Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Практикум по комплексным числам и функциям
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Практикум по комплексным числам и функциям

библиотека
материалов


Министерство образования Московской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Московской области

«Балашихинский промышленно-экономический колледж»







И.А. КАВЕРИНА




ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО


Учебно-методическое пособие

























Балашиха 2015 г.


Каверина И.А. Теория функций комплексного переменного.- Учебно-методическое пособие. // Балашиха: Балашихинский промышленно-экономический колледж, 2015, 30 с..


Пособие разработано в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 230115 «Программирование в компьютерных системах». Приводятся задачи для самостоятельного решения.



§1.1 Комплексные числа и действия над ними

Комплексными числами называются числа вида hello_html_m2bf9e197.gif, где hello_html_m38523437.gif – действительные числа, hello_html_m30e4556b.gif – действительная часть, hello_html_m68c56afd.gif – мнимая часть комплексного числа.

По определению, два комплексных числа: hello_html_62b9bfb4.gif и hello_html_m14c06b98.gif – равны тогда и только тогда, когда hello_html_644c03f9.gif и hello_html_m20bfd7a7.gif.

Комплексное число hello_html_m74adc7b4.gif называется сопряженным комплексному числу hello_html_31687d76.gif, если hello_html_m66837def.gif. Другими словами, если hello_html_m2bf9e197.gif, то hello_html_m1efb229a.gif.

Всякому комплексному числу hello_html_578c1b11.gif можно поставить в соответствие единственную точку плоскости hello_html_m25e2259e.gif и обратно, всякую точку hello_html_m25e2259e.gif плоскости hello_html_19a45359.gif можно рассматривать как геометрический образ единственного комплексного числа hello_html_578c1b11.gif.

y


М



0 х

Рисунок 1


Для сокращения вместо “точка, соответствующая комплексному числу hello_html_578c1b11.gif”, говорят просто “точка hello_html_578c1b11.gif”. При этом множество всех действительных чисел изображается точками оси абсцисс, которая поэтому называется действительной осью, множество чисто мнимых чисел hello_html_15b90dde.gif точками оси ординат, называемой мнимой осью. Заметим, что одна точка мнимой оси, а именно начало коорди-

нат, изображает действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением числа hello_html_578c1b11.gif радиус-вектор точки hello_html_1d83d84e.gifhello_html_6bda7a85.gif.


y

0 z3

5 x

-2 z2


-5 z1

Рисунок 2

Пример 1. Построить точки hello_html_m43ba8a7b.gif, hello_html_50cc6fa2.gif, hello_html_m7dbc14d9.gif.

В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, полезно иметь их представление в обобщенных полярных координатах.

Рассмотрим число hello_html_578c1b11.gif, которому на плоскости соответствует точка hello_html_1d83d84e.gif. Ее координаты в полярной системе координат hello_html_m7c2b9b5b.gif.


y

M(x; y)

ρ

φ

0 x

Рисунок 3

Тогда hello_html_m15909dc.gif hello_html_m57450422.gif.

hello_html_17278db1.gif

hello_html_m7fcf1df1.gif.

Полярный радиус hello_html_m725911b1.gif называется модулем комплексного числа и обозначается hello_html_m62f0979c.gif.

Полярный угол hello_html_7d2a4d22.gif называется аргументом комплексного числа и обозначается hello_html_mbaabf12.gif. Тогда

hello_html_m4a4c4622.gif.

Эта форма называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль комплексного числа определяется однозначно: hello_html_m46884abd.gif.

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного hello_html_m53cd31d6.gif. Главным значением аргумента называется значение, заключенное в интервале hello_html_63b9a494.gif. Обозначается оно hello_html_m46df996a.gif. Таким образом, hello_html_704107da.gif.

Очевидно, hello_html_m6473d3ba.gif.

Главное значение аргумента определяется однозначно.

Так как hello_html_m2b753a50.gif,

hello_html_m65f3d807.gif

Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид

hello_html_247221c0.gif.

Пример 2. Написать в тригонометрической форме комплексное число hello_html_m4bf848b6.gif.

hello_html_m582f99b2.gify


z 1



-1 0 x


Рисунок 4

Решение. hello_html_md53d34b.gif hello_html_8103785.gif

hello_html_m5e7d6dcb.gif

hello_html_md298ee9.gif.

Пусть hello_html_6d9415f.gif. Используя формулу Эйлера hello_html_m264901cd.gif, получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:

hello_html_m69dfce74.gif.

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число hello_html_62555ec3.gif.

y


-1 0

x



z -1

Рисунок 5

Решение

hello_html_d54a098.gif

hello_html_m73488c0.gif

hello_html_m6d406a58.gif

Пример 4. Вычислить hello_html_3cc6e8b5.gif.

Решение. По формуле Эйлера hello_html_m3a80877d.gif.

§1.2 Алгебраические действия над комплексными числам

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом hello_html_66e56b0b.gif. При записи результата следует отделить действительную часть от мнимой, т. е. собрать отдельно члены, содержащие множитель hello_html_m7d8ec46d.gif, и члены, не содержащие множитель hello_html_10b878f8.gif:

hello_html_5350c6ce.gif

hello_html_5dd48e2c.gif

hello_html_m68b459e6.gif

hello_html_m47f7c4ce.png

В частности, hello_html_356342d9.gif. Операции сложения и вычитания сводятся к сложе- нию и вычитанию векторов, изображающих эти числа. Отсюда расстояние между точками hello_html_m14027171.gif.

Пример 5. hello_html_60915d2f.gif – уравнение окружности с центром в точке hello_html_53168fcc.gif и радиусом равным hello_html_5918cd95.gif.

Деление на комплексное число, отличное от нуля, определяется как действие, обратное умножению. Для представления частного в виде

hello_html_2fb3ac84.gif

следует провести простые преобразования, показанные на следующем примере.


Пример 6.

hello_html_1c7c8244.gif.

Для модуля и аргумента произведения и частного справедливы следующие утверждения:

1. hello_html_6567182c.gif


Пример 7. Найти модуль и аргумент произведения hello_html_m68ef2ddb.gif.

Решение. hello_html_m2a81f109.gif.

Таким образом, умножение на hello_html_10b878f8.gif соответствует повороту вектора hello_html_m3c25fef7.gif на угол hello_html_m2024cd62.gif;


2. hello_html_m7150f281.gif.

Пусть hello_html_m84351e4.gif.

Тогда hello_html_4b55db00.gif.

Можно доказать методом полной математической индукции, что для любого целого hello_html_6f923518.gif (формула Муавра). Формула справедлива и для целых отрицательных hello_html_m1fa22361.gif.

Пример 8. Вычислить hello_html_3b738211.gif.


y


hello_html_m1455c4f.gif

0 x


-1 z

Рисунок 7

Решение

hello_html_m6ef229db.gif


hello_html_m5792fafd.gif,

hello_html_m4bf8096d.gif,

hello_html_b489430.gif

hello_html_m7e9b95d0.gif.

Корнем hello_html_12efa0e0.gif-й степени из комплексного числа называется такое число hello_html_m159fde5d.gif, для которого hello_html_31e32190.gif.

Используя формулу Муавра, получим

hello_html_1a5ce65c.gif

Для других значений hello_html_m59f9d84f.gif аргументы будут отличаться от полученных на число кратное hello_html_m53cd31d6.gif, и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень hello_html_12efa0e0.gif-й степени из комплексного числа имеет hello_html_12efa0e0.gif различных значений.


Пример 9. Найти все значения hello_html_m1ccdd522.gif и построить их.


y


hello_html_692852a8.gif

hello_html_m702fac27.gifhello_html_m7769a86b.gifφ x

hello_html_m43c53e4.gif

Рисунок 8

Решение. hello_html_m7a0446e7.gif,

hello_html_77cd5000.gif,

hello_html_61311201.gif,

hello_html_m5a9e89f4.gif,

hello_html_6be98d25.gif,

hello_html_m154bb073.gif.

§1.3 Понятие функции комплексного переменного. Элементарные функции

Говорят, что на множестве hello_html_3fb0765c.gif точек плоскости hello_html_m65f5bed0.gif задана функция hello_html_6156b9de.gif, если указан закон, по которому каждой точке hello_html_m65f5bed0.gif из hello_html_3fb0765c.gif ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек hello_html_m159fde5d.gif.

В первом случае функция hello_html_m513f0d25.gif называется однозначной, во втором – многозначной. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, под функцией будем понимать однозначную функцию.

Если положить hello_html_m2bf9e197.gif и hello_html_2f4e36ce.gif, то задание функции комплексного переменного hello_html_6156b9de.gif будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: hello_html_61f3daef.gif.

Функции комплексного переменного hello_html_52355c8e.gif определяются как суммы следующих рядов, сходящихся на всей комплексной плоскости:

На действительной оси hello_html_m647bdda3.gif эти функции совпадают с соответствующими элементарными функциями действительного переменного.

Для функции комплексного переменного справедлива формула Эйлера:

hello_html_b5defde.gif.

Из этой формулы следует, что


Остаются справедливыми при комплексных значениях аргумента все тригонометрические тождества.

Основное свойство показательной функции hello_html_3ef04c7b.gif также сохраняется. В частности,

hello_html_7b8205fc.gif

Функции hello_html_m64bc73ff.gif (hello_html_12efa0e0.gif – целое положительное число), hello_html_m58a7ba61.gifhello_html_39b76668.gif определяются как обратные функции по отношению к hello_html_m13a469ea.gifhello_html_5c830485.gif

hello_html_6df802e9.gifи являются многозначными функциями.

Можно показать, что

hello_html_m6b26b459.gif

В этом выражении при каждом фиксированном hello_html_m59f9d84f.gif получаем однозначные функции, которые называются ветвями, hello_html_42267895.gif называется главной ветвью функции hello_html_m7a6c3747.gif.

hello_html_21388624.gif;

hello_html_2eee1769.gif;

hello_html_m41373cf1.gif.

Степень с комплексным основанием hello_html_3d92fe22.gif и комплексным показателем hello_html_m2bece894.gif определяется равенством

hello_html_m5c6f7c59.gif.


Пример 1. Вычислить значения функций:

а) hello_html_24286547.gif в точке hello_html_m3a5bb002.gif.

Решение hello_html_m20003768.gif.

б) hello_html_687b0890.gif в точке hello_html_m6af7fe3b.gif.

Решение hello_html_601107bd.gif

hello_html_m6f1b3899.gif

hello_html_742179dd.gif


Или, учитывая, что hello_html_m232571a8.gif, получим

hello_html_2f72f82e.gif

в) hello_html_m45e3b5f4.gif в точке hello_html_m3d8af0c3.gif.


Решение

hello_html_55113570.gif


Пример 2. Вычислить hello_html_3b7d6f9c.gif.

Решение

hello_html_m50bdaa18.gifhello_html_m7d1284ca.gif


Условимся откладывать значения hello_html_31687d76.gif на одной комплексной плоскости, а значения hello_html_6156b9de.gif– на другой. Тогда однозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как отображение множества hello_html_m38bcdc02.gif плоскости hello_html_31687d76.gif на множество hello_html_2e6c14f7.gif плоскости hello_html_m159fde5d.gif. Если при этом двум различным точкам hello_html_m38bcdc02.gif всегда соответствуют различные точки hello_html_4f9a92ae.gif, то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным в hello_html_3fb0765c.gif.


Пример 3. При отображении hello_html_43246969.gif найти образ линии hello_html_m7ade894.gif.


Решение. Так как hello_html_f904a7d.gif, исключим hello_html_m74c4cb0f.gif из системы:


hello_html_m14b048b1.gif


где hello_html_m591ca207.gif – уравнение линии в плоскости hello_html_m65f5bed0.gif.

Найдем искомую зависимость, связывающую hello_html_m73af278b.gif и hello_html_e414b02.gif.


hello_html_m3cd665ec.gif


hello_html_4ff5bd3a.gif

hello_html_m7812f071.gif



hello_html_m1543f3c3.gif


Преобразуя уравнение hello_html_783ca39c.gif, получим


hello_html_m33f5b0e0.gif.

Таким образом, окружность hello_html_bb56aab.gif в плоскости hello_html_31687d76.gif отображается в окружность hello_html_m33f5b0e0.gif в плоскости hello_html_m159fde5d.gif.


Пример 4. При отображении hello_html_m6338e8c4.gif найти образ полярной сетки полуплоскости hello_html_m3a657c27.gif.


Решение

  1. Найдем образы полуокружностей (рис. 8):

hello_html_m71e0d6dc.gif


hello_html_605a3f9b.gif

Образы-окружности hello_html_m1f4ce192.gif с удаленной точкой hello_html_m3b316cb4.gif.


y




Рисунок 8


0 x



  1. Найдем образы лучей (рис. 9)

hello_html_m24c8f6f5.gif


hello_html_m6c909d7e.gif


Образы-лучи с удаленной точкой hello_html_m302cbcae.gif.

v



hello_html_3ba209b7.gif


hello_html_m4724e506.gifhello_html_7e9589b7.gif

hello_html_10555d91.gif

Рисунок 9


hello_html_2cfabb7c.gifhello_html_m6592f259.gifhello_html_m594d2b5b.gif

0 u




Следовательно, образом полярной сетки полуплоскости hello_html_m3a657c27.gif является полярная сетка плоскости hello_html_m7a11e9d5.gif с разрезом вдоль положительной полуоси hello_html_m2c96a239.gif (рис. 9).


§1.4 Задачи

1.1. Вычислить значения функций:

а) hello_html_24286547.gif в точках hello_html_mbfd2ddf.gifhello_html_m46588483.gif где hello_html_m59f9d84f.gif – целое число;

б) hello_html_m69c7ebd2.gif в точках hello_html_m7b43933a.gif;

в) hello_html_7c9c14f4.gif в точках hello_html_6ac8a866.gif;

г) hello_html_2ae94504.gif в точках hello_html_m4a5520cd.gif;

д) hello_html_m45e3b5f4.gif в точках hello_html_efbf357.gif;

е) hello_html_6f82e695.gif в точках hello_html_6ea4fa0.gif.

1.2. Вычислить hello_html_22b18fd3.gif

1.3. Вычислить hello_html_6dda1be.gif, подсчитав действительную и мнимую части с точностью до 0,0001.

1.4. Вычислить действительные и мнимые части функций: а) hello_html_35b782eb.gif; б) hello_html_13ef8f04.gif;

в) hello_html_m40082eec.gif.

1.5. Решить уравнение: hello_html_m693302c1.gif.

1.6. Доказать тождества:

а) hello_html_6ac81863.gif б) hello_html_m69ae32f1.gif

1.7. Построить на комплексной плоскости образы точки hello_html_75f6390c.gif при отображениях: а) hello_html_1c4e2d8a.gif б) hello_html_26b61b72.gif в) hello_html_108661d8.gif

1.8. При отображении hello_html_m6338e8c4.gif найти образ линии hello_html_m290ca4dd.gif

1.9. При отображении hello_html_m6338e8c4.gif найти образ прямоугольной сетки полуплоскости hello_html_7c572de9.gif

1.10. При отображении, осуществляемом функцией Жуковского hello_html_m3b9dc65d.gif, найти образ линии hello_html_4294b5e7.gif

§1.5 Задачи для самостоятельного решения

1.11. Вычислить значения функций:

а) hello_html_24286547.gif в точках hello_html_m16f4059f.gif

б) hello_html_687b0890.gif в точках hello_html_m3bf85771.gif

в) hello_html_7bfe2ce0.gif в точках hello_html_163d07ad.gif

г) hello_html_m1d0c24f8.gif в точках hello_html_m27dafd23.gif

д) hello_html_m45e3b5f4.gif в точках hello_html_d32ac1f.gif

е) hello_html_66a561d3.gif в точках hello_html_m1106beb.gif

1.12. Вычислить hello_html_2a59dc47.gif

1.13. Вычислить hello_html_7ed6379a.gif, подсчитав действительную и мнимую части с точностью до hello_html_m3b563168.gif.

1.14. Вычислить действительные и мнимые части функций: а) hello_html_m5ba5c94e.gif

б) hello_html_1de6a6ea.gif в) hello_html_37286789.gif

1.15. Доказать тождества:

а) hello_html_355227b2.gif

б) hello_html_20951625.gif

1.16. При отображении hello_html_m38584484.gif найти образ линии hello_html_1fff5ee7.gif

1.17. При отображении hello_html_m3b9dc65d.gif найти образ линии hello_html_m290ca4dd.gif

1.18. При отображении hello_html_m6338e8c4.gif найти прообраз прямоугольной сетки плоскости hello_html_4408b032.gif с разрезом вдоль положительного направления действительной оси.


§2.1 Производная функции комплексного переменного

Комплексное число hello_html_m4ff73e17.gif называется пределом функции hello_html_53323219.gif при hello_html_m65f5bed0.gif, стремящемся к hello_html_m1ce5d55f.gif, если для любого hello_html_m4638ff97.gif существует такое hello_html_4560d602.gif, что как только hello_html_m784f7afc.gif.

Отсюда следует, что если hello_html_1d1aa209.gif и hello_html_7c02ede9.gif, то

hello_html_m57be987f.gif


Верно и обратное утверждение.

Функция hello_html_6156b9de.gif называется непрерывной в точке hello_html_m1ce5d55f.gif, если

hello_html_4163936a.gif.

Производной функции комплексного переменного hello_html_6156b9de.gif называется

hello_html_327e666.gif

Функция, имеющая производную в точке hello_html_m1ce5d55f.gif, называется дифференцируемой в этой точке.

Для дифференцируемости функции комплексного переменного hello_html_1837daf.gifhello_html_m7f8ba71e.gif в данной точке необходимо и достаточно, чтобы функции hello_html_5ddad5cd.gif и hello_html_m75b107eb.gif были дифференцируемы в данной точке и удовлетворяли в этой точке условиям Коши-Римана:

hello_html_1d19fe6a.gifhello_html_m11283ee6.gif


При этом hello_html_78c46106.gif


Так как основные свойства предельного перехода сохраняются, сохраняются основные правила дифференцирования.

Функция hello_html_6156b9de.gif называется аналитической в области hello_html_4a255e2f.gif, если она дифференцируема в каждой точке области hello_html_4a255e2f.gif. Функция hello_html_6156b9de.gif называется аналитической в точке hello_html_m65f5bed0.gif, hello_html_m6c6a5f88.gif, если она аналитична в некоторой ее окрестности.

Элементарные функции в области определения аналитичны и для них справедливы основные формулы дифференцирования; для многозначных функций производные определяются для каждой ветви в отдельности.


Пример 5

Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции hello_html_75b7f371.gif.

Решение

hello_html_45d7d1c8.gif

hello_html_m7c1a3d69.gif


hello_html_m621bc327.gifhello_html_m41a001ce.gif


Условия Коши-Римана выполняются на всей плоскости, значит, функция дифференцируема на всей плоскости, и ее производная

hello_html_1ceb1c0b.gif

Пример 6

Показать, что при hello_html_7efa0e4c.gif функция hello_html_m1c248a02.gif не имеет производных.

Решение

hello_html_56cd5f2f.gif


hello_html_5bd81ccc.gifhello_html_m3b03f8cd.gifравны только при hello_html_m6ddd3536.gif;

hello_html_5aca66f5.gifравны только при hello_html_m3049dc87.gif.

Условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке, кроме hello_html_7882dfce.gif.


Замечание. hello_html_m1c248a02.gif в точке hello_html_7882dfce.gif дифференцируема, но не аналитична в ней, т. к. она не аналитична в окрестности этой точки.

Функция двух действительных переменных hello_html_m1d89ecc.gif, имеющая в области hello_html_m4d29f473.gif непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа hello_html_5810f293.gif, называется гармонической в области hello_html_4a255e2f.gif.

Действительная и мнимая части аналитической в односвязной области hello_html_m4d29f473.gif функции hello_html_733f36eb.gif являются гармоническими функциями в области hello_html_4a255e2f.gif. Для всякой гармонической в односвязной области функции hello_html_3274c56e.gif существует функция hello_html_733f36eb.gif, аналитичная в области hello_html_4a255e2f.gif. Ее мнимая часть hello_html_m73868412.gif называется функцией, гармонически сопряженной с функцией hello_html_3274c56e.gif. Аналогично для всякой гармонической в односвязной области hello_html_244f9cce.gif функции hello_html_m73868412.gif существует функция hello_html_733f36eb.gif, аналитическая в области hello_html_4a255e2f.gif.

Пример 7

Найти аналитическую функцию hello_html_80717fb.gif, если

hello_html_f963c4f.gif

Решение. Функция hello_html_bf7dc21.gif является гармонической. Действительно,

hello_html_5c07d9e8.gifhello_html_m1ac23e4.gifhello_html_m1b5ebfd2.gif

hello_html_34aa668d.gifhello_html_m40907559.gif

Из условий Коши-Римана следует, что

hello_html_49919eae.gif

Тогда hello_html_m461aa11.gif

hello_html_31adefa7.gif


Так как hello_html_m2c762976.gifhello_html_m37894cc0.gif

hello_html_1e0d3a71.gif

hello_html_1c85a6b3.gif

Если аналитическая в области hello_html_m4d29f473.gif функция hello_html_53323219.gif отображает эту область на область hello_html_7a190f10.gif плоскости hello_html_m159fde5d.gif, причем всюду в области hello_html_4a255e2f.gif: hello_html_m48babcbf.gif, то hello_html_2464d316.gif равен коэффициенту растяжения, происходящему при этом отображении в точке hello_html_70e796e2.gif, а hello_html_m42f2e460.gif равен углу поворота каждой из гладких линий, проходящих через точку hello_html_m65f5bed0.gif, при том же отображении.


Пример 8. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении hello_html_m4915a583.gif в точке hello_html_m622fc851.gif.

Решение. Коэффициент растяжения

hello_html_m42c11d44.gif


угол поворота hello_html_m69f7a224.gif


§2.2 Задачи


2.1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для следующих функций:

в) hello_html_m9b3fea7.gif

2.2. Показать, что при hello_html_7efa0e4c.gif функция hello_html_32c39591.gif не имеет производных.

2.3. Будет ли дифференцируемой функция hello_html_m508107e3.gif

2.4. Найти область, в которой функция hello_html_66f37221.gif будет аналитической.

2.5. Определить вещественные функции hello_html_m7d62033.gif и hello_html_m3b2dc699.gif так, чтобы функция hello_html_m24f23a3f.gif была дифференцируемой.

2.6. Найти аналитическую функцию hello_html_80717fb.gif, если

а) hello_html_571efd93.gif

б) hello_html_m3d387b7a.gif

в) hello_html_2a50517b.gif

2.7. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении

hello_html_6156b9de.gifв точке hello_html_m7cb6e4bf.gif: а) hello_html_450ac624.gif б) hello_html_3d285dc1.gif

2.8. Найти линии равного растяжения и линии равного угла поворота для отображений: а) hello_html_10bf87e4.gif б) hello_html_24286547.gif.

2.9. Выяснить геометрический смысл производной линейной функции hello_html_31a5a6c8.gif. При отображениях hello_html_7bd97e43.gif и hello_html_m3d3dc000.gif найти образ квадрата: hello_html_m7d88d77e.gif



§2.3 Задачи для самостоятельного решения

2.10. Будет ли дифференцируемой функция hello_html_m31fb83e3.gif

2.11. Показать, что функция hello_html_1a0841a5.gif дифференцируема и найти ее производную.

