«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Урок №69 СДО

Тема: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Тип урока:  комбинированный.

Цели урока: 

- дать определение предела числовой последовательности;  рассмотреть теоремы о пределах, сформулировать необходимое условие существования предела(теорема Вейерштрасса); дать понятие бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей; выработать умения вычислять пределы последовательностей ;вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии; выработать практические навыки применения этой формулы при решении задании.

- развитие логического мышления, памяти, умение применять математические знания по теме, коммуникативных компетенций (культуры общения), познавательного интереса.

-воспитание математической речевой культуры, привития интереса к изучаемому предмету.

II.   Актуализация знаний.

         1)  Проверка домашнего задания

Ответьте на вопросы:

1.      Дайте определение числовой последовательности?

2.      Какие способы задания последовательностей вы знаете?

3.      Какие бывают виды последовательностей?(возрастающая, убывающая, немонотонная)

4.      Какая последовательность называется ограниченной сверху?

5.      Какая последовательность называется ограниченной снизу?

6.      Какая последовательность называется ограниченной ?

7.      Какая последовательность называется неограниченной?

8.      Какая последовательность называется сходящейся?(привести пример)

9.      Какая последовательность называется расходящейся? (привести пример)

Ответить на вопросы по домашней работе.

2) Решить пример: исследовать последовательность на ограниченность и монотонность.

III.     Изучение нового материала. 

Рассмотрим две числовые последовательности

(y_n):1, 3, 5, 7, 9, 11,…,2n-1,…;                  (x_n):1, ,

 

     1    3    5   7  9     11                                     0               1 

Заметим , что (y_n) –расходится, а (x_n)-сходится. У последовательности (x_n) все её члены «сгущаются» около точки 0. В математике не используют слова «точка сгущения», а используют термин «предел последовательности».

Итак, Если последовательность сходится, то она имеет предел.

Определение: Окрестностью  точки b называется промежуток, на котором точка b является внутренней.(r-радиус окрестности)

 

                                    

        b-r      b      b+r

Определение1: Число b называется пределом последовательности (x_n), если все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в окрестности точки b.

Пишут так:( читают: предел последовательности (x_n) при стремлении n к бесконечности равен b).

-сокращение латинского слова limes, обозначающего «предел» (сравните слово «лимит»).

Пояснение к определению

Если число b-предел последовательности, то образно выражаясь, окрестность точки b- это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера n₀ эта ловушка «заглатывает » x_n0 и все последующие члены последовательности. Чем меньше выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется » последовательность, но потом всё равно попадает, в выбранную окрестность.

Пример. (x_n):1, ,- последовательность сходится к 0.

                                                 или

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Приведём пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возмём окружность и будем последовательно вписывать в неё правильные многоугольники: четырёхугольник, восьмиугольник, шестнадцатиугольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена снизу числом 0, а сверху числом выражающим площадь описанного около окружности квадрата. Значит по т. Вейерштрасса последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга.

Теоремы о пределах

1.      Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

2.      Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

3.      Предел суммы равен сумме пределов:

4.      Предел произведения равен произведению пределов:

5.      Предел частного равен частному пределов:

    , при условии что и (b_n )  для любого n

6.      Предел степени равен степени предела: где

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность( х _n ) называется бесконечно малой, если её предел равен нулю,

.

   (Пример , последовательность (x_n):1, ,- бесконечно малая)

Последовательность( х _n )называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M  , как бы велико оно ни было, существует такой номер N , что для всех ( х _n ) с номерами n>N справедливо неравенство | х _n | >M .

То есть, последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности,

.

     (Пример , последовательность  (z_n):1,2,3,4,5,…,n,… бесконечно большая).

Заметим, что если последовательность (x_n) является бесконечно малой (бесконечно большой), то  - бесконечно большая (бесконечно малая).

  Примеры.

                  

.         

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b₁,b₂,b₃,…,b_n,…

Пусть S₁=b₁,

           S₂=b₁+b₂,

           S₃=b₁+b₂+b_3,

                 _{…………………….}

          S_n= b₁+b₂+b₃+…+b_n.

Получилась последовательность S₁, S_2, S_3,…, S_n,…  Как всякая последовательность она может сходится или расходится. Если последовательность S_n сходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии.

Пусть надо найти сумму n первых членов геометрической прогрессии:   S_n= b₁+b₂+b₃+…+b_n.,то

.Рассмотрим случай,  когда знаменатель  q геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству

Наедём: .

(Так как )

Поэтому для   

IV.            Закрепление изученного материала.

Примеры      (№№1-4 из Приложения1

1.Вычислите пределы числовой последовательности.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии (b_n), если

                               .

3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n),если

                             

4.Решите уравнение, если известно, что <1:

Решения и ответы:

№1

№2 а) S=4,5  ;                    б)q=; S=64  ;   в)-33,75.       

№3  а)q=0,5 ;                     б)q=.

№ 4

    ,левая часть геометрическая прогрессия

т.к <1, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии .

Ответ:

б) х=0,3;

в)

геометрическая прогрессия b₁=x;q=x; <1

Ответ:

г)

V.               Самостоятельная работа.

Тест.

Вариант1

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

            1)30;            2)  ;   3)125;          4)25. 

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b₁=-1; q=0,2.

            1);        2) ;       3)0,8;           4)10.   

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

                1)6 ;       2) 2    ;     3)0     ;  4).

 

               1)-2   ;      2)    ;        3)2  ;     4)6.

             1)0;       2) ;     3)  ;      4) .

Вариант2

1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

                                   1);    2)-24;    3) ;    4).

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

                        1)13;   2)30;     3) 33;          4) .

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

;

                     1)4  ;           2)0   ;          3)-4   ;        4) .

;

                    1)-2  ;         2)0  ;             3) ;           4).

;

                    1)0  ;          2) ;           3) ;       4) 4.

Вариант3

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12;3;0,75;…;

                   1)16;           2)8;                  3)9;            4) .     

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

                   1)2;             2)-4,5;               3)-2;          4)-0,5.        

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

;

                         1)5;        2) 2;         3)0;       4).

 ;

                                   1)-2;     2)   ;    3)3    ;   4)1,5.

;

                                  1)3;             2) ;     3)6 ;      4)  .

Вариант4

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-…

                    1)24;         2);       3);   4)-12.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

                     1)10;        2)22,5;    3)15      4)13.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

1)7  ;        2)  ;        3)0 ;      4).

 

1)1   ;     2)       ;     3) ;       4)0.

           1) 0;     2)  ;           3)    ;    4)  .

Ответы:

	№1	№2	№3(а)	№3(б)	№3(в)
Вариант 1	2	1	2	3	2
Вариант 2	3	2	3	1	4
Вариант 3	1	3	1	3	3
Вариант4	3	2	2	4	4

VI.            Подведение итогов.

VII.           Задание на дом:.

Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

1.Вычислите пределы числовых последовательностей:

2.Найдите сумму геометрической прогрессии (b_n), если

                  .            

3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n) и b₃,если

                             

4.Решите уравнение, если известно, что <1:

Тест.

Вариант1

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

            1)30;            2)  ;   3)125;          4)25. 

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b₁=-1; q=0,2.

            1);        2) ;       3)0,8;           4)10.   

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

                1)6 ;       2) 2    ;     3)0     ;  4).

 

               1)-2   ;      2)    ;        3)2  ;     4)6.

             1)0;       2) ;     3)  ;      4) .

Вариант2

1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

                                   1);    2)-24;    3) ;    4).

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

                        1)13;   2)30;     3) 33;          4) .

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

;

                     1)4  ;           2)0   ;          3)-4   ;        4) .

;

                    1)-2  ;         2)0  ;             3) ;           4).

;

                    1)0  ;          2) ;           3) ;       4) 4.

Вариант3

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12,3,0,75,…;

              1)16;           2)8;                  3)9;            4) .     

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

                   1)2;             2)-4,5;               3)-2;          4)-0,5.        

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

;

                         1)5;        2) 2;         3)0;       4).

 ;

                                   1)-2;     2)   ;    3)3    ;   4)1,5.

;

                                  1)3;             2) ;     3)6 ;      4)  .

Вариант4

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-…

                    1)24;         2);       3);   4)-12.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

                     1)10;        2)22,5;    3)15      4)13.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

1)7  ;        2)  ;        3)0 ;      4).

 

1)1   ;     2)       ;     3) ;       4)0.

           1) 0;     2)  ;           3)    ;    4)  .