Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2a705035.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_2a705035.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_4951c32e.gifhello_html_4951c32e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_4951c32e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_266e19fa.gifhello_html_34d71835.gifhello_html_m7c11af38.gifhello_html_m7c11af38.gifhello_html_64763263.gifhello_html_28922a16.gifhello_html_2974ce66.gifhello_html_624b8fe0.gifhello_html_3bbd4a73.gifhello_html_5c53c3f7.gifhello_html_m37471370.gifhello_html_5c53c3f7.gifhello_html_m3bdbe35b.gifhello_html_4951c32e.gifhello_html_4951c32e.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_173a5ec1.gifhello_html_m2237b042.gifhello_html_a4c60fc.gifhello_html_a4c60fc.gifhello_html_m12fb081e.gifhello_html_a4c60fc.gifhello_html_a4c60fc.gifhello_html_m212c9552.gifhello_html_m212c9552.gifhello_html_6fb85df3.gifhello_html_m2237b042.gifhello_html_m12fb081e.gifhello_html_6fb85df3.gifhello_html_mb419d65.gifhello_html_6102b9f6.gifhello_html_m6a6cf954.gifhello_html_m17f8c144.gifhello_html_m26573757.gifhello_html_1fa0393.gif

Урок №69 СДО


Тема: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

- дать определение предела числовой последовательности; рассмотреть теоремы о пределах, сформулировать необходимое условие существования предела(теорема Вейерштрасса); дать понятие бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей; выработать умения вычислять пределы последовательностей ;вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии; выработать практические навыки применения этой формулы при решении задании.


- развитие логического мышления, памяти, умение применять математические знания по теме, коммуникативных компетенций (культуры общения), познавательного интереса.


-воспитание математической речевой культуры, привития интереса к изучаемому предмету.



II. Актуализация знаний.

1) Проверка домашнего задания

Ответьте на вопросы:

  1. Дайте определение числовой последовательности?

  2. Какие способы задания последовательностей вы знаете?

  3. Какие бывают виды последовательностей?(возрастающая, убывающая, немонотонная)

  4. Какая последовательность называется ограниченной сверху?

  5. Какая последовательность называется ограниченной снизу?

  6. Какая последовательность называется ограниченной ?

  7. Какая последовательность называется неограниченной?

  8. Какая последовательность называется сходящейся?(привести пример)

  9. Какая последовательность называется расходящейся? (привести пример)

Ответить на вопросы по домашней работе.

2) Решить пример: исследовать последовательностьhello_html_m4bb6da3a.gifhello_html_50d5b420.gif на ограниченность и монотонность.



III. Изучение нового материала.

Рассмотрим две числовые последовательности

(yn):1, 3, 5, 7, 9, 11,…,2n-1,…; (xn):1, hello_html_m62a1e389.gif,


1 3 5 7 9 11 0 hello_html_6a5624d2.gifhello_html_2166a362.gifhello_html_6572e70c.gif 1hello_html_2c9cd654.gif

Заметим , что (yn) –расходится, а (xn)-сходится. У последовательности (xn) все её члены «сгущаются» около точки 0. В математике не используют слова «точка сгущения», а используют термин «предел последовательности».

Итак, Если последовательность сходится, то она имеет предел.

Определение: Окрестностью точки b называется промежуток, на котором точка b является внутренней.(r-радиус окрестности)


b-r b b+r


Определение1: Число b называется пределом последовательности (xn), если все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в окрестности точки b.

Пишут так:hello_html_m6a73d7e4.gif( читают: предел последовательности (xn) при стремлении n к бесконечности равен b).

hello_html_1d428b6a.gif-сокращение латинского слова limes, обозначающего «предел» (сравните слово «лимит»).

Пояснение к определению

Если число b-предел последовательности, то образно выражаясь, окрестность точки b- это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера n0 эта ловушка «заглатывает » xn0 и все последующие члены последовательности. Чем меньше выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется » последовательность, но потом всё равно попадает, в выбранную окрестность.

Пример. (xn):1, hello_html_m62a1e389.gif,- последовательность сходится к 0.

hello_html_m1ca07d64.gifhello_html_67ab50c5.gif или hello_html_m2bdde13a.gif

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.


Приведём пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возмём окружность и будем последовательно вписывать в неё правильные многоугольники: четырёхугольник, восьмиугольник, шестнадцатиугольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена снизу числом 0, а сверху числом выражающим площадь описанного около окружности квадрата. Значит по т. Вейерштрасса последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга.


Теоремы о пределах

  1. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

hello_html_6900fa85.gif

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

hello_html_39cbcaeb.gif

  1. Предел суммы равен сумме пределов:

hello_html_m431ef5d0.gif

  1. Предел произведения равен произведению пределов:

hello_html_76a53a42.gif

  1. Предел частного равен частному пределов:

hello_html_37cd74de.gif , при условии что hello_html_m13688cff.gifи (bn)hello_html_4cb2cb66.gifдля любого n

  1. Предел степени равен степени предела: hello_html_62ab4d11.gifгдеhello_html_31ce238e.gif


Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность( х n ) называется бесконечно малой, если её предел равен нулю,

hello_html_m45daf832.gif.

(Пример hello_html_m1ca07d64.gif, последовательность (xn):1, hello_html_m62a1e389.gif,- бесконечно малая)

Последовательность( х n )называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M , как бы велико оно ни было, существует такой номер N , что для всех ( х n ) с номерами n>N справедливо неравенство | х n | >M .


То есть, последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности,

hello_html_m731b372f.gif.

(Пример hello_html_m603d529.gif, последовательность (zn):1,2,3,4,5,…,n,… бесконечно большая).

Заметим, что если последовательность (xn) является бесконечно малой (бесконечно большой), то hello_html_m540ada9d.gif - бесконечно большая (бесконечно малая).

Примеры. hello_html_2044ce74.gif

hello_html_m5cf1797d.gif


.


Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b1,b2,b3,…,bn,…

Пусть S1=b1,

S2=b1+b2,

S3=b1+b2+b3,

…………………….

Sn= b1+b2+b3+…+bn.

Получилась последовательность S1, S2,S3,…,Sn,… Как всякая последовательность она может сходится или расходится. Если последовательность Snсходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии.

Пусть надо найти сумму n первых членов геометрической прогрессии: Sn= b1+b2+b3+…+bn.,то


hello_html_2778864b.gif.Рассмотрим случай, когда знаменатель q геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству hello_html_25ee82ee.gif

Наедём: hello_html_1338f22b.gif.

(Так как hello_html_m60df3268.gif)

Поэтому hello_html_2a7bdae6.gifhello_html_2c9cd654.gifдля hello_html_25ee82ee.gif

  1. Закрепление изученного материала.



Примеры (№№1-4 из Приложения1

1.Вычислите пределы числовой последовательности.

hello_html_59b90773.gif

2.Найдите сумму геометрической прогрессии (bn), если

hello_html_m4c7d29bd.gifhello_html_bad03fd.gif.

3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn),если

hello_html_m748e83c0.gifhello_html_m1c217fb1.gif

4.Решите уравнение, если известно, что hello_html_m32cd22ec.gif<1:

hello_html_m39cbcd30.gif

Решения и ответы:

№1 hello_html_788648d0.gif

№2 а) S=4,5 ; б)q=hello_html_6572e70c.gif; S=64 ; в)-33,75.

№3 а)q=0,5 ; б)q=hello_html_2ad79de2.gif.

№ 4


hello_html_89a6254.gif ,левая часть геометрическая прогрессия hello_html_m4e9ada88.gif


hello_html_m72f8b58d.gifт.к hello_html_m32cd22ec.gif<1, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии hello_html_2a7bdae6.gif.

hello_html_m671ae582.gif

Ответ:hello_html_m28b154f9.gif


б) х=0,3;

в)

геометрическая прогрессия b1=x;q=x; hello_html_m32cd22ec.gif<1

hello_html_m4ac06c9a.gif

hello_html_43e56658.gif

Ответ: hello_html_4823f694.gif

г) hello_html_42bb857.gif


  1. Самостоятельная работа.


Тест.

Вариант1

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

1)30; 2)hello_html_m4069b636.gif ; 3)125; 4)25.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b1=-1; q=0,2.

1)hello_html_m694408b6.gif; 2) hello_html_m751047f1.gif; 3)0,8; 4)10.


3.Вычислите пределы числовых последовательностей:


hello_html_m127d49b2.gif

1)6 ; 2) 2 ; 3)0 ; 4)hello_html_m1fbc7767.gif.

hello_html_m10079d39.gif

1)-2 ; 2) hello_html_m1fbc7767.gif ; 3)2 ; 4)6.

hello_html_198720e0.gif

1)0; 2)hello_html_105e061d.gif ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif ; 4) hello_html_m6e968c9d.gif.



Вариант2

1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

1)hello_html_m9fefc6.gif; 2)-24; 3) hello_html_m45823b06.gif; 4)hello_html_1b92902d.gif.


2.Найдите сумму геометрической прогрессии если hello_html_62e472dc.gif;

1)13hello_html_42f1f9fe.gif; 2)30; 3) 33; 4) hello_html_42f1f9fe.gif.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:


hello_html_3272aa6.gif;

1)4 ; 2)0 ; 3)-4 ; 4) hello_html_m1fbc7767.gif.


hello_html_72fefbb2.gif;

1)-2 ; 2)0 ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif; 4)hello_html_m1e5fa5c9.gif.

hello_html_1599a216.gif;

1)0 ; 2)hello_html_m5d41963f.gif ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif; 4) 4.


Вариант3

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12;3;0,75;…;

1)16; 2)8; 3)9; 4)hello_html_195e3951.gif .

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если hello_html_6e0d6f8e.gif;

1)2; 2)-4,5; 3)-2; 4)-0,5.


3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

hello_html_m6bf942b4.gif;

1)5; 2) 2; 3)0; 4)hello_html_m1fbc7767.gif.

hello_html_m26f676de.gif;

1)-2; 2) hello_html_m1fbc7767.gif ; 3)3 ; 4)1,5.

hello_html_5486fb05.gif;

1)3; 2)hello_html_105e061d.gif ; 3)6 ; 4) hello_html_m6e968c9d.gif .



Вариант4

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-hello_html_77e2de71.gif

1)24; 2)hello_html_8cb07e8.gif; 3)hello_html_6415368a.gif; 4)-12.


2.Найдите сумму геометрической прогрессии если hello_html_m36668532.gif;

1)10; 2)22,5; 3)15 4)13.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

hello_html_m2144610f.gif

1)7 ; 2) hello_html_6ea08321.gif ; 3)0 ; 4)hello_html_m1fbc7767.gif.

hello_html_m3417c07.gif

1)1 ; 2) hello_html_m1fbc7767.gif ; 3)hello_html_34cd0444.gif ; 4)0.

hello_html_m33e9e166.gif

1) 0; 2)hello_html_m3d8d960f.gif ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif ; 4) hello_html_m6e968c9d.gif .


Ответы:


1

2

3(а)

3(б)

3(в)

Вариант 1

2

1

2

3

2

Вариант 2

3

2

3

1

4

Вариант 3

1

3

1

3

3

Вариант4

3

2

2

4

4



  1. Подведение итогов.

  2. Задание на дом:.
























Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

1.Вычислите пределы числовых последовательностей:

hello_html_m30eb1a8.gif

2.Найдите сумму геометрической прогрессии (bn), если

hello_html_m4c7d29bd.gifhello_html_bad03fd.gif.


3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn) и b3,если

hello_html_m748e83c0.gifhello_html_m1c217fb1.gif


4.Решите уравнение, если известно, что hello_html_m32cd22ec.gif<1:

hello_html_m7123c7e.gif









Тест.

Вариант1

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

1)30; 2)hello_html_m4069b636.gif ; 3)125; 4)25.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b1=-1; q=0,2.

1)hello_html_m694408b6.gif; 2) hello_html_m751047f1.gif; 3)0,8; 4)10.


3.Вычислите пределы числовых последовательностей:


hello_html_m127d49b2.gif

1)6 ; 2) 2 ; 3)0 ; 4)hello_html_m1fbc7767.gif.

hello_html_m10079d39.gif

1)-2 ; 2) hello_html_m1fbc7767.gif ; 3)2 ; 4)6.

hello_html_198720e0.gif

1)0; 2)hello_html_105e061d.gif ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif ; 4) hello_html_m6e968c9d.gif.



Вариант2

1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

1)hello_html_m9fefc6.gif; 2)-24; 3) hello_html_m45823b06.gif; 4)hello_html_1b92902d.gif.


2.Найдите сумму геометрической прогрессии если hello_html_62e472dc.gif;

1)13hello_html_42f1f9fe.gif; 2)30; 3) 33; 4) hello_html_42f1f9fe.gif.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:


hello_html_3272aa6.gif;

1)4 ; 2)0 ; 3)-4 ; 4) hello_html_m1fbc7767.gif.


hello_html_72fefbb2.gif;

1)-2 ; 2)0 ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif; 4)hello_html_m1e5fa5c9.gif.

hello_html_1599a216.gif;

1)0 ; 2)hello_html_m5d41963f.gif ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif; 4) 4.


Вариант3

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12,3,0,75,…;

1)16; 2)8; 3)9; 4)hello_html_195e3951.gif .

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если hello_html_6e0d6f8e.gif;

1)2; 2)-4,5; 3)-2; 4)-0,5.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

hello_html_m6bf942b4.gif;

1)5; 2) 2; 3)0; 4)hello_html_m1fbc7767.gif.

hello_html_m26f676de.gif;

1)-2; 2) hello_html_m1fbc7767.gif ; 3)3 ; 4)1,5.

hello_html_5486fb05.gif;

1)3; 2)hello_html_105e061d.gif ; 3)6 ; 4) hello_html_m6e968c9d.gif .





Вариант4

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-hello_html_77e2de71.gif

1)24; 2)hello_html_8cb07e8.gif; 3)hello_html_6415368a.gif; 4)-12.


2.Найдите сумму геометрической прогрессии если hello_html_m36668532.gif;

1)10; 2)22,5; 3)15 4)13.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

hello_html_m2144610f.gif

1)7 ; 2) hello_html_6ea08321.gif ; 3)0 ; 4)hello_html_m1fbc7767.gif.

hello_html_m3417c07.gif

1)1 ; 2) hello_html_m1fbc7767.gif ; 3)hello_html_34cd0444.gif ; 4)0.

hello_html_m33e9e166.gif

1) 0; 2)hello_html_m3d8d960f.gif ; 3) hello_html_m1fbc7767.gif ; 4) hello_html_m6e968c9d.gif .
































Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 10.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров584
Номер материала ДВ-324240
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх