Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентации к урокам на тему "Комплексные числа"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентации к урокам на тему "Комплексные числа"

библиотека
материалов
Министерство образования Республики Башкортостан Отдел образования муниципаль...
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым изв...
Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой прир...
Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Д...
Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754) Абрахам Муавр – английский математик. Му...
Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий матема...
Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830) Леонард Эйлер - математик, академик Пете...
Во множестве натуральных чисел выполняется 5 законов: Коммутативный (перемест...
Опр.: множество чисел, в котором всегда выполнимы действия + и *, подчиненные...
Решение квадратных уравнений a · x² + b · x + c =0 При D
Комплексные числа N  Z  Q  R  C C – множество комплексных чисел
Вид комплексного числа Х²=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, тако...
Сложение Опр.: суммой 2-х комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексно...
Умножение Опр.: произведением 2-х комплексных a+bi и c+di называется комплекс...
Наглядно представить мнимые числа впервые попытался еще в XVII в. английский...
Комплексное число a+bi изображено точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е....
Степени мнимой единицы i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 i4n+3 = -i Примеры для са...
Действительные и чисто мнимые числа a + 0i = a – действительное число 0 + bi...
Извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Решение квадратных уравн...
Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами Опр.: уравн...
Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами Опр.: уравн...
Основная теорема алгебры Теорема Гаусса (1799 г.): любое алгебраическое уравн...
М N Возьмем произвольное комплексное число z=a+bi и изобразим его в виде век...
Число r называется модулем комплексного числа z = r Угол  - аргументом ком...
Теорема 1.: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их...
Теорема 2.: модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей,...
Пример: Решить уравнение: Примеры для самостоятельного выполнения
1. Решить уравнение 2. Вычислить 3. Доказать равенство 4. Дать геометрическую...
5. Вычислить 6. Найти сумму корней уравнения 7. Найти произведение корней ура...
Решитьуравнение Вычислить
Решить уравнения Ответ: Ответ: Ответ: Ответ:
Вариант 1 Вычислить: а) ; б) ; в) 2. Найти действительные числа х и у из урав...
Вариант 2 Вычислить: а) ; б) ; в) 2. Найти действительные числа х и у из урав...
45 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Министерство образования Республики Башкортостан Отдел образования муниципаль
Описание слайда:

Министерство образования Республики Башкортостан Отдел образования муниципального района Бураевский район МОБУ Гимназия №2 с. Бураево Урок разработан по предмету математика для учащихся профильного 11 класса Садикова Э.Ф. учитель математики Выход

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4 В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым изв
Описание слайда:

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида х3+px+q=0 кубические и квадратные корни: Х= Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (х3+3х-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа

№ слайда 5 Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой прир
Описание слайда:

Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р.Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами.

№ слайда 6 Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Д
Описание слайда:

Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году российский ученый Л.Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К.Гауссу. Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра (1707): (cos+isin)n=cos(n)+isin(n). Л.Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: ei=cosx+isinx, которая связала воедино показательную функцию с тригонометрической.

№ слайда 7 Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754) Абрахам Муавр – английский математик. Му
Описание слайда:

Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754) Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.

№ слайда 8 Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий матема
Описание слайда:

Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

№ слайда 9 Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830) Леонард Эйлер - математик, академик Пете
Описание слайда:

Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830) Леонард Эйлер - математик, академик Петербургской академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e, , i)

№ слайда 10 Во множестве натуральных чисел выполняется 5 законов: Коммутативный (перемест
Описание слайда:

Во множестве натуральных чисел выполняется 5 законов: Коммутативный (переместительный) закон сложения m + n = n + m 2. Коммутативный (переместительный) закон умножения m * n = n * m 3. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения (m + n) + k = m + (n + k) 4. Ассоциативный (сочетательный) закон умножения (m * n) * k = m * (n * k) 5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения (m + n) * k = m * k + n * k

№ слайда 11 Опр.: множество чисел, в котором всегда выполнимы действия + и *, подчиненные
Описание слайда:

Опр.: множество чисел, в котором всегда выполнимы действия + и *, подчиненные пяти основным законам, а также действия – и / (кроме деления на 0), называется полем Вывод: множество всех действительных чисел образует поле

