Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практико-значимая работа Система уроков математики в условиях реализации ФГОС ООО по теме: «Арифметическая и геометрическая прогресии» в соответствии с УМК авторов А.Г. Мордковича, П.В. Семенова.

Практико-значимая работа Система уроков математики в условиях реализации ФГОС ООО по теме: «Арифметическая и геометрическая прогресии» в соответствии с УМК авторов А.Г. Мордковича, П.В. Семенова.

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин









Практико-значимая работа

Система уроков математики в условиях реализации ФГОС ООО по теме: «Арифметическая и геометрическая прогресии» в соответствии с УМК авторов А.Г. Мордковича, П.В. Семенова.



Выполнил: Группа 2

Хабибуллина Ирина Аркадьевна

слушатель учебного курса

«Конструирование системы уроков математики в условиях реализации ФГОС ООО»,

учитель математики

Муниципального казенного

общеоб-разовательного

учреждения средней

общеобразовательной школы

Чехов-7 г. Чехов-7

Московской области

Руководитель учебного курса:

преподаватель кафедры

математических дисциплин АСОУ

Алексеева Елена Евгеньевна




Москва, 2016

Содержание

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Дидактико-методические аспекты информационно-образовательной среды в контексте процесса обучения математике

§ 1. Назначение, структура, содержание Федерального государственного образовательного стандарта. Требования к результатам обучения

§ 2. Типы уроков в информационно-образовательной среде и их структура

§ 3. Логико-дидактический анализ темы «Арифметическая и геометрическая прогресии» в УМК авторов А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.

ГЛАВА 2. Проектирование системы уроков математики на уровне учебной темы

§ 4. Цели обучения математике на частно-дидактическом уровне

§ 5.Примеры использования различных форм организации учебно-познавательной деятельности на уроках разных типов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение



2



4




6



7



13


15

45

47

48









ВВЕДЕНИЕ.

Математическое образование играет важную роль в практической и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная – с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Практическая полезность математики, обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затрудненно понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Цели обучения математике определяются ФГОС, в котором особое место отводится задаче формирования у учащихся универсальных учебных действий: личностных, регулятивных, познавательных, коммуникативных. В современном обществе мало обладать определенной суммой знаний. В связи с этим главной задачей учителя новой школы становится воспитание человека с современным мышлением, способного реализоваться в жизни, человека, который может

анализировать свои действия;

самостоятельно принимать решения, прогнозируя их возможные последствия;

отличаться мобильностью;

быть способным к сотрудничеству;

обладать чувством ответственности за судьбу страны, ее социально-экономическое процветание.

Цель практико-значимой работы: Реализация требований ФГОС ООО при конструировании системы уроков в информационно-образовательной среде.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

Задачи исследования:

1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.

2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ.

3. Разработать методические рекомендации по построению системы уроков в информационно-образовательной среде на уровне учебной темы «Арифметичекая и геометрическая прогрессии».

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

ГЛАВА 1. Дидактико-методические аспекты информационно-образовательной среды в контексте процесса обучения математике


§ 1. Назначение, структура, содержание Федерального государственного образовательного стандарта. Требования к результатам обучения.


Переход к новому Федеральному государственному образовательному стандарту предполагает качественно новую модель образования. Введение ФГОС нового поколения актуально, необходимо. На данном этапе школа перестает быть единственным источником знаний и информации для школьника. Социально-экономические, научно-технические, экологические и социально-культурные изменения, происходящие в нашей стране, неизбежно влекут за собой радикальные изменения в образовании. Темпы обновления знаний очень высоки, чему в полной мере способствует развитие СМИ и сети Интернет, поэтому на протяжении жизни человеку приходится переучиваться, овладевать новыми профессиями.

Федеральный государственный образовательный стандарт представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию.

Стандарт включает в себя требования:

  1. к результатам освоения основной образовательной программы;

  2. к структуре основной образовательной программы;

  3. к условиям реализации основной образовательной программы.

  4. к структуре основной образовательной программы начального и основного общего образования.

ФГОС ООО включает так же требования к условиям реализации основной образовательной программы основного общего образования, в том числе к кадровым, финансовым, материально – техническим и иным условиям.

Главной целью введения Стандарта заключается в создании условий, позволяющих решать стратегическую задачу Российского образования – повышение качества образования, достижение новых образовательных результатов, соответствующих современным запросам личности, общества и государства

Одна из отличительных черт нового Федерального государственного стандарта – смена позиций: вместо простого изложения материала учителем на уроках ученикам главным становятся те образовательные результаты, которых они должны достичь в результате своей учебной деятельности.

Требования к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования являются ключевой составляющей Стандарта, которые в предлагаемой редакции существенно расширяют представление об образовательных результатах и ориентируют не только на нормирование предметных результатов, но и на достижение метапредметных и личностных результатов. В Стандарте закреплены новые методологические основы построения

системы оценки достижения результатов образования – от оценки достижений обучающихся и учителей к оценке эффективности деятельности всех участников образовательного процесса. В структуре основной образовательной программы начального общего образования предусмотрена программа формирования и развития универсальных учебных действий.


§ 2. Типы уроков в информационно-образовательной среде и их структура.


Типология уроков – важная дидактическая проблема. Она должна способствовать приведению данных об уроке в порядок, систему для широкого круга целей, так как представляет основу для сравнительного анализа уроков, для суждения о сходном и различном в уроках. Отсутствие точной и обоснованной типологии уроков препятствует повышению эффективности практической деятельности.   Уроки деятельностной направленности по целеполаганию можно распределить на четыре группы: уроки «открытия» нового знания; уроки рефлексии; уроки включения нового знания в систему уже имеющихся знаний; уроки развивающего контроля. Основные цели урока каждого типа.

1.  Урок «открытия» нового знания. Цель: формирование у учащихся умений реализации новых способов действия. Содержательная цель: расширение понятийной базы за счет включения в нее новых элементов.

2.  Урок рефлексии. Цель: формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений в деятельности, выявление их причин, построение и реализация проекта выхода из затруднения и т.д.).

Содержательная цель: закрепление и при необходимости коррекция изученных способов действий - понятий, алгоритмов и т.д.

3.   Урок включения нового знания в систему уже имеющихся знаний.

Цель: формирование у учащихся деятельностных способностей и способностей к структурированию и систематизации изучаемого предметного содержания.

Содержательная цель: построение обобщенных деятельностных норм и выявление теоретических основ развития содержательно-методических линий курсов.

4. Урок развивающего контроля. Цель: формирование у учащихся способностей к осуществлению контрольной функции. Содержательная цель: контроль и самоконтроль изученных понятий и алгоритмов.


§ 2. Логико-дидактический анализ «Арифметическая и геометрическая прогрессии» темы в УМК авторов А.Г Мордкович, П.В. Семенов.

1. Тематическое планирование темы

На изучение темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» учебник А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра 9 по программе отводится 16 часов. Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице 1.

Таблица 1

Тематическое планирование, 3 часа в неделю

2. Логико-дидактический анализ содержания темы

2.1. Целеполагание

Числовые последовательности и, как частный случай, прогрессии изучаются в курсе алгебры 9 класса. По мнению А.Г. Мордковича тема “Прогрессии” является “тупиковой, не имеющей связей с остальным материалом основной школы. Последовательности — тема математического анализа, и было бы логичнее начинать с нее изучение начал математического анализа в старшей школе”.

Однако в стандарте математического образования тема “Прогрессии” представлена в рамках основной школы, и изучение ее является необходимым. Уровень обязательной подготовки характеризует следующий минимум, который должны достичь все учащиеся при изучении темы “Прогрессии”: правильно употреблять буквенную символику; составлять несложные буквенные выражения и формулы; осуществлять в формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления. Изучение программного материала дает возможность учащимся познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями, применять формулы n-го члена и суммы n первых членов при решении задач. Задачный материал содержит задания базового , среднего и повышенного уровня сложности. Такие задачи включены в КИМы по математике за курс основной школы. Применение знаний по теме прогрессия может встретиться в 11 классе на ЕГЭ в задачах экономического содержания.

Поскольку в курсе 9 класса приоритет отдается функциональной линии, то и последовательности логичнее рассматривать как функции, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики; это — функции натурального аргумента. В таком ключе подается материал в учебнике “Алгебра, 9” А.Г. Мордковича.

Материал данной темы чрезвычайно удобен для упражнений в творческих умозаключениях по аналогии. Обучая учащихся правильно пользоваться таким эвристическим методом как аналогия, находить и исправлять ошибки в одних предложениях и доказывать другие, подчеркивая истинные аналогии и разрушая ложные, можно развивать элементы творческого мышления.

Ожидаемые результаты – ученики должны:

• понимать и использовать язык последовательностей (термины, символи-ческие обозначения);

• применять формулы, связанные с арифметической и геометрической прогрессией, и аппарат, сформированный при изучении других разделов курса, к решению задач, в том числе с контекстом из реальной жизни.

• решать комбинированные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессии, применяя при этом аппарат уравнений и неравенств;

• понимать арифметическую и геометрическую прогрессию как функции натурального аргумента; связывать арифметическую прогрессию с линейным ростом, геометрическую — с экспоненциальным ростом.

2.2. Логико-дидактический анализ материала темы

«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

задания уровня выше среднего или повышенной трудности.

представление текста задачи

задачи представлены формулами, текстом или таблицей

Другие структурные особенности

структурные особенности

При изложении материала используются непривычные для математической рутинной лексики обороты, рисунки, выделение текста курсивом или рамкой.


Методические особенности

характер изложения

Сначала представлена теория, где все ясно и понятно написано;
Потом практический материал, разделенный на несколько частей по уровню сложности.

использование цвета, особых выделений главного

в некоторых случаях текст набран петитом

наглядность

Наглядность в изложении материала обеспечивается применением графических форм, структурных и табличных схем, текстов и рисунков.

повторение

Задачи на повторение представлены в начале задачника и последний раздел - итоговое повторение

Выводы

достоинства

Доступное и подробное изложение материала, большое число примеров с детальными и обстоятельными решениями, система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности.

недостатки

В учебниках алгебры для учащихся 9 классов (базовый уровень) под редакцией Мордковича А. Г. уравнения и неравенства с параметром не представлены.

Часов отводимых на изучение содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в учебной программе не прописано, т. е. данные задачи если и включены в какие-либо темы, то с пометкой «повышенной сложности» и на уроках алгебры чаще всего не рассматриваются.


Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

в теме представлены понятия:

  • числовая последовательность (функция натурального аргумента);

  • арифметическая прогрессия;

  • геометрическая прогрессия

алгоритмов в теме:

нет

Обязательные результаты обучения теме:

Знать:

  • определения последовательности,

  • арифметической прогрессии,

  • геометрической прогрессии,

  • основные свойства и способы задания,

  • основные формулы n-го члена,

  • суммы первых членов прогрессии,

  • характеристическое свойство.

Уметь:

  • определять вид прогрессии,

  • применять основные формулы для решения простейших задач,

  • выводить и преобразовывать изученные формулы.


2.3. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 3.


Таблица 3

Результаты анализа задачного материала темы

В результате выполнения анализа задач была проведена их классификация по уровню сложности и виду, на основании которой составлена таблица 4.

Таблица 4

Классификация задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

ГЛАВА 2. Проектирование системы уроков математики на уровне учебной темы.

§ 4. Цели обучения математике на частно-дидактическом уровне


Ведущие цели обучения математике в школе являются три крупные группы целей:
а) прогностические (обучающие);
б) мировоззренческие - направленные на воспитание математической культуры (воспитательные и развивающие);

в) личностно-ориентированные (воспитательные в более узком смысле). 
Требования к целям:
а) прогностические цели должны обладать – конкретностью, конструктивностью, проверяемостью, участием ученика в процессе учения;
б) мировоззренческие должны пронизывать весь учебный процесс, выражать стремление к аргументации и четким логическим схемам рассуждения, к четкому расчленению рассуждения и т.п.;
в) личностно-ориентированные должны учитывать формирование возможных в том или ином возрасте качеств личности средствами предмета. 
Этапы формирования действия целеполагания у учащихся:
а) первый этап – учитель раскрывает структуру действия постановки (полагания) цели;
б) второй этап – учитель привлекает детей к постановке цели и критическому осмыслению полученных результатов при достижении цели;
в) третий этап – учащиеся под руководством учителя конструируют цель изучения конкретного учебного материала;
г) четвертый этап – учащиеся самостоятельно ставят цели, а классный коллектив критически анализирует процедуру постановки цели и достижения результата. 
Цели обучения математике отражают общедидактические цели и вместе с тем учитывают специфику данного учебного предмета. Разработка целей обучения является непростым делом. В дидактике и частных методиках в этом направлении сделаны определенные шаги. Цели обучения математике подразделяются на несколько групп: образовательные (в том числе – практические),воспитательные, развивающие.
Образовательные цели обучения во многом зависят от принятой формы дифференциации обучения. Основными документами, в которых фиксируются цели обучения математике, являются образовательный стандарт по математике, программы (разработанные авторами УМК) и рабочая программа учителя математики. Необходимо различать два уровня описания целей обучения: общая характеристика целей обучения и конкретное их представление. Общая характеристика целей обучения дается в пояснительной записке к программе по математике. Существуют различные способы конкретного представления целей обучения. Образовательные цели, например, формулируются в виде требований к уровню математической подготовки учащихся. В рабочей программе учителя математики для этого выделяется специальный раздел "Требования к математической подготовке учащихся". Другой раздел рабочей программы "Содержание обучения" представляет образовательные цели в еще более конкретной форме. Дальнейшей конкретизацией образовательных целей служат учебно-методические комплекты, по которым осуществляется обучение. Предельно конкретный уровень представления образовательных целей имеет место в экзаменационных материалых (ГИА и ЕГЭ). В методических пособиях часто формулируются цели обучения для отдельных тем, уроков. Образовательные цели призваны разграничить основной и второстепенный материал и в соответствии с этим помочь учителю рационально распределить учебное время. 
Несколько слов о постановке воспитательных целей. Они должны быть тесно связаны с содержанием урока. Это могут быть цели по формированию мировоззрения, сознательного отношения к учебе, развитию" познавательной и общественной активности, культуры учебного труда, воспитанию сознательности, расширению политехнического кругозора, подготовке к сознательному выбору профессии и т. д. 
Развивающие цели должны находиться также в тесной связи с содержанием урока.

§ 5.Примеры использования различных форм организации учебно-познавательной деятельности на уроках разных типов.


1. Урок № 5 по теме «Арифметическая прогрессия.»