2.12. При каком значении hello_html_1719c723.gif функция hello_html_m4bdcd181.gif дифференцируема?

2.13. При каком значении hello_html_2cc7eb7e.gif функция hello_html_71b46a0c.gif дифференцируема?

2.14. Найти аналитическую функцию hello_html_80717fb.gif, если

а) hello_html_46addd08.gif б) hello_html_18915267.gif в) hello_html_706b6893.gif.

2.15. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении hello_html_6156b9de.gif:

а) hello_html_m6338e8c4.gif в точках hello_html_112b420f.gif

б) hello_html_24286547.gif в точках hello_html_2010d3b5.gif.


§3.1 Ответы на задачи для самостоятельного решения


1.1. а) hello_html_m2d268246.gifб) hello_html_617e4972.gif

в) hello_html_m580ca4aa.gif г) hello_html_1c963397.gif

д) hello_html_m4f6a5a26.gif

е) hello_html_m559aadd6.gif

hello_html_m5406e6bd.gif

1.2. hello_html_m64aaa72d.gif

hello_html_578557fe.gif

hello_html_6ae19835.gif

1.3. hello_html_35f9c85a.gif


1.4. а) hello_html_425f8c01.gif

б) hello_html_58d550fa.gif

hello_html_m6a14901c.gif

в) hello_html_m46cf83a9.gif

hello_html_35c5cd0c.gif

1.5. hello_html_m225015e0.gif

1.8. hello_html_140e7156.gif

1.9. Образом являются два семейства парабол с общим фокусом в начале координат и с осями, совпадающими с действительной осью.

1.10. hello_html_m70b20295.gif

1.11. а) hello_html_23aa004d.gif б) hello_html_m4295380a.gif

в) hello_html_1abd71a1.gif

г) hello_html_m21a9b65b.gif

д) hello_html_m5f2f059d.gif е) hello_html_29231ecf.gif

1.12. hello_html_m11d7c71c.gif

1.13. hello_html_48dee2c5.gif

1.14. а) hello_html_64f7b81d.gif

б) hello_html_62f602f7.gif

в) hello_html_m101a66c4.gif

1.16. hello_html_m28017cff.gif

1.17. hello_html_m7effe883.gif


1.18. Прообразом являются два семейства равнобочных гипербол. У одного семейства асимптоты есть биссектрисы координатных углов, а у другого асимптотами служат оси hello_html_891d075.gif и hello_html_30fa2059.gif.

2.3. Нет.


2.4. Функция аналитическая при hello_html_ma64e70b.gifhello_html_m48ba9dcc.gif

и при hello_html_4eaec5f5.gif

2.5. hello_html_m175867ca.gif

2.6. а) hello_html_1f61bc06.gif

б) hello_html_m483d5cc5.gif

в) hello_html_4d241e8f.gif

2.7. а) hello_html_466d6130.gif

б) hello_html_4a27ac25.gif

2.8. а)hello_html_65e60bed.gifhello_html_m5df8eb36.gif

б) hello_html_11367581.gifhello_html_m59d301c4.gif

2.9. hello_html_5e480bce.gif

hello_html_m51088e2c.gif

2.10. Нет.

2.11. hello_html_277a7820.gif

2.12. hello_html_7a11ef88.gif

2.13. hello_html_1c5a5c17.gif

2.14. а) hello_html_54cd2ecc.gif

б) hello_html_m4994ab38.gif

в) hello_html_m2362ea70.gif

2.15. а) hello_html_m5c33e1c3.gif

б) hello_html_m28465f47.gif


§4.1 Задачи контрольной работы

Задача 1

Выполнить указанные действия:

1.

hello_html_m1b7776e2.gif;

2.

hello_html_7363b7a9.gif;


3.

hello_html_m5aadac40.gif;

4.

hello_html_m27ae3816.gif;


5.

hello_html_2b967acb.gif;


6.

hello_html_m6a1f1765.gif;

7.

hello_html_m4e7daa00.gif;

8.

hello_html_m2d25d91d.gif;


9.

hello_html_m739d31d4.gif;

10.

hello_html_8f7185.gif;


11.

hello_html_m6126ea38.gif;

12.

hello_html_m6863870b.gif;


13.

hello_html_m478b349e.gif;

14.

hello_html_m7b884054.gif;


15.

hello_html_30c0a026.gif;

16.

hello_html_293db052.gif;


17.

hello_html_1b65e71c.gif;


18.

hello_html_2f77fb8e.gif;


19.

hello_html_4e39e3d0.gif;

20.

hello_html_m9561aca.gif;


21.

hello_html_m371d45ec.gif;

22.

hello_html_m4ffe41a7.gif;


23.

hello_html_m269bf2ab.gif;


24.

hello_html_356d35cd.gif;

25.

hello_html_7614c148.gif;

26.

hello_html_m4ca61f81.gif;


27.

hello_html_65ba0832.gif;

28.

hello_html_bd78bad.gif;


29.

hello_html_m752d3f3b.gif;

30.

hello_html_m5bf88599.gif.


Задача 2

Представить комплексное число в тригонометрической форме:

1.

hello_html_76001493.gif;

2.

hello_html_61c4c16f.gif;

3.

hello_html_45af6d2a.gif;

4.

hello_html_m4f13cc50.gif;

5.

hello_html_6fc381b4.gif;

6.

hello_html_mbfa1e3c.gif;

7.

hello_html_m2c1c7e34.gif;

8.

hello_html_3a81b297.gif;

9.

hello_html_m5fe1da7c.gif;

10.

hello_html_4cc78a6e.gif;

11.

hello_html_2b5007e4.gif;

12.

hello_html_45318b22.gif;

13.

hello_html_2b81a6d3.gif;

14.

hello_html_m291f9a40.gif;

15.

hello_html_2f2c0356.gif;

16.

hello_html_65252a33.gif;

17.

hello_html_m7ce91444.gif;

18.

hello_html_4e17ffa9.gif;

19.

hello_html_33bc4471.gif;

20.

hello_html_m2142d0c5.gif;

21.

hello_html_6f1df1db.gif;

22.

hello_html_m48b5e855.gif;

23.

hello_html_11ba4924.gif;

24.

hello_html_m7ca43068.gif;

25.

hello_html_m6dca2af7.gif;

26.

hello_html_77bdc837.gif;

27.

hello_html_6936527a.gif;

28.

hello_html_mc5d1cd5.gif;

29.

hello_html_281aac15.gif;

30.

hello_html_m875f22c.gif.


Задача 3

Вычислить корень:

;

2.

hello_html_m55b9870.gif;

3.

hello_html_18646caf.gif;

4.

hello_html_m143eb12a.gif;

5.

hello_html_m3560f0f8.gif;

6.

hello_html_madd4b79.gif;

7.

hello_html_4b59aa53.gif;

8.

hello_html_15590de4.gif;

9.

hello_html_105416ea.gif;

10.

hello_html_18c9584f.gif;

11.

hello_html_m1db8245.gif;

Решить уравнение:

12.

hello_html_53beb709.gif;

13.

hello_html_5c1b548d.gif;

14.

hello_html_6f858654.gif;

15.

hello_html_7a650ed9.gif;

16.

hello_html_m118f917c.gif;

17.

hello_html_m2f5fe673.gif;

18.

hello_html_2ff2e646.gif;

19.

hello_html_m3b1915ab.gif;

20.

hello_html_m632f21af.gif

21.

hello_html_m1c7c1c47.gif;

22.

hello_html_5f0ef287.gif;

23.

hello_html_m50727326.gif;

24.

hello_html_m549cf95c.gif;

25.

hello_html_m331b6fbb.gif;

26.

hello_html_32e5ae9d.gif;

27.

hello_html_m782fdfee.gif;

28.

hello_html_2033f59d.gif;

29.

hello_html_476d90ba.gif;

30.

hello_html_17796d37.gif


Задача 4

Представить число в показательной форме:

1.

hello_html_2b0807aa.gif;

2.

hello_html_65252a33.gif;

3.

hello_html_m7ae5c1ca.gif;

4.

hello_html_m4a27ead6.gif;

5.

hello_html_1ce37269.gif;

6.

hello_html_1ab01c18.gif;

7.

hello_html_m6dca2af7.gif;

8.

hello_html_me6a660f.gif;

9.

hello_html_m7753a967.gif;

10.

hello_html_6384ecae.gif;

11.

hello_html_4f9784bd.gif;

12.

hello_html_m430fcf02.gif;

13.

hello_html_77bdc837.gif;

14.

hello_html_m291f9a40.gif;

15.

hello_html_671ad698.gif;

16.

hello_html_6f1df1db.gif;

17.

hello_html_61c4c16f.gif;

18.

hello_html_7092d71f.gif;

19.

hello_html_49ca0856.gif;

20.

hello_html_m1c81d4a2.gif;

21.

hello_html_m7d8ec46d.gif;

22.

hello_html_76001493.gif;

23.

hello_html_45af6d2a.gif;

24.

hello_html_m4f13cc50.gif;

25.

hello_html_m5fe1da7c.gif;

26.

hello_html_6fc381b4.gif;

27.

hello_html_mbfa1e3c.gif;

28.

hello_html_m2ec77791.gif;

29.

hello_html_1ab01c18.gif;

30.

hello_html_74c16f1.gif.



Задача 5

Определить и построить множество точек, удовлетворяющих данным уравнениям или неравенствам:

1.

hello_html_m21e59f22.gif;

2.

hello_html_52be621b.gif;

3.

hello_html_59bc5925.gif;

4.

hello_html_m3b4c9d9f.gif;

5.

hello_html_34bb08aa.gif;

6.

hello_html_231a4876.gif;

7.

hello_html_m408afbc7.gif;

8.

hello_html_2aa32e95.gif;

9.

hello_html_m4196f93c.gif;

10.

hello_html_m10190aaa.gif;

11.

hello_html_m1986a97d.gif;

12.

hello_html_m3b7aca17.gif;

13.

hello_html_m53f6f8cd.gif;

14.

hello_html_m4bf56500.gif;

15.

hello_html_63a243cd.gif;

16.

hello_html_1d5fcde4.gif;

17.

hello_html_m1fb6cdbd.gif;

18.

hello_html_m7273a933.gif;

19.

hello_html_47924551.gif;

20.

hello_html_m17c960b7.gif;

21.

hello_html_11095aa.gif;

22.

hello_html_m251eeaa1.gif;

23.

hello_html_m12acd751.gif;

24.

hello_html_m984d08e.gif;

25.

hello_html_m4bb74b2a.gif;

26.

hello_html_2d70c159.gif;

27.

hello_html_4775767d.gif;

28.

hello_html_2e0522b2.gif;

29.

hello_html_c9e9e21.gif;

30.

hello_html_29bec443.gif.



Задача 6

Найти действительную и мнимую части:

1. hello_html_m5c6cb673.gif;

2. hello_html_5ea6a65.gif;

3. hello_html_1613bd34.gif;

4. hello_html_31998ce9.gif;

5. hello_html_19f3fe1e.gif;

6. hello_html_69595f27.gif;

7. hello_html_778fc94e.gif;

8. hello_html_m2ea0ec6c.gif;

9. hello_html_m5c3491b8.gif;

10. hello_html_m271609c5.gif;

11. hello_html_15559560.gif;

12. hello_html_m6b627688.gif;

13. hello_html_15601ea2.gif;

14. hello_html_6b9aad76.gif;

15. hello_html_637d5e1b.gif;

16. hello_html_m3608c9eb.gif;

17. hello_html_m4b8d84e3.gif;

18. hello_html_2187929b.gif;

19. hello_html_388471e4.gif;

20. hello_html_399cee65.gif;

21. hello_html_m6b32bb74.gif;

22. hello_html_68dcfa26.gif;

23. hello_html_m74017a55.gif;

24. hello_html_d545657.gif;

25. hello_html_m5300089f.gif;

26. hello_html_cd4b748.gif;

27. hello_html_m5ee4ef96.gif;

28. hello_html_m1360b787.gif;

29. hello_html_2883821d.gif;

30. hello_html_6dd894b5.gif.



Задача 7


Найти аналитическую функцию hello_html_m46c1552b.gif по следующим данным, если hello_html_m2bf9e197.gif:

3. hello_html_17bfeeaf.gif;

4. hello_html_m7c3a3740.gif;

5. hello_html_70b6572c.gif;

6. hello_html_38629c38.gif;

7. hello_html_m2b5c7e54.gif;

8. hello_html_4543eede.gif;

9. hello_html_4b56550d.gif;

10. hello_html_m150bcad6.gif;

11. hello_html_m65bee0b8.gif;

12. hello_html_m5dd4a05c.gif;

13. hello_html_ma7645d9.gif;

14. hello_html_m4bdf9132.gif;

15. hello_html_6d0a2ef1.gif;

16. hello_html_2c0a8817.gif;

17. hello_html_59afbbc8.gif;

18. hello_html_28905ee8.gif;

19. hello_html_9715d5.gif;

20. hello_html_m177a7606.gif;

21. hello_html_3c0a85ac.gif;

22. hello_html_m36045442.gif;

23. hello_html_m77c36b69.gif

hello_html_28368b98.gif;

24. hello_html_6ace5cab.gif;

25. hello_html_m57691432.gif;

26. hello_html_637287be.gif;

27. hello_html_m3f920b87.gif;

28. hello_html_m22a0ac2c.gif;

29. hello_html_m7cd77936.gif;

30. hello_html_207b3422.gif.


Литература


1. Арамович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968. 41 с.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 19685. 464 с.

3. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высш. школа, 1980. 279 с.

4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 302 с.

5. Лаврентьев М. А., Шабаш Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

6. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. 320 с.

7. Веснина А.А. Хаустова Н.М. Теория функций комплексной переменной. // Омск.- Методические указания, ОмГТУ.- 2005.- 68С.




Содержание






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров180
Номер материала ДБ-146787
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх