Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Практикум "Обратные тригонометрические функции"

Практикум "Обратные тригонометрические функции"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

6


hello_html_m53d4ecad.gifВычисление области определения и множества значений функций, связанных с обратными тригонометрическими функциями.


Ход урока.


Деятельность учителя.


Деятельность учащихся.


- Здравствуйте, ребята.


-Сегодняшний урок я хотела бы начать с повторения свойств обратных тригонометрических функций.


-Скажите, что называют арксинусом числа y0? Сделайте соответствующую запись на доске.







- Почему функция y=arcsin x относится к обратным тригонометрическим функциям?


- Каковы область определения, множество значений и характер монотонности функции y = =arcsin x?


- Теперь повторим определение арккосинуса числа y0.







- Почему функция y=arccos x относится к обратным тригонометрическим функциям?


- Каковы область определения, множество значений и характер монотонности функции y = =arccos x?


- Ответьте мне на те же вопросы, касающиеся чисел arctg y0 и arcсtg y0 и функций y=arctg x и y=arcсtg.


-Что называют арктангенсом числа y0?








-Что называют арккотангенсом числа y0?







- Функции y=arctg x и y=arcctg x, как вам уже известно, также относят к обратным тригонометрическим функциям. Обоснуйте этот факт.


- Опишите основные свойства этих функций, то есть те свойства, которые мы уже установили для y=arcsin x и y=arccos x.








- Как вы думаете, для чего мы изучали все эти свойства?





- Верно. Запишите в тетрадях тему нашего сегодняшнего занятия «Вычисление области определения и множества значений функций, связанных с обратными тригонометрическими функциями».


- Для начала выполним задание № 670 под номером 1.

К доске идет Даша, все остальные записывают задачу в рабочую тетрадь.


- Даша, прочитайте задачу и выполните ее.











- Верно, теперь выполним следующее задание, найдите область определения и множество значений функции hello_html_3a396a3b.gif. На доске его будет выполнять Кирилл, а все остальные в тетрадях.


- Кирилл, обратите внимание на выражение, стоящее под знаком арксинуса.


- Какими свойствами обладает данная функция? Каковы ее область определения и множество значений?



- Как это можно сделать?























































- Молодец, Кирилл, садитесь.

Обратите внимание, в задачах такого типа, то есть в задачах на нахождение области определения и множества значений функции вида

hello_html_2f2fac4f.gif нужно исследовать функцию g(x), ее область определения и множество значений.


-Решим еще одну подобную задачу. Найдите множество значений функции hello_html_m6a1c5e95.gif. На доске его будет выполнять Ира, а все остальные в тетрадях.


- Какую в данном случае надо исследовать функцию прежде, чем переходить к непосредственному нахождению множества значений функции hello_html_m6a1c5e95.gif?




















- Молодец, садитесь.


- Разделитесь на 3 группы, каждой группе я выдаю карточку с двумя заданиями. Сделав задания, сначала вы отчитываетесь передо мной, а затем, при условии, что у вас нет ошибок – перед всем классом. Того, кто будет предоставлять отчет мне и классу, выберу я, причем мне будет отвечать один человек из группы, а защищать работу перед классом – другой. Таким образом, 6 человек должны сегодня получить хорошую оценку.

Домашнее задание к следующему уроку найдите область определения и множество значений функции hello_html_m490b74e.gif, Найдите множество значений функцииhello_html_1c284b54.gif.


А теперь приступим к работе с карточками.










-Если | y0|≤1, то арксинусом y0 называют такое число x0, что sin x0= y0 и –π/2 x0 ≤ π/2.


(hello_html_46a77a61.gifx0=arcsin y0, -1≤ у0≤1) (у0= sin x0, -π/2≤ x0 ≤π/2)




- Функция y=arcsin x относится к обратным тригонометрическим функциям, так как она является обратной к функции y=sin x, где –π/2≤x≤ π/2.


- Область определения функции y=arcsin x – отрезок [-1;1], множество ее значений – отрезок [-π/2; π/2], данная функция монотонно возрастает на всей своей области определения.


-Если | y0|≤1, то арккосинусом y0 называют такое число x0, что cos x0= y0 и 0 x0 ≤ π.


(hello_html_46a77a61.gifx0=arccos y0, -1≤ у0≤1) (у0= cos x0, 0≤ x0 ≤π)



- Функция y=arccos x относится к обратным тригонометрическим функциям, так как она является обратной к функции y=cos x, где 0≤x≤ π.


- Область определения функции y=arccos x – отрезок [-1;1], множество ее значений – отрезок [0; π], данная функция монотонно убывает на всей своей области определения.






-Арктангенсом y0 называют такое число x0, что tg x0= y0 и –π/2 < x0 < π/2.


(hello_html_46a77a61.gifx0=arctg y0, y0 R) (у0= tg x0, -π/2< x0 <π/2)




-Арккотангенсом y0 называют такое число x0, что ctg x0= y0 и 0 < x0 < π.


(hello_html_46a77a61.gifx0=arcctg y0, y0 Î R) (у0= ctg x0, 0< x0 <π)



-Функция y=arctg x относится к обратным тригонометрическим функциям, поскольку является обратной к функции y=tg x, где –π/2<x< π/2, а функция y=arcсtg x обратная тригонометрическая, так как обратна к функции ytg x, где 0<x< π.


- Область определения функции y=arctg x – все множество действительных чисел, множество ее значений – интервал (-π/2; π/2), данная функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Область определения функции y=arcсtg x также все множество действительных чисел, множество ее значений – интервал (0; π), данная функция монотонно убывает на всей своей области определения.


-Вероятно, для того чтобы решать такие задачи, выполнять такие упражнения, которые требуют наличия знаний об обратных тригонометрических функциях и их свойствах.



выполняют














- Найдите область определения функции hello_html_m51ade33f.gif. Для того чтобы найти область определения данной функции нужно учесть, что область определения функции y=arcsin t – отрезок [-1;1]. В нашем случае t=x-2, то есть

-1 ≤ x-2 ≤ 1.

Прибавим 2 ко всем частям данного неравенства:

1 ≤ x ≤ 3.

Таким образом, искомая область определения функции – отрезок [1;3].



Кирилл записывает на доске hello_html_3a396a3b.gif.






- Это функция hello_html_m13ec36dd.gif.



- Область определения функции g(x) – множество действительных чисел.

Для того чтобы найти ее множество значений нужно для начала преобразовать выражение hello_html_m2ad1bdb8.gif.


- Так как коэффициенты, стоящие перед hello_html_m3b720646.gifи hello_html_278f2317.gif равны 1, разделим и умножим данное выражение на

hello_html_1dfa434f.gif.

Получаем hello_html_31d042c3.gif,


hello_html_m16ee9f3c.gif,

hello_html_m6740e83b.gif.


Так как множество значений функции y=sin t – отрезок [-1;1], то

hello_html_m32f422.gif,

умножим все части данного неравенства на hello_html_1caef8ee.gif, тогда

hello_html_m1e1ee2b3.gif.

Теперь прибавим hello_html_4c8c016f.gif, а затем разделим на hello_html_md662bbf.gif:

hello_html_2f355c77.gif


hello_html_m38eb7411.gif.

Таким образом, мы получили, что множество значений функции g(x) – это отрезок [1/2;1].

Учитывая, что функция g(x) стоит под знаком арксинуса и область определения функции y=arcsin t, делаем вывод о том, что областью определения функции hello_html_3a396a3b.gif является множество действительных чисел.

Далее учитывая, что функция y=arcsin t монотонно возрастает на всей своей области определения, из неравенства hello_html_m38eb7411.gif получаем, что hello_html_m74e4be6d.gif.

Умножив все части последнего неравенства на 6, получим искомое множество значений.

hello_html_170378dc.gif.

Ответ: D(f)=R, E(f)=[π;3π].
















Ира записывает hello_html_m6a1c5e95.gif.







- Сначала надо найти множество значений функции hello_html_m19d38d94.gif.

Учитывая то, что модуль числа всегда неотрицателен, имеем:

hello_html_3d5de581.gif,

умножим обе части неравенства на 3, 3>0, тогда

hello_html_41b12ac3.gif.

Затем прибавим 4hello_html_1caef8ee.gifи разделим на 8, получаем

hello_html_577e3ed2.gif.

Учитывая область определения функции y=arсcos t, запишем hello_html_24faefb0.gif.

Функция y=arcсos t является убывающей, то

hello_html_156fa89c.gif.

hello_html_51e28e97.gif.

Ответ: E(f)=[0;1].














Задания.


Карточка № 1.

1)Найдите область определения и множество значений функции hello_html_284332ff.gif.

2) Найдите множество значений функции hello_html_b08625.gif.



Карточка № 2.

1)Найдите множество значений функции hello_html_m1c96fc7d.gif.

2) Найдите область определения и множество значений функции hello_html_m39f9b627.gif.



Карточка № 3.

1)Найдите область определения и множество значений функцииhello_html_m7e0ab453.gif.

2) Найдите множество значений функции hello_html_41ef5e58.gif.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 02.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров316
Номер материала ДВ-222581
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх