339742
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрезенация по математике "Делимость"

Презенация по математике "Делимость"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Делимость Мирошниченко Н.Е. МАОУ ШИЛИ Г. Калининград
Делимость
Свойства делимости
Делимость суммы и произведения
Сравнение по модулю Везде далее a, b ∈ Z, m ∈ N. Числа a и b называются сравн...
Теорема 1 Пусть a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Тогда a + c ≡ b + d (mod m) ; a...
Следствие 1 Пусть a ≡ b (mod m). Тогда a ² ≡ b ² (mod m) ; a ³ ≡ b ³ (mod m)...
Задача. Доказать, что для любого натурального n: а) б) в) Решение: а) б) в)
Задача Доказать, что − делится на 27. Число 10 бессмысленно сравнивать по мод...
Задача . Найти остаток от деления на 19 Заметим, что Ответ: 11.
Теорема 2 (Малая теорема Ферма) Пусть p — простое число, тогда для любого нат...
2) a не делится на p; Рассмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*). Покажем, ч...
Задача. Докажите, что делится на 143 Решение. Докажем, что и По теореме Ферма...
Задача. Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  n8 +...
Задача.Докажите, что при любом целомa:a5-aделится на 30.   Решение. С одной с...
Задача. Докажите, что для любого целого числа a число a561- a делится на 561....
Задача. Написано 1992‐значное число. Каждое двузначное Число, образованное со...
Рассуждая аналогично, получим ряд из девяти последних цифр числа: 692346851....
Задача. Можно ли расставить числа  а) от 1 до 7; б) от 1 до 9 по кругу так, ч...
Задача. Даны натуральные числа а,b и с такие, что a > b > c . Среднее арифмет...
а) По условию                 где k   – натуральное. Значит, a + b + c = 39k....
в) Пусть с = p²,b = q²,a = r² .Тогда 2q² = r² + p² . Из предыдущего пункта q ...
В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне — п...
Ясно, что все скобки в левой части больше единицы, а все множители в правой ч...
Задача. Можно ли привести пример пяти целых чисел, произведение которых равно...
Задача. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно...
Решение. 1. Каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходно...
Покажем, что за 7 минут число 112 из 1 получить невозможно. . 1 1,2 1,2,4 1,2...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Делимость Мирошниченко Н.Е. МАОУ ШИЛИ Г. Калининград
Описание слайда:

Делимость Мирошниченко Н.Е. МАОУ ШИЛИ Г. Калининград

2 слайд Делимость
Описание слайда:

Делимость

3 слайд Свойства делимости
Описание слайда:

Свойства делимости

4 слайд
Описание слайда:

5 слайд Делимость суммы и произведения
Описание слайда:

Делимость суммы и произведения

6 слайд
Описание слайда:

7 слайд
Описание слайда:

8 слайд Сравнение по модулю Везде далее a, b ∈ Z, m ∈ N. Числа a и b называются сравн
Описание слайда:

Сравнение по модулю Везде далее a, b ∈ Z, m ∈ N. Числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если (a−b) делится на m. Иными словами, a сравнимо с b по модулю m, если числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Обозначение a ≡ b (mod m). Примеры: 13 ≡ 37 (mod 6) ; −12 ≡ 3 (mod 5) ; 13 ≡ 5 (mod 4).

9 слайд Теорема 1 Пусть a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Тогда a + c ≡ b + d (mod m) ; a
Описание слайда:

Теорема 1 Пусть a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Тогда a + c ≡ b + d (mod m) ; a − c ≡ b − d (mod m) ; ac ≡ bd (mod m). Доказательство: Пусть a − b = pm, c − d = qm, где p, q ∈ Z. Тогда (a + c) − (b + d) = a + c − b − d = (a − b) + (c − d) = pm + qm = m (p + q) . Это выражение делится на m. (a − c) − (b − d) = a − c − b + d = (a − b) − (c − d) = pm − qm = m (p − q) делится на m; ac − bd = ac − bc + bc − bd = c (a − b) + b (c − d) = cpm + bqm = m (cp + bq) делится на m. Значит a + c ≡ b + d (mod m) ; a − c ≡ b − d (mod m) ; ac ≡ bd (mod m).

