Инфоурок / Математика / Конспекты / Предел функции в точке

Предел функции в точке

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Тема «Предел функции в точке»

Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.


Задачи урока:

  • ввести понятие предела функции в точке;

  • рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;

  • ввести понятие непрерывности функции;

  • рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;

  • рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.


Тип урока: урок объяснение нового материала.


План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Мотивация изучения темы.

  3. Подготовительная работа.

  4. Изучение нового материала.

  5. Решение задач.

  6. Домашнее задание.

  7. Итог урока.


Ход урока.

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.


2. Мотивация изучения темы.

- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.


3. Подготовительная работа.

- Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график функции hello_html_m7ff8fc2c.gif если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)

(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).

hello_html_m3892b775.png

Рисунок 1

hello_html_m2ba25a2e.png

Рисунок 1

hello_html_4fc55751.png

Рисунок 2


4. Изучение нового материала.

- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

- Чем они отличаются друг от друга?

(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?

(Для функции hello_html_m7ff8fc2c.gif при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?

(Для функции hello_html_m7ff8fc2c.gif при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?

(Для функции hello_html_m7ff8fc2c.gif при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).

- Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

- Для всех трех случаев используется одна и та же запись: hello_html_6fea3032.gif.

- В общем случае эта запись выглядит следующим образом: hello_html_42b9ac6e.gif.

- Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».

- А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?

(Непрерывной будет третья функция)

- Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию hello_html_7729551f.gif. И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.

- Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

- Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

- При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).


5. Решение задач.

- Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.

39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74 – 81, имеет предел при х 3? Чему равен этот предел?


Решение.

hello_html_7cbc570.pnghello_html_m4c9d1139.png

Рисунок 74 Рисунок 75

hello_html_m4f975f30.pnghello_html_19fb9b77.png

Рисунок 76 Рисунок 77

hello_html_m1df015b9.pnghello_html_m77740ee3.png

Рисунок 78 Рисунок 79

hello_html_m6601342d.pnghello_html_20750bf8.png

Рисунок 80 Рисунок 81


- Решим номер 39.19 (а, б).

39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:

а) hello_html_18dbf0ef.gif, (рис.4)

б) hello_html_m4a9ecc0f.gif. (рис.5)


Решение.

hello_html_m25ccf75f.pnghello_html_m4177ee4b.png

Рисунок 3 Рисунок 4



- Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.

Пример 1. Вычислить: hello_html_c4d9280.gif.

Решение. Выражение х3 – 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: hello_html_18112ccc.gif.

Ответ: 7.

- Для решения следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.

Правило 1. hello_html_m364677e5.gif.

Правило 2. hello_html_664301d3.gif.

Правило 3. hello_html_m4bffadba.gif.

Пример 2. Используя эти правила, вычислим hello_html_7c695439.gif.

Решение. Выражение hello_html_m4faf7a39.gif определено в любой точке х 0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: hello_html_76b1b508.gif.

Ответ: 0.


- Решим номер 39.23.

39.23. Вычислите: а) hello_html_5ae1f689.gif;

б) hello_html_11b94ab0.gif;

в) hello_html_m78e5e9b9.gif;

г) hello_html_566de777.gif.

Решение.

а) hello_html_5ae1f689.gif. Выражение х2 – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х2 – 3х + 5 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: hello_html_m47fe3a4c.gif.

Ответ: 3.

б) hello_html_11b94ab0.gif. Выражение hello_html_m3c78d877.gif определено в любой точке х hello_html_605a1791.gif, в частности, в точке х = hello_html_m3907a0ac.gif. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = hello_html_m3907a0ac.gif, а потому предел функции при стремлении х к hello_html_m3907a0ac.gif равен значению функции в точке х = hello_html_m3907a0ac.gif. Имеем: hello_html_3f94ffeb.gif.

Ответ: 0.

в) hello_html_m78e5e9b9.gif. Выражение х2 + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = - 1. Следовательно, функция у = х2 + 6х – 8 непрерывна в точке х = - 1, а потому предел функции при стремлении х к - 1 равен значению функции в точке х = - 1.

Имеем: hello_html_3d6fdc11.gif.

Ответ: - 1.

г) hello_html_566de777.gif. Выражение hello_html_1d45737c.gif определено в любой точке х hello_html_m3b647325.gif, в частности, в точке х = hello_html_m233bf45f.gif. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = hello_html_m233bf45f.gif, а потому предел функции при стремлении х к hello_html_m233bf45f.gif равен значению функции в точке х = hello_html_m233bf45f.gif.

Имеем: hello_html_m6b2eaaa9.gif.


- Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример 3. Вычислить hello_html_bade287.gif.

Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_1497debb.gif.

Значит, функции hello_html_m3a71fcf2.gif и hello_html_2459033f.gif тождественны при условии х - 3. Но при вычислении предела функции при х - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, hello_html_m6fec0681.gif.

Ответ: - 1,5.


- Решим номер 39.27.

39.27. Вычислите: а) hello_html_m655d55b2.gif;

б) hello_html_1a2dca96.gif;

в) hello_html_m6e8521d1.gif;

г) hello_html_m445b0489.gif.

Решение.

а) hello_html_m655d55b2.gif. Если подставить значение х = 0 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m626fcb67.gif.

Значит, функции hello_html_m4255082d.gif и hello_html_m4319a073.gif тождественны при условии х 0, х 1. Значит, hello_html_c8168a6.gif.

Ответ: 0.

б) hello_html_1a2dca96.gif. Если подставить значение х = - 1 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m342e5c36.gif.

Значит, функции hello_html_m1f51e493.gif и hello_html_1e553742.gif тождественны при условии х 0, х - 1. Значит, hello_html_4e5f9e00.gif.

Ответ: - 1.

в) hello_html_m6e8521d1.gif. Если подставить значение х = 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m277e1345.gif.

Значит, функции hello_html_m35f33176.gif и hello_html_m2e16a745.gif тождественны при условии х 3. Значит, hello_html_m126058b.gif.

Ответ: 3.

г) hello_html_m445b0489.gif. Если подставить значение х = - 5 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m1cefeb3b.gif.

Значит, функции hello_html_m19aeb372.gif и hello_html_1e553742.gif тождественны при условии х 0, х - 5. Значит, hello_html_79e51399.gif.

Ответ: - hello_html_59f000e1.gif.


6. Домашнее задание.

- Открываем дневники и записываем домашнее задание: номера 39.19 (а, б), 39.24, 39.28. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.


7. Итог урока.

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.


Общая информация

Номер материала: ДВ-353961

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»