Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Пределы функции одной переменной

Пределы функции одной переменной

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Лекция 4.2

Тема 4 . Пределы и непрерывность функции одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.

План лекции:

  1. Числовая последовательность.

  2. Предел числовой последовательности.

  3. Предельный переход в неравенствах.

  4. Предел функции в точке.

  5. Односторонние пределы.

  6. Предел функции при hello_html_669b3d49.gif.

  7. Бесконечно большая функция.

  8. Бесконечно малые функции.

  9. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

  10. Основные теоремы о пределах.

  11. Признаки существования пределов.


  1. Числовая последовательность.

Под числовой последовательностью х1, х2,…,хп… понимается функция hello_html_78e2336f.gif заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается hello_html_m7b08d99c.gif Число х1 называется первым членом (элементом) последовательности,…, хпобщим или п-ым членом последовательности.

Чаще всего последовательность задаётся формулой её общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру п. Например, hello_html_3778dd1d.gifhello_html_7725a6c3.gif;

hello_html_m53b2c49f.gifhello_html_m2d4f8d4d.gif;

hello_html_3176fec6.gifhello_html_40de583a.gif;

hello_html_m6a1f203b.gifhello_html_32b9edda.gif.

Последовательность hello_html_m324ca81f.gif называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что hello_html_e8ed5ac.gifвыполняется неравенство hello_html_m2184122b.gif В противном случае последовательность называется неограниченной. В нашем примере последовательности hello_html_m2dd71af7.gif и hello_html_m6d7548ae.gif ограничены, а hello_html_m437eb311.gif и hello_html_m3c66dcf7.gif ‒ неограничены.

Последовательность hello_html_m324ca81f.gif называется возрастающей (неубывающей), если hello_html_e8ed5ac.gif выполняется неравенство hello_html_m5f87fcbf.gif. Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными. В нашем примере только hello_html_m3c66dcf7.gif не монотонная последовательность.

Если все элементы последовательности hello_html_m324ca81f.gif равны одному и тому же числу с, то её называют постоянной.

  1. Предел числовой последовательности.

Можно заметить, что все члены последовательности hello_html_m6d7548ae.gif неограниченно приближаются к числу 1.

Число а называется пределом последовательности hello_html_m324ca81f.gif, если для любого положительного числа hello_html_m16ba2c0c.gif найдётся такое натуральное число N, что при всех hello_html_18caf9a.gifвыполняется неравенство: hello_html_m566875e0.gif В этом случае пишут hello_html_m65a596c.gifили hello_html_m78906e30.gif. Говорят также, что последовательность hello_html_m324ca81f.gifсходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

hello_html_m4d284580.gifhello_html_25d660f3.gifhello_html_m7239a272.gif

Пример 1: Доказать, что hello_html_m5b3cd1be.gif.

Решение: По определению число 1 будет пределом последовательности hello_html_m6a1f203b.gif если для любого положительного числа hello_html_m16ba2c0c.gif найдётся такое натуральное число N, что при всех hello_html_18caf9a.gif выполняется неравенство: hello_html_3d0d4134.gif т.е. hello_html_19065520.gif. Оно справедливо для всех hello_html_m183be4f7.gifт.е. для всех hello_html_88ce6d6.gif. Если hello_html_5ea26412.gif то в качестве N можно взять hello_html_688006f.gif, где hello_html_5275e6d1.gifцелая часть числа hello_html_m6aa93329.gif (целая часть числа х, обозначаемая hello_html_m4def985b.gif, есть наибольшее целое число, не превосходящее х, так hello_html_524ac762.gif). Итак, hello_html_4949fa55.gif указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что hello_html_m5b3cd1be.gif.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности. Неравенство hello_html_m7e9f77bb.gif равносильно неравенствам hello_html_m5b202a57.gif или hello_html_m3a2298cc.gif, которые показывают, что элемент хп находится в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки а.

hello_html_2780fba0.gifhello_html_m1fa08215.gifhello_html_m39e6d0d.gifhello_html_m1c0d51b7.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifхп

О hello_html_2c7e1db7.gifа hello_html_7a6db144.gifх

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности hello_html_m324ca81f.gif, если для любой hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения хп, для которых hello_html_18caf9a.gif, попадут в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестность точки а.

