Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Практикум по алгебре в 11 классе

Практикум по алгебре в 11 классе


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

(на примерах из МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Задания № 9 в контрольной работе – это задачи повышенной сложности на исследование и решение уравнений или систем уравнений, содержащих все основные элементарные функции и зависящих от параметров. Обычно это уравнения или системы, сводящиеся к квадратным уравнениям. Сначала находим ОДЗ, затем выбираем переменную, относительно которой будем решать. Основными методами решения являются: 1) аналитический; 2) графический; 3) особые случаи.

Полезно знать: Если получили квадратное уравнение hello_html_40268ca1.gif , то при A > 0

  1. хhello_html_m71eadfad.gif ≥ 0 1) единственное решение:

D ≥ 0

hello_html_m52b5fac3.gif/А)

c проверкой на нулевые точки



2) два решения:


hello_html_m71eadfad.gifD > 0


hello_html_601dab72.gif/А)

hello_html_md0e42d1.gif (- B/A)


3) имеет решение ( хотя бы один корень или два и т. д.)


Все случаи рассматривать не будем, а из D ≥ 0 вычтем

hello_html_m71eadfad.gifD > 0


hello_html_2d6795b7.gif (С/А)

hello_html_m16212f2a.gif ( - B/A),

то что останется и будет решением.


4) не имеет решения: к D < 0 прибавить


hello_html_m71eadfad.gifD > 0


hello_html_2d6795b7.gif (С/А)

hello_html_m16212f2a.gif ( - B/A),

  1. х < 0 1) единственное решение:

hello_html_m71eadfad.gif

D ≥ 0

hello_html_m52b5fac3.gif

c проверкой на нулевые точки


2) два решения:


hello_html_m71eadfad.gifD > 0


hello_html_601dab72.gif

hello_html_md0e42d1.gif



3) имеет решение ( хотя бы одно решение):

(не нужно рассматривать все случаи )

Из D ≥ 0 вычитаем



hello_html_m71eadfad.gifD > 0


hello_html_601dab72.gif

hello_html_md0e42d1.gif ,

то что останется и будет решением.


4) не имеет решения: к D < 0 прибавить

hello_html_m71eadfad.gifD > 0


hello_html_601dab72.gif

hello_html_md0e42d1.gif .

Рассмотрим примеры с параметром, содержащие модули.

Пример 1. Укажите все значения параметра р , при которых уравнение

hello_html_m181352ca.gif

имеет единственное решение. Найти эти корни при каждом значении р.

Решение. ОДЗ: 1) Если х ≥ 0, то знаменатель примет вид х – х = 0, что невозможно, значит, х ≥ 0 не может быть.

2) Если х < 0, то знаменатель примет вид х - |х| = х – (- х) = х + х = 2х.

Иhello_html_51cadcc3.gifсходное уравнение примет вид:




(*)


Переформулируем задание : найдем все значения параметра р , при которых уравнение (*) имеет единственный отрицательный корень. Это возможно, если будет выполняться условие:

hello_html_m449265c3.gifD ≥ 0


hello_html_m43f2c002.gif .

Найдем D/4 для (*) : hello_html_7750ca3e.gif

Корни: hello_html_21a3f893.gif

hello_html_m3a43f59b.gif( по теореме Виета)

Рhello_html_m71eadfad.gifhello_html_m71eadfad.gifешим систему:

-2 ( р - 4 ) ≥ 0; р – 4 ≤ 0

hello_html_df3d3b5.gif, (р – 2 )( р + 4 ) < 0




hello_html_m5e2238bb.gifhello_html_5bff91ed.gif

hello_html_25a6e16f.gif

Проверяем нулевые точки: если р = - 4, то hello_html_m3c50504c.gif оба корня не отрицательные hello_html_1b730b13.gif

hello_html_1b730b13.gifр ≠ - 4.

Если р = 2, то hello_html_m448b14b8.gif

один из корней отрицательный hello_html_1b730b13.gifр = 2.


Если р = 4, то hello_html_35a79278.gif

hello_html_1b730b13.gifх = - 4 – отрицательный корень hello_html_1b730b13.gifр = 4.

Окончательно имеем: при hello_html_65225736.gif уравнение (*) , значит, и исходное уравнение имеет единственное решение hello_html_55924908.gif.

Ответ: hello_html_65225736.gif, hello_html_55924908.gif.


Пример 2. Укажите все значения параметра а , при которых система

hello_html_m71eadfad.gifhello_html_m71eadfad.gifhello_html_19682378.gifимеет решение.

Решение. ОДЗ: х ≠ 0.

  1. х > 0, hello_html_m16aed69f.gifhello_html_95cc3c8.gif, hello_html_3abf58dc.gif.



hello_html_478764a0.gif

Переформулируем задание. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение (*) имеет положительные корни. (см. схему)

Дhello_html_m71eadfad.gifля чего из D ≥ 0 вычтем

D ≥ 0

hello_html_2d6795b7.gif

hello_html_m16212f2a.gif

hello_html_687d4023.gif


Решим неравенство:

hello_html_mc87d383.gif

Если а = - 7, х= -3 – отрицательно hello_html_1b730b13.gifа ≠ -7.

Если а = 3, х = - 3 – отрицательно hello_html_1b730b13.gifа ≠ 3.

hello_html_5c8f2990.gif, hello_html_37dc2b37.gif, (а – 2) (а +6) > 0

hello_html_m6cf1a330.gif.

hello_html_3210dac.gif- отрицательно (верно)

Из дискрименантной области ( - 7; 3 ) вычтем объединение промежутков: ( - ∞; - 6) hello_html_m1892df5d.gif ( 2; +∞) hello_html_m1892df5d.gif ( - 7; 3) = ( 7; - 6) hello_html_m1892df5d.gif( 2; 3)






Осталось: а € ( -6; 2 ) - промежуточный результат.

  1. х < 0, hello_html_m64ac7cf4.gif, hello_html_m648ccd49.gif, у = -2.

hello_html_m4a24833d.gif

Переформулируем задание. Найдем при каких значениях параметра а уравнение (**) имеет отрицательные корни. Для чего из D ≥ 0 вычтем ( исключим)


hello_html_m71eadfad.gifD ≥ 0


hello_html_2d6795b7.gif

hello_html_md0e42d1.gif .


hello_html_2457a7e0.gif

Решим неравенство: hello_html_m29f89035.gif

hello_html_63b9b6f3.gif

hello_html_241dcf77.gif


( а + 3) (а - 7 ) ≤ 0, а € ( -3; 7) .

Проверим нулевые точки :

если а = -3, х = - 3 – отрицательно hello_html_1b730b13.gifа = - 3;

если а = 7 , х = - 3 – отрицательно hello_html_1b730b13.gifа = 7

hello_html_1b730b13.gifа € [ -3; 7] .

hello_html_m25d9406e.gif,

hello_html_73d6ad1c.gif hello_html_m9fd19f9.gif- отрицательно hello_html_1b730b13.gif неверно. Значит, система

hello_html_m71eadfad.gifD ≥ 0

hello_html_2d6795b7.gifне имеет решений , т. е. а € ǿ.

hello_html_md0e42d1.gif.


Значит из числового промежутка [ -3; 7], исключив пустое множество, получим это же множество: т.е. . а € [ -3; 7] – промежуточное решение.

Объединяя числовые промежутки в случаях 1 и 2 , получим а € (- 6; 7].

Ответ: при а € (- 6; 7].




Пример 3. Укажите все значения параметра а , при которых уравнение

hello_html_368b63e7.gifимеет единственное решение. Найти эти корни при каждом значении а.

Решение. ОДЗ: hello_html_7d5c98b9.gif,

Если х ≥ 0, hello_html_27cad11e.gif, hello_html_m1581a411.gif, х € [ 0; 6) ( 6; +∞).

Если х< 0, hello_html_5a6866f6.gif, hello_html_m4ac5e3cc.gif, hello_html_4eff73e3.gif


Но так как х < 0, то в этом случае х € Ǿ .

Итак: х € [ 0; 6 )Ụ ( 6; +∞), т.е. область определения этого уравнения все неотрицательные числа, кроме х = 6. На это значение х в дальнейшем необходимо обратить внимание. Уравнение примет вид: hello_html_m5a8555ea.gif,

hello_html_22f33412.gif. Найдем при каком hello_html_m53d4ecad.gifа уравнение (*) имеет единственное неотрицательное решение.

hello_html_m248e259d.gifD ≥ 0 hello_html_ma0dd4fe.gif

hello_html_m52b5fac3.gifhello_html_a49a8c5.gif

Найдем решение системы: hello_html_78f4c7.gif; hello_html_m78b19a47.gif а € [ - 4; 3 ], при а = 12, hello_html_71a7c649.gif

hello_html_16ca8903.gif


hello_html_me56890f.gif, х = 12 – единственное решение.

Значит, а = 12 включается в решение.

Берем выколотую точку х = 6 и подставим это значение в уравнение (*):

hello_html_m34bc6558.gif

hello_html_m6849a88f.gif


hello_html_me9b7cf2.gif, hello_html_m5b4630f4.gif, hello_html_3b986fdb.gif .

Если а = 3, то hello_html_791f53cd.gif, hello_html_m3ce9da54.gif, х = 0, х ≠ 6.

Если а = 8, то hello_html_m7218f5cf.gif, hello_html_54434e50.gif,

hello_html_67dbe78f.gif, hello_html_e9a673e.gif, hello_html_d3dc04f.gif, но х ≠ 6 .

Замечаем, что при а = 8 имеется единственное решение х = 10 hello_html_1b730b13.gifа = 8

включаем в решение.

Ответ: hello_html_4d86eddb.gif ; при hello_html_m2a705aaa.gif;

при а =3, х = 0; при а =8, х = 10.


Пример 4. Укажите все значения параметра а , при которых уравнение

hello_html_m7b80e976.gifимеет хотя бы один корень.

Решение.

1 – х = 0 , х + 3 = 0 I II III

хhello_html_m7e7d56c6.gif = 1 х = - 3 -3 1 х


I) hello_html_m608f5d51.gif, hello_html_m18bb6c9f.gif


hello_html_33dff9dc.gif

hello_html_7a35a7ef.gif

Найдем при каком значении а уравнение (*) имеет два корня, которые меньше -3:

hello_html_7005db14.gifhello_html_me0c3fbf.gif, hello_html_m68f52385.gif.


hello_html_22c8e2c0.gifhello_html_m58292b23.gifhello_html_773d74a0.gif



hello_html_m46c0c8fc.gifhello_html_1b730b13.gifа € Ǿ , т.е. ни при каком а уравнение (*) не имеет двух корней на числовом промежутке ( - ∞; - 3 ).

Найдем при каком а уравнение (*) имеет единственный корень на промежутке ( - ∞; - 3 ).

hello_html_m561c8db0.gif

-3 х


hello_html_m612a1c5a.gifhello_html_6731cca6.gifhello_html_512b2945.gif


(1) hello_html_mc6af1b1.gif

hello_html_3ccb706f.gifhello_html_m318d7c30.gifhello_html_m1bb78a8c.gifhello_html_1b730b13.gif


hello_html_1b730b13.gifhello_html_m464df532.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m663d89ea.gif

(2) hello_html_m6fbd0916.gif

hello_html_m1415d865.gifhello_html_74341927.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_38d947ff.gif.

Значит, при hello_html_2bf445e6.gif - единственный корень.

II) hello_html_3416d47c.gif, hello_html_5d93773d.gif

hello_html_m3f69629e.gif


hello_html_m29c2d22c.gif


hello_html_m40c6bd09.gif

исследуем в этой области уравнение (**) на 2 решения.


hello_html_19ffc550.pnghello_html_m3470309e.gifhello_html_15ce0581.gif

hello_html_m3dd5f2b6.gif, hello_html_6c881dc5.gif


hello_html_590015b.gifhello_html_m68471523.gif


Исследуем в этой области уравнение (**) на единственном решении.

