Предметная неделя по математике "Задачи-сказки"

ЗАДАЧИ-СКАЗКИ

Задача 1

-  Ребята, сейчас я прочитаю вам небольшой отрывок из рус­ской народной сказки, а вы попробуйте отгадать, что это за сказка.

Стала Машенька думать, как ей от медведя убежать. Кругом лес, в какую сторону идти - не знает, спросить не у кого. Думала она, думала и придумала. Приходит раз медведь из лесу, а Ма­шенька говорит:

-  Медведь, медведь, отпусти меня на денек в деревню: я ба­бушке и дедушке гостинцев отнесу.

-  Нет, - говорит медведь, - ты в лесу заблудишься. Давай гос­тинцы, я их сам отнесу...

Конечно, вы догадались! Это отрывок из известной русской на­родной сказки «Машенька и медведь».

А теперь слушайте внимательно. Я вам расскажу другое про­должение сказки.

Маша напекла пирогов и сказала медведю, чтобы он короб не открывал до тех пор, пока не решит задачу, которую она сейчас ему задаст.

-  Тебе, Миша, надо узнать, сколько пирогов я положу в короб. Слушай внимательно! В коробе пирогов больше 15, но меньше 25. Если поделить эти пироги между мной и тобой поровну, то оста­нется 1 пирог. Если поделить все пироги между тобой, дедушкой и бабушкой, то останется 2 пирога. Если же поделить все пироги ме­жду мной, тобой, бабушкой и дедушкой, то останется 3 пирога.

-  А теперь выйди на крыльцо, посмотри, не идет ли дождик. Только медведь вышел на крыльцо, Машенька залезла в короб,

а на голову себе поставила блюдо с пирогами. Вернулся медведь, взвалил на себя короб и пошел в деревню. Идет медведь, а сам вслух рассуждает - задачу решает:

-  Если поделить все пироги поровну на двоих, то останется один пирог, значит, число пирогов есть число нечетное. Маша ска­зала, что если пироги поделить между мной, Машей, дедушкой и бабушкой, то есть на 4, то останется 3 пирога. Значит, число пиро­гов на 3 больше числа, делящегося на 4. Вот если пироги поделить на троих, то останется 2 пирога. Следовательно, число пирогов на 2 больше, чем число, делящееся на 3.

Маша решила, что сейчас медведь правильно назовет, сколько пирогов в коробе, откроет его и обнаружит ее. К радости девочки медведь решил, что пирогов в коробе 11. Он уже было хотел от­крыть короб, но вдруг вспомнил, что пирогов было больше 15 , но меньше 25.

-  Ничего, начну рассуждать сначала, - решил он, но не заметил, как уже подошел к деревне.

- Отпирайте дом, дедушка и бабушка. Я вам от Маши пироги принес.

Открыли старики короб, а там их внучка. То-то они были рады.

Медведь ушел в лес, долго огорчался, что не успел вовремя за­дачку решить. Дал слово, что решит ее. И решил.

Задание: попробуйте и вы, ребята, решить задачу, тогда уз­наете, сколько пирогов было в коробе.

Решение: по существу, поиск решения задачи уже приведен в рассуждениях медведя. Итак, в коробе было 23 пирога, так как при делении 23 : 3 в остатке получается число 2.

Задача 2

Жила-была девочка. Она очень любила ходить в лес за гриба­ми. Однажды пошла она в лес и только хотела подойти к речке, как увидела на берегу трех медведей. Она их сразу узнала. Это были Михайло Иванович, Настасья Петровна и маленький медвежонок Мишутка. На берегу стояли 3 сосуда. На одном из них было напи­сано 10 л, на другом 8 л, а еще на одном 3 л. Сосуд, на котором бы­ло написано 8 л, стоял в стороне и был пустой.

Девочка поняла, что родители-медведи хотели, чтобы их сын при помощи сосудов 10 л и 3 л налил 8 л воды. Сосуд вместимо­стью 8 л нужен был для того, чтобы проверить, правильно ли Ми­шутка сумеет решить задачу.

Медвежонок так и не сумел налить 8 л воды при помощи сосу­дов вместимостью 10 л и 3 л. Пришлось взрослым показать медве­жонку, как это сделать. Когда они перелили воду из 10-литрового сосуда в 8-литровый, то он оказался наполненным до краев. Как же медведям удалось решить задачу?

Решение: сколькими литрами воды из необходимых восьми мы располагаем? (Есть 2 литра воды.) Сколько же еще литров нам нужно? (Требуется еще 6 л воды.) Как мы можем налить 6 л, имея 3-литровый сосуд? (Нужно вылить 2 л воды из 3-литрового сосуда в 10-литровый, а затем при помощи того же 3-литрового сосуда два раза налить в 10-литровый по 3 л воды.)

Задача 3

-    Кто там? - спросил галчонок, услышав стук в дверь.

-    Это я, почтальон Печкин. Разнес почту, иду и рассуждаю: пы­таюсь решить одну задачу. Дай, думаю, зайду к вам, может быть, вместе решим.

-    Садись! - пригласил старого почтальона дядя Федор. - Рас­скажи нам свою задачу.

-    Однажды в воскресенье в 6 ч утра, - начал почтальон Печ­кин, - гусеница начала вползать на дерево. В течение дня до 19 ч она вползала на высоту 5 м, а в течение ночи опускалась на 2 м. Нужно узнать, в какой день недели она вползет на высоту 9 м.

-    Эту задачу я решать не буду, - сказал кот Матроскин. - От этой гусеницы только вред и никакой пользы.

-    От гусеницы действительно один вред, - согласился пес Ша­рик, - но ведь будет польза от того, что мы решим задачу, даже ес­ли она и про гусеницу.

-    И все равно я решать задачу не буду, - твердо сказал кот. - Я пойду заниматься хозяйством, а ты, Шарик, если не решишь зада­чу, то, как пойдешь на охоту, найди на дереве гусеницу и понаблю­дай за ней. Может быть, и узнаешь, когда она вползет на дерево высотой 9 м. Боюсь, что у тебя на это не хватит терпения.

-    Ничего, я эту задачу сейчас решу, - уверенно сказал пес. - Не обязательно смотреть, когда гусеница будет вползать на дерево. Гусеница за сутки вползет на 5 м без 2 м, то есть на 3 м. Следова­тельно, высоты 9 м она достигнет по истечению трех суток.

-    Значит, ты считаешь, - обратился к Шарику дядя Федор, - что гусеница будет на нужной высоте в среду утром?

Именно это я и хотел сказать, - подтвердил Шарик.

-    Нет, решение твое неверное.

-    Как же неверное, - обиделся Шарик. - За первые сутки гусе­ница вползет на 3 м, за вторые сутки еще на 3 м.

-    Я с тобой согласен, - подтвердил дядя Федор. - Но вот только дальше будь внимательнее, и ты увидишь, что гусеница достигнет высоты 9м... Когда же гусеница достигнет высоты 9 м?

(Р е ш е н и е: эту задачу лучше всего решить, применяя нагляд­ность. Начертим отрезок длиной 9 см. Выберем в качестве отсчета нижнюю точку отрезка. За время от 6 ч утра до 19 ч вечера гусени­ца поднимется на 5 м (положение А). В течение ночи, то есть до 6 ч утра в понедельник, гусеница опустится на 2 м, значит, она будет находиться в точке В. Рассуждая аналогично, мы получим, что к 6 ч утра во вторник гусеница будет находиться в точке Д. До вершины дерева ей теперь предстоит ползти 3 м. Учитывая, что за день она проползет 5 м, можно сделать вывод, что гусеница достигнет вер­шины дерева во вторник днем.)

 

Задача 4

-  Помните ли вы, ребята, как Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику и как потом медвежонок не мог вылезти из домика Кролика - так сильно он растолстел. Винни-Пух и Пятачок еще не раз приходили к своему приятелю в гости.

И вот однажды в очень веселом расположении духа Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику и, усевшись за стол, стали ждать угощения. Но Кролик почему-то не спешил подавать на стол.

-    Я вижу, вы очень проголодались? - обратился он к своим друзьям.

-    Да, - ответил Винни-Пух. - У нас сегодня с Пятачком аппетит не хуже, чем всегда.

-    Но у меня сегодня нет никаких запасов и я могу напоить вас только чаем.

-  Чай - это хорошо, - сказал Пятачок.

-    Но было бы совсем хорошо, - продолжал Винни-Пух, - если бы к чаю был пирог.

-    Пирог так пирог, - согласился Кролик. - Тогда вам придется сходить в лесной магазин к Сове и купить пирог. Пирог стоит все­го 8 коп. Я дам вам 50 коп только пятикопеечными монетами. У Совы, я знаю, есть только трехкопеечные монеты. Если вы сумеете сообразить, сколько пятикопеечных монет должны дать Сове и сколько трехкопеечных монет должна сдать вам Сова, то сегодня мы будем пить чай со сладким пирогом.

Ни Винни-Пух, ни Пятачок не были сильны в математике, но ради сладкого пирога с чаем стоило подумать. Сова, конечно, пти­ца ученая, но на нее рассчитывать не приходилось, так как несмот­ря на свое умение считать, она не могла лишить этого удовольст­вия других.

Говорят, что Винни-Пух и Пятачок справились с этой задачей. Самым интересным было то, что Винни-Пух, покупая пирог, пред­ложил сделать расчет двумя способами. Уж так ему хотелось по­пробовать пирог.

Ребята, а как вы думаете каким образом предложил Винни-Пух произвести расчет за пирог? Не забудьте только, что у Винни-Пуха и Пятачка было 50 коп и только пятикопеечными монетами, а сда­чи они могли получить только трехкопеечными монетами. Пирог же стоил 8 коп, но был очень вкусный. Так по крайней мере утвер­ждал Винни-Пух, а Пятачок был вполне с ним согласен.

Решение: постараемся наметить направление поиска реше­ния задачи. Легко сообразить, что если число 5 умножить на 1, 2, 3 ит. д., то мы будем получать числа, которые оканчиваются только цифрой 5 или 0.

Это значит, что Сова должна для сдачи использовать столько трехкопеечных монет, чтобы их общее количество давало число, оканчивающееся на 2 или 7. В первом десятке лишь число 4 при умножении на 3 дает в конце цифру 2 и лишь число 9 при умножс нии на 3 дает в конце цифру 7.

Есть, конечно, другие числа, которые входят во второй, третий и т. д. десятки, при умножении на 3 дающие в конце цифры 2 или 7. Это такие числа, как 14, 19, 24, 29...

Но Винни-Пух и Пятачок располагали лишь 50 к., а при умно­жении числа 19 на 3 уже получается число, большее 50. Значит, остаются три числа, а именно 4, 14 и 9, которые могут удовлетво­рять условию задачи.

Если Сова даст сдачи Винни-Пуху и Пятачку четырьмя монета­ми по 3 к. каждая, то это значит, что друзья должны дать Сове 20 к., или все равно что четыре монеты по 5 к. каждая.

Это можно записать следующим образом: 5• 4-3• 4 = 8 (к.) Если Сова даст сдачи 27 к. (9 монет по 3 к.), то друзья должны были дать ей 27 + 8 = 35 (к.) Сумму 35 к. пятикопеечными монета­ми можно составить, взяв 7 монет: 5• 7-3• 9 = 8 (к.)

Но 5 • 10-3 • 14 = 8, а значит, существует три решения задачи. Какое-то одно решение Винни-Пух и Пятачок не нашли. В данном случае это и не так уж важно, так как для покупки пирога доста­точно было и одного решения задачи.

Теперь после решения задачи мы можем сказать, что Кролик мог дать друзьям лишь четыре монеты по 5 к. каждая, но согласитесь, что в этом случае решение задачи было бы менее интересным.)  

Задача 5

- Посмотрите на мой рисунок и   

представьте, что нам надо перебраться                               

на остров, но его окружает глубокий                 

ров с водой, ширина которого 2 м. У   

нас есть две доски, но длина каждой из   

них тоже равна 2 м. Как нам перепра-   

виться на остров? Может, вы помните,   

в какой сказке героям пришлось ре-

шать подобную задачу?

Решение: доски надо положить на угол (см. чертеж). С. Ми­халков «Веселое сновидение, или Смех и слезы».