Предмет:” Элементы высшей математики ”Т.З. Лекция № 8 Тема« Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования»

Предмет:”Математика для экономистов”                  Отделение                       , группа ___                                                                                             Семестр ___3___, курс__2____        Преподаватель  Пластун СВ                      Т.З. Лекция № 8                                                                                           (Ф.И.О.)                                      Тема«Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования»

1.     Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

2.     Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач

1.      Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:A.

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, … ,l_n уравнения:

         Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

         Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

         Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;        

в некотором базисе .

         Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

      или     

         Т.к. собственный вектор  ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к.  данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

         Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

         Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

         Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

         Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением  l.

         Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

         Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l₁ и l₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений.  (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

         Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l₁ = l₂ = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² -  8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7;  l₂ = 1;

         Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

         Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

         Полученные собственные векторы можно записать в виде:

         Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² -  4l + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = l₂ = 2;

         Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

         Собственный вектор можно записать: .

*********

         Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х₁, х₂, х₃ – компоненты этого вектора в некотором базисе  , то          ,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

         Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

, то

Характеристическое уравнение:  

         Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

         Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .   Составим характеристическое уравнение:

                             

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l² - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l²) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l² - 4l + 6l² - l³ + 10l - 40 = 0

-l³ + 7l² – 36 = 0

-l³ + 9l² - 2l² – 36 = 0

-l²(l + 2) + 9(l² – 4) = 0

(l + 2)(-l² + 9l - 18) = 0

Собственные значения:     l₁ = -2;  l₂ = 3;   l₃ = 6;

1) Для l₁ = -2:   

Если принять х₁ = 1, то Þ   х₂ = 0;    x₃ = -1;

Собственные векторы: 

2) Для l₂ = 3:   

Если принять х₁ = 1, то Þ   х₂ = -1;    x₃ = 1;

Собственные векторы: 

3) Для l₃ = 6:   

Если принять х₁ = 1, то Þ   х₂ = 2;    x₃ = 1;

Собственные векторы:  ,  где t – параметр.

         Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .     Составим характеристическое уравнение:

                                              

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l² - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l² - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l² + 9l - l³ + 3l² - 8l = 0

-l³ + l = 0

l₁ = 0;   l₂ = 1;    l₃ = -1;

         Для l₁ = 0: 

         Если принять х₃ = 1, получаем     х₁ = 0,  х₂ = -2

Собственные векторы        ×t,  где t – параметр.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

A = .

Решение. Вычислим определитель матрицы A - lE:

 = det= det

.

Итак, = (l - 2)² × (l+2)². Корни характеристического уравнения =0 - это числа l₁ = 2 и l₂ = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

               x₁ - x₂                        = 0,                x₁ - x₂                        = 0,

               x₁ - x₂                        = 0,       Þ          3x₂ -7x₃ - 3x₄ = 0,

             3x₁ -       7x₃ - 3x₄ = 0,                           5x₃ +  x₄ = 0.

             4x₁ - x₂ + 3x₃ -  x₄ = 0,

Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем: A - lE = A +2E = ~ ,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

                                                         x₁+3x₂            = 0,

                                                                x₂             = 0,

                                                                    x₃+x₄= 0.

Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.

2.

Пример. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип	Способ раскроя
заготовки	1	2	3
А	3	2	1
Б	1	6	2
В	4	1	5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма
3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

                                          x + 6y +2z = 300

                                          4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

~ ~ ~
~ ~ ~ .

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

                                          x + 6y +2z = 300,

                                                2y +9z = 570,

                                                    -67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем
x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Пример. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Изделие	Выход из единицы сырья
	I	II	III	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3

Решение. Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄ количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

                                  x₁ +   x₂ +   x₃ +  x₄ = 94,

                                2x₁ +   x₂ + 7x₃ + 4x₄ = 574,

                                6x₁ +12x₂ +2x₃ + 3x₄ = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

 ~ ~ .

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x₄ - свободное. Исходная система равносильна следующей:

                                x₁ + x₂ +   x₃ = 94 - x₄,

                                     - x₂ + 5x₃ = 386 - 2x₄,

                                             26x₃ = 2080- 9x₄.

Из последнего уравнения находим x₃ = 80 - 9/26 x₄, подставляя x₃ во второе уравнение, будем иметь: x₂ = 14 + 7/26x₄ и, наконец, из первого уравнения получим: x₁ = - 12/13 x₄. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x₁ и x₄ не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x₁ = - 12/13 x₄ получим: x₁ = x₄ = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.