Практикум по теме «Основные правила комбинаторики»

Тема урока: Практикум по теме: «Основные правила комбинаторики»

9 класс

Цели: знакомство с комбинаторными задачами: на  перестановки, размещения, сочетания (без повторения – без возвращения); применение правил суммы и произведения при решении простейших комбинаторных задач; Формирование и развитие общеучебных умений и навыков: обобщения, сравнения, анализа, синтеза, поиска способов решения, навыков самоконтроля и самоанализа.

Результаты обучения по разделу: Основные правила комбинаторики	Личностные	Метапредметные	Предметные
	Формирование Мировоззрения	Умение планировать пути достижения цели	Формирование статистических закономерностей

Тип урока: изучение нового материала и его первичное закрепление.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент Доброе утро! Улыбнулись друг другу. Настроились на позитивную работу.

II. Активизация (постановка проблемы урока): Вчера в журнале прочитала высказывание: «Прихоть случая управляет миром» Саллюстий Гай Крисп. Как вы его понимаете?

Для того, чтобы успешно работать на уроке надо не только быстро считать, но еще и логически мыслить. Разомнемся! Возьмите ручку в руки и обведите  на листах в задании «Прогностическая оценка» правильный на ваш взгляд ответ.

Устный счет: Прогностическая оценка

1.Выбери число, которое может получиться при умножении двух других:

60, 15, 4

7, 98, 14

9, 144, 16

6, 18, 108

2. Выполняя деление в следующих случаях:

9870 : 35 (1)

136576 : 64 (2)

95345 : 485 (1)

76171 : 19 (2)

720036 : 36 (5)

ученик в частном получил:

1) трёхзначное число;

2) четырёхзначное число;

3) двухзначное число;

4) четырёхзначное число;

5) трёхзначное число. В каких случаях частное найдено неверно?

Обменяйтесь листочками. Проверьте работу соседа.

Как вы думаете, кому принадлежат эти слова:

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии».

А знаете, что Александр Сергеевич Пушкин, как и многие великие деятели искусства обращались к математике?

Послушайте отрывок из его произведения.

«Герман вздрогнул: в самом деле, вместо туза у него стояла пиковая дама. Он не верил своим глазам. Не понимая, как мог он  обдёрнуться. В эту минуту ему показалось, что пиковая дама прищурилась и усмехнулась…
Герман сошёл с ума. Он сидит в Обуховской больнице в 17-м нумере, не отвечает ни на какие вопросы и бормочет необыкновенно скоро: «Тройка, семёрка, туз! Тройка, семёрка, дама!..»

Кто узнал произведение? Много замечательных произведений написаны Пушкиным, а это отрывок из «Пиковой дамы».

Тройка, семёрка, туз! А какова вероятность выпадения выигрышной комбинации? Но чтобы ответить на вопрос «какова вероятность вытащить «Тройку, семёрку, туз» надо знать, а что такое вероятность события. Об этом мы уже вели разговор на прошлом уроке. 

Как находится классическая вероятность?

, где m – число благоприятных исходов,  n – общее число исходов.
А как подсчитать эти исходы? Эти варианты складываются в разнообразные комбинации. Которые, в свою очередь, входят в  раздел математики КОМБИНАТОРИКА. Этот раздел занят поисками ответов на вопросы: сколько комбинаций существует в том или ином случае, как из этих комбинаций выбрать лучшую, используя основные правила.

Вот и мы  сегодня начнём искать ответы на эти вопросы.

Сформулируйте тему урока.

Тема: Практикум по теме: «Основные правила комбинаторики»

Ещё Конфуций сказал: «Три пути ведут к знанию. Путь размышлений – самый благородный, путь подражания – самый лёгкий, путь опыта – самый горький».
Эти слова, я хочу взять эпиграфом к нашему уроку.

III. Изучение нового

Люди, владеющие техникой решения комбинаторных задач, а, значит, умеющие рассуждать, перебирать различные варианты решений, часто находят выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации.
Вот один пример  умелого решения комбинаторной задачи:

Задача о бесплатном обеде.

10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые—по росту и т. д.

Спор затянулся, блюдо успело простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

— Молодые люди, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

— Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черёд вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало ни много,

3 628 800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет!

Найти такой красивый выход из этой и многих других  ситуаций, нам помогает умение решать простейшие комбинаторные задачи».

Элементарными комбинаторными задачами являются задачи на перестановки, размещения и сочетания двух видов без повторения и с повторением. Для их подсчёта используют правило суммы и правило произведения.

1. Правило суммы.

Задача 1. На 8 марта мальчики вашего класса решили подарить девочкам по красивой розе. Сколько различных букетов из одной розы можно составить, если в магазине есть 20 белых и 15 кремовых роз?

В результате выводится правило суммы: если в первой группе –  m элементов с данным свойством, а во второй – n элементов с данным свойством, то общее количество объектов с данным свойством m + n.

Задача 2. Туриста заинтересовали 5 маршрутов в Карелии и 7 маршрутов на Кавказе. Сколькими способами он может организовать свой отпуск, имея время только на один маршрут?

•      Ответ: всего имеется 5+7=12 маршрутов.

•      Один из них можно выбрать 12-ю способами

•      Карелия                                                  Кавказ

•      Если множество А состоит из m элементов, а множество В из k элементов, причем эти множества не имеют общих элементов, то выбор «а или b», где аЄА, bЄВ, можно осуществить m+k  способами

2. Правило произведения.

Второе  правило, которое мы будем применять при решении комбинаторных задач ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 

Задача  1

Туриста заинтересовали 5 маршрутов в Карелии и 7 маршрутов на Кавказе. Он хочет побывать в Карелии и на Кавказе. Сколькими способами он может организовать свой отпуск, имея время на два маршрута?

Ответ: 5*7=35 маршрутов

Выбрав один маршрут в Карелии, второй с ним можно выбрать 7-ю способами.

      Карелия                                       Кавказ

Если элемент а можно выбрать m  способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k способами, то выбор «а и b» в указанном порядке можно осуществить m•k  способами.

Задача 2. Подбросили 4 одинаковые монеты. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел». Результат округлите до сотых.

Решение: При бросании монеты может выпасть одна из двух её сторон: «орел» или «решка»

1.     Найдем общее число всех возможных исходов: 2*2*2*2=16 вариантов ( для каждой монеты – 2 варианта)

2.     Вычислим число исходов в котором хотя бы  один «орел».

Очевидно, что результат «орел» будет во всех исходах,  кроме одного, когда на всех монетах выпадет «решка» т.е. число благоприятных исходов равно  16 – 1=15

Следовательно, искомая вероятность равна 15/16=0,9375

IV. Закрепление изученного.

Отметь, как ты считаешь, на какую отметку усвоил материал?

Работа  «Пробы своих сил» 

Учащиеся выбирают задания на определенное количество баллов

Решите задачи

1.     В случайном эксперименте правильную монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет хотя бы один раз.

2.     В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков.

3.     Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.

4.     Телевизор у Светы сломался и показывает только один случайный канал. Света включает телевизор. В это время  по 9 каналам из 30 показывают новости. Найдите вероятность того, что Света попадет на канал, где новости не идут.

5.     Монету бросали 3 раза. Найдите вероятность того, что при первых двух бросаниях выпала одна и та же сторона монеты.

6.     Монету бросали 3 раза. Найдите вероятность того, что при первых двух бросаниях выпала одна сторона монеты, а при третьем - другая.

Коллективная проверка на доске (по желанию)

После решения задачи учитель задает вопрос  ученику:

– В каком действии ты допустил ошибку?

Ученик показывает неправильно выполненное действие.

Учитель:

– Почему это действие выполнил неправильно?  Давай разберемся.

Ученик объясняет как он выполнял действие ранее и то, как необходимо было выполнить его, чтобы получить правильный ответ.

V. Самостоятельная работа

Кроме комбинаторики в теории вероятностей есть еще раздел «Статистика».

Что такое «статистика», как вы понимаете?

Предлагаю решить вам задачу из этого раздела.

Рост.

В классе 25 девочек. Их средний рост равен 130 см.

Вопрос 1:

Объясните, как подсчитать средний рост девочек.

Вопрос 2:

Обведите слово «Верное» или «Неверное» около каждого из следующих утверждений.

Утверждение	Верное или Неверное
Если в классе есть девочка ростом 132 см, то обязательно должна быть девочка ростом 128 см.	Верное / Неверное
У большинства девочек рост должен быть 130 см.	Верное / Неверное
Если выстроить девочек по росту, начиная с самой маленькой и кончая самой высокой, то прямо посередине должна стоять девочка ростом 130 см.	Верное / Неверное
Половина девочек в классе должна быть выше 130 см, а другая половина должна быть ниже 130 см.	Верное / Неверное

Вопрос 3:                                                                                                      

Оказалось, что рост одной из девочек был указан неверно. Ее рост вместо 145 см должен быть 120 см. Найдите правильное значение среднего роста девочек в этом классе.

A      126 см

B      127 см

C      128 см

D      129 см

E       144 см

VI. Домашнее задание: 

доделать те задачи, которые были не завершены, расспросить родителей об их работе и на основе этого опроса составить мини-сочинение или просто задачи по теме «Комбинаторные задачи в жизни моих родителей».

VII. Рефлексия «Двухминутное эссе» Написание эссе по вопросам.

1.Что главное ты узнал сегодня на уроке?

2. Какой материал для тебя остался непонятным?

3. Что нужно оставить в памяти?

Заполнить карту самодиагностики

Прогностическая оценка

1.Выбери число, которое может получиться при умножении двух других:

60, 15, 4

7, 98, 14

9, 144, 16

6, 18, 108

2. Выполняя деление в следующих случаях:

9870 : 35

136576 : 64

95345 : 485

76171 : 19

720036 : 36

ученик в частном получил:

1) трёхзначное число;

2) четырёхзначное число;

3) двухзначное число;

4) четырёхзначное число;

5) трёхзначное число. В каких случаях частное найдено неверно?

2.  

«Пробы своих сил»

Выберете  задания на определенное количество баллов

Решите задачи

1.     В случайном эксперименте правильную монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет хотя бы один раз. (1 балл)

2.     В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. (2 балл)

3.     Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33. (2 балл)

4.     Телевизор у Светы сломался и показывает только один случайный канал. Света включает телевизор. В это время  по 9 каналам из 30 показывают новости. Найдите вероятность того, что Света попадет на канал, где новости не идут. (1 балл)

5.     Монету бросали 3 раза. Найдите вероятность того, что при первых двух бросаниях выпала одна и та же сторона монеты. (2 балл)

6.     Монету бросали 3 раза. Найдите вероятность того, что при первых двух бросаниях выпала одна сторона монеты, а при третьем - другая. (3 балл)

3.      рост

В классе 25 девочек. Их средний рост равен 130 см.

Вопрос 1:

Объясните, как подсчитать средний рост девочек.

Вопрос 2:

Обведите слово «Верное» или «Неверное» около каждого из следующих утверждений.

Утверждение	Верное или Неверное
Если в классе есть девочка ростом 132 см, то обязательно должна быть девочка ростом 128 см.	Верное / Неверное
У большинства девочек рост должен быть 130 см.	Верное / Неверное
Если выстроить девочек по росту, начиная с самой маленькой и кончая самой высокой, то прямо посередине должна стоять девочка ростом 130 см.	Верное / Неверное
Половина девочек в классе должна быть выше 130 см, а другая половина должна быть ниже 130 см.	Верное / Неверное

Вопрос 3:                                                                                                      

Оказалось, что рост одной из девочек был указан неверно. Ее рост вместо 145 см должен быть 120 см. Найдите правильное значение среднего роста девочек в этом классе.

A      126 см

B      127 см

C      128 см

D      129 см

E       144 см

Самодиагностика учебных умений

Фамилия, имя________________________________

Утверждения	Очень уверенно	Уверенно	Неуверенно
Я могу решить задачу на применения правила суммы
Я могу решить задачу на применения правила произведения
Я смогу сам (а) придумать задачу на применение правила суммы или произведения