10 слайд Следствие 1 Пусть a ≡ b (mod m). Тогда a ² ≡ b ² (mod m) ; a ³ ≡ b ³ (mod m)
Описание слайда:

Следствие 1 Пусть a ≡ b (mod m). Тогда a ² ≡ b ² (mod m) ; a ³ ≡ b ³ (mod m) ; · · · ≡ (mod m), n ∈ N. Иначе говоря, обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень. Примеры: 16 ≡ 9 (mod 7) ⇒ 256 ≡ 81 (mod 7) ; 5 ≡ 2 (mod 3) ⇒ 125 ≡ 8 (mod 3) ; 10 ≡ 3 (mod 7) ⇒ 10000 ≡ 81 (mod 7).

11 слайд Задача. Доказать, что для любого натурального n: а) б) в) Решение: а) б) в)
Описание слайда:

Задача. Доказать, что для любого натурального n: а) б) в) Решение: а) б) в)

12 слайд Задача Доказать, что − делится на 27. Число 10 бессмысленно сравнивать по мод
Описание слайда:

Задача Доказать, что − делится на 27. Число 10 бессмысленно сравнивать по модулю 27, поэтому представим Заметим, что 100 ≡ 19 ≡ −8 (mod 27), откуда получаем

13 слайд Задача . Найти остаток от деления на 19 Заметим, что Ответ: 11.
Описание слайда:

Задача . Найти остаток от деления на 19 Заметим, что Ответ: 11.

14 слайд Теорема 2 (Малая теорема Ферма) Пусть p — простое число, тогда для любого нат
Описание слайда:

Теорема 2 (Малая теорема Ферма) Пусть p — простое число, тогда для любого натурального а или Доказательство. Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p. 1) a делится на p; Тогда используя сравнения запишем: a ≡ 0 (mod p); ap ≡ 0 (mod p); Или ap ≡ a (mod p) В этом случае теорема доказана. .

15 слайд 2) a не делится на p; Рассмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*). Покажем, ч
Описание слайда:

2) a не делится на p; Рассмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*). Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Очевидно, остаток также не может быть 0. Докажем от обратного. Пусть какие-то два числа ka, na имеют одинаковые остатки при делении на p (пусть k > n). Тогда разность ka - na делится на p. Значит (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа (*) могут давать одинаковые остатки при делении на p ошибочно. Запишем это: a ≡ r1 (mod p); 2a ≡ r2 (mod p); ... (p - 1)a ≡ rp - 1 (mod p); Используя свойства сравнения перемножаем предыдущие сравнения. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)! ap - 1(p - 1)! ≡ (p - 1)! (mod p); (ap - 1 - 1)(p - 1)! ≡ 0 (mod p); Но (p - 1)! не делится на p, так как p - простое, а все множители факториала меньше p. Значит (ap - 1 - 1) делится на p. (ap - 1 - 1) ≡ 0 (mod p); ap - 1 ≡ 1 (mod p); ap ≡ a (mod p); Что и требовалось доказать.

16 слайд Задача. Докажите, что делится на 143 Решение. Докажем, что и По теореме Ферма
Описание слайда:

Задача. Докажите, что делится на 143 Решение. Докажем, что и По теореме Ферма По свойствам делимости, если и то

17 слайд Задача. Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  n8 +
Описание слайда:

Задача. Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  n8 + 1,  либо  n8 – 1  делится на 17. Решение. По теореме Ферма а значит один из множителей делится на 17.

18 слайд Задача.Докажите, что при любом целомa:a5-aделится на 30.   Решение. С одной с
Описание слайда:

Задача.Докажите, что при любом целомa:a5-aделится на 30.   Решение. С одной стороны по теореме Ферма с другой стороны Т.к.произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6. Если число делится на 5 и на 6 , то оно делится и на 30

19 слайд Задача. Докажите, что для любого целого числа a число a561- a делится на 561.
Описание слайда:

Задача. Докажите, что для любого целого числа a число a561- a делится на 561. Решение По малой теореме Ферма, при любом целом a и простом p число ap - a делится на p (или ap-1-1 делится на p при a, не делящемся на p). Также будем пользоваться тем фактом, что xn-1 делится на x-1 при любом целом x и любом натуральном n. (Это следует из разложения xn - 1=(x - 1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1).) Прямо теоремой Ферма воспользоваться нельзя, так как 561=3*11*17 - составное число. Докажем вначале, что a561 - a делится на 17. Если a делится на 17, то все ясно. Если нет, то a561-a = a(a560-1) = a((a16)35-1) делится на a16-1, что в свою очередь делится на 17 по теореме Ферма (можно в этом убедиться и непосредственно, перебирая остатки от деления на 17). Таким же образом, используя, что 561 - 1=560 делится на11-1=10 и 3 - 1=2, доказываем, что a561-a делится на 11 и на 3. Если число делится на 17, на 11 и на 3, то оно делится на 561=3*11*17.

20 слайд Задача. Написано 1992‐значное число. Каждое двузначное Число, образованное со
Описание слайда:

Задача. Написано 1992‐значное число. Каждое двузначное Число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1. а) Делится ли данное число на 3? б) Какова первая цифра числа? Решение. Выпишем все двузначные числа, делящиеся на 17 или 23. Это 17, 34, 51, 68, 85, 23, 46, 69, 92. У всех этих чисел последние цифры различны, значит, искомое число мы сможем восстановить однозначно. Последняя цифра 1, значит, соответствующее двузначное чисто 51, т.е. предыдущая цифра в числе 5. Эта цифра 5 соответствует двузначному числу 85, следовательно, перед ней стоит цифра 8.

21 слайд Рассуждая аналогично, получим ряд из девяти последних цифр числа: 692346851.
Описание слайда:

Рассуждая аналогично, получим ряд из девяти последних цифр числа: 692346851. Набор 92346 будет теперь всё время повторяться. Всего же цифр 1992, в том числе: 3 последние, 5 цифр из периода, встречающиеся 397 раз, и ещё 4 цифры — последние 4 цифры периода, они же — первые 4 цифры числа. Таким образом, первая цифра искомого числа 2. Найдем сумму цифр этого числа: 2 + 3 + 4 + 6 + 397(9 + 2 + 3 + 4 + 6) + 8 + 5 + 1 = 9557. Это число не делится на 3, значит и данное в условии число не делится на 3.   Ответ: а) нет; б) 2.

22 слайд Задача. Можно ли расставить числа  а) от 1 до 7; б) от 1 до 9 по кругу так, ч
Описание слайда:

Задача. Можно ли расставить числа  а) от 1 до 7; б) от 1 до 9 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность  своих соседей? Решение. а) Например, так: -1-5-6-2-7-3-4- б) Заметим, что нечётное число не делится на чётное, а значит, не может стоять в окружении чисел одинаковой чётности. Отсюда следует, что нечётные числа стоят парами. Однако среди чисел 1, 2, ..., 9 нечётных чисел пять, и поэтому из них нельзя образвать пары.   Ответ: а) да; б) нет.

23 слайд Задача. Даны натуральные числа а,b и с такие, что a > b > c . Среднее арифмет
Описание слайда:

Задача. Даны натуральные числа а,b и с такие, что a > b > c . Среднее арифметическое этих чисел делится на 13. а) Найдите наименьшую сумму а+b + с          такую, что она является квадратом натурального числа. б) Найдите наибольшее значение числа c, если a =32 и сумма а+b + с   имеет наименьшее значение. в) Найдите наименьшее число b, если известно, что числа c, b и а   в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.   г) Если известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n   при котором число c  будет наименьшим , и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натурального числа.

24 слайд а) По условию                 где k   – натуральное. Значит, a + b + c = 39k.
Описание слайда:

а) По условию                 где k   – натуральное. Значит, a + b + c = 39k. Таким образом, a + b +c  является квадратом и делится на 39 = 13    3 поэтому минимальное возможное значение a + b + c = 39² =1521                        б) Из пункта а) получаем, что b + c = 39k - 32. Если сумма a + b + c    минимальна, то и b + c  минимально, значит k = 1    и b + c = 7  Вспомнив, что по условию b < c получаем, что c   < 3   в) По условию a + b + c = 39k, а из того, что c, b, a — арифметическая прогрессия, следует равенство   b – c = a – b или 2b = a + c или a + b + c = 3b Значит, 3b=39k или b=13k . b должно быть минимально, поэтому b=13        

25 слайд в) Пусть с = p²,b = q²,a = r² .Тогда 2q² = r² + p² . Из предыдущего пункта q 
Описание слайда:

в) Пусть с = p²,b = q²,a = r² .Тогда 2q² = r² + p² . Из предыдущего пункта q  кратно 13. Если n  и c  минимально, то и b   должно быть минимально, значит p² + q² = 2 169 = 338. Подбором получаем, что единственная пара чисел (p, q) такая, что p<q и удовлетворяющая последнему равенству это p = 7,q = 17 .Тогда получаем, что n=b-c=169-49=120                              

26 слайд В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне — п
Описание слайда:

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа записаны в вершинах треугольника? Решение. Пусть в вершинах треугольника стоят числа a, b и с . Из условия следует равенство:  a + b +c + ab + bc + ac + abc = 1000 Добавим к обеим частям единицу:   a + b +c + ab + bc + ac + abc+1 = 1001 (c+1)+(c+1)a+(c+1)b+(c+1)ab=1001  (c+1)(1+a+b+ab)=7 11 13 (c+1)(a+1)(b+1)= 7 11 13      

27 слайд Ясно, что все скобки в левой части больше единицы, а все множители в правой ч
Описание слайда:

Ясно, что все скобки в левой части больше единицы, а все множители в правой части — простые числа. Значит, с точностью до перестановки, числа a + 1 , b +1 и с+1 равны 7, 11, 13. Значит числа в вершинах треугольника на единицу меньше и равны 6, 10, 12.  

28 слайд Задача. Можно ли привести пример пяти целых чисел, произведение которых равно
Описание слайда:

Задача. Можно ли привести пример пяти целых чисел, произведение которых равно 720 и а) пять из них; б) три из них образуют геометрическую прогрессию? Решение. Предположим, что существует пять чисел, образующих геометрическую прогрессию и произведение их равно 720, т.е. но 720 не является пятой степенью никакого целого числа. Разложим 720 на множители: Из этих чисел только три могут образовать геометрическую прогрессию 1, 2, 4 Получим произведения пяти чисел:

29 слайд Задача. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно
Описание слайда:

Задача. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.). а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

30 слайд Решение. 1. Каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходно
Описание слайда:

Решение. 1. Каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске . 2. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз, поэтому получим: или 7+14+14+14+14=63

31 слайд Покажем, что за 7 минут число 112 из 1 получить невозможно. . 1 1,2 1,2,4 1,2
Описание слайда:

Покажем, что за 7 минут число 112 из 1 получить невозможно. . 1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32, 64 1,2,4,8,16,32,64,128 или 1,2,4,8,16,32,64,96 Приведем пример, как его получить за 8 минут: 1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32,64 1,2,4,8,16,32,64,96 1,2,4,8,16,32,64,96,112 Все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, т.е. 784, на 7. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1.

Общая информация

Номер материала: ДБ-038862

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.