Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пределы функций. Примеры решений.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Пределы функций. Примеры решений.

библиотека
материалов

Пределы функций. Примеры решений.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Итак, что же такое предел?

hello_html_m3d96483d.gif

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела hello_html_4bc2898a.gif
2) Записи под значком предела, в данном случае 
hello_html_5407b7cb.gif. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно hello_html_m3204bdc.gif, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (hello_html_m4ab959a0.gif).
3) Функции под знаком предела, в данном случае 
hello_html_11e8f14b.gif.

Сама запись hello_html_m3d96483d.gif читается так: «предел функции hello_html_11e8f14b.gif при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, 
динамическое. Построим последовательность: сначала hello_html_m60bc3a4c.gif, затем hello_html_164b48e2.gifhello_html_997ba00.gif, …, hello_html_2dd17771.gif, …. 
То есть выражение «икс 
стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

hello_html_m34f8778e.gif

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

hello_html_19a14f3.gif

Разбираемся, что такое hello_html_73c6a239.gif? Это тот случай, когда hello_html_m3204bdc.gif неограниченно возрастает, то есть: сначала hello_html_5bca523c.gif, потом hello_html_eb8a1d2.gif, потом hello_html_m2a635b90.gif, затем hello_html_18c674c4.gif и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией hello_html_m62e69a0a.gif
hello_html_m676b1835.gifhello_html_6fcda251.gifhello_html_7a4dd0b0.gif, …

Итак: если hello_html_73c6a239.gif, то функция hello_html_m62e69a0a.gif стремится к минус бесконечности:

hello_html_4ac8989.gif

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  hello_html_m1d2f7464.gif бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

hello_html_7dde7c07.gif

Опять начинаем увеличивать hello_html_m3204bdc.gif до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
hello_html_m591d9f53.gif

Вывод: при hello_html_73c6a239.gif функция hello_html_m66b44b2c.gif  неограниченно возрастает:
hello_html_4d9950a8.gif

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

hello_html_34f2afe4.gifhello_html_6d94ff31.gifhello_html_8ff9dd6.gifhello_html_m396b993d.gifhello_html_4c1549f4.gifhello_html_5428900.gifhello_html_6d53fe06.gifhello_html_m50db6ffa.gifhello_html_56bdb534.gifhello_html_5c20a395.gif
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если 
hello_html_73c6a239.gif, попробуйте построить последовательность  hello_html_5bca523c.gifhello_html_eb8a1d2.gifhello_html_m2a635b90.gif. Если hello_html_7e71f5ad.gif, то  hello_html_7adcbcac.gifhello_html_e85f2e9.gifhello_html_570392c1.gif.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: hello_html_297bd3ae.gif, то все равно hello_html_63f3f366.gifтак как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как hello_html_202efda1.gifhello_html_75d16c0e.gifhello_html_m19f7608f.gif и т.д.

Пределы с неопределенностью вида hello_html_66134dec.gif и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда hello_html_73c6a239.gif, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел hello_html_1f515df1.gif

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида hello_html_66134dec.gif. Можно было бы подумать, что hello_html_m5fc11a71.gif, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим hello_html_m3204bdc.gif в старшей степени:
hello_html_m1c4e9ac0.jpg
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим hello_html_m3204bdc.gif в старшей степени:
hello_html_m52318718.jpg
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность hello_html_66134dec.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_m3204bdc.gif в старшей степени.

hello_html_m4587b33b.gif
Разделим числитель и знаменатель на 
hello_html_78b77315.gif
hello_html_7c95f4ab.gif

Вот оно как, ответ hello_html_5ecc8c81.gif, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак hello_html_661c6b89.gif, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
hello_html_m1181f611.jpg
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел hello_html_36bea713.gif
Снова в числителе и знаменателе находим 
hello_html_m3204bdc.gif в старшей степени:
hello_html_56f875a0.jpg
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем 
наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности 
hello_html_fd03420.gif делим числитель и знаменатель на hello_html_49928b53.gif.
Полное оформление задания может выглядеть так:

hello_html_7e27599d.gif

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_49928b53.gif

hello_html_53b644c2.gif

Пример 3

Найти предел hello_html_m17856cba.gif
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (
hello_html_m3204bdc.gif можно записать как hello_html_m4f70f7fa.gif)
Для раскрытия неопределенности 
hello_html_fd03420.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_2538a703.gif. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

hello_html_m13be7dd2.gif

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_2538a703.gif

hello_html_621c9c2b.gif

Под записью hello_html_20426688.gif подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида hello_html_66134dec.gif у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида hello_html_m1cac6b76.gif и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел hello_html_m5d1d973.gif
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
hello_html_460b4f57.gif 
В данном случае получена так называемая неопределенность 
hello_html_m3e9b5e82.gif.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида hello_html_m3e9b5e82.gif, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Итак, решаем наш предел
hello_html_m22768707.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
hello_html_f6ac0b0.gif
Сначала находим дискриминант:
hello_html_34e9de62.gif
И квадратный корень из него: 
hello_html_642cf841.gif.

Далее находим корни: 
hello_html_m3a77b0d5.gif
hello_html_361a0ff5.gif

Таким образом:
hello_html_b2e2642.gif

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель hello_html_255b9b5.gif уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

hello_html_m1ff1f6a7.gif

Очевидно, что можно сократить на hello_html_m24999647.gif:

hello_html_m29a6bf3f.gif

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

hello_html_6368f1ec.gif

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

hello_html_m22768707.gif

Разложим числитель на множители.
hello_html_f6ac0b0.gif
hello_html_34e9de62.gif
hello_html_642cf841.gif
hello_html_m3a77b0d5.gif
hello_html_361a0ff5.gif
hello_html_728dde50.gif

hello_html_m1974bd1d.gif

Пример 5

Вычислить предел hello_html_m76e891d5.gif

Сначала «чистовой» вариант решения

hello_html_m49445ee6.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: hello_html_m505b72c0.gif
Знаменатель:
hello_html_m55ec18a4.gif
hello_html_m4a9b7b76.gif
hello_html_m78c22a35.gif
hello_html_m7eddc161.gifhello_html_4f97718.gif
hello_html_m3dd8e74.gif

hello_html_21715a39.gif

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно 
В ходе решения фрагмент типа hello_html_7eaa3cb0.gif встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
hello_html_m3a35cfeb.gif, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида hello_html_m3e9b5e82.gif

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел hello_html_674ee3c9.gif

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 hello_html_462a8912.gif

Получена неопределенность вида hello_html_m1cac6b76.gif, которую нужно устранять.
hello_html_6467b5d3.gif

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности hello_html_m1cac6b76.gif используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: hello_html_6d7b828d.gif
И смотрим на наш предел: 
hello_html_2b774112.gif
Что можно сказать? 
hello_html_581edba4.gif у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать hello_html_66539bb4.gif (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

hello_html_m71dee3b5.gif

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, hello_html_66539bb4.gif мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на hello_html_66539bb4.gif:

hello_html_2dfd2427.gif

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу hello_html_6d7b828d.gif:

hello_html_3361447e.gif

Неопределенность hello_html_m1cac6b76.gif не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

hello_html_m59ff0062.gif

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
hello_html_21b390d0.gif

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

hello_html_6467b5d3.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

hello_html_m8f2a114.gif

Пример 7

Найти предел hello_html_m7103579e.gif

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

hello_html_m480cb1da.gif

Разложим числитель на множители:
hello_html_199a2f58.gif
hello_html_m5edddaf6.gif
hello_html_m4d310ccc.gif
hello_html_m4774393b.gif
hello_html_m585c4044.gif
hello_html_mca27a0b.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

hello_html_3637e044.gif



Простейшие виды пределов:


hello_html_34f2afe4.gifhello_html_6d94ff31.gifhello_html_8ff9dd6.gifhello_html_m396b993d.gifhello_html_4c1549f4.gifhello_html_5428900.gifhello_html_6d53fe06.gifhello_html_m50db6ffa.gifhello_html_56bdb534.gifhello_html_5c20a395.gif, hello_html_202efda1.gifhello_html_75d16c0e.gifhello_html_m19f7608f.gif 

Правило 1: для того, чтобы раскрыть неопределенность hello_html_66134dec.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_m3204bdc.gif в старшей степени.

Пример 1. hello_html_m4587b33b.gif
Разделим числитель и знаменатель на 
hello_html_78b77315.gif
hello_html_7c95f4ab.gif

Пример 2. hello_html_7e27599d.gif

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_49928b53.gif

hello_html_53b644c2.gif

Пример 3. hello_html_m13be7dd2.gif

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_2538a703.gif

hello_html_621c9c2b.gif

Правило 2: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида hello_html_m3e9b5e82.gif, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Пример 1. hello_html_m22768707.gif

Разложим числитель на множители.
hello_html_f6ac0b0.gif
hello_html_34e9de62.gif
hello_html_642cf841.gif
hello_html_m3a77b0d5.gif
hello_html_361a0ff5.gif
hello_html_728dde50.gif

hello_html_m1974bd1d.gif

Пример 2.  hello_html_m76e891d5.gif

hello_html_m49445ee6.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: hello_html_m505b72c0.gif
Знаменатель:
hello_html_m55ec18a4.gif
hello_html_m4a9b7b76.gif
hello_html_m78c22a35.gif
hello_html_m7eddc161.gifhello_html_4f97718.gif
hello_html_m3dd8e74.gif

hello_html_21715a39.gif

Правило 3: когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности hello_html_m1cac6b76.gif используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.


Пример 3. hello_html_6467b5d3.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

hello_html_m8f2a114.gif



Общая информация

Номер материала: ДБ-103313

Похожие материалы