787519
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииПредел последовательности и функции

Предел последовательности и функции

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
 Предел последовательности и функции
Содержание: Теоремы о пределах Определения Теоремы Примеры
Теоремы о пределах: Постоянное число а называется пределом последовательности...
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае...
Определение 1 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a,...
Определение 2 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, е...
          .     В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно...
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами
Если существуют пределы  Теорема 1                                           ...
Теорема 2 т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном...
Теорема 3                                                                    ...
Используются на практике и следствия формулы                                 ...
Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то...
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если и непрерывной сл...
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необхо...
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о...
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал...
Найти: 1) 2)  3) 
Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим пре...
2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопредел...
3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями....
 http://e-science.ru/math/theory/?t=590

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд  Предел последовательности и функции
Описание слайда:

Предел последовательности и функции

2 слайд Содержание: Теоремы о пределах Определения Теоремы Примеры
Описание слайда:

Содержание: Теоремы о пределах Определения Теоремы Примеры

3 слайд Теоремы о пределах: Постоянное число а называется пределом последовательности
Описание слайда:

Теоремы о пределах: Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству  ê x n - a ê < e    Записывают это следующим образом: или x n ® a. Неравенство равносильно двойному неравенству: a- e < x n < a + e  которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

4 слайд Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае
Описание слайда:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся. Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n= f(n) целочисленного аргумента n. Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

5 слайд Определение 1 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a,
Описание слайда:

Определение 1 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А. Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

6 слайд Определение 2 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, е
Описание слайда:

Определение 2 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству  0 < ½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e . Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “. Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде                                                                                   .    

7 слайд           .     В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно
Описание слайда:

          .     В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде: Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

8 слайд Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами
Описание слайда:

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами

9 слайд Если существуют пределы  Теорема 1                                           
Описание слайда:

Если существуют пределы  Теорема 1                                                           Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

10 слайд Теорема 2 т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном
Описание слайда:

Теорема 2 т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,                                                                                                                                   

11 слайд Теорема 3                                                                    
Описание слайда:

Теорема 3                                                                                                                                                                                    где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы носят название первого и второго замечательного пределов.

12 слайд Используются на практике и следствия формулы                                 
Описание слайда:

Используются на практике и следствия формулы                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      в частности,                                                                                                    

13 слайд Eсли x ® a и при этом x &gt; a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то
Описание слайда:

Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x ® a и при этом x<a, то пишут x ® a-0. Числа    и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы  .   Функция f(x) называется  непрерывной в точке x 0, если

14 слайд Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если и непрерывной сл
Описание слайда:

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если и непрерывной слева в точке x o, если Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

15 слайд Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необхо
Описание слайда:

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел  , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o ). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв. 1. Если - существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок. 2. Если - равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.

16 слайд Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о
Описание слайда:

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел  В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:                                     100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),                        100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),                        100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

17 слайд При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал
Описание слайда:

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

18 слайд Найти: 1) 2)  3) 
Описание слайда:

Найти: 1) 2)  3) 

19 слайд Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим пре
Описание слайда:

Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:  Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: 

20 слайд 2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопредел
Описание слайда:

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство: Так как  , то, по теореме о пределе частного, найдем

21 слайд 3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями.
Описание слайда:

3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

22 слайд  http://e-science.ru/math/theory/?t=590
Описание слайда:

http://e-science.ru/math/theory/?t=590

Общая информация

Номер материала: ДВ-038489

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.