Предел последовательности и функции

• 1 слайд

  
  
  Предел последовательности и функции
  
  

• 2 слайд

  Содержание:
  Теоремы о пределах
  Определения
  Теоремы
  Примеры
  
  
  
  

• 3 слайд

  Теоремы о пределах:
  Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
   ê x n - a ê < e 
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Записывают это следующим образом:
  или x n ® a.
  Неравенство равносильно двойному неравенству:
  a- e < x n < a + e 
  которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.
  

• 4 слайд

  Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
  Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n= f(n) целочисленного аргумента n.
  Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
  

• 5 слайд

  
  Определение 1
  
  
  
  Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А.
  Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.
  

• 6 слайд

  Определение 2
  Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x  a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 
  0 < ½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e .
  Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “.
  Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде
                                                                                    .    
  

• 7 слайд

            .    
  В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
  
  Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.
  Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.
  

• 8 слайд

  Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами
  

• 9 слайд

  Если существуют пределы 
  Теорема 1
                                                           
  Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
  

• 10 слайд

  Теорема 2
  т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, 
                                                             
                                                                       
  

• 11 слайд

  Теорема 3
                                                                                       
                                                                                              
  где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы носят название первого и второго замечательного пределов.
  

• 12 слайд

  Используются на практике и следствия формулы
                                                                                                       
                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                        
  в частности,
                                                                                                     
  

• 13 слайд

  Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x ® a и при этом x<a, то пишут x ® a-0. Числа    и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы  .  
  Функция f(x) называется 
  непрерывной в точке x 0,
  если
  

• 14 слайд

  Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если
  и непрерывной слева в точке x o, если
  Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
  

• 15 слайд

  Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел 
  
  
  
  
  , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o ). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
  1. Если
  - существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок.
  2. Если
  - равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.
  

• 16 слайд

  
  
  Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел 
  
  
  
  
  
  В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
                                      100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
                         100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
                         100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
  

• 17 слайд

  При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что
  

• 18 слайд

  Найти:
  1)
  2) 
  3) 
  

• 19 слайд

  Решение.
  1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: 
  Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: 
  

• 20 слайд

  2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:
  Так как  , то, по теореме о пределе частного, найдем
  

• 21 слайд

  3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:
  

• 22 слайд

  
  
  
  http://e-science.ru/math/theory/?t=590