№ слайда 12 Решение квадратных уравнений a · x² + b · x + c =0 При D
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений a · x² + b · x + c =0 При D<0 действительных корней нет

№ слайда 13 Комплексные числа N  Z  Q  R  C C – множество комплексных чисел
Описание слайда:

Комплексные числа N  Z  Q  R  C C – множество комплексных чисел

№ слайда 14 Вид комплексного числа Х²=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, тако
Описание слайда:

Вид комплексного числа Х²=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, такое , что i²=-1 a и b – действительные числа i- некоторый символ , такой, что i²= -1 a – действительная часть b – мнимая часть i – мнимая единица a+bi

№ слайда 15 Сложение Опр.: суммой 2-х комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексно
Описание слайда:

Сложение Опр.: суммой 2-х комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (f+c)+(b+d)i Пример 1. (1+i)+(2+3i)=3+4i Вычитание Опр.: разность 2-х комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется такое комплексное число z3 равно х+уi, которое в сумме с z2 дает z1 Пример 2. (5+6i)-(3+7i)=2-i Примеры для самостоятельного выполнения

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 Умножение Опр.: произведением 2-х комплексных a+bi и c+di называется комплекс
Описание слайда:

Умножение Опр.: произведением 2-х комплексных a+bi и c+di называется комплексное число (ac-bd)+(ad+bc)i Пример 4. Пример 3. (3+4i)*(6-5i)=(18+20)+(-15+24)i=38+9i Деление Опр.: комплексные числа z=a+bi и z’=a-bi называются сопряженными. Опр.: частным от деления комплексного числа z1на z2, не равное (0+0i), называется такое комплексное число z3, которое при умножении на z2 дает z1. Примеры для самостоятельного выполнения

№ слайда 18 Наглядно представить мнимые числа впервые попытался еще в XVII в. английский
Описание слайда:

Наглядно представить мнимые числа впервые попытался еще в XVII в. английский ученый Джон Валлис. В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталось незамеченной. Лишь через три десятка лет К.Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление, как и Вессель. Взяты две оси, названы соответственно действительная ось и мнимая ось и расположены перпендикулярно друг другу – так, что они пересекаются в нулевой точке. Комплексные числа «размещаются» по всей плоскости, в которой лежат числовые оси.

№ слайда 19 Комплексное число a+bi изображено точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е.
Описание слайда:

Комплексное число a+bi изображено точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е. действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой. Точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3+5i. Точка В(-4;-5) изображает комплекс-ное число –4-5i Сопряженные комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс, например точки А и А/ изображают сопряженные числа 3+5i и 3-5i. Вывод: множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости Примеры для самостоятельного выполнения

№ слайда 20 Степени мнимой единицы i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 i4n+3 = -i Примеры для са
Описание слайда:

Степени мнимой единицы i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 i4n+3 = -i Примеры для самостоятельного выполнения

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22 Действительные и чисто мнимые числа a + 0i = a – действительное число 0 + bi
Описание слайда:

Действительные и чисто мнимые числа a + 0i = a – действительное число 0 + bi = bi – чисто мнимое число а = a + bi = a – bi Сопряженные числа равны друг другу, только в том случае, если это число действительное. Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное чисел есть число

№ слайда 23 Извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Решение квадратных уравн
Описание слайда:

Извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.

№ слайда 24 Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами Опр.: уравн
Описание слайда:

Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами Опр.: уравнения вида ax3+b, где a и b – произвольные действительные числа, отличные от нуля, называются двучленными уравнениями 3-й степени.