1. Тема: Арифметическая прогрессия. Основные понятия. п 16;

2. Обобщенная цель урока: сформировать понятие арифметической прогрессии и ее компонентов; научить применять полученные знания при решении основных типов задач на арифметическую прогрессию.

3. Задачи:

предметные: создать условия для формирования первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиска и выделения необходимой информации; подведения под понятия; выведения следствий; умения строить логическое рассуждение и делать выводы; формирования образовательной компетентности

метапредметные: развивать умения определять понятия, создавать обобщени, анализировать.

личностные: формировать умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формировать целостное мировоззрение.

4. Тип урока: урок «открытия» нового знания

5. Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая, технология ИКТ

6. Необходимое техническое оборудование: персональный компьютер, проектор, экран.

7.Характеристика этапов урока представлены в таблице 5. На каждом этапе урока учитель и учащиеся выполняют конкретные действия (табл.5), связанные с задачами этапов и познавательными УУД.

Характеристика этапов урока

Таблица 5

Этап урока

Время, мин

Содержание учебного материала

Методы
и приемы работы

ФОУД*

Деятельность учителя

Деятельность

учеников

Планируемые результаты

познавательная

коммуникативная

регулятивная

Этап актуализации

5 мин

Теоретически-практический тест

(2 варианта) с последующей взаимопроверкой.

Репродуктивный

И

Организует воспроизведение знаний и умений, необходимых для решения проблемных ситуаций

Поиск и выделение необходимой информации о последовательностях, структурирование знания по теме «Последовательности»

Управление поведением партнёра (контроль, оценка действий партнёра)

Контроль в форме сличения результата с заданным эталоном.

Актуализация опорных знаний обучающихся по теме «Числовые последовательности».

Этап проблематизации

7 мин

Работа с числовыми последовательностями (разделить последовательности две группы и обосновать свой выбор). (П) и кроссвордом (Г).

Историческая справка о происхождении понятия «прогрессия» (И)

Проблемный

наглядный

П, Г, И

Создаёт условия для осознания обучающимися существа проблемы и формулирования темы урока.

Осуществляет обратную связь.

Анализ числовых последовательностей с выделением существенных и несущественных признаков, выбор оснований и критериев для сравнения, классификации последовательностей, подведение под понятие.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли, планирование учебного сотрудничества.

Контроль в форме сличения результата с заданным эталоном, коррекция, построение речевых высказываний.

Включение обучающихся в активную учебно-познавательную деятельность на основе опорных знаний. Осознание проблемной ситуации, формулирование темы урока «Арифметическая прогрессия»

Этап целеполагания

3 мин

Формулировка цели и задач урока для обучающихся и учителя.


Словесный

Ф

Организует принятие цели и постановку задач урока обучающимися.

Самостоятельное выделение и формулировка учебной цели.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли

Целеполагание, построение речевых высказываний

Постановка учебной задачи и цели предстоящей деятельности.

Этап концептуализации и моделирова-ния

16 мин

Формулировка определения арифметической прогрессии (П), обозначение арифметической прогрессии (Ф), решение задач(Г).

Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Частично-поисковый,

наглядный

Ф, Г, П

Организует работу по формулированию определения арифметической прогрессии, выводу формулы n-го члена, вводит необходимую информацию, обеспечивает фиксацию необходимого материала в знаково-символической форме:

аn1+(n-1)d.

Осуществляет обратную связь.

Выдвижение гипотез, подведение под понятия, выведение следствий, рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли, планирование учебного сотрудничества.

Контроль, коррекция, волевая саморегуляция.

Усвоение сущности усваиваемых знаний и способов действий на репродуктивном уровне. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии

Этап конструирования

12 мин

Преобразование формулы n-го члена арифметической прогрессии для нахождения а1, d,n, выявление характеристического свойства. (Г). Решение задач на применение полученных формул и заполнение таблицы. (Г) Самостоятельное выполнение заданий за компьютером.(И)

Исследо-вательский

наглядный,

репродук-тивный

Г, И

Определяет границы применимости формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Организует работу по выявлению характеристического свойства.

Показывает образец записи решения задачи.

Осуществляет обратную связь.

Поиск и выделение необходимой информации, рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли, построение речевых высказываний, лидерство и согласование действий с членами группы.

Контроль, коррекция. волевая саморегуляция

Получение формул для нахождения а1, d,n, характеристического свойства арифметической прогрессии.

Выполнение заданий, требующих применения знаний в знакомой и измененной ситуации.

Этап рефлексии

2 мин


Словесный

наглядный

Ф, И

Организует процесс контроля и оценки, создаёт атмосферу взаимного доверия. Осуществляет обратную связь.

Рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли,

Оценка

Осознание обучающимися результата своей деятельности на уроке, уровня личностного продвижения в данной области знаний.

Получение

информации о результатах учения.


* ФОУД – форма организации учебной деятельности обучающихся (Ф – фронтальная, И – индивидуальная, П – парная, Г – групповая).

Ход урока

1. Этап актуализации.

- Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим ваш багаж и выясним готовы ли вы к восхождению.

Теоретически – практический тест (Приложение № 8)

(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям. За каждое верно выполненное задание 1 балл) (Слайд 2)


Вариант

1

2

3

4

5

1

а, б, в

а

б

в

б

2

в

а, б, в

в

а

б

- Поставьте оценки в трансфертные листы, которые вы сдадите в конце урока. (Приложение 1)

- Кто всё правильно выполнил? У кого 1 ошибка? 2 ошибки?

- Молодцы! Теперь можно смело отправляться в путь. Путь к вершине всегда труден. и чтобы её достичь. нужно преодолеть немало испытаний. Перед вами первое испытание.

2. Этап проблематизации.

(Работа в парах + группа из 4 человек разгадывает кроссворд (приложение № 10))

(Слайд 3)

Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.(Приложение № 9)


(an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11…

n): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …

(dn): 16; 13; 10; 7…

n): 1, 2, 4, 8, 16; …

(cn): 2; 6; 18; 54…

(en): 32; 16; 8; 4…


- В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и то же число.

- Во второй группе следующий член последовательности получается при умножении предыдущего на число.

- Кто готов ответить? Какие ещё варианты?

- Теперь сравните полученные результаты с образцом и поставьте оценки. (Слайд 4)

(Правильно сгруппированы последовательности и верно определён признак – «5», верно сгруппированы последовательности, но признак определён неверно – «4», допущены 1 - 2 ошибки при группировке последовательностей, признак определён неверно – «3», допущено больше 2 ошибок, признак не определён или определён неверно – «2»)

Поднимите руки у кого «5», «4».

- Как называется каждая из этих последовательностей нам скажут ребята, работавшие в группе.

-Это … (прогрессия). Верно.

Проверьте ваши ответы и поставьте оценки согласно критериям. (Слайд 5)

(Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «3»)

Что мы сегодня будем изучать? (прогрессии)

- А откуда произошло это слово и что оно означает?

(Краткая историческая справка. Сообщение ученика. Индивидуальное задание) (Слайды 6-8)

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.), и понимался как бесконечная числовая последовательность.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

У нас в России задачи на прогрессии впервые встречаются в одном из древнейших памятников русского права – в «Русской правде», составленном при Ярославе Мудром в XI веке.

Значительное количество задач на прогрессии имеется в замечательном памятнике начала XVIII века – «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. В течение полувека эта книга была основным учебником в России.

- Вы справились с первым испытанием и тем самым преодолели 1 этап. Двигаемся дальше. О каких видах прогрессий шла речь в сообщении? (Арифметической и геометрической)

Сегодня мы изучим одну из них. Предлагаю начать с арифметической прогрессии.

- Тема урока: «Арифметическая прогрессия» (Слайд 9)

3. Этап целеполагания.

-Чтобы знать, к чему стремиться, сформулируйте цель и задачи урока.

Цель: изучить арифметическую прогрессию

Задачи:

  • изучить определение арифметической прогрессии;

  • узнать, как задаётся арифметическая прогрессия;

  • научиться определять, является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет;

  • изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии;

  • научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

Как вы считаете, какая у меня цель?

(Организовать работу так, чтобы мы смогли справиться со всеми поставленными задачами)(Слайд 10)

4. Этап концептуализации и моделирования.

- Итак, давайте, вернёмся к последовательностям первой группы, назовите ещё раз их общий признак. (Слайд 11)

(Каждый следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и тоже число).

Это число назвали разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d.

- Обсудите в группах и запишите в черновик определение арифметической прогрессии. Что у вас получилось?

(После того, как причитают все группы)

Откройте учебник на странице 145 и сверьте записанное вами определение с тем, какое приводят авторы учебника. (Прочитать вслух.)

Определение.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

-Запишите его в тетрадь.

- Скажите, чьи определения были точнее?

Фронтальная работа.

Что означает фраза: «Запиши на языке математики»? (Записать с помощью специальных обозначений)

Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значкомhello_html_m1debe34d.gif и пишут: hello_html_m1debe34d.gifhello_html_3abddcd3.gif . (Записать на доске)

Работа в группах. 4 группы. (Приложение 2.)

Посмотрите внимательно на эти последовательности и ответьте на вопросы (Слайд 12):

  1. Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями и почему?

  2. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии.

  3. Назовите возрастающие и убывающие прогрессии.

  4. Выясните, при каком условии прогрессия возрастает или убывает? Сделайте вывод.

(an): 0, 2, 4, 6, 8, …

(bn): 1, 2, 3, 5, 8, …

(cn): -7, -10, -13, -16…

(dn): 5, 5, 5, 5, 5, …

n): 3, 5, 7, 9, 6, …

n): - 8; -4; 0; 4; 8, …


Проверка по образцу. (Слайд 13) Каждая группа отвечает на один из вопросов.

Ответ:

  1. (an), (cn), (кn), (dn) - арифметические прогрессии

2) (an) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = 0, d =2;

(cn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = -7, d =-3;

n) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = -8, d =4;

(dn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = 5, d =0.

  1. (an). (кn) – возрастающие прогрессии

(cn) – убывающая прогрессия

  1. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d >0 и убывающей, если d <0.

(Оценить работу в группе) Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «2».

- Кто выполнил всё верно? У кого были ошибки? У кого есть вопросы по этому заданию, что не понятно?

- Молодцы, вы преодолели следующий этап.

- Чтобы продолжить путь предлагаю решить задачу (Слайд 14). Обсудите её решение в парах.

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. Какова будет продолжительность ванны на 5 день лечения? (15, 20, 25, 30, 35)

Как вы решили эту задачу? (прибавляли по 5 и взяли пятое число или записали арифметическую прогрессию и взяли пятый член)

- Кто верно решил задачу? Поднимите руки.

Как поступить, если потребуется узнать продолжительность процедуры через месяц лечения? (Аналогично)

Проблема.

- А как упростить решение этой задачи? Что позволяет сразу находить любой член последовательности.

(Эту задачу можно решить быстрее, если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.)

- Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Для этого рассмотрите арифметическую прогрессию hello_html_m1debe34d.gifhello_html_3abddcd3.gif с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу. Групповая работа. Раздать задания. (Приложение 3).

hello_html_m5794f8b8.gifan =

Проверьте, что получилось. (Слайд 15)

Оцените свою работу согласно критериям. ( Задание выполнено верно – «5», допущена ошибка в записи формулы – «4», допущена ошибка в заполнении пропусков – «3», допущена ошибка в заполнении пропусков и неверно записана формула «2»)

a1 = a1,

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d ,

a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d,

a5 = a4 + d = a1 + 3d + d = a1 + 4d


иhello_html_2d710266.gif т.д.

an = a1 +(n - 1)d Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Запишите её в тетрадь.

- Кто справился с заданием? У кого были ошибки? Где ошиблись?

Важное замечание! «Догадками » математики пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Доказательство этого факта можно посмотреть дома в учебнике.

4. Этап конструирования.

(Слайд 16)

Какие задачи можно решать, используя формулу an = a1 + d (n-1).

(Найти hello_html_m7ad73317.gif, hello_html_3a9009d1.gif, d , n)

Вернёмся к нашей задаче. Как перевести её условие на математический язык? Что известно в задаче? (а1= 15, d = 5)

Что нужно найти? (а30 или а31 в зависимости от того сколько в месяце дней)

- Запишем решение задачи в тетрадь при условии, что в месяце 30 дней.

Показать оформление. (Слайд 17)

Дано: а1= 15, d = 5.

Найти: а30.

Решение: а30 = а1 +(30 – 1) d = 15 + 29hello_html_35e8341e.gif5 = 15 + 145 = 160

Ответ: а30 = 160.

- Как найти из формулы n-го члена a1, d , n? (Работа в группах)

1 группа a1 = an – (n - 1)d,

2 группа hello_html_m55383b5f.gif,

3 группа hello_html_m53ef6fa.gif, hello_html_m3cb9ae73.gif.

4 группа . (Более сильная)

В арифметической прогрессии некоторые члены отсутствуют:

-6; а2; 9; а4; 24

Можно ли восстановить пропущенные числа? Если возможно, то выявите закономерность, найдите пропущенные числа и сделайте вывод. Найдите разность арифметической прогрессии.

2 = 1,5; а4 = 16,5; d = 7,5

а1; а2; а3; а4;… аn – 1; an; an + 1; … аn = an – 1 + an + 1

2

Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.)

Проверим работу 4 группы. http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo-arifmeticheskoy-progressii-i1.html ( 8-11 кадр) Интернет-ресурс.

- Проверим, что у вас получилось.

Отчёт групп, результаты записывают в тетрадь. (Слайд 18)

. Оцените свою работу. (Принимал активное участие в работе группы и получил верный результат – «5», принимал участие в работе группы, но не всегда предлагал верные решения – «4», иногда принимал участие в обсуждении, не все предложения были верными – «3», не принимал участия в работе группы – «2»)

Кто получил «5», у кого «4». Молодцы, вы преодолели ещё один этап и теперь имеете весь необходимый инвентарь для дальнейшего продвижения, нужно только правильно им пользоваться.

Работа в группах.

Заполните таблицу. (Слайд 19)


Проверить, оценить. (Слайд 20)

Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», больше 2 ошибок – «2».

- Дальше подъём каждый будет продолжать самостоятельно. Для этого вам нужно выполнить задания на компьютере.

http://fcior.edu.ru/card/12461/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-formula-n-ogo-chlena-arifmeticheskoy-progressii-p1.html

Оценка. Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», больше 2 ошибок – «2».

5. Этап рефлексии.

В начале урока вы ставили цель и задачи. Теперь подведём итоги и выясним все ли задачи были решены?

(Слайд 21)

  • Изучить определение арифметической прогрессии.

  • Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

  • Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии.

  • Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

- А как по вашему, справилась ли я со своей задачей?

Домашнее задание. (Слайд 23)

1 уровень. § 16 пункт 1, 2, 4, № 16.3(а, в), 16.4(а, б),

2 уровень . § 16 пункт 1, 2, 4, № 6.5(а), 16. 7(г),

3 уровень . § 16 пункт 1, 2,4, 16. 17(в), 16. 18 (в)

Дополнительная задача. (Мотивация на следующий урок «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.)

Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м2 уложат студенты за 15 дней?»

5.2. Фрагмент урока № 15 по теме «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.»


Тема: «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.»

Задачи:

формирование познавательных УУД:

обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической и геометрической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п члена и суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессии с помощью формул;

формирование коммуникативных и личностных УУД:

способствовать формированию общекультурных компетенции на уроке при изучении арифметической и геометрической прогрессии; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

формирование регулятивных УУД:

развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

Тип урока: урок рефлексии

Формы работы учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная

Организация деятельности учащихся на уроке:

-самостоятельно формулируют тему, цели урока;

-сообщают краткие исторические сведения;

-работают с карточками;

-работают в парах и индивидуально;

-отвечают на вопросы;

-решают самостоятельно задачи;

-оценивают себя и друг друга



Время в минутах


Формируемые УУД

Познаватель-

ные

Регулятивные

Коммуникатив

ные

Личност-

ные

1

2

3

5

6

7

8

9

10

11

1

Организационный момент


приветствие учащихся; проверка учителем готовности класса к уроку; организация внимания; знакомство с планом урока.



Знакомство с планом урока.

1

осознанное и произвольное построение речевого высказывания

Прогнозирование своей деятельности

Умение слушать и вступать в диалог

умение выделять нравственный аспект поведения

2

Сообщение темы и целей урока.



Презентация

Слайд,1,2,3

Вступительное слово учителя, мотивация изучения данной темы,

соответствующие вопросы к учащимся

Участвуют в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы. Сами формулируют тему и цель урока.

3

Поиск и выделение необходимой информации

Постановка цели учебной задачи, синтез

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог

Смысло-

образование

3

Сообщение кратких исторических сведений.

Презентация

Слайд 4,5,6,


Сообщение кратких исторических сведений.

5

Поиск и выделение необходимой информации.

Осознавать самого себя как движущую силу своего научения

Умение слушать


4

Играем в лото.



Презентация

Слайды 7,8

Учитель объясняет правила игры, правила получения баллов, в момент работы учащихся проходит и смотрит правильность выполнения задания,

комментирует, направляет работу учащихся.

Учащиеся проверяют свои результаты с помощью интерактивной доски, получают баллы за выполненную работу.



5

Уметь строить рассуждения, используя знаково – символические средства.


Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.

Управление своим поведением (контроль, самокоррекция, оценка своего действия)

Формирование навыков самоанализа и самоконтроля

5

Работа в парах.



Презентация

Слайды 9,10,11,12

Организовать работу в парах

обеспечить

контроль

за выполнением

задания.

Выступает в роли тьютора для слабых учащихся


























Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь (работать в парах).

На местах учащиеся решают задачи по одной. После того, как дети закончили решение задачи, проверяют правильность решения, один учащийся выходит к доске, оглашает задачу и комментирует решение по презентации, делает вывод.



8

Осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач

Обнаруживать и формулировать учебную проблему, составлять план выполнения работы.

Выражать точно и грамотно свои мысли

Формирование навыков сотрудничества со взрослыми и сверстниками.

6

Физминутка.


Презентация

Слайды 13

Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.


Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу.

2





7


Применение прогрессий.



Презентация

Слайды 14 - 19

Предлагаются задачи для решения детьми в течении трёх минут.

После того, как учащиеся решили предложенную задачу, они проверяют решение на интерактивной доске с комментариями одного из ребёнка по желанию.


8

Применять схемы, модели для получения информации, устанавливать причинно – следственные связи

Обнаруживать учебную проблему, составлять план выполнения работы.

Уметь находить в тексте информацию, необходимую для решения задач.

Форнмирование устойчивой мативации к индивидуальной деятельности

8.


Индивидуальная работа.


Презентация

Слайды 20

Предлагает тест по теме.

После того, как дети решили задания, они обмениваются работами. Проверяют их по коду ответ.

10

Произвольно и осознанно владеть общим приёмом решения задач.

Формировать способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолении препятствий.

Управлять своим поведением (контроль, самокоррекция, оценка своего действия).

Формирование навыков самоанализа и самоконтроля.


9.

Подведение итогов урока, оценивание знаний




За работу с формулами, задачами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.


Выставляют оценки в дневник

2


Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности

управление поведением партнёра- контроль, коррекция, оценка

нравственно-этическая ориентация


Учащиеся готовы к началу работы.

II. Сообщение темы и целей урока (Слайд 1,2,3)

Сегодня речь пойдёт о прогрессиях. Мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть занимательной, связана c жизнью. Нам предстоит услышать исторические факты, поработать с формулами, решить задачи, посмотреть применение прогрессий в жизни и написать тест. Задания на прогрессию присутствуют в КИМах государственной итоговой аттестации. Сегодня на уроке вы можете получить несколько оценок.



Учащиеся слушают. Если есть вопросы, задают их.









III. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися (Слайд 4,5,6,)

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в “Книге абака” (1202 г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке “Наука о числах”, увидевшей свет в 1484 году.



Учащиеся слушают. Если есть вопросы, задают их.




IV. Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях теоретического материала и формул, поиграем в лото( Слайд 7,8)

За эту игру вы можете получить баллы.

Вам предлагаются карточки, в которых вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», поставив их вместе.

Учитель в момент работы учащихся проходит и смотрит правильность выполнения задания.

Учитель оценивает работу учащихся, сообщает им результат.






Дети выполняют данную работу, находя карточкам соответствующие пары.

Проверяют учащиеся свои результаты с помощью интерактивной доски.


V. Работа в парах(Слайд 9,10,11,12)


Предлагает задачи на слайдах


На местах учащиеся решают задачи по одной. После того, как дети закончили решение задачи, проверяют правильность решения, один учащийся выходит к доске, оглашает задачу и комментирует решение по презентации, делает вывод.

VI. Физминутка(Слайд 13)

Выводит на слайде музыку и видео с релаксом.

Учащиеся поднимаются с мест, повторяют действия за учителем.


VII. Применение прогрессий (Слайд 14 - 19)

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии.

Следующая задача предлагается для решения детям в течении трёх минут.

Предлагает решить задачи на применение прогрессий.


Учащиеся решили предложенные задачи, они проверяют решение на интерактивной доске с комментариями одного из ребёнка по желанию.


VIII. Индивидуальная работа (Слайд 20)

В этом году вы принимаете эстафетную палочку от 11 классов и тоже сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Текст теста по вариантам)

Предлагает детям решить тест.

IX. Подведение итогов.

Учитель: Итак, сегодня мы с помощью различных заданий обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, услышали исторические факты,вспомнили формулы, порешали задачи с использованием данных, встретились с занимательной математикой, написали тест. Спасибо за урок!

Выставление оценок. Их объяснение.









Тест решают в тетради, там же записывают номера ответов.



За работу с формулами, задачами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.


3. Фрагмент урока №6 по теме «Формула n-го члена арифметической прогрессии».

Тема: «Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Цель урока: сформировать понятие формулы n-го члена а.п. ; научить применять полученные знания при решении основных типов задач на арифметическую прогрессию.

формирование познавательных и логических УУД: подведение под понятия; выведение следствий; устанавливать причинно – следственные связи; строить логическое рассуждение и делать выводы; формирование образовательной компетентно

формирование регулятивных УУД: умение определять понятия, создавать обобщения; развитие умений анализировать.

формирование личностных УУД: воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.

Тип урока: Урок открытия «нового» знания

Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа

Оборудование: компьютер, экран, доска

Структура и ход урока

ЭОР


Объясняет новый материал, задает вопросы, предлагает найти закономерности

Записывают тему урока, воспринимают новую информацию, отвечают на вопросы, ищут закономерность, делают выводы

Дают определение арифметической прогрессии

Составляют формулы нахождения членов прогрессии

Элемент волевой саморегуляции, знаково – символические действия, анализ и синтез, умение слушать и вступать в диалог, выбор оснований и критериев, выведение следствий, установление причинно-следственных связей

5 мин

IV


Решение задач (закрепление изученного материала)

http://fcior.edu.ru/card/955/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-formula-n-ogo-chlena-arifmeticheskoy-progressii-k1.html

Задает вопросы, комментирует ход решения, объясняет оформление задач

Отвечают на вопросы, предлагают ход решения, решают задачи, решение записывают в тетрадь

Составляют краткую запись задачи

Анализируют задачу,

консультируются

Выбирают формулу для решения задачи

Выполняют подстановку значений в формулу

Извлечение необходимой информации из прослушанных текстов, анализ, синтез, поиск и выделение, построение логической цепи рассуждения

8 мин

V


Блиц – контроль (первичный контроль знаний)

Последовательности

Предлагает выполнить самопроверку усвоенного материала, наблюдает за работой учащихся, комментирует ход решения

Решают поставленные задачи, решение записывают на листочек, ответы дублируют в тетрадь

Самостоятельно анализируют задачу

Выбирают формулу для решения задачи

Выполняют подстановку значений в формулу

Контроль и оценка процесса и результатов деятельности, построение логической цепи рассуждений, применение методов информационного поиска,

15 мин

VI


Рефлексия

Последовательности

Предлагает выполнить самопроверку проведенной работы, ответить на вопросы и выполнить самооценку своей работы на уроке

Выполняют самопроверку выполненной работы, проводят самооценку своей работы на уроке, рефлексия.

Проверяют результат своей работы по готовому образцу

Анализ и синтез, оценка, рефлексия способов и условий действия, коррекция

3 мин

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ

«Арифметическая и геометрическая прогресси»

В процессе обучения теме «Арифметическая и геометрическая прогресси» используются разнообразные средства обучения:

а) таблицы:

  • «Степени чисел 2n и 3n»;

  • «Классификация текстовых задач по теме»;

  • «Таблица формул (обобщенная)».

б) предписания для:

  • нахождения неизвестных компонентов прогрессии;

в) схемы

  • решения текстовых задач;

  • классификация последовательностей;

Они составляют единый комплекс, основой которого является учебник Алгебра 9, Мордкович А.Г., и предназначены для лучшего усвоения курса алгебры, служат целям формирования УУД.

Подведение объектов под определение

каждый член начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (да-«+», нет-«hello_html_4c883118.gif)


данный объект есть геометрическая прогрессия (да-«+», нет-«hello_html_4c883118.gif)


1

1,2,4,8,16





2

1;3;5;10




3

x+7




4

4,-1,hello_html_m364e7d83.gif,-hello_html_m51c6fdf4.gif




5

2,4,6,8,10





Предписание для решения основных типовых задач:

  1. Запишите формулу п-го члена АП.

  2. Конкретизируйте эту формулу для случая, когда известен номер члена, но не известны первый член и разность АП.

  3. Подставьте в полученные формулы известные значения.

  4. Объедините оба уравнения в систему.

  5. Решите систему известным вам способом.


Набор объектов для открытия понятий «Арифметическая и геометрическая прогрессии»




степень

число

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

3

9

27

81

243

729

2 187

6 561

19 683

59 049

в) Классификационная схема последовательностей.

Таблица формул (обобщенная)

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия.

Пример:

1,2,3,4….

Пример:

2,4,8,16,32…

Формула n-го члена:

an=a1+(n-1)d

Формула n-го члена:

bn = b1qn - 1

Формула для нахождения разности:

d = an- an-1


Формула для нахождения знаменателя:

q = bn/bn - 1



Формула суммы n первых членов: n(a1an)

Sn= ----------------------

2

Формула суммы n первых членов:

b1(qn – 1)

Sn= ------------------

q - 1

Классификационная схема решения текстовых задач

hello_html_m2bdecbc4.gif


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Модернизация российского образования ставит перед учителем средней общеобразовательной школы задачу переосмысления своей педагогической деятельности, пересмотра подходов и методов преподавания, использования комплекса средств, формирующих универсальные учебные действия, которые помогут школьнику стать полноценной социальной личностью, стремящейся реализовать свои возможности, способной делать осознанный и ответственный выбор. В качестве основного результата образования выступает овладение набором универсальных учебных действий, позволяющих ставить и решать важнейшие жизненные и профессиональные задачи. Прежде всего, в зависимости от задач, с которыми предстоит столкнуться непосредственно школьнику и выпускнику во взрослой жизни, и разрабатывался новый образовательный Стандарт.

Задача современной школы - подготовить выпускника, обладающего необходимым набором со­временных знаний, умений и качеств, позволяющих ему уверенно чувствовать себя в самостоятельной жизни.

Содержание темы 9 класса «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в основной школе соответствует фундаментальному ядру школьного математического образования и требованиям к результатам основного общего образования, представленным в Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования второго поколения.

При изучении темы возможно создать благоприятные условия для умения логически обосновывать суждения, выдвигать гипотезы и понимать необходимость их проверки, ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

В процессе обучения появляется возможность формирования умения формулировать свои мировоззренческие взгляды и на этой основе – воспитание гражданственности и патриотизма.

Математика позволяет успешно решать практические задачи: оптимизировать семейный бюджет и правильно распределять время, критически ориентироваться в статистической, экономической и логической информации, правильно оценивать рентабельность возможных деловых партнеров и предложений, проводить несложные инженерные и технические расчеты для практических задач.

Цель общего среднего образованияформирование разносторонне развитой личности, обладающей высоким уровнем общекультурного и личностного развития, способной к самостоятельному решению новых, еще неизвестных задач.

В ходе выполнения работы были:

  1. Выявлены теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.

  2. Выполнен отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ.

  3. Разработаны методические рекомендации по пстроению урока математики в информационно-образовательной среде на уровне учебной темы.

Таким образом, все задачи исследования решены, и цель работы достигнута.
















Список литературы


  1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с

  2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. – М.: Просвещение, 2010. – 159 с.

  3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. – М.: Просвещение, 2009. – 24 с.

  4. Занина О. В.,Данкова И. Н. поурочные разработки по алгебре к учебному комплекту А. Г. Мордковича: 9 класс. – М.:ВАКО,2007.

  5. Игнатьева Г.А., М.Н. Крайникова и др. Проектирование и сценирование инновационных форм учебных занятий в условиях введения ФГОС общего образования: Методические рекомендации.-Нижний Новгород:НИРО, 2013.

  6. Ким Н.А., Мазурова Н.И. Алгебра. 7-9 классы: рабочие программы по учебникам А.Г. Мордковича, П.В. Семенова. – Волгоград: Учитель, 2012.

  7. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс.В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, П.В.Семёнов. – М:Мнемозина, 2010.

  8. Мордкович А.Г. Алгебра.9 класс.В 2 ч. Ч. 2. Задачник, для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, П.В.Семёнов. – М:Мнемозина, 2010.

  9. Мордкович А. Г.. Алгебра 7-9.: Методическое пособие для учителя.- М.: Мнемозина, 2004

  10. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.




Приложения


Приложение 1

Трансфертный лист.

Ф.И. ______________________


hello_html_26213f35.png


Приложение 2

Посмотрите внимательно на эти последовательности и ответьте на вопросы:

  1. Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями и почему?

  2. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии.

  3. Назовите возрастающие и убывающие прогрессии.

  4. Выясните, при каком условии прогрессия возрастает или убывает? Сделайте вывод.

(an): 0, 2, 4, 6, 8, …

(bn): 1, 2, 3, 5, 8, …

(cn): -7, -10, -13, -16…

(dn): 5, 5, 5, 5, 5, …

(хn): 3, 5, 7, 9, 6, …

n): - 8; -4; 0; 4; 8, …


Приложение 3

Рассмотрите арифметическую прогрессию hello_html_m1debe34d.gifhello_html_3abddcd3.gif с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу.

hello_html_7440578e.gif,

hello_html_m492ab42d.gif,

hello_html_1ae44638.gif,

hello_html_49b5000a.gif,

hello_html_27a3f2c.gif, и т.д.

Догадайтесь, как найти аn.

Приложение 4

Приложение 5

Закладка

Арифметическая прогрессия

Опр. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

hello_html_m221def76.gif - формула n-го члена арифметической прогрессии.

аn = an – 1 + an + 1 - характеристическое свойство

2






hello_html_m311cb69c.gif



Приложение 6

Таблица ЭОР, используемых на уроке № 6.

Последовательности

2

Определение арифметической прогрессии

Информационный модуль

Видеофрагменты

http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo-arifmeticheskoy-progressii-i1.html

3

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Практический модуль

Видеофрагменты

http://fcior.edu.ru/card/955/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-formula-n-ogo-chlena-arifmeticheskoy-progressii-k1.html

4

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Контрольное задание

Презентация

Последовательности

5

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Информационный

Презентация

Последовательности


Приложение № 7

Таблица степеней чисел 2 и 3

Приложение № 8

Теоретически – практический тест

Вариант 1

1. Последовательности бывают:

а) конечные б) постоянные в) бесконечные

2. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

3. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

4. Найдите седьмой член последовательности ( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

5. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1

а) 6 б) 7 в) 8

Вариант 2

1. Последовательность обозначается

а) хn б) аn в) ( xn )

2. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) рекуррентный способ в) словесно

3. Члены последовательности обозначаются:

а) а1, а2, а3,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а23,….

4. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn + 1

а) 9 б) 7 в) 3

5. Найдите шестой член последовательности ( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )

а) 67 б) 42 в) 56

Приложение № 9

Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.

(an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11…

(кn): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …

(хn): 1, 2, 4, 8, 16; …

(cn): 2; 6; 18; 54…

(dn): 16; 13; 10; 7…

(en): 32; 16; 8; 4…

Приложение № 10

й








3

к

О

н

е

ч

н

а

я












Г













4

р

е

к

у

Р

р

е

н

т

н

ы

й








5

ч

л

Е

н

ы










6

в

о

з

р

а

С

т

а

ю

щ

а

я











7

С

л

о

в

е

с

н

ы

й









8

И

н

д

е

к

с




9

у

б

ы

в

а

ю

щ

а

Я










Вопросы:

1.Номер члена последовательности, стоящего в самом начале. (Первый)

2.Член последовательности, стоящий перед любым ее членом, начиная со второго. (Предыдущий)

3.Последовательность, в которой конечное число членов. (Конечная)

4.Способ задания последовательности, который в переводе с латинского означает «возвращаться» . (Рекуррентный)

5.Числа, образующие последовательность. (Члены)

6.Последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего. (Возрастающая)

7.Способ при котором правило составления последовательности описано словами. (Словесный)

8.Число, указывающего порядковый номер любого члена последовательности. (Индекс)

9.Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего.(Убывающая)














Приложение № 11

Таблица целей темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Формулировки обобщённых целей

Учебные задачи, направленные на формирование умений для достижения планируемых результатов.

Средства

помощи

цель считается достигнутой, если Вы на уровнях:

первом

втором

третьем

Ц 1:

приобретение и преобразование УИ, формирование ПУД

а) анализируете текст учебника выявляете основные признаки нового понятия, б)анализируете решение задач и сравниваете их с готовым алгоритмом, в)определяете необходимый набор формул для решения задач

а) составляете схему определения понятия «последовательности, прогрессии» с использованием набора объектов; б) выполняете анализ и выявляете необходимый набор формул для решения задач в) выводите основные формулы, используя учебник

а) даёте определение видов последовательности и прогрессии; б) выполняете анализ и выявляете необходимый набор формул для решения задач, в) составляете алгоритмы решения различных видов задач д) выводите основные формулы

Схема определений понятий

Таблица формул


первом

втором

третьем


Ц 2

кон-троль усвоения теории; формирование РУД

Знает 1) определение АП и ГП, характеристические свойства прогрессий

2) формулы п-го члена АП и ГП

3) формулы суммы п первых членов АП и ГП

4) формулу суммы бесконечно убывающей ГП

Приводит примеры различных видов последовательностей, в т.ч. прогрессий

Знает 1) теорию 1 уровня

2) рекуррентные формулы п-го члена АП и ГП

3) способы нахождения разности АП и знаменателя ГП

4)особенности определения количества суммируемых элементов прогрессии, взятых из середины последовательности.

Знает 1) классификацию последовательностей

2) различные способы выполнения заданий

3) рекомендации для решения прикладных задач

3) формулы простых и сложных процентов и области их применения

Понимает прикладной потенциал темы



1) рекомендации для решения текстовых задач;

2) таблицы с формулами;

3) подсказки


первом

втором

третьем


Ц 3 применение знаний и умений:

Умеет 1) применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием изученной терминологии,

2) определять вид прогрессии, устанавливать закономерность и продолжать прогрессию, если даны несколько ее первых членов

3) находить разность АП и знаменатель ГП по двум подряд идущим членам

4) находить п-й член прогрессии, используя формулу

5) находить п-й член АП и ГП прогрессии, используя характеристические свойства

6) находить сумму п первых членов АП и ГП по формуле

7) находить сумму БУГП в простейших случаях

Умеет 1) выполнять задания 1 уровня, но с более сложными вычислениями

2) проверять принадлежность числа заданной прогрессии

3)вычислять члены последовательности по рекуррентной формуле

3)находить первый положительный или первый отрицательный член АП

4) решать задачи на прогрессии, составляя системы уравнений

5)находить сумму п членов АП и ГП (начиная не с первого)

6) представлять бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной

7) в очевидных случаях выбирать более рациональный способ выполнения заданий

8) решать простейшие текстовые задачи

Умеет 1) выполнять задания 1-2 уровня

2) устанавливать закономерность и подбирать формулу п-го члена к данной последовательности

2) выбирать более рациональный способ выполнения заданий

3) решать текстовые задачи разных видов (в т.ч. на простые и сложные проценты)

4) составлять задачи на прогрессии


1)алгоритмы решения

основных

видов задач;

2) образцы записи

решения задач в

учебнике и в те-

тради;


Ц 4: формирование КУД

1) работаете в группе, оказываете взаимопомощь, рецензируете ответы товарищей; 2) организуете взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах учебно-познавательной деятельности (УПД) по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; 3) оказываете помощь, работающим на предыдущих уровнях;4) осуществляете поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой, используя правила коммуникативного взаимодействия

приёмы контроля, оценки; таблица коммуникативной компетентности

5: формирование общих ПУД и РУД

1) выбираете уровни достижения целей и формулируете цели своей учебной деятельности; 2) выбираете задачи и решаете их; 3) осуществляете самопроверку с использованием образцов, приёмов;4) составляете контрольную работу для своего уровня усвоения; 5) оцениваете свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; 6) делаете выводы о дальнейших действиях, планируете коррекцию учебно-познавательной деятельности

приёмы саморегуляции УПД


УИ - учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятивные учебные действия


Приложение № 12


Карта изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогресси»

Умеют: вычислять значения выражений по заданным формулам, сокращать дроби
  1. Предметные результаты (Ц 2 и Ц 3)

Знают: 1) определение АП и ГП, характеристические свойства прогрессий; 2) формулы п-го члена АП и ГП; 3) формулы суммы п первых членов АП и ГП; 4) формулу суммы бесконечно убывающей ГП; 5) рекуррентные формулы п-го члена АП и ГП; 6) способы нахождения разности АП и знаменателя ГП; 7) формулы простых и сложных процентов и области их применения

Умеют: 1) применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием изученной терминологии; 2) определять вид прогрессии, устанавливать закономерность и продолжать прогрессию, если даны несколько ее первых членов; 3) находить разность АП и знаменатель ГП по двум подряд идущим членам;4) находить п-й член прогрессии, используя формулу;5) находить п-й член АП и ГП прогрессии, используя характеристические свойства;6) находить сумму п первых членов АП и ГП по формуле;7) находить сумму БУГП в простейших случаях

IV. Образцы заданий итоговой контрольной работы

I уровень

Баллы

II уровень

Баллы

III уровень

Баллы

1. Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии 1; 1,5; …



1

1. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если: а1 = 11 и а2 = 6


1

1.Найдите сумму первых шести

членов геометрической прогрессии (bn), если:

b1 = 2 и b2 = √3


1

2. Первый член арифметической прогрессии равен -3, а разность равна 5. Найдите сумму первых двадцати ее членов.


1

2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если: b1 = -0,3 и b2 = -0,6


1

2. Найдите с1 , если (сn) – арифметическая прогрессия:

сhello_html_3d95def6.gif1 + с5 = 20,

с2 + с3 = 17.


1

3. В геометрической прогрессии (bn) b1 = 81; q = ⅓. Найдите b6.


1

3. Является ли число 100 членом арифметической прогрессии (аn), если:

а1 = 10 и а2 =14?


1

3. Между числами hello_html_m3e27766c.gif и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе составили геометрическую прогрессию



2

4. Найдите сумму шести членов геометрической прогрессии (сn), если с6= 64; q = 2.


2

4. Найдите с1 , если (сn) – арифметическая прогрессия:

сhello_html_45ca95cd.gif1 + с6 = 26,

с2 + с3 = 18.



2

4*. Докажите, что для членов геометрической прогрессии (bn) выполняется равенство

b8 · b12 = b6 · b14


3

5*Найдите сумму всех натуральных нечетных чисел, не превосходящих 37.



3

5* Докажите, что последовательность (bn), заданная формулой bn = 4 3п+1 , является геометрической прогрессией.

3



V. Средства обучения

1) карточки;

2) систематизационная схема;

3) дифференцированные контрольно-измерительные материалы;

4) таблицы


VI. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы (Ц 2, 3, 5)

I уровень

15.12,15.15,15.20,15.23,16.1,16.3,16.7,16.10,16.16,16.20,16.33,16.38,17.1,17.4,17.6,17.10,17.13,17.25,17.30,17.35

II уровень

15.26,15.28,15.34,15.36,15.42,16.47,16.55,17.36,17.39,17.48,17.51

III уровень

16.52,16.59,16.68,17.50,17.56,17.58.

VII. Темы индивидуальных заданий (Ц 5)

1) Числа Фибоначчи

2) Простые и сложные проценты в экономике

3) Легенда о создателе шахмат и похожие занимательные задачи на прогрессии

4) Задачи по теме «Прогрессии» для моих друзей

5)Самостоятельно выбранная тема.

VIII. Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы (Ц 1 – 5)

Познавательные УУД

Регулятивные УУД

Коммуникативные УУД

Личностные УУД

Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ;

составление схемы определения понятия, подведение под понятие; постановка и решение проблемы при составлении задачи, проведение классификации

Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить; приёмы саморегуляции

Взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений

Рефлексия собственной деятельности

ПРИЛОЖЕНИЕ 13. Список универсальных учебных действий (УУД)

2.1.1. планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

2.1.2. инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

2.1.3. разрешение конфликтов – выявление проблемы конфликта, поиск способов устранения, принятие решения и его реализация;

2.1.4. управление поведением партнёра – контроль, коррекция, оценка действий партнёра.

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.2. Действия для осуществления общения и взаимодействия

2.2

2.2.1. строить монологические высказывания в устной форме (достаточно полно и точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации);

2.2.2. слушать и понимать сообщать мнения и взгляды других (высказанные в устной и письменной формах);

2.2.3. сообщать в устной и письменной формах мнения и взгляды других;

2.2.4. использовать речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции;

2.2.5. владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами родного языка

2.2.6. взаимоконтроль, взаимооценка УПД.

2.2.1


2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

3. Регулятивные УУД

РУД

1) Постановка учебной цели в процессе освоения учебной информации;

2) выявление объективной учебной информации, необходимой для освоения;

3) соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями; принятие решения об использовании помощи;

4) составление и реализация плана деятельности при освоении учебной информации;

5) контроль усвоения учебной информации;

6) оценивание результатов выполненной деятельности;

7) самодиагностика и коррекция собственных учебных действий.


4. Личностные УУД

ЛУД

4.1. Смыслообразование

4.1.

4.1.1. установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов;

4.1.2. установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом – определение того «какое значение, смысл имеет для меня учение».

4.1.1

4.1.2

4.2. Нравственно-этическая ориентация

4.2

4.2.1. выделение морально-этического содержания событий и действий;

4.2.2. построение системы нравственных ценностей как основания морального выбора;

4.2.3. нравственно-этическое оценивание событий и действий с точки зрения моральных норм;

4.3.4. ориентировка в моральной дилемме и осуществление личностного морального выбора.

4.2.1

4.2.2

4.2.3

4.2.4

4.3. Самопознание и самоопределение

4.3

4.3.1. построение образа Я (Я-концепции), включая самоотношение и самооценку;

4.3.2. формирование идентичности личности;

4.3.3. личностное, профессиональное, жизненное самоопределение и построение жизненных планов во временной перспективе.

4.3.1

4.3.2

4.3.3



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 02.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров27
Номер материала ДБ-314461
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх