Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Предел последовательности и функции

Предел последовательности и функции


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

 Предел последовательности и функции
Содержание: Теоремы о пределах Определения Теоремы Примеры
Теоремы о пределах: Постоянное число а называется пределом последовательности...
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае...
Определение 1 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a,...
Определение 2 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, е...
          .     В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно...
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами
Если существуют пределы  Теорема 1                                           ...
Теорема 2 т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном...
Теорема 3                                                                    ...
Используются на практике и следствия формулы                                 ...
Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то...
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если и непрерывной сл...
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необхо...
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о...
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал...
Найти: 1) 2)  3) 
Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим пре...
2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопредел...
3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями....
 http://e-science.ru/math/theory/?t=590
1 из 22

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  Предел последовательности и функции
Описание слайда:

Предел последовательности и функции

№ слайда 2 Содержание: Теоремы о пределах Определения Теоремы Примеры
Описание слайда:

Содержание: Теоремы о пределах Определения Теоремы Примеры

№ слайда 3 Теоремы о пределах: Постоянное число а называется пределом последовательности
Описание слайда:

Теоремы о пределах: Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству  ê x n - a ê < e    Записывают это следующим образом: или x n ® a. Неравенство равносильно двойному неравенству: a- e < x n < a + e  которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

№ слайда 4 Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае
Описание слайда:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся. Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n= f(n) целочисленного аргумента n. Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

№ слайда 5 Определение 1 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a,
Описание слайда:

Определение 1 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А. Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

№ слайда 6 Определение 2 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, е
Описание слайда:

Определение 2 Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству  0 < ½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e . Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “. Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде                                                                                   .    

№ слайда 7           .     В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно
Описание слайда:

          .     В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде: Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

№ слайда 8 Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами
Описание слайда:

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами

№ слайда 9 Если существуют пределы  Теорема 1                                           
Описание слайда:

Если существуют пределы  Теорема 1                                                           Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

№ слайда 10 Теорема 2 т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном
Описание слайда:

Теорема 2 т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,                                                                                                                                   

№ слайда 11 Теорема 3                                                                    
Описание слайда:

Теорема 3                                                                                                                                                                                    где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы носят название первого и второго замечательного пределов.

№ слайда 12 Используются на практике и следствия формулы                                 
Описание слайда:

Используются на практике и следствия формулы                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      в частности,                                                                                                    

№ слайда 13 Eсли x ® a и при этом x &gt; a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то
Описание слайда:

Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x ® a и при этом x<a, то пишут x ® a-0. Числа    и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы  .   Функция f(x) называется  непрерывной в точке x 0, если

№ слайда 14 Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если и непрерывной сл
Описание слайда:

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если и непрерывной слева в точке x o, если Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

№ слайда 15 Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необхо
Описание слайда:

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел  , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o ). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв. 1. Если - существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок. 2. Если - равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.

№ слайда 16 Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о
Описание слайда:

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел  В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:                                     100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),                        100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),                        100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

№ слайда 17 При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал
Описание слайда:

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

№ слайда 18 Найти: 1) 2)  3) 
Описание слайда:

Найти: 1) 2)  3) 

№ слайда 19 Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим пре
Описание слайда:

Решение. 1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:  Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: 

№ слайда 20 2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопредел
Описание слайда:

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство: Так как  , то, по теореме о пределе частного, найдем

№ слайда 21 3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями.
Описание слайда:

3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

№ слайда 22  http://e-science.ru/math/theory/?t=590
Описание слайда:

http://e-science.ru/math/theory/?t=590


Автор
Дата добавления 07.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров275
Номер материала ДВ-038489
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх