Презентации к урокам "Аксиомы стереометрии"

• 1 слайд

  Тема:
  "Предмет стереометрии.
  Аксиомы стереометрии."
  

• 2 слайд

  - Что такое геометрия?
  Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур
  «Геометрия» - (греч.) – «землемерие»
  - Что такое планиметрия?
  Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
  А
  а
  Основные понятия планиметрии:
  точка
  прямая
  - Основные понятия планиметрии?
  

• 3 слайд

  Стереометрия
  - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве
  

• 4 слайд

  Основные фигуры в пространстве:
  точка прямая плоскость
  α
  β
  Обозначение: А; В; С; …; М;…
  а
  А
  В
  М
  N
  Р
  Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими)
  Обозначение: α, β, γ…
  Ответьте на вопросы по рисунку:
  1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
  2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β
  

• 5 слайд

  Некоторые геометрические тела.
  А
  В
  С
  D
  D1
  С1
  В1
  А1
  куб
  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  параллелепипед
  А
  В
  С
  D
  тетраэдр
  цилиндр
  конус
  

• 6 слайд

  Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках:
  Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.
  

• 7 слайд

  Практическая работа.
  1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
  2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1D1
  А
  В
  С
  D
  D1
  С1
  В1
  А1
  3. Выделите цветным карандашом:
  вершины А, С, В1, D1
  отрезки АВ, СD, В1С, D1С
  диагонали квадрата АА1В1В
  
  

• 8 слайд

  - Что такое аксиома?
  Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.
  Аксиомы планиметрии:
  - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
  из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
  имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…
  

• 9 слайд

  Аксиомы стереометрии.
  А
  В
  С
  А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
  α
  

• 10 слайд

  Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
  

• 11 слайд

  Аксиомы стереометрии.
  А
  В
  α
  А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
  Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
  

• 12 слайд

  а
  М
  Прямая лежит в плоскости
  Прямая пересекает плоскость
  Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?
  

• 13 слайд

  Аксиомы стереометрии.
  α
  β
  А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой.
  А
  а
  

• 14 слайд

  Решить задачи: №1(а,б); 2(а)
  А
  В
  С
  D
  Р
  Е
  К
  М
  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  Q
  P
  R
  К
  М
  Назовите по рисунку:
  а) плоскости, в которых лежат прямые DВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ.
  а) точки, лежащие в плоскостях ДСС1 и ВQС
  №1(а,б)
  № 2(а)
  

• 15 слайд

  Подведем итоги урока:
  1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
  2) Что такое стереометрия?
  3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.
  А
  А
  В
  В
  α
  α
  А
  α
  β
  

• 16 слайд

  Домашнее задание:
  Повторить аксиомы планиметрии
  Выучить аксиомы А1-А3
  Прочитать пункт 1,2 (стр. 3 – 6)
  Решить задачи: 1(в,г); 2(б,д).
  Дополнительно: № 3; 4 ( по желанию)
  

• 1 слайд

  Некоторые следствия
  из аксиом
  

• 2 слайд

  А
  В
  С
  D
  Р
  Е
  К
  М
  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  Q
  P
  R
  К
  М
  Назовите по рисунку:
  в) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС; г) прямые по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.
  б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; д) точки пересечения прямых МК и DС, В1С1 и ВР, С1М и DС.
  

• 3 слайд

  Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
  Дано:
  а, М ¢ а
  Доказать:
  (а, М) с α
  α- единственная
  а
  М
  α
  Доказательство :
  1. Р, Q с а; {Р,Q,М} ¢ а
  Р
  Q
  По аксиоме А1: через точки Р, Q, М проходит плоскость .
  По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α
  Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, Q, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная.
  ч.т.д.
  Некоторые следствия из аксиом:
  

• 4 слайд

  Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
  Дано:
  а∩b
  Доказать:
  1. (а∩b) с α
  2. α- единственная
  а
  b
  М
  N
  α
  Доказательство:
  1.Через а и N а, N b проходит плоскость α.
  (М , N) α, (М,N) b, значит по А2 все точки b принадлежат плоскости.
  2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит и через N, значит α – единственная.
  

• 5 слайд

  Решить задачу
  А
  В
  С
  α
  Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
  Доказательство:
  1. (А,В,С) α, значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость.
  2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α.
  3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α
  1 случай.
  А
  В
  С
  α
  2 случай.
  Доказательство:
  Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.
  

• 6 слайд

  Задача.
  А
  В
  С
  D
  М
  О
  АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α.
  Определить и обосновать:
  Лежат ли в плоскости α точки В и С?
  Лежит ли в плоскости МОВ точка D?
  Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АDО.
  Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60º. Предложите различные способы вычисления площади ромба.
  

• 7 слайд

  А
  В
  С
  Д
  60º
  4
  4
  4
  4
  SАВСД = АВ · АД · sinA
  SАВСД = (ВД · АС):2
  Формулы для вычисления площади ромба:
  ∆АВД = ∆ВСД (по трем сторонам), значит SАВД = SВСД.
  

• 8 слайд

  Домашнее задание:
  1. Прочитать пункты 1- 3 на стр. 3 – 7
  2. Выучить аксиомы А1 – А3 и теоремы 1, 2 ( с доказательством)
  3. Решить задачу №8 ( с объяснением ответов)
  

• 1 слайд

  Урок 3.
  Решение задач
  на применение
  аксиом стереометрии
  и их следствий.
  

• 2 слайд

  Устная работа.
  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  α
  Дано: куб АВСDА1В1С1D1
  Найдите:
  Несколько точек, которые лежат в плоскости α;
  Несколько точек, которые не лежат в плоскости α;
  Несколько прямых, которые лежат в плоскости α;
  Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α;
  Несколько прямых которые пересекают прямую ВС;
  Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.
  
  Задача 1.
  

• 3 слайд

  Устная работа.
  Задача 2.
  α
  А
  М
  В
  а
  b
  c
  Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:
  

• 4 слайд

  Устная работа.
  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  α
  Прямые АА1, АВ, АD проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости
  Лежат ли прямые АА1, АВ, АD в одной плоскости?
  

• 5 слайд

  Решите задачи из учебного пособия:
  стр. 8 № 7, 10, 14.
  Работа учащихся на доске и в тетрадях:
  

• 6 слайд

  Домашнее задание:
  Пункты 1-3 прочитать
  Решить задачи № 9; 13
  

• 7 слайд

  Задача 1
  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  М
  N
  F
  К
  Дано: куб АВСDА1В1С1D1
  т.М лежит на ребре ВВ1, т.N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре DD1
  а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
  б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
  в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС
  О
  г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС
  

• 8 слайд

  А
  В
  С
  Д
  О
  Повторение.
  Формула для вычисления площади четырехугольника.
  

• 9 слайд

  Задача 2
  α
  А
  В
  С
  D
  О
  Докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.
  Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВD, АС = 10см, ВD = 12см.
  Доказательство:
  1. (АС ∩ ВD) =α АС α, ВD α, (А, В, С, D ) α
  2. SАВСD = АС · ВD · sin90º = ½ * 10 * 12 = 60 (см2)
  
  Ответ: 60 см2
  

• 1 слайд

  Решение задач
  на применение аксиом стереометрии
  и их следствий.
  

• 2 слайд

  Математический диктант
  Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве?
  Назовите основные фигуры в пространстве.
  Сформулируйте аксиому А2.
  Сформулируйте аксиому А3.
  Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?
  Сколько плоскостей можно провести через одну точку?
  1 вариант
  2 вариант
  Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости?
  Назовите основные фигуры на плоскости.
  Сформулируйте аксиому А1.
  Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
  Сколько может быть точек у прямой и плоскости?
  Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?
  

• 3 слайд

  Задача №1
  А
  В
  С
  М
  Р
  Е
  D
  F
  Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.
  D ϵ MB, E ϵ MC, F ϵ AB, AF = FB
  Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
  Найдите длину СF и SАВС
  Как построить точку пересечения прямой DЕ с плоскостью АВС?
  А
  В
  С
  F
  Справочный материал:
  Свойство медианы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины треугольника к основанию, является биссектрисой и высотой.
  Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  

• 4 слайд

  А
  В
  С
  D
  А1
  В1
  С1
  D1
  Задача №2
  Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой D1Р?
  Как построить линию пересечения плоскости АD1Р и АВВ1?
  Вычислите длину отрезков АР и АD1, если АВ = а
  Р
  К
  

• 5 слайд

  Задача №3
  А
  В
  М
  Р
  С
  К
  Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.
  Док-ть: Р ϵ (АВС).
  α
  

• 6 слайд

  с
  а
  В
  Задача №4
  Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость . Пересекаются ли прямые а и с? Почему?
  

• 7 слайд

  Задача №5
  А
  В
  С
  D
  О
  60º
  Дан прямоугольник АВСD, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости . Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости . Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, угол АОВ = 60º
  

• 8 слайд

  Домашнее задание: пункты 1-3 прочитать.
  Решить задачи:
  Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
  На данном рисунке плоскость содержит точки А, В, С, D, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСD. Лежит ли точка К в плоскости .
  А
  В
  С
  D
  М