Практикум "Обратные тригонометрические функции"

Вычисление области определения и множества значений функций, связанных с обратными тригонометрическими функциями.

Ход урока.

Деятельность учителя.

Деятельность учащихся.

- Здравствуйте, ребята. -Сегодняшний урок я хотела бы начать с повторения свойств обратных тригонометрических функций. -Скажите, что называют арксинусом числа y0? Сделайте соответствующую запись на доске.  - Почему функция y=arcsin x относится к обратным тригонометрическим функциям?  - Каковы область определения, множество значений и характер монотонности функции y =  =arcsin x? - Теперь повторим определение арккосинуса числа y0.                    - Почему функция y=arccos x относится к обратным тригонометрическим функциям?  - Каковы область определения, множество значений и характер монотонности функции y =  =arccos x? - Ответьте мне на те же вопросы, касающиеся чисел arctg y0 и arcсtg y0 и функций y=arctg x и y=arcсtg. -Что называют арктангенсом числа y0? -Что называют арккотангенсом числа y0? - Функции y=arctg x и y=arcctg x, как вам уже известно, также относят к обратным тригонометрическим функциям. Обоснуйте этот факт. - Опишите основные свойства этих функций, то есть те свойства, которые мы уже установили для y=arcsin x и y=arccos x. - Как вы думаете, для чего мы изучали все эти свойства? - Верно. Запишите в тетрадях тему нашего сегодняшнего занятия «Вычисление области определения и множества значений функций, связанных с обратными тригонометрическими функциями». - Для начала выполним задание № 670 под номером 1. К доске идет Даша, все остальные записывают задачу в рабочую тетрадь. - Даша, прочитайте задачу и выполните ее. - Верно, теперь выполним следующее задание, найдите область определения и множество значений функции . На доске его будет выполнять Кирилл, а все остальные в тетрадях. - Кирилл, обратите внимание на выражение, стоящее под знаком арксинуса. - Какими свойствами обладает данная функция? Каковы ее область определения и множество значений? - Как это можно сделать? - Молодец, Кирилл, садитесь. Обратите внимание, в задачах такого типа, то есть в задачах на нахождение области определения и множества значений функции вида  нужно исследовать функцию g(x), ее область определения и множество значений. -Решим еще одну подобную задачу. Найдите множество значений функции . На доске его будет выполнять Ира, а все остальные в тетрадях. - Какую в данном случае надо исследовать функцию прежде, чем переходить к непосредственному нахождению множества значений функции ?  - Молодец, садитесь. - Разделитесь на 3 группы, каждой группе я выдаю карточку с двумя заданиями. Сделав задания, сначала вы отчитываетесь передо мной, а затем, при условии, что у вас нет ошибок – перед всем классом. Того, кто будет предоставлять отчет мне и классу, выберу я, причем мне будет отвечать один человек из группы, а защищать работу перед классом – другой. Таким образом, 6 человек должны сегодня получить хорошую оценку. Домашнее задание к следующему уроку найдите область определения и множество значений функции , Найдите множество значений функции. А теперь приступим к работе с карточками.

-Если | y0|≤1, то арксинусом y0 называют такое число x0, что sin x0= y0  и –π/2 ≤ x0 ≤ π/2.                        (x0=arcsin y0, -1≤ у0≤1)          (у0= sin x0, -π/2≤ x0 ≤π/2) - Функция y=arcsin x относится к обратным тригонометрическим функциям, так как она является обратной к функции y=sin x, где –π/2≤x≤ π/2. - Область определения функции y=arcsin x – отрезок     [-1;1], множество ее значений – отрезок [-π/2; π/2], данная функция монотонно возрастает на всей своей области определения. -Если | y0|≤1, то арккосинусом y0 называют такое число x0, что cos x0= y0  и 0 ≤ x0 ≤ π.                        (x0=arccos y0, -1≤ у0≤1)          (у0= cos x0, 0≤ x0 ≤π) - Функция y=arccos x относится к обратным тригонометрическим функциям, так как она является обратной к функции y=cos x, где 0≤x≤ π. - Область определения функции y=arccos x – отрезок    [-1;1], множество ее значений – отрезок [0; π], данная функция монотонно убывает на всей своей области определения. -Арктангенсом y0 называют такое число x0, что tg x0= y0  и –π/2 < x0 < π/2.                        (x0=arctg y0, y0 Î R)        (у0= tg x0, -π/2< x0 <π/2) -Арккотангенсом y0 называют такое число x0, что ctg x0= y0  и 0 < x0 < π.                        (x0=arcctg y0, y0 Î R)        (у0= ctg x0, 0< x0 <π) -Функция y=arctg x относится к обратным тригонометрическим функциям, поскольку является обратной к функции y=tg x, где –π/2<x< π/2, а функция y=arcсtg x обратная тригонометрическая, так как обратна к функции y=сtg x, где 0<x< π. - Область определения функции y=arctg x – все множество действительных чисел, множество ее значений – интервал (-π/2; π/2), данная функция монотонно возрастает на всей своей области определения. Область определения функции y=arcсtg x также все множество действительных чисел, множество ее значений – интервал (0; π), данная функция монотонно убывает на всей своей области определения. -Вероятно, для того чтобы решать такие задачи, выполнять такие упражнения, которые требуют наличия знаний об обратных тригонометрических функциях и их свойствах. выполняют - Найдите область определения функции . Для того чтобы найти область определения данной функции нужно учесть, что область определения функции y=arcsin t – отрезок       [-1;1]. В нашем случае t=x-2, то есть                       -1 ≤ x-2 ≤ 1. Прибавим 2 ко всем частям данного неравенства:                        1 ≤ x ≤ 3. Таким образом, искомая область определения функции – отрезок [1;3]. Кирилл записывает на доске . - Это функция . - Область определения функции g(x) – множество действительных чисел. Для того чтобы найти ее множество значений нужно для начала преобразовать выражение . - Так как коэффициенты, стоящие перед и  равны 1, разделим и умножим данное выражение на . Получаем       ,                        ,                                 . Так как множество значений функции y=sin t – отрезок [-1;1], то                      , умножим все части данного неравенства на , тогда                        . Теперь прибавим  , а затем разделим на :                                          . Таким образом, мы получили, что множество значений функции g(x) – это отрезок [1/2;1]. Учитывая, что функция g(x) стоит под знаком арксинуса и область определения функции y=arcsin t, делаем вывод о том, что областью определения функции  является множество действительных чисел. Далее учитывая, что функция y=arcsin t монотонно возрастает на всей своей области определения, из неравенства   получаем, что     . Умножив все части последнего неравенства на 6, получим искомое множество значений.                                                                                                                                                                                                                                                                   . Ответ: D(f)=R, E(f)=[π;3π]. Ира записывает . - Сначала надо найти множество значений функции . Учитывая то, что модуль числа всегда неотрицателен, имеем:                                  , умножим обе части неравенства на 3, 3>0, тогда                           .  Затем прибавим 4и разделим на 8, получаем                           .  Учитывая область определения функции y=arсcos t, запишем    . Функция y=arcсos t является убывающей, то     .    .     Ответ: E(f)=[0;1].

Задания.

Карточка № 1.

1)Найдите область определения и множество значений функции .

2) Найдите множество значений функции .

Карточка № 2.

1)Найдите множество значений функции .

2) Найдите область определения и множество значений функции .

Карточка № 3.

1)Найдите область определения и множество значений функции.

2) Найдите множество значений функции .