Ясно, что чем меньше hello_html_m16ba2c0c.gif, тем больше число N, но в любом случае внутри hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Постоянная последовательность hello_html_m324ca81f.gif=с имеет предел, равный с.

  1. Предельный переход в неравенствах.

Рассмотрим последовательности hello_html_m324ca81f.gif,hello_html_41ec830c.gif и hello_html_36f7a411.gif.

Теорема 1: Если hello_html_m65a596c.gif, hello_html_m2e6dfee0.gif и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство hello_html_2911fcfd.gif, то hello_html_47d0119c.gif.

Допустим, что hello_html_m4e86c6b9.gif. Из равенств hello_html_m65a596c.gif и hello_html_m2e6dfee0.gif следует, что hello_html_4949fa55.gifhello_html_25d660f3.gifhello_html_2890d80b.gif и hello_html_m13f84c52.gif, т.е.

hello_html_m3a2298cc.gifи hello_html_13906046.gif.

Возьмём hello_html_m79fdfe50.gif. Тогда hello_html_m1bc36b72.gif, т.е. hello_html_53b95a94.gif

hello_html_5a09a956.gif, т.е. hello_html_m39e25ff.gif. Отсюда следует, что hello_html_m7290b2b6.gif. Это противоречит условию (hello_html_2911fcfd.gif). Следовательно hello_html_47d0119c.gif.

Теорема 2: Если hello_html_m65a596c.gif, hello_html_m2e6dfee0.gif и справедливо неравенство hello_html_m5555f58.gif(начиная с некоторого номера), то hello_html_m311c6c3b.gif.

  1. Предел функции в точке.

Пусть функция hello_html_538af56a.gif определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Определение 1 (на «языке» последовательностей, или по Гейне). Число А называется пределом функции hello_html_538af56a.gif в точке х0 (или при hello_html_669b3d49.gif), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, hello_html_5e180be9.gif( hello_html_m2bdcc492.gif), сходящейся к х0, (т.е. hello_html_m2e451463.gif), последовательность соответствующих значений функции hello_html_1ee7a819.gif сходится к числу А (т.е. hello_html_m744bf95.gif).

В этом случае пишут hello_html_m7df5e4a.gif или hello_html_798b8813.gif при hello_html_669b3d49.gif. Геометрически смысл предела функции означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке hello_html_371abd30.gif», или по Коши). Число А называется пределом функции hello_html_538af56a.gif в точке х0, если для любого положительного hello_html_m16ba2c0c.gif найдётся такое положительное число hello_html_m3df61de4.gif, что для всех hello_html_37729b10.gif, удовлетворяющих неравенству hello_html_m169e8804.gifвыполняется неравенство hello_html_m2b09f0be.gif. Или короче:

hello_html_353e846a.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_m169e8804.gif, hello_html_37729b10.gifhello_html_m7323a272.gifhello_html_m4abde745.gif

Геометрический смысл предела функции: hello_html_m7df5e4a.gif, если для любой hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки А найдётся такая hello_html_m3df61de4.gif-окрестность точки х0, что для всех hello_html_37729b10.gif из этой hello_html_m3df61de4.gif-окрестности соответствующие значения функции hello_html_538af56a.gif лежат в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки А.

Пример 2: Доказать, что hello_html_62af2b8c.gif

Решение: Возьмём произвольное hello_html_6eaa0603.gif, найдём hello_html_m5cdbda8b.gifтакое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_73eb0133.gif выполняется неравенство hello_html_535e003f.gif т.е. hello_html_6243989b.gif Взяв hello_html_m11907194.gif видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_md8ce761.gif выполняется неравенство hello_html_m5f5c5305.gif Следовательно hello_html_62af2b8c.gif

  1. Односторонние пределы.

В определении предела функции считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции.

Число А1 называется пределом функции hello_html_538af56a.gif в точке х0 слева, если

hello_html_m3c925e4e.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_m29d75eb0.gif.

Аналогично определяется предел функции справа:

hello_html_m6c634048.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_m50648433.gif.

Пределы функции справа и слева называются односторонними пределами. Очевидно, что если существует hello_html_m175600c1.gif, то существуют и оба односторонних предела. Справедливо и обратное: если существую оба односторонних предела и они равны, то существует

hello_html_m175600c1.gifhello_html_449d3f9a.gifhello_html_77ce9d3.gif.

Если же hello_html_66641db1.gif, то hello_html_m2fdf1ec1.gif не существует.

  1. Предел функции при hello_html_m2a116321.gif.

Пусть функция hello_html_m707df720.gif определена на промежутке hello_html_71b842a5.gif. Число А называется пределом функции hello_html_m707df720.gifпри hello_html_m2a116321.gif, если для любого положительного числа hello_html_m16ba2c0c.gif существует такое число М=М(hello_html_m16ba2c0c.gif)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m4a0c4871.gifвыполняется неравенство hello_html_7ea00253.gif.

hello_html_m4f8f1eb0.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_5226e7bc.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_1d421b72.gifhello_html_m4abde745.gif.

Гhello_html_331fe3b8.gifеометрически смысл этого определения таков: hello_html_m1430a095.gifhello_html_5226e7bc.gif, что при hello_html_m39484717.gif или hello_html_5a94264f.gif соответствующие значения функции попадают в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестность точки А.

hello_html_m29f4971c.gifу

hello_html_2a25aebd.gifhello_html_m33adde55.gifhello_html_m3df73ab2.gifhello_html_5a0e40ce.gifhello_html_5a0e40ce.gif

hello_html_m2f6d1f39.gif

hello_html_m4b10c689.gif

hello_html_23d21a9f.gif

М О М х


  1. Бесконечно большая функция (ББФ).

Функция hello_html_m707df720.gif называется бесконечно большой при hello_html_669b3d49.gif, если для любого числа hello_html_m1c42a724.gif, существует число hello_html_m659bc57f.gif, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m169e8804.gif, выполняется неравенство hello_html_m7300a53c.gif. Записывают hello_html_1d55a8e8.gif или hello_html_m6b185802.gif при hello_html_669b3d49.gif. Коротко:

hello_html_1d55a8e8.gifhello_html_58c0665c.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_m5e445973.gifhello_html_4df2d18c.gif.

Функция hello_html_m707df720.gif, заданная на всей числовой прямой называется бесконечно большой при hello_html_m21004bf9.gif если для любого числа hello_html_m1c42a724.gif найдётся такое число hello_html_73c703e1.gif, что при всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_1c381fdb.gif, выполняется неравенство hello_html_m7300a53c.gif. Коротко:

hello_html_m22722fa6.gifhello_html_58c0665c.gifhello_html_3eacee25.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_1c381fdb.gifhello_html_m5fd65c15.gif.

Очевидно, всякая ББФ в окрестности точки х0является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть ББФ (например, hello_html_1a9a2b42.gif).

Однако, если hello_html_m7df5e4a.gif, где А ‒ конечное число, то функция hello_html_m707df720.gif ограничена в окрестности точки х0.


  1. Бесконечно малые функции (БМФ).

Функция у=hello_html_m707df720.gif называется бесконечно малой при hello_html_669b3d49.gif, если

hello_html_m3576c65d.gif

По определению предела функции, это означает: hello_html_4949fa55.gifнайдётся число hello_html_m515b9d85.gifтакое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m169e8804.gif, выполняется неравенство hello_html_671ced99.gif.

Аналогично определяются бесконечно малые функции при hello_html_m4fc90344.gif: во всех этих случаях hello_html_4f2d4218.gif.

Примерами б.м.ф. служат функции hello_html_m6697d039.gif при hello_html_2d9f0e29.gif; hello_html_m190030da.gif при hello_html_75395aba.gif; hello_html_m50dc8679.gif при hello_html_70967945.gif

Теорема 3: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 4: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие 1: Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 4 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2: Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Следствие 3: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 5: Если функция hello_html_7bfd8f1d.gif‒ бесконечно малая hello_html_m68fe675c.gif, то функция hello_html_2896cb69.gif есть бесконечно большая функция и наоборот: если hello_html_m707df720.gif ‒ бесконечно большая, то hello_html_6b56d2ab.gif ‒ бесконечно малая.

  1. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 6: Если функция hello_html_m707df720.gif имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б.м.ф. hello_html_7bfd8f1d.gif,

т.е., если hello_html_m7df5e4a.gif, то hello_html_m707df720.gif=А+hello_html_7bfd8f1d.gif.

Теорема 7 (обратная): Если функцию hello_html_m707df720.gif можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. hello_html_7bfd8f1d.gif, то число А является пределом функции hello_html_m707df720.gif,

т.е., если hello_html_m707df720.gif=А+hello_html_7bfd8f1d.gif, то hello_html_m7df5e4a.gif.

  1. Основные теоремы о пределах.

Теорема 8: предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: hello_html_m9f65bae.gif

Теорема 9: Функция может иметь только один предел при hello_html_669b3d49.gif.

Теорема 10: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: hello_html_7a1857ac.gif

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

hello_html_325cfd57.gif.

Следствие 2: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: hello_html_5c963b70.gif. В частности hello_html_m3edb3b6d.gif.

Теорема 11: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если последний не равен нулю:

hello_html_2fd8b291.gif, hello_html_77405f93.gif.

Пример 3: Вычислить hello_html_265e5faf.gif.

Решение: hello_html_m319a5d90.gifhello_html_5d74a7f.gif.

Пример 4: Вычислить hello_html_64382e1a.gif.

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при hello_html_75395aba.gif, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида hello_html_c5f9b38.gif. Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на hello_html_m496b0be.gif( т.к. hello_html_75395aba.gif, но hello_html_5e2cab01.gif).

hello_html_3a0ed415.gif

Пример 5: Вычислить hello_html_m2e0bfdb5.gif.

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределённостью вида hello_html_m44c532bd.gif. Для нахождения предела дроби разделим числитель и знаменатель на х2:

hello_html_m851703d.gif.

Функция hello_html_3bcde5f7.gif есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому hello_html_m716c1894.gif. Аналогично, hello_html_m236ba362.gif.

  1. Признаки существования пределов.

Теорема 12 (о пределе промежуточной функции): Если функция hello_html_m707df720.gif заключена между двумя функциями hello_html_37c1738e.gif и hello_html_53cd9eb7.gif, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е., если

hello_html_65f81c1.gif, hello_html_7836acde.gif, hello_html_m354e6409.gif, то hello_html_m7df5e4a.gif.

Теорема 13 (о пределе монотонной функции): Если функция hello_html_m707df720.gif монотонна и ограничена при hello_html_4a10a682.gif или при hello_html_mee138d5.gif, то существует соответственно её левый предел hello_html_m2142a4e1.gif или её правый пределhello_html_m4f9ad48f.gif.

Теорема 14: Ограниченная монотонная последовательность хп, hello_html_5e180be9.gif, имеет предел.


9



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Материал предназначен для преподавания математики в средней школе, а также в учреждениях среднего специального образования.

Цель лекции: познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.

В лекции рассматриваются вопросы: числовая последовательность, предел числовой последовательности, предельный переход в неравенствах, предел функции в точке, односторонние пределы, предел функции, бесконечно большие и малые функции, связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией, основные теоремы о пределах.

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1250
Номер материала 462973
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх