки результата, поддержанная культурой деятельности обучающихся, традициями, ценностями, освоенными нормами и образцами;

      под исследовательской деятельностью понимается деятельность, связанная с решением обучающимися проблемы с заранее неизвестным решением и предполагающая наличие основных этапов, характерных для научного исследования, и получение в результате объективно новых научных знаний.

ОПИСАНИЕ ИННОВАЦИОННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЫ

Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды «Живая математика» позволяют представить математику (геометрию) как область интеллектуальной деятельности, не сводящейся только к выведению следствий средствами формальной логики. 

Рассмотрим другой подход к изучению геометрии:

1.      Математика – наука экспериментальная (эта точка зрения хорошо известна и поддерживается самими математиками).

2.      В математической деятельности существенна исследовательская составляющая. Она включает в себя поиск гипотезы, для появления которой необходимы наблюдения, догадки, аналогии, индуктивные предположения, обобщения...

3.      Огромную роль в процессе математического открытия играют интуиция и пространственное мышление.

4.      В математической деятельности далеко не все дороги ведут к успеху, возможны заблуждения, тупики и ошибки.

5.      Наряду с исследовательской деятельностью в математике необходима деятельность критическая. Всегда есть место сомнению, устранять которое можно с помощью разной аргументации. Поиск традиционного доказательства также может быть отнесён к критической деятельности. Существенен поиск контрпримеров. Частью критической деятельности является оценка выполненной работы, в том числе из эстетических соображений.

 

В организации математической деятельности существенную роль играют компьютерные инструменты, т. е. созданные программные продукты. 

Для проведения исследовательской деятельности учеников, включающей использование компьютера, можно использовать следующий порядок (сценарий) действий:

1.      Создание геометрической модели сюжетной части займи.

2.      Наводящие соображения.

3.      Формулировка гипотезы.

4.      Компьютерный эксперимент.

5.      Корректировка гипотезы по итогам эксперимента.

6.      Неформальное подтверждение справедливости гипотезы.

7.      Доказательство истинности гипотезы.

8.      Поиск альтернативного решения.

9.      Расширение задачи (обобщение, частные случаи). 

 

Остановимся на этом списке подробнее.

1.                  Коль скоро мы включаем ученика в исследовательскую деятельность, предлагаемая ему задача не может быть взята «с потолка». Она либо отражает какую-то прикладную проблему, либо является развитием уже имеющихся результатов. Для создания прикладного оттенка задачи мы предлагаем в начальной её формулировке нечто вроде «сказочки».

 

2.                  Геометрическая задача появляется в результате анализа прикладной ситуации. Создание геометрической формулировки стоит предоставить ученикам. Формулировка геометрической задачи, самостоятельно найденная учеником, способствует более полному её пониманию.

 

3.                  Прежде чем перейти к работе с компьютером, чрезвычайно полезно сделать предположения относительно ответа. Для этого ученикам предлагается мысленно представить ситуацию и предугадать возможный результат. Эти предположения могут возникнуть в результате правдоподобных рассуждений (у нас – наводящих соображений), как это советует делать Д. Пойа. Такими наводящими соображениями являются аналогия, разбор частных случаев, проверка обратного утверждения и т. д.

В некоторых случаях к наводящим соображениям мы относим рекомендации по решению задачи.

Результатом использования наводящих соображений может являться появление гипотезы относительно ответа на поставленный вопрос.

 

4.                  Компьютерный эксперимент либо опровергает возникшую гипотезу, либо корректирует её, либо подтверждает. Если гипотеза уже возникла после наводящих соображений, то компьютер выступает как средство её проверки. Если же гипотеза не появилась, то компьютер выступает как средство её генерирования.

Использование компьютера в геометрии особенно эффективно для:

а) поиска и конструирования объекта, удовлетворяющего условию;

б) наблюдения за изменяющимися геометрическими объектами и за величинами, с ними связанными.

Мы считаем, что компьютер для математика играет примерно такую же роль, как прибор для физика.

 

5.                  Если мы доверяем интуиции, использованию наводящих соображений и подтверждающей работе компьютера, то можем считать, что гипотеза доказана.

Предположим, однако, что и после компьютерного эксперимента остаются сомнения в справедливости гипотезы. Например, свойство, которое мы хотим обнаружить, отсутствует – непонятно, доказали ли мы его отсутствие перебором частных случаев. Другой пример – вычислительный эксперимент, когда неясность возникает из-за наличия погрешностей. Тогда переходим к поиску неформальных соображений, подтверждающих гипотезу. Рациональное рассуждение использует наглядность, симметрию, непрерывность, постоянство, движение, а также соображения, взятые из механики.

Непрерывность используется в двух ситуациях:

1)        если некоторое свойство фигуры выполняется в какой-то точке, то оно может выполняться в малой окрестности пой точки (так называемый метод «малых шевелений»);

2)        если при движении точки по некоторой непрерывной траектории некая геометрическая величина, связанная с данной фигурой, может быть меньше определённого значения и больше его, то существует такое положение переменной точки, когда величина равна этому значению.

Гипотеза о постоянстве определённой величины, связанной с данной фигурой, возникает тогда, когда эта величина принимает одинаковые значения в трёх разных положениях данной фигуры. В основе этой гипотезы лежит предположение о том, что исследуемая величина задаётся линейной или квадратичной функцией, что чаще всего встречается в геометрии.

А если и этого недостаточно и наши сомнения не исчезли, то воспользуемся традиционным геометрическим доказательством.

 

6.                  Поиск альтернативного решения желателен. В некоторых случаях, когда оно существенно отличается от начального решения, мы приводим альтернативное.

 

7.                  В исследовательской деятельности решённая задача порождает новые вопросы, поэтому мы предлагаем расширение исходной задачи. Эту часть исследования мы относим к проектной деятельности. В проекте ученику предстоит пройти все перечисленные выше этапы, за исключением формулировки собственно геометрической задачи, – мы даём эту формулировку как отправную точку проекта. Ученику предлагается сочинить исходный сюжет, сформулировать наводящие соображения и гипотезу, продумать компьютерный эксперимент, подтвердить его результаты рациональными рассуждениями и дедуктивным доказательством, найти альтернативные решения, затем предложить дальнейшие расширения.

Первое расширение показывает, что исследование не заканчивается с получением ответа на поставленный вопрос, – можно поставить новый вопрос. Второе расширение (которое в большинстве задач сложнее первого) показывает, что и с первым расширением исследовательская деятельность не заканчивается, а продолжается.

             

КОНСПЕКТ

ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ 

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ «ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА

 

Задача «Две башни»:

Путешествуя, группа туристов поднялась на две прекрасные старинные башни. Когда они поднимались на первую из них, то вторую башню целиком смогли увидеть только с вершины первой: вид загораживало здание. То же самое произошло, когда они поднимались на вторую из башен: первую башню целиком они смогли увидеть только с вершины второй, вид загораживало все то же здание. Высота каждой башни была им известна.  Но какова же была высота здания?

 

Геометрическая формулировка:

Дан отрезок АВ. Отрезки АС и BD перпендикулярны ему и находятся с одной стороны от АВ. Известны длины отрезков АС и BD: АС = а, BD = b. Проведены отрезки AD и ВС. Пусть они пересекаются в точке Р. Из точки Р проведен перпендикуляр PQ на отрезок АВ

Можно ли найти длину отрезка PQ

 

Необходимые знания: Решение прямоугольного треугольника.

 

Наводящие соображения: 

Проблема решения задачи в том, что не дана длина отрезка АВ. Хватает ли данных, чтобы решить задачу? На первый взгляд кажется, что не хватает. Для выяснения данного вопроса рассмотрим частный случай, когда отрезки АС и BD одинаковой длины. Пусть АС = BD = а. Проведены отрезки AD и ВС. Пусть они пересекаются в точке Р. Из точки Р проведен перпендикуляр PQ на отрезок АВ. В этом случае найти длину отрезка PQ несложно. 

Рассмотрим четырёхугольник АСDВ. Он является прямоугольником, отрезки AD и ВСего диагонали, но тогда точка их пересечения Р удалена от стороны АВ на половину стороны АС, длина которой нам известна. Итак, в этом случае PQ = а/2.И для получения ответа нам не понадобилась длина отрезка АВ.

 

Компьютерный эксперимент:  Постройте          отрезок           АВ.      Постройте два произвольных отрезка а и b разной длины. Постройте отрезки AC и BD, равные отрезкам а и b, перпендикулярные отрезку АВ и находящиеся с одной стороны от него. Проведите отрезки AD и ВС. Пусть они пересекаются в точке Р. Из точки

Р проведите перпендикуляр PQ на АВ. Перемещая один из концов отрезка АВ и наблюдая за длиной отрезка PQ, убедитесь, что длина PQ не зависит от длины АВ.

 

Рациональные соображения:

Зафиксируем точку Р на перпендикуляре, проведённом через середину Q отрезка АВ, и проведём через неё хорду прямоугольника C1D1, пересекающую его стороны АС и BD в точках C1 и D1, соответственно.

Рисунок центрально симметричен относительно точки Р. Тогда ясно: на сколько поднимается левый конец отрезка C1D1, на столько опускается правый конец этого отрезка. При этом отрезок PQ не меняется (он всегда равен средней линии получающейся трапеции) и тем самым не зависит от длины отрезка АВ.

 

Решение: 

 

Введём обозначения: СА = a, DB = b, PQ = x, PAQ = β, CBA = α. Из APQ имеем х = AQ∙tgβ. В свою очередь, из ADB b

tg

имеем                         AB . Из этих двух равенств b

x AQ

получаем                    AB . Отсюда выражаем

x

AQ AB

AQ:                                  b . Аналогично, рассмотрев BPQ и BСА, получим выражение для

x

BQ AB

BQ:                   a . Сложим полученные выражения для AQ и BQ:

AQBQABxx

a b.

                                                                    x     x                                                ab

                                                                            1                                 x

Но AQ + BQ = АВ. Поэтому a          b          . Отсюда находим     a b .  ВЫВОД: длина PQ действительно не зависит от величины АВ.

 

Замечание:  ab

Найденное выражение a b является половиной среднего гармонического положительных чисел a и b. Обычно среднее гармоническое записывается как обратное среднему

1

                                                           1       1                         11 1

                                                                                         

арифметическому чисел a и b , т.е. в виде 2a b.  Среднее гармоническое встречается в разных разделах математики и физики.

 

 

Расширение задачи:

1.      Дан отрезок АВ. Отрезки АС и BD перпендикулярны ему и находятся по разные стороны от АВ, BD > AC. Известно, что АС = а, BD = b. Проведены прямые AD и ВС. Пусть они пересекаются в точке Р. Из точки Р проведен перпендикуляр PQ на прямую АВ.

Можно ли найти длину отрезка PQ?  А что будет, если b = a?

 

2.      Дан отрезок АВ. Отрезки АС и BD перпендикулярны ему и находятся с одной стороны от АВ. Проведены отрезки AD и ВС, и известны их длины. Пусть они пересекаются в точке Р. Из точки Р проведен перпендикуляр PQ на отрезок АВ. Известна длина отрезка PQ

Можно ли найти длину отрезка АВ? Попытайтесь решить задачу, если AD = 2, ВС = 3, PQ = 1. 

 

 

 

ВЫВОД

Компьютер сейчас успешно используется в учебной деятельности школьников. При этом с помощью компьютера удается решить такие задачи, которые без него выполнить трудно.

Компьютерная среда «Живая математика» позволяет работать с геометрическими фигурами, имитировать построение циркулем и линейкой, делать геометрические преобразования, проводить вычисления. Поэтому, работая в этой среде, можно при помощи динамического рисунка провести исследования, выдвинуть гипотезу, найти способ решения. Повышается мотивация и эффективность учебной деятельности обучающихся.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Практико-значимая работа «ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ И ПРОЕКТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ «ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА»"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Инженер лифтового оборудования

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 866 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Презентация по математике на тему "Показательная функция" (11класс)
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 11. Показательная функция, её свойства и график
  • 06.03.2023
  • 146
  • 10
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.03.2023 173
    • PDF 562.1 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Тарабрина Наталья Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Тарабрина Наталья Николаевна
    Тарабрина Наталья Николаевна
    • На сайте: 7 лет и 1 месяц
    • Подписчики: 3
    • Всего просмотров: 3363
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 319 человек из 68 регионов

Курс повышения квалификации

Аспекты преподавания самостоятельного учебного курса «Вероятность и статистика» в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 276 человек из 64 регионов

Мини-курс

Нейропсихология в школе: путь к успеху и благополучию детей

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 73 человека из 34 регионов

Мини-курс

Родительство

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 12 регионов

Мини-курс

Мастерство PowerPoint: систематизация, интерактивность и эффективность

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1145 человек из 82 регионов