Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Представление проекта по математике на тему "Магический квадрат": аннотация, тезисы, презентация, текст работы (5 класс)

Представление проекта по математике на тему "Магический квадрат": аннотация, тезисы, презентация, текст работы (5 класс)

  • Математика

Название документа Черкашина Оксана 5Б_презентация квадрат магический.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

Магический квадрат Выполнила Черкашина Оксана Руководитель Москвина Ирина Але...
Китай , 2200 лет до н. э.
Дюрер, «Меланхолия I»
Дюрер, «Меланхолия I»
Квадрат третьего порядка   4       9   2   3       5   7   8       1   6    ...
Метод террас                             1                                 6...
Метод выделения квадратов a b c d e f g h i q r t x y w s s b c x e r q h i g...
Квадрат седьмого порядка               1                         8   2      ...
Квадрат шестого порядка 1   2 3 4 5 6 7   8 9 10 11 12 13   14 15 16 17 18 19...
 Спасибо за внимание!
1 из 10

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Магический квадрат Выполнила Черкашина Оксана Руководитель Москвина Ирина Але
Описание слайда:

Магический квадрат Выполнила Черкашина Оксана Руководитель Москвина Ирина Александровна

№ слайда 2 Китай , 2200 лет до н. э.
Описание слайда:

Китай , 2200 лет до н. э.

№ слайда 3 Дюрер, «Меланхолия I»
Описание слайда:

Дюрер, «Меланхолия I»

№ слайда 4 Дюрер, «Меланхолия I»
Описание слайда:

Дюрер, «Меланхолия I»

№ слайда 5 Квадрат третьего порядка   4       9   2   3       5   7   8       1   6    
Описание слайда:

Квадрат третьего порядка   4       9   2   3       5   7   8       1   6     a       b     c     d       e     f     g       h     i

№ слайда 6 Метод террас                             1                                 6
Описание слайда:

Метод террас                             1                                 6   2                             11   7   3                         16   12   8   4                     21   17   13   9   5                     22   18   14   10                         23   19   15                             24   20                                 25         11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15

№ слайда 7 Метод выделения квадратов a b c d e f g h i q r t x y w s s b c x e r q h i g
Описание слайда:

Метод выделения квадратов a b c d e f g h i q r t x y w s s b c x e r q h i g f t d y w a

№ слайда 8 Квадрат седьмого порядка               1                         8   2      
Описание слайда:

Квадрат седьмого порядка               1                         8   2                     15   9   3                 22 47 16 41 10 35 4             29 5 23 48 17 42 11 29 5         36   30 6 24 49 18 36 12   6   43     37 13 31 7 25 43 19 37 13   7     44   38 14 32 1 26 44 20   14         45 21 39 8 33 2 27 45 21           46 15 40 9 34 3 28                   47   41   35                     48   42                         49                                        

№ слайда 9 Квадрат шестого порядка 1   2 3 4 5 6 7   8 9 10 11 12 13   14 15 16 17 18 19
Описание слайда:

Квадрат шестого порядка 1   2 3 4 5 6 7   8 9 10 11 12 13   14 15 16 17 18 19   20 21 22 23 24 25   25 27 28 29 30 31   32 33 34 35 36 36   2 3 4 5 31 7   29 9 10 25 12 13   14 22 21 17 18 19   20 16 15 23 24 25   11 27 28 8 30 6   32 33 34 35 1

№ слайда 10  Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Название документа аннотация.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Черкашина Оксана Александровна

Россия, г. Липецк, муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 23, 5Б класс



Аннотация.


Актуальность: заполнение магических квадратов хорошо развивает навыки устного счета, память, логическое мышление. Но если делать это простым перебором чисел, то приходится затрачивать большое количество времени. Однако существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Объект исследования – магический квадрат.

Цель работы: изучить способы заполнения магических квадратов.

Задачи:

  1. Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов.

  2. Изучить известные способы заполнения магических квадратов.

  3. Опробовать найденные методы заполнения магических квадратов пятого, шестого и седьмого порядка.

Методы и приемы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Выводы:

1. Магический квадрат - древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

4. Для квадратов нечетного порядка существуют способы: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах), метод А.де ла Лубера (сиамский метод) и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

5. Для квадратов, четного порядка можно применять метод выделения квадратов.


Название документа тезисы.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Черкашина Оксана Александровна

Россия, г. Липецк, муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 23, 5Б класс


Тезисы

Проблема: заполнение магических квадратов занимают очень много времени, если делать это перебором чисел.

Гипотеза:  для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Апробация найденных методов

3. Оформление работы

Библиографический список:

  1. Глейзер Г.И. «История математики в школе 4-6 классы», Москва, Просвещение , 1981 год.

  2. Леман И. « Увлекательная математика», Москва, Знание, 1985 год.

  3. Спивак А.В. « Тысяча и одна задача по математике», Москва, Просвещение, 2002 год.


Название документа текст работы.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО ОБУЧАЮЩИХСЯ

МБОУ СОШ № 23 г.ЛИПЕЦКА











Магический квадрат



















Автор: Черкашина Оксана Александровна, 5Б класс



Научный руководитель: Москвина И.А.

Учитель математики

Оглавление.

Введение…………….……………………………..……………….…………….3

I. Теоретическая часть…………………….………………………..……….......3

1.1. История появления магических квадратов………………..........................3

1.2. Способы заполнения магических квадратов……………………………..5

II. Практическая часть………………..………………………………………….7

2.1. Заполнение магических квадратов изученными способами………………7

Выводы……………………………………………………..………………….....8

Список литературы…………..…...……..............................................................9

Приложения……………………………………………………………….……..10




























Введение

Однажды учитель математики предложил мне решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3 на 3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Перебирая различные варианты, я пришла к нужному.Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.


I. Теоретическая часть.

1.1. История появления магических квадратов.

Магический квадрат, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (около 2200 до нашей эры) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (приложение 1), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату размера 3 на 3.

В 11 веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 веке византийский писатель Э.Мосхопулос.

Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (приложение 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия I. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки (приложение 3).

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 веке Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты третьего, четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого и девятого порядков, которые были связаны с астрологией семи планет.

Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В девятнадцатом и двадцатом веках интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

На сегодняшний день квадрата размерностью два на два не существует, квадрат три на три только один, квадратов размерностью четыре на четыре около восьмиста, а квадратов пять на пять – около четверти миллиона.

Основная терминология

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.



1.2. Способы заполнения магических квадратов

Задачу, которая решалась методом перебора (заполнение магического квадрата третьего порядка) можно решить следующим способом:

Допустим, мы расставили девять чисел согласно требуемым условиям:заполнить квадрат 3 на 3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова (приложение 4).

Тогдадолжныбытьравнысуммы

a+b+c = d+e+f = g+h+i = a+d+g = b+e+h = c+f+i = a+e+i = c+e+g = S.

Число S называется константой магического квадрата. Чтобы найти её, надо сложить все числа разделить на размер квадрата

3S= a+b+c + d+e+f + g+h+i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

Отсюда S=15.

Найдём теперь центральный элемент, e. Для этого рассмотрим четыре суммы: центральные вертикаль и горизонталь и обе диагонали.

4S = a+e+i + b+e+h + c+e+g + d+e+f = 3S+3e.

Отсюдаe=S/3=5.

Остальные числа расставляем в соответствии с условиями задачи.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де лаЛубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (приложение 5). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат.

Метод террас(или метод достраивания до ромбовидной фигуры), применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.

 Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка (приложение).

      С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы.            В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).                               

   Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо.

    Методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. 

Так, в приложении 5 изображен  нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

Для заполнения квадратов четного порядка можно применить следующий метод:

В квадрат вписываются натуральные числа в порядке возрастания. Затем выделяются квадраты из чисел по углам и в центре (получается квадрат размерностью на два меньше). Необходимо поменять местами числа, стоящие на краю диагонали. С квадратом, получившимся внутри, при необходимости, можно применить тот же алгоритм.

Рассмотрим этот метод на примере квадрата четвертого порядка (приложение 6) .

Допустим, что мы заполнили квадрат четыре на четыре числами от 1 до 16 в порядке возрастания построчно. Выделяем диагональные числа :a, d, s, x, и квадрат в центре размером два на два, в который вошли числа : f,g,r,q.

Меняем местами числа, стоящие на концах диагоналей по парам :

a-s, x-d, f-r, g-q

Константа полученного квадрата равна 34.

Этот метод можно назвать методом выделение квадратов.

 

II. Практическая часть


2.1. Заполнение магических квадратов изученными способами

Заполним квадрат седьмого порядка методом террас (приложение 8)

  1. Начертим квадрат 7 на 7

  2. Достроим его до ромбовидной формы.

  3. Впишем в порядке возрастания по диагоналям получившейся фигуры натуральные числа от 1 до 49

  4. Перенесем каждое число, оказавшееся за пределом первоначального квадрата на 7 клеток.

  5. Получили квадрат, константа которого равна 175.

Заполним квадрат шестого порядка методом выделения квадратов (приложение 8).

  1. В квадрат шестого порядка впишем натуральные числа от 1 до 36 в порядке возрастания построчно сверху вниз.

  2. Выделим числа, стоящие по углам и квадрат в середине четвертого порядка.

  3. Выделим числа, стоящие по углам и квадрата четвертого порядка и в нем же квадрат в центре второго порядка.

  4. Поменяем местами числа, стоящие на концах диагоналей получившихся трех квадратов.

  5. Получили квадрат шестого порядка с константой 111.


 Выводы


1. Магический квадрат - древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

4. Для квадратов нечетного порядка существуют способы: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах), метод А.де ла Лубера (сиамский метод) и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

5. Для квадратов, четного порядка можно применять метод выделения квадратов.

 













Список литературы

  1. Глейзер Г.И. «История математики в школе 4-6 классы», Москва, Просвещение , 1981 год.

  2. Леман И. « Увлекательная математика», Москва, Знание, 1985 год.

  3. Спивак А.В. « Тысяча и одна задача по математике», Москва, Просвещение, 2002 год.

  4. Интернет ресурсы.














 

 

 

 

























Приложение 1





Рис. 1. ЛО-ШУ.







Картинка 7 из 703







Приложение 2











Картинка 17 из 703













Приложение 3



Картинка 2 из 703





Рис. 2. КВАДРАТ ДЮРЕРА.













Приложение 4







a






b





c





d






e





f





g






h





i







4






9



2



3






5



7



8






1



6















Приложение 5









Рис. 4. МЕТОД ДЕ ЛА ЛУБЕРА.



























Приложение 6







a

b

c

d

e

f

g

h

i

q

r

t

x

y

w

s









s

b

c

x

e

r

q

h

i

g

f

t

d

y

w

a























Приложение 7











1














8


2












15


9


3










22

47

16

41

10

35

4








29

5

23

48

17

42

11

29

5






36


30

6

24

49

18

36

12


6


43



37

13

31

7

25

43

19

37

13


7




44


38

14

32

1

26

44

20


14






45

21

39

8

33

2

27

45

21






46

15

40

9

34

3

28












47


41


35












48


42














49


































Приложение 8







1


2

3

4

5

6

7


8

9

10

11

12

13


14

15

16

17

18

19


20

21

22

23

24

25


25

27

28

29

30

31


32

33

34

35

36





36


2

3

4

5

31

7


29

9

10

25

12

13


14

22

21

17

18

19


20

16

15

23

24

25


11

27

28

8

30

6


32

33

34

35

1











Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

7

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

12

 

8

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

17

 

13

 

9

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

18

 

14

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

19

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 





11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

6

32

18

44

30

40

16

42

28

4

14

50

26

2

38

48

24

10

36

12

22

8

34

20

46



20


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 23.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1483
Номер материала ДВ-181477
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх