Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентации на тему "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей"

Презентации на тему "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей"

  • Математика

Название документа Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.ppt

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, ско...
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) Комбинаторику, как самосто...
Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Леонард Эйлер (1707-1783) Он...
Методы решения комбинаторных задач Правило суммы. Правило произведения. Табли...
Правило суммы Если элемент А может быть выбран К1 способами, а элемент В – К2...
Правило произведения Если элемент А может быть выбран К1 способами, а элемент...
в) Сколько среди них чисел, кратных 11? Решение: Двузначное число кратно 11,...
Задача 3. Сколько существует способов занять 1-ое, 2-ое и 3-е места на чемпио...
Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2,3...
Задача 5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили исполь...
в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой поло...
Задача 6. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку...
Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего...
Задача 7. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры...
Задача 8. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной...
Таблицы вариантов Составляя расписание уроков на понедельник для 9б класса, з...
Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? а)...
Подсчет вариантов с помощью графов При встрече каждый из друзей пожал другому...
Дерево вариантов Сколько различных двухзначных чисел можно записать, использу...
Формулы Правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные зад...
Выбор нескольких элементов. Сочетания.
Рассмотрим пример, в котором используется и правило умножения, и теорема о чи...
1 из 24

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Описание слайда:

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

№ слайда 2 Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, ско
Описание слайда:

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

№ слайда 3 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) Комбинаторику, как самосто
Описание слайда:

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

№ слайда 4 Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Леонард Эйлер (1707-1783) Он
Описание слайда:

Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Леонард Эйлер (1707-1783) Он рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

№ слайда 5 Методы решения комбинаторных задач Правило суммы. Правило произведения. Табли
Описание слайда:

Методы решения комбинаторных задач Правило суммы. Правило произведения. Таблицы. Графы (деревья). Формулы.

№ слайда 6 Правило суммы Если элемент А может быть выбран К1 способами, а элемент В – К2
Описание слайда:

Правило суммы Если элемент А может быть выбран К1 способами, а элемент В – К2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен К1+К2 способами. Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ? Решение: К1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28), К2=4 – кратное 3 (3,15,21,75) К1+К2 = 5+4 = 9

№ слайда 7 Правило произведения Если элемент А может быть выбран К1 способами, а элемент
Описание слайда:

Правило произведения Если элемент А может быть выбран К1 способами, а элемент В – К2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен К1 х К2 способами. Задача 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями) б) Сколько среди них чисел, кратных 5? Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5. На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5. N= 5х1 =5

№ слайда 8 в) Сколько среди них чисел, кратных 11? Решение: Двузначное число кратно 11,
Описание слайда:

в) Сколько среди них чисел, кратных 11? Решение: Двузначное число кратно 11, если обе его цифры одинаковы. N= 5 г) Сколько среди них чисел, кратных 3? Решение: Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Составим всевозможные пары: 1 – 1 3 – 3 5 – 5 7 – 7 9 – 9 1 – 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 1 – 5 3 – 7 5 – 9 1 – 7 3 – 9 1 – 9 Таких пар 15. Среди них 5 пар, сумма которых делится на 3, причем три пары допускают перестановку, т.е. могут образовать по два разных числа. Всего 5+3=8 различных двузначных чисел.

№ слайда 9 Задача 3. Сколько существует способов занять 1-ое, 2-ое и 3-е места на чемпио
Описание слайда:

Задача 3. Сколько существует способов занять 1-ое, 2-ое и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют а) 10 команд? Решение: N=10х9х8=720 б) 11 команд? Решение: N=11х10х9=990

№ слайда 10 Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2,3
Описание слайда:

Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2,3,4, если а) цифры не повторяются? Решение: На первом месте одна из 4-х цифр ( 0 не может быть), на 2-ом – одна из оставшихся 4-х: N=4х4= 16 б) цифры могут повторяться Решение: На 1-ом месте может быть одна из 4-х цифр, на 2-ом – одна из 5 (0 входит): N=4х5= 20

№ слайда 11 Задача 5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили исполь
Описание слайда:

Задача 5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. а)Сколько всего стран могут использовать такую символику? Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24

№ слайда 12 в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой поло
Описание слайда:

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой полосой? Решение: Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами г) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой? Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

№ слайда 13 Задача 6. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку
Описание слайда:

Задача 6. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом? Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

№ слайда 14 Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего
Описание слайда:

Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов. Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего 4х2х4х3х2х1=192 способами. По правилу сложения 48+192= 240 способов

№ слайда 15 Задача 7. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры
Описание слайда:

Задача 7. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует) Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов. Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов Ответ: хватит.

№ слайда 16 Задача 8. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной
Описание слайда:

Задача 8. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите: а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы Решение: Каждая задача может быть выбрана 10 способами. По правилу произведения N=10х10х10х10х10=100000 б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач Решение: N=8х8х8х8х8=32768 в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи Решение: N=2х2х2х2х2=32 г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой. Решение: N=2х8х8х8х8=8192

№ слайда 17 Таблицы вариантов Составляя расписание уроков на понедельник для 9б класса, з
Описание слайда:

Таблицы вариантов Составляя расписание уроков на понедельник для 9б класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока? Решение: Составим таблицу вариантов: Всего существует 2х3 = 6 вариантов 1 урок 2 урок Русский Литер История Физика Физика Русский Физика Литер Физика История Алгебра Алгебра Русский Алгебра Литер Алгебра История

№ слайда 18 Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? а)
Описание слайда:

Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? а) цифры не повторяются - 6 вариантов (15,39,57,51,75,93) б) цифры могут повторяться – 8 вариантов (еще 33,99) 1 3 5 7 9 1 11 13 15 17 19 3 31 33 35 37 39 5 51 53 55 57 59 7 71 73 75 77 79 9 91 93 95 97 99

№ слайда 19 Подсчет вариантов с помощью графов При встрече каждый из друзей пожал другому
Описание слайда:

Подсчет вариантов с помощью графов При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько было рукопожатий, если друзей: а) трое ; б) четверо ; в) пятеро? N=3 N=6 N=10

№ слайда 20 Дерево вариантов Сколько различных двухзначных чисел можно записать, использу
Описание слайда:

Дерево вариантов Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться? 22 27 29 72 77 79 92 97 99 9 2 7 9 7 7 9 * 2 2 7 9 2

№ слайда 21 Формулы Правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные зад
Описание слайда:

Формулы Правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи. И оно приводит к крайне важному в математике понятию факториала. Определение: произведение первых подряд идущих n натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал») n! = 1 х 2 х 3 х … х (n-2) x (n-1) x n. Число перестановок множества из n элементов Pn = n!

№ слайда 22 Выбор нескольких элементов. Сочетания.
Описание слайда:

Выбор нескольких элементов. Сочетания.

№ слайда 23
Описание слайда:

№ слайда 24 Рассмотрим пример, в котором используется и правило умножения, и теорема о чи
Описание слайда:

Рассмотрим пример, в котором используется и правило умножения, и теорема о числе сочетаний.

Название документа Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей2.ppt

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (2 урок)
Случайные события и их вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее...
Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не и...
Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из н...
Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опы...
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики...
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найди...
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность тог...
1 из 10

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (2 урок)
Описание слайда:

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (2 урок)

№ слайда 2 Случайные события и их вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее
Описание слайда:

Случайные события и их вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

№ слайда 3 Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не и
Описание слайда:

Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки –равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов.

№ слайда 4 Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из н
Описание слайда:

Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй.

№ слайда 5 Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опы
Описание слайда:

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. События образующие полную группу называют элементарными. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу.

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики
Описание слайда:

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

№ слайда 8 В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найди
Описание слайда:

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность тог
Описание слайда:

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение: К-во всех событий группы N=216 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. 223 232 322 331 313 133 511 151 115 412 421 124 142 214 241

Название документа Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей3.ppt

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (3 урок)
Статистическая обработка данных В 9а и 9б классах измерили рост 50 учеников....
Что такое статистика? Статистика – получение, обработка, анализ и публикация...
Статистика – дизайн информации Итак, займемся статистическими методами обрабо...
1. Группировка информации. 157, 158, 160, 162, 163, 164, 165, 168, 175, 176,...
Перед дальнейшей обработкой информации данные измерения группируют. Составляю...
 	Варианта	Сумма (объем изме-рения)	 157	158	160	162	163	164	165	168	175	176...
Для удобства счета и построения графиков частоты переводят в проценты от объе...
3. Графическое представление информации. Получили график распределения выборки
На координатной плоскости мы получили ломаную линию, которая является графико...
При графическом представлении больших объемов информации многоугольники распр...
Информация получает ясное и удобное для объяснения представление. Вот как это...
4. Числовые характеристики данных измерения. Размах измерения – разность межд...
1 из 13

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (3 урок)
Описание слайда:

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (3 урок)

№ слайда 2 Статистическая обработка данных В 9а и 9б классах измерили рост 50 учеников.
Описание слайда:

Статистическая обработка данных В 9а и 9б классах измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты: 162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181. Данные, собранные в этом списке, являются наиболее полной информацией о проведенном измерении. К сожалению, эта информация трудно «читается».

№ слайда 3 Что такое статистика? Статистика – получение, обработка, анализ и публикация
Описание слайда:

Что такое статистика? Статистика – получение, обработка, анализ и публикация информации, характеризующей количественные закономерности жизни в обществе в неразрывной связи с их количественным содержанием. Энциклопедический словарь. Задачи статистики: обработка информации; получение и хранение информации; выработка различных прогнозов; 4)оценка достоверности прогнозов и т.д.

№ слайда 4 Статистика – дизайн информации Итак, займемся статистическими методами обрабо
Описание слайда:

Статистика – дизайн информации Итак, займемся статистическими методами обработки информации. Как правило, порядок преобразований первоначально полученной информации таков: сначала данные измерений упорядочивают и группируют; затем составляют таблицы распределения данных; таблицы распределения переводят в графики распределения; наконец, получают своего рода паспорт данных измерения, в котором собрано небольшое количество основных числовых характеристик полученной информации.

№ слайда 5 1. Группировка информации. 157, 158, 160, 162, 163, 164, 165, 168, 175, 176,
Описание слайда:

1. Группировка информации. 157, 158, 160, 162, 163, 164, 165, 168, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181,185, 190. Мы составили ряд данных измерения. Каждое из этих чисел называют вариантой измерения. Варианта измерения – один из результатов этого измерения. Не все варианты конкретного измерения находятся в одинаковом положении. Какие-то встречаются много раз, какие-то реже, а некоторые встречаются по одному разу. Это количество называют кратностью варианты.

№ слайда 6 Перед дальнейшей обработкой информации данные измерения группируют. Составляю
Описание слайда:

Перед дальнейшей обработкой информации данные измерения группируют. Составляют сгруппированный ряд данных. 157, 158, 160, 160, 160, 162, 162, 162, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 168, 168, 168, 168, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 179, 179, 180, 180, 180, 181, 181, 181, 181, 185, 185, 190. На этом заканчивается первый шаг обработки информации – ее упорядочивание и группировка.

№ слайда 7  	Варианта	Сумма (объем изме-рения)	 157	158	160	162	163	164	165	168	175	176
Описание слайда:

  Варианта Сумма (объем изме-рения) 157 158 160 162 163 164 165 168 175 176 177 178 179 180 181 185 190 Кратность 1 1 3 3 1 4 3 4 3 7 3 3 4 3 4 2 1 50   Варианта Сумма (объем измерения) 157 158 160 162 163 164 165 168 175 176 177 178 179 180 181 185 190 Кратность 1 1 3 3 1 4 3 4 3 7 3 3 4 3 4 2 1 50 Частота 0,02 0,02 0,06 0,06 0,02 0,08 0,06 0,08 0,06 0,14 0,06 0,06 0,08 0,06 0,08 0,04 0,02 1

№ слайда 8 Для удобства счета и построения графиков частоты переводят в проценты от объе
Описание слайда:

Для удобства счета и построения графиков частоты переводят в проценты от объема измерения.   Варианта Сумма (объем измерения) 157 158 160 162 163 164 165 168 175 176 177 178 179 180 181 185 190 Кратность 1 1 3 3 1 4 3 4 3 7 3 3 4 3 4 2 1 50 Частота 0,02 0,02 0,06 0,06 0,02 0,08 0,06 0,08 0,06 0,14 0,06 0,06 0,08 0,06 0,08 0,04 0,02 1 Частота, % 2 2 6 6 2 8 6 8 6 14 6 6 8 6 8 4 2 100

№ слайда 9 3. Графическое представление информации. Получили график распределения выборки
Описание слайда:

3. Графическое представление информации. Получили график распределения выборки

№ слайда 10 На координатной плоскости мы получили ломаную линию, которая является графико
Описание слайда:

На координатной плоскости мы получили ломаную линию, которая является графиком некоторой кусочно-линейной функции. Эту ломаную называют многоугольником распределения данных или полигоном распределения данных. Таким же образом можно построить многоугольник частот и многоугольник частот в процентах.

№ слайда 11 При графическом представлении больших объемов информации многоугольники распр
Описание слайда:

При графическом представлении больших объемов информации многоугольники распределения заменяют гистограммами, или столбчатыми диаграммами.

№ слайда 12 Информация получает ясное и удобное для объяснения представление. Вот как это
Описание слайда:

Информация получает ясное и удобное для объяснения представление. Вот как это выглядит на круговой диаграмме.

№ слайда 13 4. Числовые характеристики данных измерения. Размах измерения – разность межд
Описание слайда:

4. Числовые характеристики данных измерения. Размах измерения – разность между максимальной и минимальной вариантами. (190-157=33) Мода измерения – варианта, которая встречается чаще других. (176) Среднее значение (среднее арифметическое): просуммировать все данные измерения; полученную сумму разделить на количество данных. Медиана – средняя варианта в сгруппированном ряде. (175). Если средних вариант две, то медиана равна их полусумме.

Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров218
Номер материала ДВ-402917
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх