Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции

библиотека
материалов

hello_html_7fce8fbb.gifУрок №70 СДО


Конспект занятия.

ТЕМА. Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции.

Цель: Формирование математических компетенций студентов посредством возможностей информационно-коммуникационной среды.

Задачи:

Образовательная: в ходе изучения данной темы студент должен:

знать: определение предела функции в точке; свойства предела функции в точке; определение непрерывности функции в точке; свойства непрерывных функций;

уметь: вычислять несложные пределы функций в точке и на бесконечности.

Воспитательная: прививать интерес к математике на основе исторического материала, формировать умение работать в группе, нести ответственность за результат выполнения заданий.

Развивающая: развивать логическое мышление, внимание, умение видеть проблему, находить пути её решения, переносить знания на новую ситуацию.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы и методы: словесный, наглядный, фронтальная работа, самостоятельная групповая работа студентов.

Обеспечение: учебники: А. Дадаян «Математика» §5.11,§5.12,

Н.Богомолов «Математика» §42,

Время: 90 минут.

Структура занятия.

  1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. Мотивация.

  2. Актуализация знаний.

  3. Изучение нового материала.

  4. Решение типовых задач.

  5. Самостоятельная работа студентов в группах.

  6. Домашнее задание.

  7. Рефлексия. Итоги занятия.

Ход занятия.

Постановка цели и задач урока:

Изучить определение и свойства предела функции в точке;

определение непрерывности функции в точке;

свойства непрерывных функций;

научиться вычислять несложные пределы функций в точке и на бесконечности

Мотивация. Продолжительность работы-2 минуты

Одновременно с развитием понятия функции развивалось и понятие предела функции. Первоначально ввести понятие предела функции пытался И.Ньютон, но только в 19 веке в работах А. Вейерштрасса, Б. Больцано, О. Коши сложились определение и обозначения пределов функции, используемые и в настоящее время. Понятие предел функции в точке лежит в основе понятия производной.

Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразным. Т.е. количественные изменения переходят в качественные.

Это один из основных законов диалектики.

  1. Актуализация знаний. Продолжительность работы-3 минуты

Задание. 1) сформулировать определение функции

2) найти область определения функции

а) f(x) = x2+x-1; б) f(x) =hello_html_6a30c96.gif; с)f(x) =hello_html_1f72ce41.gif.

  1. Изучение нового материала ( сопровождается демонстрацией слайдов). Продолжительность работы-15 минут

3.1.Определение предела функции в точке.

Сформулируем определение предела функции в точке.

Определение. Пусть функция hello_html_m1d2f17e2.gifопределена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а.

Число В называется пределом функции hello_html_m1d2f17e2.gifв точке а (или при hello_html_77fc3d89.gif), если для любой последовательности значений аргумента hello_html_m5e058d2b.gif, последовательность соответствующих значений функции, сходится к числу В.

Это же определение предела функции в точке часто рассматривают в другой формулировке:

Определение. Постоянная В называется пределом функции hello_html_m1d2f17e2.gif при hello_html_77fc3d89.gif(или в точке а), если для любого числа hello_html_m360ee14.gifсуществует такое число hello_html_me68fa08.gif, что при всех х, удовлетворяющих условию:

hello_html_m4ea10272.gif,

выполняется неравенство: hello_html_m43a117c3.gif.

Понятие предела возникает при определенном типе движения «по графику функции» - когда аргумент приближается к а, значение функции приближается к В.

Оба определения эквивалентны.

В этом случае пишут: hello_html_676f2e30.gif

3.2.Свойства пределов функций

Основные свойства пределов функций:

  1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

hello_html_38f1e637.gif

  1. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

hello_html_m753f7e73.gif

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: hello_html_m368733de.gif, если предел hello_html_55c98a93.gif существует.

  1. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

hello_html_m77ed8b58.gif, если hello_html_78ab0505.gif.

Пример. Вычислить пределы:1. hello_html_55d79e5b.gif, 2. hello_html_6151d4ea.gif, 3.hello_html_m565689f0.gif

Решение.1. hello_html_m6669ecb0.gif;

  1. Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

hello_html_m51589875.gif

3. hello_html_m79cbb20a.gif

Ответ: 1)11; 2) -1; 3) 2

3.3 Изучение нового материала. Продолжительность работы-25 минут.

Цель. Проработать информацию, вычленить существенное, главное.

Составить опорный конспект и представить его.

Задание 1 группе. Изучить §42(Н.В. Богомолов) Бесконечно большие функции. Определение, свойства. Оформить опорный конспект , сделать презентацию.

Задание 2 группе . Изучить §42 (Н.В. Богомолов) Бесконечно малые функции. Определение, свойства. Оформить опорный конспект сделать презентацию.

Задание 3 группе. Изучить § 42 (Н.В. Богомолов) Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями. Оформить опорный конспект сделать презентацию.

Задание 4 группе. Изучить §5.14(А.А.Дадаян, §44 Н.В. Богомолов) Непрерывность функции в точке, на интервале. Определение, свойства, примеры. Оформить опорный конспект, сделать презентацию.

3.4 Решение типовых примеров. (Устно). Слайды

Цель: разобрать решение типовых задач. Продолжительность работы-12 минут.

ПРАВИЛО 1. Чтобы раскрыть неопределенность вида hello_html_m5c94973d.gif, надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители с последующим сокращением.

ПРИМЕР 1.Вычислить: hello_html_m3feefc33.gif

Решение. hello_html_387b3d2f.gif.(проблема!)

1) 2х2+х-10=0 2) х2+х-6=0

D=b2-4ac D=1-4∙(-6)=25

D=1-4∙2(-10)=81 hello_html_m851b3cc.gif

hello_html_m5bb27723.gif x2+x-6=(x-2)(x+3)

2x2+x-10=2(x-2)(x+hello_html_3c0ad42.gif)=(x-2)(2x+5)

Заметим, что х 2, но не равен 2, следовательно, множитель, на который сокращаем (х-2), отличен от нуля при х2

ПРАВИЛО 2: Чтобы раскрыть неопределенность вида hello_html_m29074d5a.gif, надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень неизвестного.

ПРИМЕР 2. hello_html_3ccc62ae.gif

Решение: hello_html_36efd90f.gif

5. Решение примеров. Самостоятельная работа

Цель: решение примеров, первичное закрепление.

Задание выдается на карточках. Продолжительность работы-15 минут



Найти пределы:

  1. hello_html_m261597ad.gif(x4-3x2+16x+1)

  2. hello_html_m5d4c7674.gifhello_html_3c139d09.gif

  3. hello_html_4c5e1eee.gif

  4. hello_html_m346719e2.gif

  5. hello_html_m4deda291.gif

  6. hello_html_291177b1.gif

  7. hello_html_m72d6741e.gif



Ответить на вопросы. (Устно)

  1. Определение функции.

  2. Определение предела функции в точке.

  3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.

  4. Правила раскрытия неопределенностей вида hello_html_m1bc3f02c.gif;hello_html_16005b81.gif.

Решив примеры, группы обмениваются решениями и проверяют их, оценивая.

Затем группам по очереди задаются вопросы преподавателем.

6. Домашнее задание. Вычислить пределы функций. (Инструктаж- 2мин.)

1) hello_html_m1ae85da7.gif 1) hello_html_31e81496.gif 3) hello_html_26352138.gif 3) 1

2) hello_html_m76e03792.gif 2) 5

А. Дадаян «Математика» §5.11,§5.12,

Н.Богомолов «Математика» §42



Автор
Дата добавления 10.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров455
Номер материала ДВ-324254
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх