Инфоурок / Математика / Конспекты / Пределы функции одной переменной
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Пределы функции одной переменной

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Лекция 4.2

Тема 4 . Пределы и непрерывность функции одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.

План лекции:

  1. Числовая последовательность.

  2. Предел числовой последовательности.

  3. Предельный переход в неравенствах.

  4. Предел функции в точке.

  5. Односторонние пределы.

  6. Предел функции при hello_html_669b3d49.gif.

  7. Бесконечно большая функция.

  8. Бесконечно малые функции.

  9. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

  10. Основные теоремы о пределах.

  11. Признаки существования пределов.


  1. Числовая последовательность.

Под числовой последовательностью х1, х2,…,хп… понимается функция hello_html_78e2336f.gif заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается hello_html_m7b08d99c.gif Число х1 называется первым членом (элементом) последовательности,…, хпобщим или п-ым членом последовательности.

Чаще всего последовательность задаётся формулой её общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру п. Например, hello_html_3778dd1d.gifhello_html_7725a6c3.gif;

hello_html_m53b2c49f.gifhello_html_m2d4f8d4d.gif;

hello_html_3176fec6.gifhello_html_40de583a.gif;

hello_html_m6a1f203b.gifhello_html_32b9edda.gif.

Последовательность hello_html_m324ca81f.gif называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что hello_html_e8ed5ac.gifвыполняется неравенство hello_html_m2184122b.gif В противном случае последовательность называется неограниченной. В нашем примере последовательности hello_html_m2dd71af7.gif и hello_html_m6d7548ae.gif ограничены, а hello_html_m437eb311.gif и hello_html_m3c66dcf7.gif ‒ неограничены.

Последовательность hello_html_m324ca81f.gif называется возрастающей (неубывающей), если hello_html_e8ed5ac.gif выполняется неравенство hello_html_m5f87fcbf.gif. Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными. В нашем примере только hello_html_m3c66dcf7.gif не монотонная последовательность.

Если все элементы последовательности hello_html_m324ca81f.gif равны одному и тому же числу с, то её называют постоянной.

  1. Предел числовой последовательности.

Можно заметить, что все члены последовательности hello_html_m6d7548ae.gif неограниченно приближаются к числу 1.

Число а называется пределом последовательности hello_html_m324ca81f.gif, если для любого положительного числа hello_html_m16ba2c0c.gif найдётся такое натуральное число N, что при всех hello_html_18caf9a.gifвыполняется неравенство: hello_html_m566875e0.gif В этом случае пишут hello_html_m65a596c.gifили hello_html_m78906e30.gif. Говорят также, что последовательность hello_html_m324ca81f.gifсходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

hello_html_m4d284580.gifhello_html_25d660f3.gifhello_html_m7239a272.gif

Пример 1: Доказать, что hello_html_m5b3cd1be.gif.

Решение: По определению число 1 будет пределом последовательности hello_html_m6a1f203b.gif если для любого положительного числа hello_html_m16ba2c0c.gif найдётся такое натуральное число N, что при всех hello_html_18caf9a.gif выполняется неравенство: hello_html_3d0d4134.gif т.е. hello_html_19065520.gif. Оно справедливо для всех hello_html_m183be4f7.gifт.е. для всех hello_html_88ce6d6.gif. Если hello_html_5ea26412.gif то в качестве N можно взять hello_html_688006f.gif, где hello_html_5275e6d1.gifцелая часть числа hello_html_m6aa93329.gif (целая часть числа х, обозначаемая hello_html_m4def985b.gif, есть наибольшее целое число, не превосходящее х, так hello_html_524ac762.gif). Итак, hello_html_4949fa55.gif указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что hello_html_m5b3cd1be.gif.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности. Неравенство hello_html_m7e9f77bb.gif равносильно неравенствам hello_html_m5b202a57.gif или hello_html_m3a2298cc.gif, которые показывают, что элемент хп находится в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки а.

hello_html_2780fba0.gifhello_html_m1fa08215.gifhello_html_m39e6d0d.gifhello_html_m1c0d51b7.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifhello_html_m2635b5b4.gifхп

О hello_html_2c7e1db7.gifа hello_html_7a6db144.gifх

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности hello_html_m324ca81f.gif, если для любой hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения хп, для которых hello_html_18caf9a.gif, попадут в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестность точки а.

Ясно, что чем меньше hello_html_m16ba2c0c.gif, тем больше число N, но в любом случае внутри hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Постоянная последовательность hello_html_m324ca81f.gif=с имеет предел, равный с.

  1. Предельный переход в неравенствах.

Рассмотрим последовательности hello_html_m324ca81f.gif,hello_html_41ec830c.gif и hello_html_36f7a411.gif.

Теорема 1: Если hello_html_m65a596c.gif, hello_html_m2e6dfee0.gif и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство hello_html_2911fcfd.gif, то hello_html_47d0119c.gif.

Допустим, что hello_html_m4e86c6b9.gif. Из равенств hello_html_m65a596c.gif и hello_html_m2e6dfee0.gif следует, что hello_html_4949fa55.gifhello_html_25d660f3.gifhello_html_2890d80b.gif и hello_html_m13f84c52.gif, т.е.

hello_html_m3a2298cc.gifи hello_html_13906046.gif.

Возьмём hello_html_m79fdfe50.gif. Тогда hello_html_m1bc36b72.gif, т.е. hello_html_53b95a94.gif

hello_html_5a09a956.gif, т.е. hello_html_m39e25ff.gif. Отсюда следует, что hello_html_m7290b2b6.gif. Это противоречит условию (hello_html_2911fcfd.gif). Следовательно hello_html_47d0119c.gif.

Теорема 2: Если hello_html_m65a596c.gif, hello_html_m2e6dfee0.gif и справедливо неравенство hello_html_m5555f58.gif(начиная с некоторого номера), то hello_html_m311c6c3b.gif.

  1. Предел функции в точке.

Пусть функция hello_html_538af56a.gif определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Определение 1 (на «языке» последовательностей, или по Гейне). Число А называется пределом функции hello_html_538af56a.gif в точке х0 (или при hello_html_669b3d49.gif), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, hello_html_5e180be9.gif( hello_html_m2bdcc492.gif), сходящейся к х0, (т.е. hello_html_m2e451463.gif), последовательность соответствующих значений функции hello_html_1ee7a819.gif сходится к числу А (т.е. hello_html_m744bf95.gif).

В этом случае пишут hello_html_m7df5e4a.gif или hello_html_798b8813.gif при hello_html_669b3d49.gif. Геометрически смысл предела функции означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке hello_html_371abd30.gif», или по Коши). Число А называется пределом функции hello_html_538af56a.gif в точке х0, если для любого положительного hello_html_m16ba2c0c.gif найдётся такое положительное число hello_html_m3df61de4.gif, что для всех hello_html_37729b10.gif, удовлетворяющих неравенству hello_html_m169e8804.gifвыполняется неравенство hello_html_m2b09f0be.gif. Или короче:

hello_html_353e846a.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_m169e8804.gif, hello_html_37729b10.gifhello_html_m7323a272.gifhello_html_m4abde745.gif

Геометрический смысл предела функции: hello_html_m7df5e4a.gif, если для любой hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки А найдётся такая hello_html_m3df61de4.gif-окрестность точки х0, что для всех hello_html_37729b10.gif из этой hello_html_m3df61de4.gif-окрестности соответствующие значения функции hello_html_538af56a.gif лежат в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестности точки А.

Пример 2: Доказать, что hello_html_62af2b8c.gif

Решение: Возьмём произвольное hello_html_6eaa0603.gif, найдём hello_html_m5cdbda8b.gifтакое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_73eb0133.gif выполняется неравенство hello_html_535e003f.gif т.е. hello_html_6243989b.gif Взяв hello_html_m11907194.gif видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_md8ce761.gif выполняется неравенство hello_html_m5f5c5305.gif Следовательно hello_html_62af2b8c.gif

  1. Односторонние пределы.

В определении предела функции считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции.

Число А1 называется пределом функции hello_html_538af56a.gif в точке х0 слева, если

hello_html_m3c925e4e.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_m29d75eb0.gif.

Аналогично определяется предел функции справа:

hello_html_m6c634048.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_m50648433.gif.

Пределы функции справа и слева называются односторонними пределами. Очевидно, что если существует hello_html_m175600c1.gif, то существуют и оба односторонних предела. Справедливо и обратное: если существую оба односторонних предела и они равны, то существует

hello_html_m175600c1.gifhello_html_449d3f9a.gifhello_html_77ce9d3.gif.

Если же hello_html_66641db1.gif, то hello_html_m2fdf1ec1.gif не существует.

  1. Предел функции при hello_html_m2a116321.gif.

Пусть функция hello_html_m707df720.gif определена на промежутке hello_html_71b842a5.gif. Число А называется пределом функции hello_html_m707df720.gifпри hello_html_m2a116321.gif, если для любого положительного числа hello_html_m16ba2c0c.gif существует такое число М=М(hello_html_m16ba2c0c.gif)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m4a0c4871.gifвыполняется неравенство hello_html_7ea00253.gif.

hello_html_m4f8f1eb0.gifhello_html_77fbbbd1.gifhello_html_5226e7bc.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_1d421b72.gifhello_html_m4abde745.gif.

Гhello_html_331fe3b8.gifеометрически смысл этого определения таков: hello_html_m1430a095.gifhello_html_5226e7bc.gif, что при hello_html_m39484717.gif или hello_html_5a94264f.gif соответствующие значения функции попадают в hello_html_m16ba2c0c.gif-окрестность точки А.

hello_html_m29f4971c.gifу

hello_html_2a25aebd.gifhello_html_m33adde55.gifhello_html_m3df73ab2.gifhello_html_5a0e40ce.gifhello_html_5a0e40ce.gif

hello_html_m2f6d1f39.gif

hello_html_m4b10c689.gif

hello_html_23d21a9f.gif

М О М х


  1. Бесконечно большая функция (ББФ).

Функция hello_html_m707df720.gif называется бесконечно большой при hello_html_669b3d49.gif, если для любого числа hello_html_m1c42a724.gif, существует число hello_html_m659bc57f.gif, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m169e8804.gif, выполняется неравенство hello_html_m7300a53c.gif. Записывают hello_html_1d55a8e8.gif или hello_html_m6b185802.gif при hello_html_669b3d49.gif. Коротко:

hello_html_1d55a8e8.gifhello_html_58c0665c.gifhello_html_4264d575.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_m5e445973.gifhello_html_4df2d18c.gif.

Функция hello_html_m707df720.gif, заданная на всей числовой прямой называется бесконечно большой при hello_html_m21004bf9.gif если для любого числа hello_html_m1c42a724.gif найдётся такое число hello_html_73c703e1.gif, что при всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_1c381fdb.gif, выполняется неравенство hello_html_m7300a53c.gif. Коротко:

hello_html_m22722fa6.gifhello_html_58c0665c.gifhello_html_3eacee25.gifhello_html_424e2cc.gifhello_html_1c381fdb.gifhello_html_m5fd65c15.gif.

Очевидно, всякая ББФ в окрестности точки х0является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть ББФ (например, hello_html_1a9a2b42.gif).

Однако, если hello_html_m7df5e4a.gif, где А ‒ конечное число, то функция hello_html_m707df720.gif ограничена в окрестности точки х0.


  1. Бесконечно малые функции (БМФ).

Функция у=hello_html_m707df720.gif называется бесконечно малой при hello_html_669b3d49.gif, если

hello_html_m3576c65d.gif

По определению предела функции, это означает: hello_html_4949fa55.gifнайдётся число hello_html_m515b9d85.gifтакое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m169e8804.gif, выполняется неравенство hello_html_671ced99.gif.

Аналогично определяются бесконечно малые функции при hello_html_m4fc90344.gif: во всех этих случаях hello_html_4f2d4218.gif.

Примерами б.м.ф. служат функции hello_html_m6697d039.gif при hello_html_2d9f0e29.gif; hello_html_m190030da.gif при hello_html_75395aba.gif; hello_html_m50dc8679.gif при hello_html_70967945.gif

Теорема 3: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 4: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие 1: Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 4 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2: Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Следствие 3: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 5: Если функция hello_html_7bfd8f1d.gif‒ бесконечно малая hello_html_m68fe675c.gif, то функция hello_html_2896cb69.gif есть бесконечно большая функция и наоборот: если hello_html_m707df720.gif ‒ бесконечно большая, то hello_html_6b56d2ab.gif ‒ бесконечно малая.

  1. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 6: Если функция hello_html_m707df720.gif имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б.м.ф. hello_html_7bfd8f1d.gif,

т.е., если hello_html_m7df5e4a.gif, то hello_html_m707df720.gif=А+hello_html_7bfd8f1d.gif.

Теорема 7 (обратная): Если функцию hello_html_m707df720.gif можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. hello_html_7bfd8f1d.gif, то число А является пределом функции hello_html_m707df720.gif,

т.е., если hello_html_m707df720.gif=А+hello_html_7bfd8f1d.gif, то hello_html_m7df5e4a.gif.

  1. Основные теоремы о пределах.

Теорема 8: предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: hello_html_m9f65bae.gif

Теорема 9: Функция может иметь только один предел при hello_html_669b3d49.gif.

Теорема 10: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: hello_html_7a1857ac.gif

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

hello_html_325cfd57.gif.

Следствие 2: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: hello_html_5c963b70.gif. В частности hello_html_m3edb3b6d.gif.

Теорема 11: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если последний не равен нулю:

hello_html_2fd8b291.gif, hello_html_77405f93.gif.

Пример 3: Вычислить hello_html_265e5faf.gif.

Решение: hello_html_m319a5d90.gifhello_html_5d74a7f.gif.

Пример 4: Вычислить hello_html_64382e1a.gif.

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при hello_html_75395aba.gif, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида hello_html_c5f9b38.gif. Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на hello_html_m496b0be.gif( т.к. hello_html_75395aba.gif, но hello_html_5e2cab01.gif).

hello_html_3a0ed415.gif

Пример 5: Вычислить hello_html_m2e0bfdb5.gif.

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределённостью вида hello_html_m44c532bd.gif. Для нахождения предела дроби разделим числитель и знаменатель на х2:

hello_html_m851703d.gif.

Функция hello_html_3bcde5f7.gif есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому hello_html_m716c1894.gif. Аналогично, hello_html_m236ba362.gif.

  1. Признаки существования пределов.

Теорема 12 (о пределе промежуточной функции): Если функция hello_html_m707df720.gif заключена между двумя функциями hello_html_37c1738e.gif и hello_html_53cd9eb7.gif, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е., если

hello_html_65f81c1.gif, hello_html_7836acde.gif, hello_html_m354e6409.gif, то hello_html_m7df5e4a.gif.

Теорема 13 (о пределе монотонной функции): Если функция hello_html_m707df720.gif монотонна и ограничена при hello_html_4a10a682.gif или при hello_html_mee138d5.gif, то существует соответственно её левый предел hello_html_m2142a4e1.gif или её правый пределhello_html_m4f9ad48f.gif.

Теорема 14: Ограниченная монотонная последовательность хп, hello_html_5e180be9.gif, имеет предел.


9



Краткое описание документа:

Материал предназначен для преподавания математики в средней школе, а также в учреждениях среднего специального образования.

Цель лекции: познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.

В лекции рассматриваются вопросы: числовая последовательность, предел числовой последовательности, предельный переход в неравенствах, предел функции в точке, односторонние пределы, предел функции, бесконечно большие и малые функции, связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией, основные теоремы о пределах.

Общая информация

Номер материала: 462973

Похожие материалы