Презентации к урокам на тему "Комплексные числа"

• 1 слайд

  "Комплексные числа"
  Министерство образования Республики Башкортостан
  Отдел образования муниципального района Бураевский район
  МОБУ Гимназия №2 с. Бураево
  Урок разработан по предмету математика для учащихся профильного 11 класса
  Садикова Э.Ф.
  учитель математики
  Выход
  

• 2 слайд

  Содержание
  Урок 1.
  Урок 3.
  Урок 2.
  Урок 4.
  Контрольная работа
  Урок 5.
  Урок 6.
  

• 3 слайд

  Урок 1
  1.История возникновения
  комплексного числа
  2.Определение комплексных чисел
  и действия над ними
  

• 4 слайд

  В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида х3+px+q=0 кубические и квадратные корни:
  Х=
  Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (х3+3х-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа
  

• 5 слайд

  Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что
  Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять.
  В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р.Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами.
  

• 6 слайд

  Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году российский ученый Л.Эйлер предложил использовать первую букву французского слова
  imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К.Гауссу. Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году.
  Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра(1707): (cos+isin)n=cos(n)+isin(n).
  Л.Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:
  ei=cosx+isinx, которая связала воедино показательную
  функцию с тригонометрической.
  

• 7 слайд

  Абрамах Муавр (Moivre)
  (1667 – 1754)
  Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.
  

• 8 слайд

  Карл Фридрих Гаусс (Gauss)
  (1777 – 1855)
  Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.
  

• 9 слайд

  Леонард Эйлер (Eular)
  (1707 – 17830)
  
  Леонард Эйлер -
  математик, академик Петербургской академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e, , i)
  
  

• 10 слайд

  Во множестве натуральных чисел выполняется 5 законов:
  Коммутативный (переместительный) закон сложения m + n = n + m
  2. Коммутативный (переместительный) закон умножения
  m * n = n * m
  3. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения
  (m + n) + k = m + (n + k)
  4. Ассоциативный (сочетательный) закон умножения
  (m * n) * k = m * (n * k)
  5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения
  (m + n) * k = m * k + n * k
  

• 11 слайд

  Иррациональные
  числа
  Рациональные
  числа
  Действительные числа
  Опр.: множество чисел, в котором всегда выполнимы действия + и *, подчиненные пяти основным законам, а также действия – и / (кроме деления на 0), называется полем
  Вывод: множество всех действительных чисел образует поле
  

• 12 слайд

  Решение квадратных уравнений
  a · x² + b · x + c =0
  При D<0 действительных корней нет
  Иррациональные
  числа
  Рациональные
  числа
  Действительные числа
  +
  ?
  

• 13 слайд

  Иррациональные
  числа
  Рациональные
  числа
  Действительные числа
  +
  ?
  Комплексные числа
  N  Z  Q  R  C
  C – множество комплексных чисел
  

• 14 слайд

  Вид комплексного числа
  Х²=-1
  Х=i -корень уравнения
  i- комплексное число, такое , что
  i²=-1
  a и b – действительные числа
  i- некоторый символ , такой, что i²= -1
  a – действительная часть
  b – мнимая часть
  i – мнимая единица
  a+bi
  

• 15 слайд

  1
  Сложение
  Опр.: суммой 2-х комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (f+c)+(b+d)i
  Пример 1. (1+i)+(2+3i)=3+4i
  2
  Вычитание
  Опр.: разность 2-х комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется такое комплексное число z3 равно х+уi, которое в сумме с z2 дает z1
  Пример 2. (5+6i)-(3+7i)=2-i
  Примеры для самостоятельного выполнения
  

• 16 слайд

  2.Геометрическое изображение
  комплексных чисел
  Урок 2
  1.Умножение и деление
  комплексных чисел.
  

• 17 слайд

  3
  Умножение
  Опр.: произведением 2-х комплексных a+bi и c+di называется комплексное число (ac-bd)+(ad+bc)i
  4
  Пример 4.
  Пример 3. (3+4i)*(6-5i)=(18+20)+(-15+24)i=38+9i
  Деление
  Опр.: комплексные числа z=a+bi и z’=a-bi называются сопряженными.
  Опр.: частным от деления комплексного числа z1на z2, не равное (0+0i), называется такое комплексное число z3, которое при умножении на z2 дает z1.
  Примеры для самостоятельного выполнения
  

• 18 слайд

  Наглядно представить мнимые числа впервые попытался еще в XVII в. английский ученый Джон Валлис.
  В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталось незамеченной. Лишь через три десятка лет К.Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление, как и Вессель.
  Немножко из истории
  Взяты две оси, названы соответственно действительная ось и мнимая ось и расположены перпендикулярно друг другу – так, что они пересекаются в нулевой точке.
  Комплексные числа «размещаются» по всей плоскости, в которой лежат числовые оси.
  

• 19 слайд

  M
  X
  Y
  0
  a
  b
  B
  A1
  -5
  3
  A
  -4
  0
  X
  Y
  K
  5
  Комплексное число a+bi изображено точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е. действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой.
  Точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3+5i. Точка В(-4;-5) изображает комплекс-ное число –4-5i
  Сопряженные комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс, например точки А и А/ изображают сопряженные числа 3+5i и 3-5i.
  Вывод: множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости
  Примеры для самостоятельного выполнения
  

• 20 слайд

  Степени мнимой единицы
  
  i4n = 1
  i4n+1 = i
  i4n+2 = -1
  i4n+3 = -i
  Примеры для самостоятельного выполнения
  

• 21 слайд

  Урок 3
  2.Извлечение корней квадратных
  из отрицательных чисел
  1.Дествительные
  и чисто мнимые числа
  3.Двучленные уравнения 3-й и 4-й
  степеней с дествительными
  коэффицентами
  

• 22 слайд

  Действительные и чисто мнимые числа
  a
  b
  мнимая ось
  мнимая ось
  действительная ось
  a + 0i = a – действительное число
  0 + bi = bi – чисто мнимое число
  а = a + bi = a – bi
  Сопряженные числа равны друг другу, только в том случае, если это число действительное.
  
  Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное чисел есть число
  

• 23 слайд

  Извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.
  

• 24 слайд

  Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами
  Опр.: уравнения вида ax3+b, где a и b – произвольные действительные числа, отличные от нуля, называются двучленными уравнениями 3-й степени.
  

• 25 слайд

  Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами
  Опр.: уравнения вида ax4+b, где a и b – произвольные действительные числа, отличные от нуля, называются двучленными уравнениями 4-й степени.
  Примеры для самостоятельного выполнения
  

• 26 слайд

  Урок 4
  1. Основная теорема алгебры
  2. Тригонометрическая форма
  комплексных чисел
  

• 27 слайд

  Основная теорема алгебры
  Теорема Гаусса (1799 г.): любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n комплексных корней, если каждый корень считать столько раз какова его кратность.
  
  a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0
  a0 = 0
  A0 (x – x1) * (x – x2) * … * (x – xn) = 0
  

• 28 слайд

  
  
  
  
  М
  N
  Возьмем произвольное комплексное число z=a+bi и изобразим его в виде вектора ОМ на комплексной плоскости. Пусть N-проекция точки М на действительную ось. В прямо-угольном треугольнике ОМN длины катетов ОМ и ММ равны соответ-ственно а и b, а длина гипотенузы
  
  ОМ равна
  

• 29 слайд

  Число r называется модулем комплексного числа
  z = r
  Угол  - аргументом комплексного числа
  Arqz = 
  Любое комплексное число a+bi можно представить в виде:
  

• 30 слайд

  Урок 5
  Умножение и деление
  комплексных чисел заданных в
  тригонометрической форме
  

• 31 слайд

  Теорема 1.: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов.
  z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
  z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
  z1 * z2= r1r2(cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2))
  Замечание: теорема 1 справедлива для любого числа сомножителей. В том числе когда сомножители равны между собой получим
  Формула Муавра
  При r = 1, (cos+isin)n = cos n + I sin n
  

• 32 слайд

  Теорема 2.: модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного двух не равных нулю комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя
  

• 33 слайд

  Пример:
  Решить уравнение:
  Примеры для самостоятельного выполнения
  

• 34 слайд

  Урок 6
  Решение задач
  

• 35 слайд

  1. Решить уравнение
  2. Вычислить
  3. Доказать равенство
  4. Дать геометрическую интерпретацию
  

• 36 слайд

  5. Вычислить
  6. Найти сумму корней уравнения
  7. Найти произведение корней уравнения
  8. Вычислить
  9. Найти произведение и частное чисел
  

• 37 слайд

  Решитьуравнение
  Вычислить
  i
  xi
  y
  yi
  x
  -
  =
  -
  +
  +
  3
  )
  2
  (
  )
  3
  5
  (
  i
  i
  =
  +
  -
  +
  )
  8
  2
  (
  )
  3
  5
  (
  .
  3
  i
  i
  =
  +
  +
  +
  )
  7
  3
  (
  )
  6
  5
  (
  .
  2
  i
  i
  =
  -
  +
  +
  -
  )
  13
  (
  )
  2
  3
  (
  .
  1
  i
  5
  3
  -
  i
  13
  8
  +
  i
  29
  37
  +
  -
  

• 38 слайд

  =
  +
  -
  +
  i
  i
  )
  3
  2
  (
  *
  )
  5
  (
  .
  2
  =
  -
  +
  i
  i
  )
  5
  6
  (
  *
  )
  4
  3
  (
  .
  1
  

• 39 слайд

• 40 слайд

• 41 слайд

  Решить уравнения
  Ответ:
  Ответ:
  Ответ:
  Ответ:
  

• 42 слайд

• 43 слайд

  Контрольная работа
  

• 44 слайд

  Вариант 1
  Вычислить:
  а) ; б) ; в)
  2. Найти действительные числа х и у из уравнений:
  а) (0+3i)-(10x+2yi)=-5+3i; б) (x-5yi)+(2x-yi)=6+3i
  3. Дать геометрическую интерпретацию формулы
  (2+4i)+(6+3i)=8+7i 6. Выполнить действия:
  4. Вычислить: а)
  i12+i16+i19+i50 б)
  5. Решить уравнения: в)
  а) х3=3; б) х4=-36
  
  

• 45 слайд

  Вариант 2
  Вычислить:
  а) ; б) ; в)
  2. Найти действительные числа х и у из уравнений:
  а) (х+3yi)+(1.5y+2xi)=4+8i; б) (2x-5i)+(7y+2xi)=-12+3yi
  3. Дать геометрическую интерпретацию формулы
  (4+2i)+(3+5i)=7+7i 6. Выполнить действия:
  4. Вычислить: а)
  i13+i15+i36+i74 б)
  5. Решить уравнения: в)
  а) х3=5; б) х4=-25