№ слайда 25 Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами Опр.: уравн
Описание слайда:

Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами Опр.: уравнения вида ax4+b, где a и b – произвольные действительные числа, отличные от нуля, называются двучленными уравнениями 4-й степени. Примеры для самостоятельного выполнения

№ слайда 26
Описание слайда:

№ слайда 27 Основная теорема алгебры Теорема Гаусса (1799 г.): любое алгебраическое уравн
Описание слайда:

Основная теорема алгебры Теорема Гаусса (1799 г.): любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n комплексных корней, если каждый корень считать столько раз какова его кратность. a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0 a0 = 0 A0 (x – x1) * (x – x2) * … * (x – xn) = 0

№ слайда 28 М N Возьмем произвольное комплексное число z=a+bi и изобразим его в виде век
Описание слайда:

М N Возьмем произвольное комплексное число z=a+bi и изобразим его в виде вектора ОМ на комплексной плоскости. Пусть N-проекция точки М на действительную ось. В прямо-угольном треугольнике ОМN длины катетов ОМ и ММ равны соответ-ственно а и b, а длина гипотенузы ОМ равна

№ слайда 29 Число r называется модулем комплексного числа z = r Угол  - аргументом ком
Описание слайда:

Число r называется модулем комплексного числа z = r Угол  - аргументом комплексного числа Arqz =  Любое комплексное число a+bi можно представить в виде:

№ слайда 30
Описание слайда:

№ слайда 31 Теорема 1.: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их
Описание слайда:

Теорема 1.: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов. z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1) z2= r2(cos φ2+ i sin φ2) z1 * z2= r1r2(cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)) Замечание: теорема 1 справедлива для любого числа сомножителей. В том числе когда сомножители равны между собой получим Формула Муавра При r = 1, (cos+isin)n = cos n + I sin n

№ слайда 32 Теорема 2.: модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей,
Описание слайда:

Теорема 2.: модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного двух не равных нулю комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя

№ слайда 33 Пример: Решить уравнение: Примеры для самостоятельного выполнения
Описание слайда:

Пример: Решить уравнение: Примеры для самостоятельного выполнения

№ слайда 34
Описание слайда:

№ слайда 35 1. Решить уравнение 2. Вычислить 3. Доказать равенство 4. Дать геометрическую
Описание слайда:

1. Решить уравнение 2. Вычислить 3. Доказать равенство 4. Дать геометрическую интерпретацию

№ слайда 36 5. Вычислить 6. Найти сумму корней уравнения 7. Найти произведение корней ура
Описание слайда:

5. Вычислить 6. Найти сумму корней уравнения 7. Найти произведение корней уравнения 8. Вычислить 9. Найти произведение и частное чисел

№ слайда 37 Решитьуравнение Вычислить
Описание слайда:

Решитьуравнение Вычислить

№ слайда 38
Описание слайда:

№ слайда 39
Описание слайда:

№ слайда 40
Описание слайда:

№ слайда 41 Решить уравнения Ответ: Ответ: Ответ: Ответ:
Описание слайда:

Решить уравнения Ответ: Ответ: Ответ: Ответ:

№ слайда 42
Описание слайда:

№ слайда 43
Описание слайда:

№ слайда 44 Вариант 1 Вычислить: а) ; б) ; в) 2. Найти действительные числа х и у из урав
Описание слайда:

Вариант 1 Вычислить: а) ; б) ; в) 2. Найти действительные числа х и у из уравнений: а) (0+3i)-(10x+2yi)=-5+3i; б) (x-5yi)+(2x-yi)=6+3i 3. Дать геометрическую интерпретацию формулы (2+4i)+(6+3i)=8+7i 6. Выполнить действия: 4. Вычислить: а) i12+i16+i19+i50 б) 5. Решить уравнения: в) а) х3=3; б) х4=-36

№ слайда 45 Вариант 2 Вычислить: а) ; б) ; в) 2. Найти действительные числа х и у из урав
Описание слайда:

Вариант 2 Вычислить: а) ; б) ; в) 2. Найти действительные числа х и у из уравнений: а) (х+3yi)+(1.5y+2xi)=4+8i; б) (2x-5i)+(7y+2xi)=-12+3yi 3. Дать геометрическую интерпретацию формулы (4+2i)+(3+5i)=7+7i 6. Выполнить действия: 4. Вычислить: а) i13+i15+i36+i74 б) 5. Решить уравнения: в) а) х3=5; б) х4=-25

Автор
Дата добавления 23.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров257
Номер материала ДВ-181958
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх