Лекция 4.2

Тема 4 . Пределы и непрерывность функции одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.

План лекции:

1.       Числовая последовательность.

2.       Предел числовой последовательности.

3.       Предельный переход в неравенствах.

4.       Предел функции в точке.

5.       Односторонние пределы.

6.       Предел функции при .

7.       Бесконечно большая функция.

8.       Бесконечно малые функции.

9.       Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

10.   Основные теоремы о пределах.

11.   Признаки существования пределов.

1.     Числовая последовательность.

Под числовой последовательностью х₁, х₂,…,х_п… понимается функция  заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается  Число х₁ называется первым членом (элементом) последовательности,…, х_п ‒ общим или п-ым членом последовательности.

Чаще всего последовательность задаётся формулой её общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру п. Например,   ;

  ;

   ;

   .

Последовательность  называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что выполняется неравенство  В противном случае последовательность называется неограниченной. В нашем примере последовательности  и  ограничены, а  и  ‒ неограничены.

Последовательность  называется возрастающей (неубывающей), если  выполняется неравенство . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными. В нашем примере только  не монотонная последовательность.

Если все элементы последовательности  равны одному и тому же числу с, то её называют постоянной.

2.     Предел числовой последовательности.

Можно заметить, что все члены последовательности  неограниченно приближаются к числу 1.

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  найдётся такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство:  В этом случае пишут или . Говорят также, что последовательность  сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

Пример 1: Доказать, что .

Решение: По определению число 1 будет пределом последовательности  если для любого положительного числа  найдётся такое натуральное число N, что при всех  выполняется неравенство:  т.е. . Оно справедливо для всех т.е. для всех . Если  то в качестве N можно взять , где целая часть числа  (целая часть числа х, обозначаемая , есть наибольшее целое число, не превосходящее х, так ). Итак,  указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что .

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности. Неравенство  равносильно неравенствам  или , которые показывают, что элемент х_п находится в -окрестности точки а.

                                         х_п

             О                        а                                       х

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения х_п, для которых , попадут в -окрестность точки а.

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Постоянная последовательность =с имеет предел, равный с.

3.     Предельный переход в неравенствах.

Рассмотрим последовательности , и .

Теорема 1: Если ,  и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то .

r Допустим, что . Из равенств  и  следует, что  и , т.е.

   и    .

Возьмём . Тогда , т.е.

   , т.е. . Отсюда следует, что . Это противоречит условию (). Следовательно .

Теорема 2: Если ,  и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .

4.     Предел функции в точке.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Определение 1 (на «языке» последовательностей, или по Гейне). Число А называется пределом функции  в точке х₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_п, ( ), сходящейся к х₀, (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции  сходится к числу А (т.е. ).

В этом случае пишут  или  при . Геометрически смысл предела функции означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке », или по Коши). Число А называется пределом функции  в точке х₀, если для любого положительного  найдётся такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Или короче:

,

Геометрический смысл предела функции: , если для любой -окрестности точки А найдётся такая -окрестность точки х₀, что для всех  из этой -окрестности соответствующие значения функции  лежат в -окрестности точки А.

Пример 2: Доказать, что

Решение: Возьмём произвольное , найдём такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство  т.е.  Взяв  видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство  Следовательно

5.     Односторонние пределы.

В определении предела функции считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции.

Число А₁ называется пределом функции  в точке х₀ слева, если

.

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции справа и слева называются односторонними пределами. Очевидно, что если существует , то существуют и оба односторонних предела. Справедливо и обратное: если существую оба односторонних предела и они равны, то существует

.

Если же , то  не существует.

6.     Предел функции при .

Пусть функция  определена на промежутке . Число А называется пределом функции  при , если для любого положительного числа  существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

.

Геометрически смысл этого определения таков: , что при  или  соответствующие значения функции попадают в -окрестность точки А.

                                     у

                ‒М                           О                                     М                            х

7.     Бесконечно большая функция (ББФ).

Функция  называется бесконечно большой при , если для любого числа , существует число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают  или  при . Коротко:

.

Функция , заданная на всей числовой прямой называется бесконечно большой при  если для любого числа  найдётся такое число , что при всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

.

Очевидно, всякая ББФ в окрестности точки х₀ является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть ББФ (например, ).

Однако, если , где А ‒ конечное число, то функция  ограничена в окрестности точки х₀.

8.     Бесконечно малые функции (БМФ).

Функция у= называется бесконечно малой при , если

По определению предела функции, это означает: найдётся число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Аналогично определяются бесконечно малые функции при : во всех этих случаях .

Примерами б.м.ф. служат функции  при ;  при ;  при

Теорема 3: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 4: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие 1: Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 4 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2: Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Следствие 3: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 5: Если функция ‒ бесконечно малая , то функция  есть бесконечно большая функция и наоборот: если  ‒ бесконечно большая, то  ‒ бесконечно малая.

9.     Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 6: Если функция  имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б.м.ф. ,

т.е., если , то =А+.

Теорема 7 (обратная): Если функцию  можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. , то число А является пределом функции ,

т.е., если =А+, то .

10. Основные теоремы о пределах.

Теорема 8: предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:          

Теорема 9: Функция может иметь только один предел при .

Теорема 10: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:           

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:  . В частности .

Теорема 11: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если последний не равен нулю:

 ,  .

Пример 3: Вычислить .

Решение: .

Пример 4: Вычислить .

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при , равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на ( т.к. , но ).

Пример 5: Вычислить .

Решение: Здесь мы имеем дело  с неопределённостью вида . Для нахождения предела дроби разделим числитель и знаменатель на х²:

.

Функция  есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому . Аналогично, .

11. Признаки существования пределов.

Теорема 12 (о пределе промежуточной функции): Если функция  заключена между двумя функциями  и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е., если

, , , то .

Теорема 13 (о пределе монотонной функции): Если функция  монотонна и ограничена при  или при , то существует соответственно её левый предел  или её правый предел.

Теорема 14: Ограниченная монотонная последовательность х_п, , имеет предел.