Устроят нас два решения:

hello_html_14228d78.png

hello_html_m7dfa8950.gif

hello_html_1d8a408e.gif

hello_html_406806e9.gif

hello_html_7eaf7c2f.gif-единственный корень



hello_html_m49d1dcb2.png

hello_html_m53206337.gif

hello_html_1b545cbc.gif

hello_html_mbc0eb3a.gif

hello_html_m208a1764.gif-единственный корень


III) hello_html_m10b9af67.gif, hello_html_m72724267.gif

hello_html_3ac2c2b1.gif

hello_html_m7f57ff5d.gif

Исследуем уравнение (***) на два решения третьей области.

hello_html_3a73c361.png

hello_html_m68a0a477.gifhello_html_7dc1d9.gif

hello_html_207bdd12.gif

hello_html_m1cbe2ccd.gif

hello_html_m226a55bd.gif

hello_html_m54236fff.gif


(1) hello_html_m7fc0bddd.gif

hello_html_55cda8ff.gif

hello_html_7a2ba61e.gif

hello_html_1598a1c6.gif

hello_html_m13b295f0.gif

hello_html_m50f13d11.gif


Исследуем уравнение (***) на одно решение:




hello_html_m48c8535c.gif1


hello_html_m4c356c6b.gifhello_html_1811154f.gifhello_html_2a9f3769.gif

(2) hello_html_m5260060f.gif

hello_html_m7114f24c.gifhello_html_m7114f24c.gifhello_html_61459df3.gifhello_html_7c2434f1.gif

hello_html_m57c8244a.gifhello_html_4dcaccd3.gif



hello_html_1b730b13.gifhello_html_4fa5e20b.gifhello_html_1639a04f.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m6e2e2fbc.gif.

(3) hello_html_m4ff8b9e8.gif


hello_html_m7114f24c.gifhello_html_m7114f24c.gifhello_html_19588519.gifhello_html_md1c9eda.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m782b79cc.gifhello_html_1b730b13.gif


hello_html_m237e40a0.gifhello_html_7a2eed7.gifhello_html_1b730b13.gifа ϵ Ǿ


hello_html_1b730b13.gifhello_html_m422194.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_6ec900f5.gifhello_html_1b730b13.gifа ϵ ( 1; 3 ) единственное решение.

Покажем решение на осях параметров


Ihello_html_eb740e5.gif


Ihello_html_eb740e5.gifI


Ihello_html_eb740e5.gifII



Ответ: а[ - 3 ; +∞ )



Пример 5. Укажите все значения а , при которых уравнение

hello_html_m40b7a108.gifимеет два корня. Найдите эти корни при каждом а.


Решение.

hello_html_eb740e5.gifhello_html_m3ef944b9.gifhello_html_796b80d9.gifI II III

0 4

I ) hello_html_6509649c.gif, hello_html_72828f21.gif, hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5b42106e.gif

hello_html_39ce3945.gif( 1 )

II ) hello_html_5fedb0d3.gif, hello_html_m6cc9d711.gif , hello_html_m220c9057.gif


hello_html_719bec4c.gif( 2 ).


III ) hello_html_22c8cb70.gif, hello_html_m72f50690.gif, hello_html_6fdd11d9.gif


hello_html_m6b837b7e.gif( 3 )

Замечаем , что уравнения (1), (2), (3) задают окружности с центрами (0; -2), (0; 0), (0; 2) соответственно и R = 5. построим эти окружности в системе координат хОа. Выделим те дуги этих окружностей, которые соответствуют заданным числовым промежуткам.


























Рассекая параллельными прямыми , находим те значения а , при которых эти прямые пересекают две дуги: hello_html_4f7e24ca.gif.


Ответ: hello_html_29499810.gif, hello_html_500651c1.gif, hello_html_m22b40598.gif.

hello_html_m54e5f77e.gif, hello_html_4a145f36.gif, hello_html_m3ab4c545.gif


hello_html_5a369a18.gif, hello_html_m3100e27e.gif, hello_html_m3ab4c545.gif.




Пример 6. Определите все значения а , при которых уравнение hello_html_m7279d19.gif имеет два различных корня.


Решение.

ОДЗ: х ≠ 0.

I ) х > 0, hello_html_5a8c640e.gif, hello_html_7093d3e2.gif


hello_html_m5a6a6c64.gif, hello_html_27d5433a.gif ( 1 )

Найдем при каких значениях параметра а уравнение ( 1 ) имеет два положительных корня и один положительный корень.

hello_html_m2a7b4ce8.gif

hello_html_67d2f69f.gif

hello_html_m9e3a52f.gif

hello_html_m71eadfad.gifhello_html_m71eadfad.gif

Исследуем на два корня: hello_html_m7caf5ae.gifhello_html_3d45b43e.gif




hello_html_m71eadfad.gifhello_html_m71eadfad.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m19e3593.gifhello_html_m2d55afc1.gifhello_html_m5696a590.gif- два положительных корня. Исследуем на один корень: hello_html_3bff5748.gif

hello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif

hello_html_41d97072.gifhello_html_m46212978.gif

Проверим на ненулевые точки : hello_html_m53d4ecad.gifа = - 3, х = 0, х = 6 hello_html_1b730b13.gifа = -3;

а = 2, х = 0, х = - 4 hello_html_1b730b13.gifа ≠ 2.

Значит, при а € [ - 3 ; 2 ) – один положительный корень

II ) х < 0, hello_html_m1b6e4c0.gif, hello_html_m35a75ba8.gif

hello_html_3984ddc3.gif ( 2 )

Выясним при каких значениях параметра а уравнение ( 2 ) имеет два отрицательных корня и один отрицательный корень.

hello_html_m40a24db6.gif

Иhello_html_m5e2238bb.gifhello_html_m5e2238bb.gifсследуем на два корня: hello_html_m35782c40.gifhello_html_42e0b43b.gif

hello_html_m5e2238bb.gifhello_html_m689aab71.gifhello_html_14195341.gifhello_html_m6a14168c.gifhello_html_59f6dcec.gifдва отрицательных корня.


Иhello_html_5b902363.gifсследуем на один отрицательный корень: hello_html_5f8d2984.gif


hello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m7211b819.gifhello_html_50a7c3ea.gif


Проверим на нулевые точки : а = - 2 , х = 0, х = 4 hello_html_1b730b13.gifа ≠ - 2


а = 1, х = 0, х = -2 hello_html_1b730b13.gifа = 1 hello_html_1b730b13.gif

а = 2, х = - 2 hello_html_1b730b13.gifа = 2


hello_html_m3b2db6db.gif- один отрицательный корень.

Проведем отбор, тех значений параметра а, где исходное уравнение будем иметь два разных корня:

hello_html_3c10672.png


Ответ: hello_html_m3e8368e2.gif


Пример 7. Найти все значения параметра р, при которых уравнение hello_html_314b62a2.gif не имеет решения.


Решение.

Пусть hello_html_m2923e3df.gif, причем t≥0. Тогда имеем: hello_html_15a320e1.gif

Заданное уравнение не имеет решений, если уравнение (*) не имеет корней, а также если оно имеет только отрицательные корни.


  1. Если (10-р )=0 уравнение вырождается в линейное, р = 10 hello_html_1b730b13.gif 0 – 10t + 6 – 10 = 0 hello_html_1b730b13.gift = - 2 / 5 < 0 hello_html_1b730b13.gif при р = 10 заданное уравнение не имеет решений.

  2. D = 100 - 4∙ 5 ∙ (10 – p )( 6 – p ) = - 20 (phello_html_4fbf37b8.gif - 16p + 55 )

D < 0, - 20 (phello_html_4fbf37b8.gif - 16p + 55 ) < 0, 20( p – 5 )(p – 11 ) > 0 hello_html_1b730b13.gif

hello_html_1b730b13.gifp € (-∞ ; 5 ) Ụ ( 11 ; + ∞ )

  1. Возможно два случая положения параболы с отрицательными корнями:




hello_html_m3fdcdd5b.gifhello_html_m1e29725e.gif



Если ( 10 – р ) ≠ 0, то hello_html_7651a3fa.gif.

Рисунок а) описывается условием:


hello_html_m6ffc2b4.gifhello_html_m48f2b818.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_345ed8b5.gifhello_html_1b730b13.gifр = 11.



Рисунок б) описывается условием:


hello_html_6ee35c4e.gifhello_html_mc75d612.gifhello_html_m5e0f079.gifhello_html_1b730b13.gifp € ( 10 ; 11 ).


Объединяя результаты исследования, получим:


hello_html_m19cced7d.gifhello_html_26a65294.gifhello_html_1b730b13.gif

hello_html_1b730b13.gifp € (-∞; 5 ) Ụ [ 10 ; +∞ ) – при этих значениях р заданное уравнение не имеет решений.

Ответ: при p € (-∞; 5 ) Ụ [ 10 ; +∞ ).

19



Автор
Дата добавления 13.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров168
Номер материала ДA-043054
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх