Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Преобразование графиков функций в курсе алгебры 7-9 классов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Преобразование графиков функций в курсе алгебры 7-9 классов

библиотека
материалов










«Преобразование графиков функций в курсе алгебры 7-9 классов.»





Выполнил:

слушатель группы М-8

Гусейнова Парвана Вахтан кызы

учитель математики

(МБОУ МПЛ в г. Димитровграде)


Оглавление

Введение.....................................................................................................3

Теоретическая часть..................................................................................4

Практическая часть..................................................................................23

Заключение................................................................................................40

Литература.................................................................................................47



Введение


Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Цели разработки - систематизация методов построения графиков функций выходящих за рамки знаний предусмотренных средней школой. Так же в этой работе хотелось бы отобразить методы и виды решения различных графиков функций. При этом главное внимание уделено именно методам построения графиков, а не изучению их видов функций.

Задачи:

систематизация старых знаний

наработка новых способов построения графиков функций

изучение новых графиков функций

Объект исследования - алгебра.

Предмет исследования - графики и их функции.

Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение у поступающих. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения.

В основном для этой разработки использовались математические справочники и специальная литература.


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

  1. История развития понятия функции

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5 тысяч лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.)

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в “флюентой”).

В “Геометрии” Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века).

Само слово “функция” (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа”. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: “функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных”. Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j (x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e ; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x) , f2(x). Эйлер обозначил через f : y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

Наряду с Эйлером предлагает использовать буквы F ,Y и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, j t, j(t+s).

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во “Введении в анализ бесконечного”): “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых”. “Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”.

Как видно из определенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807-1811 гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1721г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

  1. Определение функций

2.1 Основные понятия о функциях

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую - аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f(x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у. то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций обычно сводится к исследованию однозначных.

Переменная величина у есть функция аргумента х, т.е. y=f(x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f(x). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую - функцией.

2.2 Способы задания функций

Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть различными способами:

1) Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2, …, хk и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1, у2, …, уk задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2) Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х - рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х - иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким - либо способом установить, рационально или иррационально число х0.

3) Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4) Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Краткое рассмотрение различных способов задания функции показывает, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.

Наконец, еще раз подчеркнем следующее: из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.

3. Исследования функций и их графиков

3.1 Простейшие функции и их графики

Пропорциональные величины. Если переменные величины у и х (прямо) пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = kx, где k есть некоторая постоянная величина (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности есть прямая линия , проходящая через начало координат и образующая с осью абсцисс угол α, тангенс, которого равен постоянной k; tg α = k. Поэтому коэффициент пропорциональности k называется также угловым коэффициентом.

  • Линейная функция.

Линейной называется функция вида: y = kx + b, в аналитическое выражение, которой переменные х и у входят в первой степени. График линейной функции представляет прямую линию, располагающеюся относительно координатных осей различным образом, в зависимости от постоянных коэффициентов, k и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю. Для построения графика линейной функции можно воспользоваться геометрическим смыслом коэффициентов k и b или найти две точки прямой на плоскости, например, точки пересечения с осями координат.

Свойства функции y = kx+b:

D(f) = (-∞; +∞);

Возрастает, если k >0, убывает, если k<0;

Не ограничена ни сверху, ни снизу;

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

Функция непрерывна;

E(f) = (-∞; +∞);

  • Обратная пропорциональность.

Если переменные величины у и х обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y =k/x , где k есть некоторая постоянная величина. График обратной пропорциональности есть кривая линия, называемая гиперболой, состоящая из двух ветвей.

Свойства функции y =k/x :

D(f) = (-∞; 0) U (0; +∞);

Если k>0, то функция убывает на открытом луче(-∞; 0) и на открытом луче (0; +∞) ; если k<0, то функция возрастает на (-∞; 0) и на (0; +∞);

Не ограничена ни снизу, ни сверху;

Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;

Функция непрерывна на открытом луче(-∞; 0) и на открытом луче (0; +∞);

Е(f) = (-∞; 0) U (0; +∞);

Если k>0, то функция выпукла вверх при х<0, т.е. на отрытом луче (-∞; 0) , и выпукла вниз при х>0, т.е. на открытом луче (0; +∞). Если k<0, то функция выпукла вверх при х>0 и выпукла вниз при х<0;

Функция имеет асимптоты y = 0 и x = 0.

hello_html_544813b1.png

  • Квадратичная функция.

Функция y = ax2 + bx + с (a, b, с - постоянные величины; а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае y = ax2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции y = ax2, есть парабола. Каждая такая парабола имеет ось симметрии (OY), называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же формулу, что и график функции y = ax2 (при том же значении а), т.е. также есть парабола. Ось этой параболы по-прежнему вертикальна, но вершина лежит не в начале координат, а в точке

Свойства функции ax2 + bx + с:

  • Для случая, а>0

D(f) = (-∞; +∞);

Убывает на луче (-∞; x0 ], возрастает на луче [x0; +∞);

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

унаим. = y0, yнаиб. не существует;

Непрерывна;

Выпукла вниз.

  • Для случая, а<0

D(f) = (-∞; +∞);

Убывает на луче [x0; +∞), возрастает на луче (-∞; x0 ];

Не ограничена снизу, ограничена сверху;

унаим. не существует, yнаиб. = 0;

Непрерывна;

Выпукла вверх.

Свойства функции y = ax2:

  • Для случая, а>0

D(f) = (-∞; +∞);

Убывает на луче(-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞);

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

унаим. = 0, yнаиб. не существует;

Непрерывна;

E(f) =[0; +∞);

Выпукла вниз.

  • Для случая, а<0

D(f) = (-∞; +∞);

Убывает на луче [0; +∞)возрастает на луче (-∞; 0];

Не ограничена снизу, ограничена сверху;

yнаим. не существует, yнаиб. = 0;

Непрерывна;

E(f) = (-∞; 0]

Выпукла вверх.

  • Степенная функция.

Обычно степенными функциями называют функции вида y = xr, где r - любое действительное число. Так, если r - натуральное число (r = n), то получаем функцию y = xn.

График степенной функции y = xn в случае четного n (n = 4, 6,8, …) похож на параболу, а график степенной функции y = xn в случае нечетного n (n = 5, 7, 9, …) похож на кубическую параболу.

Если r = - n, то получаем функцию y =x-n , т.е. y = 1/xn .

Наконец, если r = 0, т.е. речь идет о функции y = x0, то в результате получается обыкновенная функция у = 1, где х ≠ 0.

Теперь рассмотрим функцию y = xr, где r - положительное или отрицательное дробное число. Рассмотрим в качестве примера функцию

y = x2,5. Область ее определения - луч [0; +∞). Построим на этом луче графики функций у = х2 (ветвь параболы) и у = х3 (ветвь кубической параболы). Стоит заметить, что на интервале (0;1) кубическая парабола располагается ниже, а на открытом луче (1; +∞) выше параболы. Нетрудно убедиться в том, что график функции у = х2,5 проходит через точки (0; 0) и (1;1), как и графики функций у = х2, у = х3. При остальных значениях аргумента х график функции у = х2,5 находится между графиками функций у = х2 и у = х3

hello_html_577e8274.jpg

Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида

у =хr, где r =m/n - неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель r, тем “круче” устремлена эта кривая вверх.

С


войства функции у =хm/n, где m/n>1

D(f) = [0; +∞);

не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на ; +∞);

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет наибольшего значения; у наим. = 0;

непрерывна;

E(f) = [0; +∞);

выпукла вниз.

Рассмотрим степенную функцию у =хm/n для случая, когда m/n - правильная дробь.

Свойства функции у =хm/n , где 0<m/n<1:

D(f) =[0 ; +∞);

не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на [0; +∞);

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет наибольшего значения; у наим. = 0;

непрерывна;

E(f) = [0; +∞);

выпукла вверх.

Рассмотрим функцию вида у =х-m/n . Область ее определения - открытый луч (0; +∞). Выше мы рассмотрели график степенной функции

y = x - n, где n - натуральное число. При x > 0 график функции y = x - n похож на ветвь гиперболы. Точно так же дело обстоит для любой степенной функции вида у =х-m/n. Отметим, что график данной функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 и вертикальную асимптоту x = 0.

Свойства функции у =х-m/n :

D(f) = (0; +∞);

не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на (0; +∞);

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения;

непрерывна;

E(f) = (0; +∞);

выпукла вниз.

Функция y=hello_html_7cc3aaa.gif

Графиком функции является ветвь параболы.

Свойства функции y=hello_html_7cc3aaa.gif :

D(f) = [0; +∞);

Возрастает;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

у наим. = 0, yнаиб. не существует;

Непрерывна;

E(f) = [0; +∞);

Выпукла вверх.

Функция y=hello_html_4895f749.gif

Графиком функции является объединение двух лучей: у = х, х ≥ 0 и

у = - х, х ≤ 0.

Свойства функции y=:

D(f) = (-∞; +∞);

Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞);

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

наим. = 0, yнаиб. Не существует;

Непрерывна;

E(f) = [0; +∞);

Выпукла вниз.

  • Степенная функция y = xα


а=1 а=2

hello_html_m11ad97c5.pnghello_html_8ecef5c.png


а=3 hello_html_4b96fcc9.png


а = 1/2 a= -1

hello_html_m2b05614f.pnghello_html_544813b1.png

a = -2

hello_html_5b2e6cd3.png

Исследование функции дает возможность найти область определения и область изменения функции, области ее убывания или возрастания, асимптоты, интервал знакопостоянства и др. Однако при рассмотрении графиков многих функций часто можно избежать проведения подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов посвящается эта глава, которая может служить практическим руководством при построении многих функций.

      1. Методы построения графиков функций

4.1 Параллельный перенос вдоль оси ординат

f(x) => f(x) - b

Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на b единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на b единиц больше - при b<0. Следовательно, график функции у = y(х) - b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции

у = f(х) на bединиц вниз при b>0 или вверх при b<0. Перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на bединиц вниз или вверх вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему противоположному переносу оси абсцисс настолько же единиц. Именно этим способом мы будем пользоваться. Тогда представив исходную функцию в виде у + b = f(х), сформулируем следующее правило.

Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на b единиц вверх при b>0 или наb единиц вниз при b<0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f(x) - b.

4.2 Параллельный перенос вдоль оси абсцисс

f(x) => f(x + a)

Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции

у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево наa единиц при a > 0 или вправо на a единиц при a < 0. Параллельное же перемещение вдоль оси абсцисс на a единиц эквивалентно переносу оси ординат на столько же единиц, но в противоположную сторону. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на a единиц вправо при a>0 или наa единиц влево при a < 0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f(x + a).

Пhello_html_648a934b.png
римеры:

hello_html_d94d21c.png


4.3 Отражение графика функции

f(x) => f(-x)

Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

Построение графика функции вида y = - f(x)

f(x) => - f(x)

Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

4.4 Построение графиков четной и нечетной функций

Как уже отмечалось, для четной функции y = f(x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f(x) = f(-x). Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величин, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика четной функции y = f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (х0). График функции y = f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.

Для нечетной функции y = f(x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f(-x) = - f(x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечетной функции y = f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (х0). График функции y = f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.

4.5 Построение графика обратной функции

Как уже отмечалось, прямая и обратная функции выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в обратной функции переменные поменялись ролями, что равносильно изменению обозначений осей координат. Поэтому графиком обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т.е. относительно прямой y = x. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = (x), обратной по отношению к функции y = f(x), следует построить график y = f(x) и отразить его относительно прямой y = x.

4.6 Растяжение(сжатие) графика функции

f(x) => k·f(x)

Рассмотрим функцию вида y = k·f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k<1. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = k·f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k < 1(произвести сжатие графика вдоль оси ординат). Полученный график является графиком функции y = k·f(x).

hello_html_m7e96bcdf.png


Растяжение(сжатие) графика вдоль оси абсцисс

f(x) => f(kx).

Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k<1) или растянутым (при k>1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.

Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y = f(kx).

hello_html_ea87199.png




ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. График разности(суммы)функции

y = f(x) ±g(x)

Метод построения графиков суммы и разности двух функций состоит в том, что сначала строят два графика обеих функций, а затем складывают или вычитают ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х. По полученным точкам строят искомый график.

Иногда удобнее вначале построить график одной, более простой функции, затем к нему пристраивают график второй функции, ординаты которого откладывают от соответствующих точек первого графика с соответствующим знаком.

Пример1:Построить график функции y=x+1/x.

Построим график функций слагаемых y = x и y =1/х. Затем складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х. Возьмем значения х = 1/2, 1,2,3,... Складывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений х, получаем точки A, B, C, D. Соединив точки плавной линией, получим одну ветвь графика функции (при х > 0). Так как функция нечетная и график её симметричен относительно начала координат, то строим вторую ветвь функции (пhello_html_7d1643e8.png
ри х < 0)

Пример2: Построим график функции y=x+5 и y=13/(x-3)в одной системе координат и сложим соответственные ординаты этих функций. В итоге получим график данной функции.


hello_html_5d41c713.png


2. Простейшие преобразования функций

2.1 Преобразования, не изменяющие масштаба.

а) преобразования симметрии, обусловленные свойствами графиков четных и нечетных функций

-график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси абсцисс.

-график функции у = f(-x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси ординат.

-график функции у = -f(-x) симметричен графику функции у = f(x) относительно начала координат.

hello_html_m1a3654f2.pnghello_html_mb6d94c8.png hello_html_54fb5a69.png


2.2 Параллельный перенос(сдвиг) вдоль оси абсцисс.

График функции у = f(x) получаем из графика функции у = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на |а| единиц масштаба в направлении, противоположном знаку числа а. Это делается так: строим известный график функции у = f(x). Далее график переносим вправо на а единиц вдоль оси Ох, если а < 0, и влево на |a|, если .

Например, для построения графика функции у = f(x+3) график функции нужно перенести влево на 3 единицы.

Пример: Построить график функции у = (х – 2)2. Строим график функции у = х2. Затем график переносим вправо на 2 единицы. Или ось ординат переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две единицы масштаба влево.

hello_html_346d907d.png

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат. График функции у = f(х) +b получаем из графика функции у = f(х) с помощью параллельного переноса графика вдоль оси Оу на b единиц вверх, если , и на |b| единиц вниз, если .

Например, для построения графика функции у = f(x)+1 график функции нужно поднять на одну единицу или опустить ось абсцисс графика на одну единицу.

Пример: Построить график функции у = х2 + 3. Строим график функции у = х2. Далее ось абсцисс опускаем вдоль оси ординат на три единицы или поднимаем график на 3 единицы вверх.

hello_html_mc101a45.png

2.3 Растяжение или сжатие по оси абсцисс

График функции у = f(kx) получаем из графика функции у = f(x) с помощью сжатия по оси абсцисс исходного графика в k раз, если k > 1, если 0 < k < 1, то график растягивается в 1/k раз. Если k < 0, то сначала строим график функции у = f(|k|x), а затем его симметрично отображаем относительно оси Оу.

Пример: Построить график функции у = sin2x. Строим график функции у = sinx, затем сжимаем график по оси абсцисс в два раза ( т.к. k = 2 > 1).

hello_html_632279b3.png


Примеры построения графиков функций с помощью сжатия или растяжения:

hello_html_m23797fce.png

hello_html_m4571d40d.png

hello_html_m74d41f14.png

hello_html_567c82d4.png

hello_html_m578379c3.png

hello_html_1693ff65.png

2.4 Растяжение или сжатие по оси ординат

График функции у = mf(x) получаем из графика функции

у = f(x) с помощью растяжения этого графика по оси ординат в m раз, если m > 1, а если 0 < m <1, то график сжимается в 1/m раз). Если m < 0, то сначала строим график функции у = |m|f(x), а затем его симметрично отображаем относительно оси Оx.

Пример: Построить график функции у = 1/3sinx. Строим график функции у = sinx, затем сжимаем график по оси ординат в три раза (т.к. m = 1/3 < 1), т.е. уменьшаем ординаты точек графика в три раза, абсциссы остаются без изменения.

hello_html_8c78e34.png




Построение графика функции

у = f(kx + a).

Для построения графика прежде всего нужно записать функцию в виде у = f(kx).

Затем построить график и сдвинуть его на по оси Ох.

Порядок действия важен! Сначала растяжение или сжатие, лишь потом сдвиг.

Пример: .

Строим график и сжимаем его в 2 раза по оси Ох, чтобы получить график .


hello_html_m3b39b0c9.png

Перенесем график параллельно оси Ох влево на .

hello_html_m28ce6a97.png


Пример: Построить график функции y=3hello_html_m3bd2e94f.gif-0,7

Строим сначала график функции у =hello_html_7cc3aaa.gif, затем построим график функции у =3hello_html_m394dd5e7.gif, для этого ординаты точек графика функции у =hello_html_m394dd5e7.gif увеличиваем в 3 раза, оставив неизменными их абсциссы. С помощью симметричного отображения относительно оси Оу строим график функции у = 3hello_html_m692d15b9.gif , затем выполняем параллельный перенос полученного графика на две единицы масштаба влево, т.е. вспомогательную ось ординат графика функции у = 3hello_html_m692d15b9.gif переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две единицы вправо. Наконец, выполняем параллельный перенос последнего графика на 0,7 единицы масштаба вдоль оси ординат вниз, т.е. вспомогательную ось графика поднимаем вдоль оси ординат на 0,7 единицы масштаба вверх.

hello_html_m5060e429.pnghello_html_7cecfa7a.png

hello_html_76106217.pnghello_html_f4659e0.png


Построение графика функции у=f(|x|)

Для построения этого графика нужно построить график функции у = f(x) для х ≥ 0, а затем отобразить построенную кривую симметрично относительно оси ординат. Построенная и отображенная части графика дадут в совокупности график функции у = f(|x|).

Пример:1) Построить график функции у = sin|x|.

Строим график функции у = sin x для х ≥ 0, а затем зеркально отображаем относительно оси Оу. Получаем график заданной функции.

hello_html_m35d1463a.png

2) Построить график функции у = 2|х|.

hello_html_m202f7e7f.png


Построение графика функции у = |f(x)|

Для построения графика функции у = |f(x)| надо построить график функции у = f(x), и части графика, расположенные ниже оси Ох, отобразить симметрично относительно этой оси. Все части графика, лежащие в верхней полуплоскости оставить без изменения.

Пример: 1) Построить график функции у = |x2-1|.

Строим график функции у = x2 – 1 на (-∞, +∞). На интервале (-1;1) функция у = x2 – 1 < 0, график расположен ниже оси абсцисс. Эту часть графика функции у = x2 – 1 симметрично отображаем относительно оси абсцисс, а остальную его часть оставляем без изменения.

hello_html_m407df32f.png

2) Построить график функции у =|hello_html_m5e14f900.gif|.

Строим график функции у =|hello_html_m5e14f900.gif|. На интервале (0;1) функция у=< 0, график её расположен ниже оси абсцисс. Эту часть графика симметрично отображаем относительно оси абсцисс, остальную часть оставляем без изменения.

hello_html_728eb482.png


Построение графика функции у = |f(|x|)|

Надо построить график функции у = f(|x|), далее оставить без изменения все части построенного графика, лежащие выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже её, отобразить симметрично относительно этой оси.

Пример:y=hello_html_m1be02cc6.gifhello_html_490592ae.png

1. Строим график y=hello_html_m5907817e.gif

2. Часть графика для отбрасываем, часть графика для оставляем без изменения и отображаем симметрично относительно прямой . Получаем график функции y=hello_html_m4acec6f.gif.


hello_html_m7520a50e.png


3. Переносим график параллельно вправо на 3 единицы.

hello_html_m7117a60c.png

Пример: Изобразить график функции y = |-x2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x2= |x|2. Значит, вместо исходной функции y = -x2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x|2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x|2 + 2|x| – 1

a) Строим график функции y = -x+ 2x – 1

hello_html_6e1ca25b.jpg


b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром.

hello_html_48748cbe.jpg


2) Выше оси точек нет, точки на оси оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром.

hello_html_m136c61c.jpg


Пример:Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3).

a)  Строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3).

hello_html_mc64bf30.png

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

Далее повторяем пункты b)-c) из предыдущего примера и получаем следующий график функции.picture10.bmp

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

  1. Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

picture11.bmp



Пример:y=x|x-2|

При схематическом построении графика обычно достаточно использовать следующее.

1) Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

2) Парабола пересекает ось Ох в точках и .

3) Ось симметрии параболы проходит посередине между корнями.

Подставив это значение х в уравнение параболы, получают значение ординаты ее вершины.

- ветви направлены вниз, ось Ох пересекается в точках и , вершина имеет координаты (1; 1). Оставляем часть параболы, соответствующую .


hello_html_m3630f728.png


- ветви направлены вверх, ось Ох пересекается в точках и , вершина имеет координаты (1; -1).


hello_html_m5e9150c6.png


Объединяя графики, получим


hello_html_mbd553e0.png



Пример: y=hello_html_2e3ba0b0.gif-|5x+6|

- ветви направлены вверх, ось Ох пересекается в точках x=-6/5 и x=6 . Вершина имеет координаты (2,5;-12,25). Оставляем часть графика для x>-1,2


hello_html_m44044c69.png


- ветви направлены вверх, ось Ох пересекается в точках x=-3 и x=-2. Вершина имеет координаты (-2,5;-0,25). Оставляем часть графика для x<-1,2.


hello_html_1c339584.png


Объединяя графики, получим:


hello_html_m58ed28d4.png


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность. Привитие ученикам навыков самостоятельной работы, умения ориентироваться в поступающей информации, умения самостоятельно пополнять свои знания — это сложный и длительный процесс, требующий специально организованной и целенаправленной работы учителя, в которой, так же как и в любой другой работе выделяются определенные этапы.

Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которыми должен прочно овладеть каждый ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально.

Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.

При выделении обязательных задач по теме «Функции», следует ориентироваться на то, что обучение в VIIIX классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника: на базе полученной им математической подготовки строится его дальнейшее обучение. Поэтому для определения реально необходимого уровня сформированности умений по каждому вопросу, в первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования этих умений на следующих ступенях обучения. Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.

Применительно к функциональному материалу естественным представляется проанализировать характер его применения в курсе алгебры и начал анализа, геометрии, а также школьного курса физики. Анализ теоретического и задачного материала этих курсов позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно следить при изучении всех видов конкретных функций,— умения работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.

К умениям работать с формулами относятся "следующие.

Если функции вида y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, у=х3, y=x заданы формулами с конкретными значениями параметров, то учащиеся должны уметь:

указать область определения функции;

— вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;

—вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;

— определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции,

Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождении наибольшего и наименьшего значений функции, вычислении пределов функций, интегралов и др. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении и т.. д. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции (а также графику уравнения), требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнений прямой, окружности, плоскости.

Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся - имеет формирование графических умений. График — это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе.

График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий — возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятия экстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл. Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций:

y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, (при конкретных значениях параметров), у=х3, y=x

Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функций. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:

— по заданному значению одной из переменных х или у определить значение другой;

— определять промежутки возрастания и убывания функции;

— определять промежутки знакопостоянства;

— для квадратичной функции указывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, а также определять это значение.

Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: у=х, у=—х, у=х2, и уметь без специального построения по точкам показать их расположение в координатной плоскости.

И наконец, учащиеся должны применять графики изученных перечисленных выше функций для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств вида f(x)0.

Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков функций, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений. Но было бы большой ошибкой, если бы эта работа ограничивалась только тренировкой. Обоснованность действий, сознательность при их выполнении, внимание к формированию умений обще учебного характера — непременное условие прочности в овладении умениями. Рассмотрим это на примере отработки умения строить графики функций.


В контрольной работе по алгебре за курс VIIкласса за 2013 – 2014 учебный год учащимся было предложено построить график функции, заданной формулой у=2х—1. Многие учащиеся справились с заданием. Однако среди ошибок были такие, которые свидетельствовали о несформированности не только умения строить график линейной функции, но и строить график вообще. В некоторых работах на рисунке вместо прямой можно было видеть некое подобие параболы или гиперболы. Иногда это была и прямая, но проходящая через другие координатные углы. Ученики, таким образом выполнившие задание, усвоили только одно: для того чтобы построить график функции, надо находить координаты точек, принадлежащих графику. Допущенные в вычислениях ошибки не позволили им верно выполнить задание, однако проконтролировать себя в ходе его решения они не смогли. Это свидетельствуемо том, что в ходе обучения построению графиков функций акцент делался на механическое повторение способов построения графиков отдельных функций и недооценивалось значение теоретических знаний.


При обучении учащихся построению графиков функций в IХ классе, в 2014-2015 у году я ориентировалась не на формальное повторение школьниками отдельных приемов построения графиков, а на сознательное усвоение материала. Уделяя серьезное внимание усвоению соответствующих понятий, изучению свойств функций и формированию на этой основе способов построения графиков. И при выполнении промежуточной контрольной работе по алгебре в курсе IХ класса ученики уже не допускали таких ошибок, так как при изучении всех видов функций построение графика проводилось по одному и тому же общему плану, добиваясь от учащихся его непременного соблюдения:

  1. по формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т. д.)

  2. вспомнить, что является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т. д.)

  3. выяснить, исходя из формулы, некоторые характерные особенности этого графика (так как k>0, то угол наклона прямой к оси х острый; так как а<0, то ветви параболы направлены вниз;

  4. приступать к построению графика по точкам, используя для каждого вида функции свой специфический способ.


При выполнении упражнения всем классом, сопровождающемся построением графика на доске, непременно требовалось от отвечающего ученика вслух комментировать ход решения, выделяя каждый из этих этапов, не пропуская ни один из них. Такая планомерная работа привела к тому, что соблюдение этого плана стало привычным для ученика, и каждый ученик самостоятельно обращается к нему при построении любого графика.


Обучаясь построению графиков конкретных функций, ученик обучается составлению определенного плана действий. Приступая к решению поставленной перед ним задачи, ученик не берется за ее выполнение «в лоб», а предварительно намечает исходную идею решения. Иными словами, у него появляется основа для ориентировочных действий. А это, в свою очередь, способствует приобретению навыков самоконтроля. Причем подход к самоконтролю здесь не формальный, в отличие от широко распространенного в практике, когда ученикам, уже выполнившим задание, предлагают:

«Проверьте свое решение». В такой ситуации ученик, как правило, не знает, что ему при этом надо делать и в лучшем случае просто прочитывает свое решение еще раз. Однако ему трудно увидеть ошибки и немудрено, что ошибочное решение часто остается неисправленным. Анализ же условия и обдуманная наметка пути решения на первоначальном этапе более эффективны в плане самоконтроля, так как ученик получает возможность контролировать свои действия на каждом этапе выполнения задания. Так, например, установив, что графиком функции является прямая, ученик уже не станет изображать на рисунке параболу. Зная, что угол наклона прямой к оси х должен быть острым, он насторожится, если у него на рисунке получится тупой угол, и это может заставить его пересмотреть некоторые моменты своего решения. Базу для такого самоконтроля создает твердое знание основного теоретического материала, знание свойств функций.

Для прочного усвоения свойств изучаемых функций необходимо включать специальные упражнения, заставляющие учащихся актуализировать имеющиеся у них знания о функциях, выполнять некоторый перебор знаний с целью выбора нужных в данной ситуации. С этой точки зрения эффективны упражнения на соотнесение графика функции с формулой, задающей эту функцию. Например, после изучения свойств линейной функции можно предложить учащимся задание такого типа: «На рисунке изображены графики линейных функций и приведены формулы, задающие эти функции:

y=-0,5x+1; у=3; у=2х+2; y=3x. Установите, какая формула соответствует каждому из представленных графиков». Эти упражнения легко варьировать, увеличивая, например, число приводимых формул, после изучения новых видов функций, включая графики различных функций. Например, предложить учащимся соотнести каждый из графиков, изображенных на рисунке, с формулами:

y=2х—1; у=2х; у=х2; y=3/x; y3.

Подобные задания можно выполнять устно при фронтальной работе с классом и письменно в виде самостоятельной работы. В первом случае следует непременно требовать от учащихся обоснования своего выбора. Не отнимая много времени на уроке, эти упражнения приносят существенный эффект и помогают добиться прочных умений в построении графиков функций.


Список литературы

Виленкин Н.Я., "Функции в природе и технике", М., 1978;

Сивашинский И.Х., "Элементарные функции графики", М., 1965;

Дронов А.М., "Графики функций", М., 1972;

Валуцэ И.И., "Математика для техникумов", М., 1989;

Столин А.В., "Комплексные упражнения по математике", Харьков, 1995;

Кушнир И., "Шедевры школьной математики", Киев, 1995;

Макарычев Ю.Н., "Алгебра 9 класс", М., 2008;

Мордкович А.Г., "Алгебра и начала анализа 10-11 классы", М., 2007.

«Математика в школе» №6 – 1996г. 21с.

«Математика в школе» №5 – 1999г. 2с.



47

Автор
Дата добавления 25.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров702
Номер материала ДВ-375899
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх