Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентации "Стереометрия 10 класс"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентации "Стереометрия 10 класс"

Выберите документ из архива для просмотра:

473 КБ Аксиомы стереометрии.ppt
827.5 КБ Декартовы координаты в пространстве.ppt
232 КБ Изобр. простр. фиг..ppt
464.5 КБ Параллельность прямых и плоскостей.ppt
653.5 КБ Перпендикулярность прямых и плоскостей.ppt
287.5 КБ Аксиомы стереометрии.ppt
220.5 КБ Векторы.ppt
256.5 КБ Декартовые координаты.ppt
222 КБ Площадь отртогональной проекции.ppt
182 КБ Преобразование фигур.ppt
283.5 КБ Угол между прямой и плоскостью.ppt
903.5 КБ Изображение пространственных фигур.ppt
245.5 КБ Параллельность плоскостей.ppt
179 КБ Параллельность прямых в пространстве.ppt
153 КБ параллельность прямой и плоскости.ppt
220.5 КБ Перпендикуляр и наклонная.ppt
192 КБ Перпендикулярность плоскостей.ppt
202.5 КБ Перпендикулярность прямой и плоскости.ppt
175 КБ Перпендикулярность прямых.ppt
151 КБ Скрещивающиеся прямые.ppt
180 КБ теорема о з перпендикулярах.ppt
107 КБ Главное меню.pps
116.5 КБ Презентация Microsoft PowerPoint.ppt

Выбранный для просмотра документ Аксиомы стереометрии.ppt

библиотека
материалов
Выберите нужный раздел Аксиомы стереометрии Некоторые следствия аксиом стерео...
Аксиомы стереометрии Аксиома 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки...
Аксиома 2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются...
Аксиома 3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно про...
Замечание В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все...
Замечание V:На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно пров...
Дополнительная информация либо пересекаются в одной точке. . а b O Из теоремы...
Существование плоскости проходящей через три точки Пересечение прямой с плос...
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом тол...
Теорема1,2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадл...
Теорема 1,3 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоск...
11 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Выберите нужный раздел Аксиомы стереометрии Некоторые следствия аксиом стерео
Описание слайда:

Выберите нужный раздел Аксиомы стереометрии Некоторые следствия аксиом стереометрии теория практика теория Практика

№ слайда 2 Аксиомы стереометрии Аксиома 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки
Описание слайда:

Аксиомы стереометрии Аксиома 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки принадлежащие этой плоскости и точки не принадлежащие ей. Пояснение: Пусть дана плоскость α. α В и С не принадлежит α. Точка А принадлежит α,

№ слайда 3 Аксиома 2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются
Описание слайда:

Аксиома 2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. α Пояснение Пусть даны плоскости α и β. β a Точка А принадлежит α и β, тогда плоскости α и β пересекаются по прямой a.

№ слайда 4 Аксиома 3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно про
Описание слайда:

Аксиома 3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. . А α Пояснение: a b Прямые a и b имеют общую точку A , поэтому через эти прямые можно провести плоскость α и притом только одну.

№ слайда 5 Замечание В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все
Описание слайда:

Замечание В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с тем формулировки некоторых аксиом планиметрии , как аксиом стереометрии, требуют уточнения. Это относится к аксиомам II2, IV2, IV3 и V. Приведем эти уточненные формулировки. II2 : Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. IV2 :От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 1800, и только один. IV3 : Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

№ слайда 6 Замечание V:На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно пров
Описание слайда:

Замечание V:На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной Для удобства изложения напомним аксиомы планиметрии первой группы. I1:Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. I2:Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

№ слайда 7 Дополнительная информация либо пересекаются в одной точке. . а b O Из теоремы
Описание слайда:

Дополнительная информация либо пересекаются в одной точке. . а b O Из теоремы 1,2 следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются,

№ слайда 8 Существование плоскости проходящей через три точки Пересечение прямой с плос
Описание слайда:

Существование плоскости проходящей через три точки Пересечение прямой с плоскостью Существование плоскости проходящей через данную прямую и данную точку

№ слайда 9 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом тол
Описание слайда:

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство: А b а . В α Пусть а-данная прямая и В- не лежащая на ней точка. Отметим на прямой а какую-нибудь точку А. Такая точка существует по аксиоме 1. . Проведем через точки А и В прямую b (аксиома 2). Прямые а и b имеют общую точку А. Проведем через прямые а и b плоскость α (аксиома 3). Эта плоскость проходит через прямую а и точку В Докажем теперь, что плоскость α, проходящая через прямую а и точку В, единственна. Допустим, что существует другая, отличная от α, плоскость α1 , проходящая через прямую а и точку В. По аксиоме 2 плоскости α и α1 , будучи различными, пересекаются по прямой, а именно по прямой а. Следовательно, любая общая точка плоскостей α и α1 , лежит на прямой а. Но точка В общая для плоскостей α и α1 , заведомо не лежит на прямой а. Мы пришли к противоречию. Теорема полностью доказана.

№ слайда 10 Теорема1,2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадл
Описание слайда:

Теорема1,2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство Пусть а-данная прямая α а и α- данная плоскость. По аксиоме I1 существует точка А, не лежащая на прямой а. Проведем через прямую а и точку А плоскость α, . . . α, А . Если плоскость α, совпадает с α, то α содержит прямую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость α, отлична от α, то эти плоскости пересекается по прямой а,, содержащей две точки прямой а. По аксиоме 1 прямая а’ совпадает с прямой а , и , следовательно, прямая а лежит в плоскости α

№ слайда 11 Теорема 1,3 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоск
Описание слайда:

Теорема 1,3 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме 3 такая плоскость единственна . . . α В С А Доказательство: Пусть А, В и С– три дан- ные точки, не лежащие на одной прямой Проведем прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме 3 через прямые АВ и АС можно провести плоскость α. Эта плоскость содержит точки А, В, С. Докажем, что плоскость α, проходящая через А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 1,2

Выбранный для просмотра документ Декартовы координаты в пространстве.ppt

библиотека
материалов
Векторы в пространстве Площадь ортогональной проекции Углы между прямыми и п...
Векторы в пространстве В пространстве, как и плоскости, вектором называется н...
Суммой векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) называется вектор с(a1+b1;a2+b2;a3...
Сложение векторов Векторы в пространстве можно складывать. Это делается с пом...
Вычитание векторов а b а-b Вычитание векторов производится с помощью правила...
Площадь ортогональной проекции Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию...
α С С1 В D A β Имеем: С1D=CD.cosβ, SABC=(1/2)AB.CD, SABC1=(1/2)AB.C1D. Отсюда...
Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого...
Введение О- начало координат Y-ось ординат X- ось абцисс Z- ось апликат XY- п...
Расстояние между точками Пусть А1(х1,у1,z1)и A2(х2,у2,z2)-две произвольные то...
Нахождение середины отрезков Пусть А(х1,у1,z1)и В(х2,у2,z2)-две произвольные...
Угол между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между...
Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные...
Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Доказательст...
Определим понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть дано изображение плос...
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостям...
Преобразование фигур Движение в пространстве Преобразование симметрии в прост...
Так же, как и на плоскости, в пространстве определяются преобразования симмет...
Если преобразование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в се...
 Симметрия в природе и на практике
Движение Движением называется преобразование, при котором сохраняются расстоя...
α A B C A’ B’ C’ α’ X Y Z a Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую...
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при к...
Докажем последнее свойство Если плоскость α' не совпадает с α, то по теореме...
Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом пре...
Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходя...
26 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Векторы в пространстве Площадь ортогональной проекции Углы между прямыми и п
Описание слайда:

Векторы в пространстве Площадь ортогональной проекции Углы между прямыми и плоскостями ТЕОРИЯ ПРАКТИКА Декартовые координаты Преобразование фигур в пространстве ТЕОРИЯ ТЕОРИЯ ТЕОРИЯ ТЕОРИЯ ПРАКТИКА ПРАКТИКА ПРАКТИКА ПРАКТИКА

№ слайда 2 Векторы в пространстве В пространстве, как и плоскости, вектором называется н
Описание слайда:

Векторы в пространстве В пространстве, как и плоскости, вектором называется направленный отрезок. Так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. Координатами вектора с началом в точке А1(x1,y1,z1) и концом А2(x2,y2,z2) называют числа x2-x1, y2-y1,z2-z1. Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственные равные координаты, и обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами: а(а1, а2,а3)

№ слайда 3 Суммой векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) называется вектор с(a1+b1;a2+b2;a3
Описание слайда:

Суммой векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) называется вектор с(a1+b1;a2+b2;a3+b3) Произведение вектора a(a1;a2;a3) на число λ называется вектор λa=(λa1; λa2; λa3) Скалярным произведением векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) называется число a1b1+a2b2+a3b3) Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами. Абсолютной величиной вектора называется длина отрезка изображающего вектор.

№ слайда 4 Сложение векторов Векторы в пространстве можно складывать. Это делается с пом
Описание слайда:

Сложение векторов Векторы в пространстве можно складывать. Это делается с помощью правила треугольника и параллелограмма. Это правило параллелограмма А это правило треугольника а b а+b b a а+b

№ слайда 5 Вычитание векторов а b а-b Вычитание векторов производится с помощью правила
Описание слайда:

Вычитание векторов а b а-b Вычитание векторов производится с помощью правила треугольника

№ слайда 6 Площадь ортогональной проекции Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию
Описание слайда:

Площадь ортогональной проекции Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость называется ее параллельная проекция в направлении, перпендикулярном этой плоскости. Теорема 4.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. α С С1 В D A β Доказательство. плоскость, проходящую через одну из его сторон Проекцией треугольника ABC является треугольник АВС1 в плоскости α. Проведем высоту CD в  АВС. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D — высота треугольника АВС1, Угол CDC1 равен углу β между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции α.

№ слайда 7 α С С1 В D A β Имеем: С1D=CD.cosβ, SABC=(1/2)AB.CD, SABC1=(1/2)AB.C1D. Отсюда
Описание слайда:

α С С1 В D A β Имеем: С1D=CD.cosβ, SABC=(1/2)AB.CD, SABC1=(1/2)AB.C1D. Отсюда SABC1=SABCcosβ Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна.

№ слайда 8 Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого
Описание слайда:

Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, мы разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекций, как это показано для четырехугольника ABCD на рисунке Теперь для каждого треугольника (обозначим их через X) нашего разбиения и его проекции (Y) запишем равенство SY = SXcosβ. Сложим все эти равенства почленно. Тогда получим слева площадь проекции многоугольника, а справа площадь самого многоугольника, умноженную на cos β. Теорема доказана. D C C1 B A D1 Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости а взята любая параллельная ей плоскость. Действительно, при проектировании фигуры на параллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом в направлении проектирования. А совмещаемые параллельным переносом фигуры равны. Рассмотрим теперь общий случай

№ слайда 9 Введение О- начало координат Y-ось ординат X- ось абцисс Z- ось апликат XY- п
Описание слайда:

Введение О- начало координат Y-ось ординат X- ось абцисс Z- ось апликат XY- плоскость, проходящая через Х и Y. XZ- плоскость, проходящая через X и Z. YZ- плоскость, проходящая через Y и Z . Z X Y XY YZ XZ О

№ слайда 10 Расстояние между точками Пусть А1(х1,у1,z1)и A2(х2,у2,z2)-две произвольные то
Описание слайда:

Расстояние между точками Пусть А1(х1,у1,z1)и A2(х2,у2,z2)-две произвольные точки. О X Z Y . . А1 . A2 Найдем расстояние между точками А1 и A2. 1) Отрезок А1 A2 не параллелен оси Z. Проведем через точки А1 и A2 прямые параллельные оси Z. Они пересекут плоскость XY в точках B1 и B2. . B1 . B2 Эти точки имеют те же координаты x, y, что и точки А1 и A2 , а координата z у них равна нулю. Через точку А1 проведем плоскость параллельную плоскости xy. Она пересечет прямую A2B2 в некоторой точке C. . C По теореме Пифагора A1A22=A1C2+A2C2 B1B22=(x1-x2)2+(y1-y2)2, A2C=|z2-z1| Тогда A1A22= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z2-z1)2 2) Если A1A2 параллелен оси z, то A1A2 =|z2-z1|. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае x1=x2 и y1= y2.

№ слайда 11 Нахождение середины отрезков Пусть А(х1,у1,z1)и В(х2,у2,z2)-две произвольные
Описание слайда:

Нахождение середины отрезков Пусть А(х1,у1,z1)и В(х2,у2,z2)-две произвольные точки . . . . . . В А1 А С С1 В1 О X Z Y Выразим координаты х, у, z середины С отрезка АВ через координаты его концов А и В. Для этого проведем через точки А, В и С прямые, параллельные оси z. . Они пересекут плоскость XY в точках А1(х1,у1,0), В1(х2,у2,0) и С1(х,у,0) По теореме Фалеса точка С1 является серединой отрезка А1В1 А мы знаем, что на плоскости XY координаты середины отрезка выражаются через координаты концов по формулам х =(х1+х2)/2, у =(у1+у2)/2, аналогично z =(z1+z2)/2

№ слайда 12 Угол между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между
Описание слайда:

Угол между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями

№ слайда 13 Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные
Описание слайда:

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. A B C O D Углы AOC и BOC-смежные Углы AOC и BOD - вертикальные Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90° по определению. K L M Угол KLM равен 900 Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю. a b (a,b)=00 Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

№ слайда 14 Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Доказательст
Описание слайда:

Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Доказательство Пусть a и b –изображение скрещивающихся прямых. a b Пусть а1 и b1— пересекающиеся в точке А прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым а и b. Пусть а2и b2—другие прямые пересекающиеся в точке B, параллельные данным скрещивающимся прямым а и b. a1 b1 A a2 b2 B По теореме 2.2 прямые а1 и а2 параллельны (или совпадают) и прямые b1 и b2 параллельны (или совпадают). Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В. Так как при параллельном переносе каждая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую, то указанный параллельный перенос переводит прямую a1 в прямую а2, а прямую b2 в прямую b2. Так как параллельный перенос сохраняет величину угла, то угол между прямыми a1 и b1 равен углу между прямыми а2 и b2. Что и требовалось доказать.

№ слайда 15 Определим понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть дано изображение плос
Описание слайда:

Определим понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть дано изображение плоскости α α а — пересекающая ее прямая, не перпендикулярная плоскости α. a Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость α, лежат на прямой а'. a’ Эта прямая называется проекцией прямой а на плоскость α. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол считается равным 90°. Если параллельна, то 0°. то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром плоскости. Так как прямая а, ее проекция а' на плоскость α и перпендикуляр b к плоскости α в точке ее пересечения с прямой а b лежат в одной плоскости β, β

№ слайда 16 Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостям
Описание слайда:

Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю. Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β, α β которые пересекаются по прямой c. с Проведем плоскость γ, перпендикулярную прямой c. γ Она пересекает плоскости α и β по двум прямым a и b. a b Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости. Докажем это. Возьмем другую секущую плоскость γ’ перпендикулярную прямой с. γ’ Она пересекает плоскости α и β по двум прямым a’ и b’ a’ b’ A A’ Выполним параллельный перенос, при котором A переходит в точку A’ . При этом по свойству параллельного переноса прямая а переходит в прямую а', а прямая b — в прямую b’. Это значит, что углы между прямыми а и b, а' и b’ равны.

№ слайда 17 Преобразование фигур Движение в пространстве Преобразование симметрии в прост
Описание слайда:

Преобразование фигур Движение в пространстве Преобразование симметрии в пространстве Параллельный перенос в пространстве Подобие пространственных фигур

№ слайда 18 Так же, как и на плоскости, в пространстве определяются преобразования симмет
Описание слайда:

Так же, как и на плоскости, в пространстве определяются преобразования симметрии относительно точки и прямой. . . . X X1 O . O F F1 Точка X1 симметрична точке X относительно точки O. Фигура F1 симметрична фигуре F относительно точки O Точка X1 симметрична точке X относительно прямой g. X X1 . g . g Фигура F1 симметрична фигуре F относительно прямой g F F1

№ слайда 19 Если преобразование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в се
Описание слайда:

Если преобразование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость α называется плоскостью симметрии этой фигуры. В пространстве, рассматривают преобразование симметрии относительно плоскости. Пусть α— изображение плоскости. α Из точки X X опускаем перпендикуляр ХА на плоскость а . A . и на его продолжении за точку А откладываем отрезок АХ', равный ХА. . X’ Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости α, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X'', называется преобразованием симметрии относительно плоскости α. Если точка X лежит в плоскости α, то считается, что точка X переходит в себя.

№ слайда 20  Симметрия в природе и на практике
Описание слайда:

Симметрия в природе и на практике

№ слайда 21 Движение Движением называется преобразование, при котором сохраняются расстоя
Описание слайда:

Движение Движением называется преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками Свойства: 1) при движении в пространстве прямые переходят в прямые, 2) полупрямые — в полупрямые, 3) отрезки — в отрезки, 4) сохраняются углы между полупрямыми, 5) движение переводит плоскости в плоскости. Докажем последнее свойство Пусть α- изображение плоскости. α Отметим на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. A B C При движении они перейдут в три точки А', В’,С’, также не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость α'. A’ B’ C’ α’ Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость а переходит в плоскость а'. Пусть X — произвольная точка плоскости α. X Проведем через нее какую-нибудь прямую а в плоскости α, пересекающую треугольник ABC в двух точках Y и Z. Y Z a ДАЛЕЕ

№ слайда 22 α A B C A’ B’ C’ α’ X Y Z a Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую
Описание слайда:

α A B C A’ B’ C’ α’ X Y Z a Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую а'. Точки Y и Z прямой а перейдут в точки Y' и Z’, принадлежащие треугольнику А'В'С’, а значит, плоскости а'. X’ Y’ Z’ a’ Прямая а' лежит в плоскости α’. Точка X при движении переходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости α’. В силу произвольности точки X свойство доказано. Две фигуры называются равными, если они совмещаются движением. Фигуры F и F’ равны F F’

№ слайда 23 Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при к
Описание слайда:

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х+ а; y + b; z+ c), где числа а, Ь, с одни и те же для всех точек (х; у; c). Параллельный перенос в пространстве задается формулами х' = х + а, у/ = у+Ь, z = z + с, выражающими координаты х’, у’, z' точки, в которую переходит точка (х; у; z) при параллельном переносе. Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость. Свойства: ДАЛЕЕ

№ слайда 24 Докажем последнее свойство Если плоскость α' не совпадает с α, то по теореме
Описание слайда:

Докажем последнее свойство Если плоскость α' не совпадает с α, то по теореме 2.3 она параллельна α. Пусть α — изображение плоскости. α Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и b. a b При параллельном переносе прямые а и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые а' и b'. a’ b’ Плоскость α переходит в некоторую плоскость α', проходящую через прямые а' и b’. α’ Что и требовалось доказать.

№ слайда 25 Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом пре
Описание слайда:

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и Y фигуры F X'Y' = k*XY k- коэфициент подобия F X Y и точек Х’, Y' фигуры F', в которые они переходят, F’ X’ Y’ Так же, как и на плоскости, преобразование подобия в пространстве переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и сохраняет углы между полупрямыми. Такими же рассуждениями, как в движении , доказывается, что преобразование подобия переводит плоскости в плоскости. Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия. Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетия. Так же, как и на плоскости, гомотетия относительно центра О с коэффициентом гомотетии k — это преобразование, которое переводит произвольную точку X в точку Х’ луча ОХ, такую, что ОХ' = k • ОХ. O X X’ K>1

№ слайда 26 Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходя
Описание слайда:

Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Пусть О — изображение центра гомотетии и α — изображение плоскости, не проходящая через точку О. O α Возьмем любую прямую АВ в плоскости α. A B Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А' на луче ОА, а точку В в точку В' на луче ОВ, A’ B’ причем OA/OA’=k, OB/OB’=k, где к- коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А'ОВ'. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА'В‘, а значит, параллельность прямых АВ и А'В‘. Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости α. C Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А'С’. C’ При рассматриваемой гомотетии плоскость α перейдет в плоскость α’. α’ Так как А'В‘ || AB и А'С || АС, то по теореме 2.4 плоскости α и α параллельны. Что и требовалось доказать.

Выбранный для просмотра документ Изобр. простр. фиг..ppt

библиотека
материалов
ТЕОРИЯ ПРАКТИКА
Вступление А А1 h Для изображения пространственных фигур на плоскости пользую...
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками. А...
Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными о...
Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при парал...
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ТЕОРИЯ ПРАКТИКА
Описание слайда:

ТЕОРИЯ ПРАКТИКА

№ слайда 2 Вступление А А1 h Для изображения пространственных фигур на плоскости пользую
Описание слайда:

Вступление А А1 h Для изображения пространственных фигур на плоскости пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа α, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка А1 пересечение этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А. Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее издали. α

№ слайда 3 Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками. А
Описание слайда:

Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками. А В С А1 В1 С1 α Действительно, все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа α по прямой А1С1 . Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой В1 отрезка А1С1

№ слайда 4 Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными о
Описание слайда:

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками. А А1 С1 С А, С, А1, С1, АС║А,С, А1С1 ║А1,С1, α

№ слайда 5 Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при парал
Описание слайда:

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при параллельном проектировании. А С2 С А2 B А1 С1 Покажем что АВ / ВС=А1В1 / В1С1 . α Проведем через точку В прямую А2С2, параллельную А1С1 Треугольники ВАА2 и ВСС2 подобны. Из подобия треугольников и равенств А1В1=А2В и В1С1=ВС2 следует пропорция АВ / ВС=А1В1 / В1С1 В1

Выбранный для просмотра документ Параллельность прямых и плоскостей.ppt

библиотека
материалов
Параллельность прямых и плоскостей Параллельные прямые в пространстве Паралле...
Две прямые в пространстве называются параллельными если они лежат в одной пл...
Через точку вне данной прямой можно провести прямую параллельную данной и при...
Теорема 2,2 Две прямые, параллельные третьей прямой параллельны. Пусть прямые...
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются α a При...
Теорема 2,3. Если прямая не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь...
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. α β Признак...
Теорема 2,4 Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно парал...
Теорема 2,5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, паралл...
Поэтому прямая b' параллельна прямой b, а значит, совпадает с прямой b1. Так...
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостям...
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения п...
12 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Параллельность прямых и плоскостей Параллельные прямые в пространстве Паралле
Описание слайда:

Параллельность прямых и плоскостей Параллельные прямые в пространстве Параллельность прямой и плоскости Параллельность плоскостей теория Практика теория теория Практика Практика

№ слайда 2 Две прямые в пространстве называются параллельными если они лежат в одной пл
Описание слайда:

Две прямые в пространстве называются параллельными если они лежат в одной плоскости и не пересекаются Существование прямой параллельной данной Признак параллельности прямых Прямые которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися A a b α a b

№ слайда 3 Через точку вне данной прямой можно провести прямую параллельную данной и при
Описание слайда:

Через точку вне данной прямой можно провести прямую параллельную данной и притом только одну. Доказательство: Пусть а- данная прямая а и А- точка, не лежащая на этой прямой. . А Проведем через прямую а и точку А плоскость α. Проведем через точку А в плоскости α прямую а1, параллельную а. а1 Докажем, что прямая а1, параллельная а, единственна Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая через точку А и параллельная прямой а. α Плоскость α2 проходит через прямую а и точку А; следовательно, по теореме 1.1 она совпадает с α. По аксиоме параллельных прямые а1 и а2 совпадают. Теорема доказана. Теорема2,1 а2 Через прямые а и а2 можно провести плоскость α2.

№ слайда 4 Теорема 2,2 Две прямые, параллельные третьей прямой параллельны. Пусть прямые
Описание слайда:

Теорема 2,2 Две прямые, параллельные третьей прямой параллельны. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Докажем,что прямые b и с параллельны Случай, когда прямые а, b и с лежат в одной плоскости был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть β-плоскость, в которой лежат прямые а и b, а γ-плоскость, в которой лежат прямые а и с.Плоскости β и γ различны. c b β γ а γ1 Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем плоскость γ1 через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость β по прямой b1. В . b1 Прямая b1 не пересекает плоскость γ. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой a, так как прямая b1 лежит в плоскости β. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с , так как прямая b1 лежит в плоскости γ1. Но прямые а и с как параллельные не пересекаются. Так как прямая b1 лежит в плоскости β и не пересекает прямую а , то она параллельна а, а значит , совпадает с b по аксиоме о параллельных. Таким образом, прямая b, совпадая с прямой b1, лежит в одной плоскости с прямой с(в плоскости γ1) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны. Теорема доказана.

№ слайда 5 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются α a При
Описание слайда:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются α a Признак параллельности прямой и плоскости

№ слайда 6 Теорема 2,3. Если прямая не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь
Описание слайда:

Теорема 2,3. Если прямая не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости α1 a а1 α Доказательство. Пусть α-плоскость, а- не лежащая в ней прямая и α1- прямая в плоскости α, параллельная прямой а Проведем плоскость α1 через прямые а и а1 Она отлична от α, так как прямая а не лежит в плоскости α. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой а1 . Если бы прямая а пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, так как прямые а1 и а параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость α. Теорема доказана.

№ слайда 7 Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. α β Признак
Описание слайда:

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. α β Признак параллельности плоскостей Существование плоскости, параллельной данной плоскости Свойство параллельных плоскостей

№ слайда 8 Теорема 2,4 Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно парал
Описание слайда:

Теорема 2,4 Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство: Пусть α и β- изображение плоскостей, α β а1 и а2 - прямые в плоскости а, пересекающи- еся в точке А, a1 a2 A b1 и b2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β b1 b2 Допустим, что плоскостиαи β не парал-лельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с. c По теореме 16.3 прямые а1и а2, как параллельные прямым b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

№ слайда 9 Теорема 2,5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, паралл
Описание слайда:

Теорема 2,5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной и притом только одну. β А Пусть дана плоскость α и точка А не лежащая на этой плоскости. Проведем в данной плоскости α какие-нибудь две переcекающиеся прямые а и b. Через данную точку А проведём параллельные им прямые а1 и b1. Плоскость β, проходящая через прямые а1 и b1 α a b a1 b1 . Доказательство. по теореме 2,3 параллельна плоскости α. Далее

№ слайда 10 Поэтому прямая b' параллельна прямой b, а значит, совпадает с прямой b1. Так
Описание слайда:

Поэтому прямая b' параллельна прямой b, а значит, совпадает с прямой b1. Так как по аксиоме 3 через прямые а1 и b1 можно провести только одну плоскость, то плоскость β' совпадает с плоскостью β. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. β’ a’ b’ Допустим,что через точку А проходит другая плоскость β’, параллельная плоскости а. β Плоскость параллельных прямых а и a1 пересекает плоскость β' по прямой а'. Прямая а' не пересекает прямую а, так как она не пересекает содержащую а плоскость α. Поэтому прямая а' параллельна прямой а и, значит, по аксиоме параллельных совпадает с прямой а1. Плоскость параллельных прямых b и b1 пересекает плоскость β' по прямой b'. Прямая b' не пересекает прямую b.

№ слайда 11 Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостям
Описание слайда:

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Доказательство. Пусть α1 и α2 — параллельные плоскости, α1 α2 А2 А1 a b В1 В2 . . . . а и b — пересекающие их параллельные прямые, А1, А2 и В1, В2 — точки пересечения прямых с плоскостями. Проведем через прямые а и b плоскость(фигура А1В1В2А2) Она пересекает плоскости α1 и α2 по параллельным прямым А1В1 и А2В2. Четырехугольник А1В1В2А2 — параллелограмм, так как у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, А1А2 = В1В2. Теорема доказана Теорема 2,6

№ слайда 12 Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения п
Описание слайда:

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Доказательство Пусть даны две параллельные плоскости α и β. β Плоскость γ пересекает эти плоскости α Эти прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости γ. a b Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, по определению прямые параллельны.

Выбранный для просмотра документ Перпендикулярность прямых и плоскостей.ppt

библиотека
материалов
Выберите нужную тему Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и пл...
Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом....
Теорема 3,1. Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикуляр...
а С1— точка пересечения прямых а1 и b1. 	 B B1 C1 α α1 . . . . b a b1 . C . a...
B B1 C1 α α1 . . . . b a b1 . C . a1 A1 Так как у параллелограмма противолежа...
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости ,...
Теорема3,2. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым...
Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник...
α x1 x2 a1 a2 Теорема 3,3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух парал...
а α В В’ C . . . Теорема 3.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же пло...
Перпендикуляр и наклонная Наклонной, проведенной из данной точки к данной пло...
. А C В с α Аналогично, если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, б...
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярними, если какая-либо пл...
Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямим а и b....
Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикул...
B Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с конца...
Теорема3,8. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом тол...
γ a’ . В . b D β α а . . С А b’ Допустим, что у прямых а и b есть другой общи...
18 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Выберите нужную тему Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и пл
Описание слайда:

Выберите нужную тему Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикуляр и наклонная Теорема о трех перпендикулярах Перпендикулярность плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Теория Практика Теория Практика Теория Теория Теория Теория Практика Практика Практика Практика

№ слайда 2 Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Описание слайда:

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. a b Прямые a и b перпендикулярные.

№ слайда 3 Теорема 3,1. Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикуляр
Описание слайда:

Теорема 3,1. Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны a b a1 b1 Доказательство: Пусть a и b — перпендикулярные прямые, а1 и b1 — параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые a1 и b1 перпендикулярны. Далее Пусть прямые a, b, a1, b1 лежат в одной плоскости. Так как прямые Ь и b1 параллельны, то прямая а , будучи перпендикулярна прямой Ь , будет перпендикулярна и прямой Ь1. так как прямые а и а1 параллельны, то прямая Ь1 будучи перпендикулярна а, будет перпендикулярна и a1.

№ слайда 4 а С1— точка пересечения прямых а1 и b1. 	 B B1 C1 α α1 . . . . b a b1 . C . a
Описание слайда:

а С1— точка пересечения прямых а1 и b1. B B1 C1 α α1 . . . . b a b1 . C . a1 A1 Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α, а прямые а1 и b1 — в некоторой плоскости α1 По теореме 2,4 прямые а и b параллельны плоскости а1. По теореме 2.3 плоскости а и а1 параллельны. Пусть С — точка пересечения прямых а и b , Проведем в плоскости параллельных прямых а и а1 прямую, параллельную прямой СС1 Она пересечет прямые а и а1 в точках А и А1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через В и В1 точки ее пересечения с прямыми b и b1. A Далее

№ слайда 5 B B1 C1 α α1 . . . . b a b1 . C . a1 A1 Так как у параллелограмма противолежа
Описание слайда:

B B1 C1 α α1 . . . . b a b1 . C . a1 A1 Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А1В1 , АС=А1С1 ,ВС=В1С1 .По третьему признаку равенства треугольников АВС= =А1В1С1 . Четырехугольники САА1С1 иСВВ1С1 — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Докажем, что четырехугольник АВВ1А1 также параллелограмм. A У него стороны АА1, ВВ1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС1. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА1 и ВВ1.Она пересекает параллельные плоскости α и α1 по параллельным прямым АВ и А1В1. А1С1В1= АСВ=900. Следовательно прямые а1 и b1 перпендикулярны. Теорема доказана

№ слайда 6 Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости ,
Описание слайда:

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости , если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости. A a α b c d Прямая a перпендикулярна плоскости α. Тогда a перпендикулярна прямой b, c и d. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

№ слайда 7 Теорема3,2. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым
Описание слайда:

Теорема3,2. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости α. Доказательство. α . b c A а Пусть дано изображение плоскости α, Далее прямая а пересекает плоскость α в точке А и перпендикулярна прямым b и с в этой плоскости, которые проходят через точку А.

№ слайда 8 Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник
Описание слайда:

Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. α . . . . . . В b A1 A2 c C x A а Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости α и докажем, что она перпендикулярна прямой а. X Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки: АА1 и АА2. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). Аналогично треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно, равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ (по первому признаку равенства треугольников). Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. Теорема доказана.

№ слайда 9 α x1 x2 a1 a2 Теорема 3,3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух парал
Описание слайда:

α x1 x2 a1 a2 Теорема 3,3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Она лежит в плоскости α. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости α, то прямые а1 и х1 перпендикулярны. А по теореме 3.1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Доказательство Пусть а1 и а2 — две параллельные прямые и α — плоскость, перпендикулярная прямой а1 Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Через точку пересечения прямой а1 с плоскостью α проведем прямую x1 параллельную прямой х2. Проведем через точку пересечения прямой а2 с плоскостью α произвольную прямую х2 в плоскости α. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой x2 в плоскости α. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.

№ слайда 10 а α В В’ C . . . Теорема 3.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же пло
Описание слайда:

а α В В’ C . . . Теорема 3.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказательство. Пусть а и b —изображение двух прямых , перпендикулярных плоскости α. b Допустим, что прямые а и b не параллельны. Возьмем на прямой b какую-нибудь точку С, не принадлежащую плоскости α. Проведем через точку С прямую b', параллельную прямой а. Прямая Ь' перпендикулярна плоскости α. b’ Пусть В и В‘ — точки пересечения прямых b и b' с плоскостью α. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. . Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

№ слайда 11 Перпендикуляр и наклонная Наклонной, проведенной из данной точки к данной пло
Описание слайда:

Перпендикуляр и наклонная Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром. α В С А . . . Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой лежащей на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра , опущенного на плоскость. Конец отрезка, лежащий в плоскости , называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной АВ- перпендикуляр АС- наклонная ВС- проекция В- основание перпендикуляра С- основание наклонной

№ слайда 12 . А C В с α Аналогично, если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, б
Описание слайда:

. А C В с α Аналогично, если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной ВС.. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной и перпендикулярная ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Доказательство и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание С наклонной, с  BC. Проведем прямую СА', перпендикулярную плоскости α. Она параллельна прямой АВ (теорема 3.4) . и прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АС. Проведем через прямые АВ и А'С плоскость β. Прямая с перпендикулярна прямой СА‘, Пусть α - изображение плоскости, АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная . А’ . . β Теорема доказана. Теорема 3.5 (теорема о трех перпендикулярах).

№ слайда 13 Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярними, если какая-либо пл
Описание слайда:

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярними, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. α β γ A c b a Тогда a и b – перпендикулярны. Пусть α и β -изображение перпендикулярных плоскостей, которые пересекаются по прямой с. Плоскость γ перпендикулярна прямой с. Она пересекает плоскости α и β по прямым a и b 1 признак перпендикулярности плоскостей 2 признак перпендикулярности плоскостей

№ слайда 14 Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямим а и b.
Описание слайда:

Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямим а и b. Так как прямне а и b перпендикулярны, то плоскости α и β перпендикулярны. а β с γ b α Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство. Пусть дано изображение плоскости α, Проведем в плоскости α через точку пересечения прямой b с плоскостью α прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость у. Теорема 3.6. b перпендикулярная ей прямая, β — плоскость , проходящая через прямую b, и с — прямая, по которой пересекаются плоскости α и β Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. Теорема доказана.

№ слайда 15 Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикул
Описание слайда:

Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Плоскость у, проходящая через прямые a и Ь, перпендикулярна прямой с, так как лежащие в ней прямые а и Ь перпендикулярны прямой с. Доказательство. β b с а α Пусть α и β — изображение перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по прямой с , Через точку С пересечения прямых а и с проведем прямую b в плоскости β, перпендикулярную прямой c. Теорема 3.7. а — прямая лежащая в плоскости α и перпендикулярная с. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Так как плоскости α и β перпендикулярны, то прямые а и Ь перпендикулярны. Кроме того, прямые а и с перпендикулярны (по условию), поэтому прямая а перпендикулярна плоскости β. Теорема доказана. . С γ

№ слайда 16 B Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с конца
Описание слайда:

B Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. a b Пусть a и b – изображение скрещивающихся прямых Отрезок AB . A . перпендикулярен прямой a , и прямой b. AB- общий перпендикуляр Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

№ слайда 17 Теорема3,8. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом тол
Описание слайда:

Теорема3,8. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. a’ . В b β α а . А Доказательство Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости α, перпендикулярна и плоскости β, так как β параллельна α. Отрезок АВ — общий перпендикуляр плоскостей α и β, а значит, и прямых а и b. Пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них параллельные плоскости α и β. Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости α, лежат в одной плоскости (у). Эта плоскость пересекает плоскость β по прямой а’ параллельной а. Пусть В — точка пересечения прямых а' и b. γ Далее Проведем через точку В в плоскости у прямую перпендикулярную прямой. Она пересечет плоскость α в точкеА.

№ слайда 18 γ a’ . В . b D β α а . . С А b’ Допустим, что у прямых а и b есть другой общи
Описание слайда:

γ a’ . В . b D β α а . . С А b’ Допустим, что у прямых а и b есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую b', параллельную b. Прямая CD перпендикулярна прямой b, а значит, и b'. Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости α, а значит, параллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АВ и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости должны лежать наши скрещивающиеся прямые АС и BD, а это невозможно. Теорема доказана

Выбранный для просмотра документ Аксиомы стереометрии.ppt

библиотека
материалов
Найти прямую пересечения плоскостей АА1В1 и АА1D1. Из условия задачи следует,...
A B C D M Пусть дано изображение четырехугольник АВСD и треугольника АМD (они...
. А β α γ а b Доказать, что если прямые а и b пересекаются, то точка пересече...
Пусть дано изображение четырехугольника АВСD и точки М вне его плоскости. . М...
Через середины сторон треугольника проведена плоскость. Совпадает ли она с пл...
Докажите, что и две другие смежные вершины C и D лежат в этой плоскости. К А...
8 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Найти прямую пересечения плоскостей АА1В1 и АА1D1. Из условия задачи следует,
Описание слайда:

Найти прямую пересечения плоскостей АА1В1 и АА1D1. Из условия задачи следует, что точка А общая для данных плоскостей. А В D C A1 B1 С1 D1 Пусть дано изображение куба АВСDA1B1C1D1. Следовательно прямая пересечения проходит через эту точку. Общей для этих плоскостей является и точка А1. Значит прямая пересечения пройдет через эти точки. Но через две точки можно провести только одну прямую. Эта прямая АА1 Решение

№ слайда 3 A B C D M Пусть дано изображение четырехугольник АВСD и треугольника АМD (они
Описание слайда:

A B C D M Пусть дано изображение четырехугольник АВСD и треугольника АМD (они не лежат в одной плоскости) Найти прямую пересечения плоскостей ВАМ и АМD. Проведем плоскость ВАМ Плоскости BAM и AMD имеют общую точку А. Значит мы можем сказать, что прямая пересечения проходит через точку А. Эти плоскости имеют также общую точку М. Значит прямая пресечения проходит и через точку М. Следовательно прямой пересечения плоскостей ВАМ и АМD есть прямая АМ.

№ слайда 4 . А β α γ а b Доказать, что если прямые а и b пересекаются, то точка пересече
Описание слайда:

. А β α γ а b Доказать, что если прямые а и b пересекаются, то точка пересечения лежит на линии пересечения плоскостей β и γ. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А Точка А принадлежит прямой а, то она принадлежит и плоскости β. Точка А принадлежит прямой b, то она принадлежит и плоскости γ. Следовательно точка А является общей для плоскостей β и γ. Плоскости β и α пересекаются по прямой а, а плоскости α и γ по прямой b. Поэтому прямая пересечения плоскостей β и γ проходит через точку А.

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 Пусть дано изображение четырехугольника АВСD и точки М вне его плоскости. . М
Описание слайда:

Пусть дано изображение четырехугольника АВСD и точки М вне его плоскости. . М А В С D Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС. Из условия задачи следует, что точка М общая для данных плоскостей. Следовательно прямая пересечения проходит через эту точку. Общей для этих плоскостей является и точка В. Значит прямая пересечения пройдет и через точку В. Но через две точки можно провести только одну прямую. Эта прямая - МВ Для более наглядного представления рисунка проведем плоскости МАВ и МВС.

№ слайда 7 Через середины сторон треугольника проведена плоскость. Совпадает ли она с пл
Описание слайда:

Через середины сторон треугольника проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью треугольника? А В С α Отметим середины сторон треугольника АВС. Это точки К, М и Р. К М Р Данные точки принадлежат плоскости треугольника. Согласно теоремы 1,3 через данные точки можно провести только одну плоскость. Следовательно плоскость α совпадает с плоскостью треугольника.

№ слайда 8 Докажите, что и две другие смежные вершины C и D лежат в этой плоскости. К А
Описание слайда:

Докажите, что и две другие смежные вершины C и D лежат в этой плоскости. К А В С D Две смежные вершины А и B и точка пересечения диагоналей K трапеции АВСD лежат в одной плоскости. Через точки А,В и К проведем плоскость α. α Точки В и К принадлежат плоскости α. Следовательно и прямая ВК принадлежит этой плоскости. Точка D лежит на прямой BK, поэтому она принадлежит плоскости α. Аналогично, точка С принадлежит плоскости α.

Выбранный для просмотра документ Векторы.ppt

библиотека
материалов
Даны вершины треугольника A(1;3;0) , B(1;0;4) и C (-2;1;6). Найдите внешний...
Дан треугольник ABC A(3;-5;1) , B(4;-1;-2), C (-3;3;1). Найдите угол межу ст...
При каком перпендикулярен вектору вектор , если Даны два вектора Найдем коор...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Даны вершины треугольника A(1;3;0) , B(1;0;4) и C (-2;1;6). Найдите внешний
Описание слайда:

Даны вершины треугольника A(1;3;0) , B(1;0;4) и C (-2;1;6). Найдите внешний угол φ при вершине A. Дан треугольник ABC Найдем внешний угол φ при вершине A Рассмотрим вектора AB(1-1;0-3;4-0) =(0;-3;4) AC(-2-1;1-3;6-0) =(-3;-2;6)

№ слайда 3 Дан треугольник ABC A(3;-5;1) , B(4;-1;-2), C (-3;3;1). Найдите угол межу ст
Описание слайда:

Дан треугольник ABC A(3;-5;1) , B(4;-1;-2), C (-3;3;1). Найдите угол межу стороной AC и медианой BM. Дан треугольник ABC, BM – медиана, (AM=CM) Найдем угол BMA Найдем координаты точки M. M(0;-1;1) Рассмотрим вектора MA(3-0;-5-(-1);1-1) =(3;-4;0) MB(4-0;-1-(-1);-2-1) =(4;0;-3)

№ слайда 4 При каком перпендикулярен вектору вектор , если Даны два вектора Найдем коор
Описание слайда:

При каком перпендикулярен вектору вектор , если Даны два вектора Найдем координаты векторов Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Следовательно

Выбранный для просмотра документ Декартовые координаты.ppt

библиотека
материалов
Докажите, что треугольник с вершинами А(3,-2,1), В(-2,1,3), С(1,3,-2) равност...
Найдите координаты концов отрезка, который точками В(0;3,5;-4) и С(-5,6,1) ра...
Даны координаты середин треугольника М(-1,4,2), N(1,3,4) и Р(2,7,-1). Найдите...
Найдем абсциссы точек A,B,C. Найдем ординаты точек A,B,C. Найдем аппликаты то...
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Докажите, что треугольник с вершинами А(3,-2,1), В(-2,1,3), С(1,3,-2) равност
Описание слайда:

Докажите, что треугольник с вершинами А(3,-2,1), В(-2,1,3), С(1,3,-2) равносторонний. О Мы знаем, что расстояние между двумя точками вычисляется по формуле: Найдем длины сторон треугольника: Следовательно данный треугольник равносторонний А В С Пусть дан треугольник АВС. x y z

№ слайда 3 Найдите координаты концов отрезка, который точками В(0;3,5;-4) и С(-5,6,1) ра
Описание слайда:

Найдите координаты концов отрезка, который точками В(0;3,5;-4) и С(-5,6,1) разделен на три равные части. Дан отрезок и точки B и C, причем AB=BC=CD Найдем координаты точек A и D. Точка B середина AC, поэтому Тогда A(5;1;-9) Аналогично, точка B середина AC, поэтому Тогда B(-1;8.5;6)

№ слайда 4 Даны координаты середин треугольника М(-1,4,2), N(1,3,4) и Р(2,7,-1). Найдите
Описание слайда:

Даны координаты середин треугольника М(-1,4,2), N(1,3,4) и Р(2,7,-1). Найдите координаты вершин треугольника ABC. Пусть даны точки М,N,Р, являющиеся серединами сторон треугольника АВС. x y z М Р N А В С Координаты середины отрезков вычисляем по формуле: ДАЛЕЕ О Подставим координаты точек М,N,Р .

№ слайда 5 Найдем абсциссы точек A,B,C. Найдем ординаты точек A,B,C. Найдем аппликаты то
Описание слайда:

Найдем абсциссы точек A,B,C. Найдем ординаты точек A,B,C. Найдем аппликаты точек A,B,C. В итоге получим A(0;8;-3)?, B(4;6;1),C(-2;0;7).

Выбранный для просмотра документ Площадь отртогональной проекции.ppt

библиотека
материалов
Через вершину прямого угла С треугольника ABC проведена прямая k перпендикул...
Через диагональ АС ромба ABCD проведена плоскость АМС под углом 45° к плоскос...
Через сторону AB прямоугольного па-раллелепипеда ABCDA1B1C1D1 про-ведена пло...
Тогда, так как M1B1:C1M1 =1:2 и B1C1= 6 дм, Пусть M1B1=x. имеем x+2x=6 дм x=...
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Через вершину прямого угла С треугольника ABC проведена прямая k перпендикул
Описание слайда:

Через вершину прямого угла С треугольника ABC проведена прямая k перпендикулярна плоскости ABC. Плоскость, проходящая через AB под углом 600 к плоскости ABC, пересекает прямую k в точке D. Найти плоскость треугольника ABD, если AC=5 дм, BC=8 дм. Пусть дано изображение треугольника ABC. Прямая k перпендикулярна плоскости ABC. k Плоскость ABD расположена под углом 600 к плоскости ABC. A B C D Треугольник ABC является ортогональ-ной проекцией треугольника ABD. Тогда по теореме 4.1 Отсюда дм. Тогда дм. Угол С равен 900.

№ слайда 3 Через диагональ АС ромба ABCD проведена плоскость АМС под углом 45° к плоскос
Описание слайда:

Через диагональ АС ромба ABCD проведена плоскость АМС под углом 45° к плоскости ABC, отрезок ВМ перпендикулярен плоскости АМС. Найдите площадь проекции треугольника AМС, если AB = 12 см, угол BAD = 120°. Пусть дано изображение ромба ABCD A C D B M Плоскость AMC расположена под углом 450 к плоскости ABC. Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости АМС. Тогда AMC ортогональная проекция ABC. AB=BC=12 см, ABC=1800-1200=600. (см2 )

№ слайда 4 Через сторону AB прямоугольного па-раллелепипеда ABCDA1B1C1D1 про-ведена пло
Описание слайда:

Через сторону AB прямоугольного па-раллелепипеда ABCDA1B1C1D1 про-ведена плоскость ABM1N1( M1 лежит на B1C1, N1 – на A1D1) под углом 450 к плоскости основания ABCD, причем M1B1:C1M1 =1:2. Найдите площадь че-тырехугольника ABM1N1, если AB=9 дм, BC= 6 дм. А С D А1 В1 С1 D1 Пусть дано изображение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1. Плоскость ABM1N1 расположена под уг- лом 450 к плоскости основания ABCD M1 N1 Так плоскости ABC и A1B1С1 парал-лельны, то M1N1 || AB ( теорема 2.7) В и M1N1 || A1B1 Опустим перпендикуляры M1M и N1N на BC и AD плоскостях BCC1 и ADD1 , соответственно. M N M1M и N1N перпен-дикулярны плоскости ABC. M1N1 || MN ABMN ортогональная проекция ABM1N1 на плоскость ABC. тогда ДАЛЕЕ

№ слайда 5 Тогда, так как M1B1:C1M1 =1:2 и B1C1= 6 дм, Пусть M1B1=x. имеем x+2x=6 дм x=
Описание слайда:

Тогда, так как M1B1:C1M1 =1:2 и B1C1= 6 дм, Пусть M1B1=x. имеем x+2x=6 дм x=3 дм. BM=B1M1=3 дм. Рассмотрим четырехугольник ABMN дм дм он прямоугольник А D А1 В1 D1 M1 N1 В M N С С1 x

Выбранный для просмотра документ Преобразование фигур.ppt

библиотека
материалов
Найдите координаты точки С симметричной точке B (xB;yB;zB) относительно точк...
В какую точку перейдет точка B(-8.6;5;-3) при параллельном переносе, если при...
Докажите, что при симметрии относительно точки плоскость не проходящая через...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Найдите координаты точки С симметричной точке B (xB;yB;zB) относительно точк
Описание слайда:

Найдите координаты точки С симметричной точке B (xB;yB;zB) относительно точки A (xA;yA;zA). Точка С симметрична точке B относительно точки A. Найдем координаты точки С Точка А – середина отрезка ВС, тогда С( )

№ слайда 3 В какую точку перейдет точка B(-8.6;5;-3) при параллельном переносе, если при
Описание слайда:

В какую точку перейдет точка B(-8.6;5;-3) при параллельном переносе, если при этом точка A(1;7;-2) переходит точку A’(3.6;3;1) При параллельном переносе точка A переходит в точку A’. Воспользуемся формулами параллельного переноса получим Точка В переходит в точку В’. Найдем координаты точки В’. В итоге получим B’(6;1;0).

№ слайда 4 Докажите, что при симметрии относительно точки плоскость не проходящая через
Описание слайда:

Докажите, что при симметрии относительно точки плоскость не проходящая через эту точку переходит в параллельную плоскость. Путь дано изображение плоскости α и точки О- центр симметрии. Построим точку А1,симметричную точке А относительно точки О. Проведем в плоскости α две прямых а и b пересекающихся в точке А a b α Возьмем точку В на прямой b, и построим точку В1,симметричную точке В относительно точки О. Через точки А’ и B’ проведем прямую b’. b’ Треугольники AOB и A’OB’ равны (OA=OA’, OB=OB’, углы AOB и A’OB’ равны так как вертикальные. Следовательно углы ABO и A’B’O –равны, поэтому b || b’. Возьмем точку C на прямой a, и построим точку C1,симметричную точке C относительно точки О. Через точки А’ и C’ проведем прямую a’. Аналогично можно доказать, что а || а’. Через прямые а’ и b’ проведем плоскость α’. a’ α’ По теореме2,4 эта плоскость параллельна плоскости α.

Выбранный для просмотра документ Угол между прямой и плоскостью.ppt

библиотека
материалов
Найдите угол φ между не параллельными диагоналями двух противоположных боковы...
Через центр О квадрата ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр, на которо...
A B C D O F M K P Так как M- середина AB и KM || BD, то KM- средняя линия AB...
Угол между плоскостями π1 и π2,пересекающимися по прямой k, равен α. В плоско...
π2 π1 p β b A B C D x α k γ По определению угла между прямой и плоскостью, уг...
6 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Найдите угол φ между не параллельными диагоналями двух противоположных боковы
Описание слайда:

Найдите угол φ между не параллельными диагоналями двух противоположных боковых граней прямоугольного параллелепипеда, если каждая сторона его основания равна 6 дм, а высота 8 дм. Пусть дано изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, AB=BC= =6 дм, AA1=8 дм. A C D B A1 C1 D1 B1 Найдем угол между диагоналями AB1 и СD1 Прямые AB1 и СD1 скрещивающиеся. Проведем C1D (C1D || AB1). Тогда угол между прямыми AB1 и СD1 есть угол между прямыми СD1 и С1D. O Рассмотрим COD. φ По теореме косинусов тогда Из CDD1 (угол D – прямой), имеем дм. см

№ слайда 3 Через центр О квадрата ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр, на которо
Описание слайда:

Через центр О квадрата ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр, на котором выбрана точка F так, что FA=AB. Найдите угол между диагональю квадрата и прямой FM, где М — середина АВ. A B C D O F M K Пусть дано изображение квадрата ABCD. Точка O - центр квадрата. Через точку O проведен перпендикуляр. Точка F лежит на перпендикуляре, причем FA=AB. M – середина AB. Найдем угол между FM и ВD. Эти прямые скрещивающиеся. Через точку M проведем прямую параллельную BD. Это прямая MK. Тогда угол KMF – искомый. OMAB. По теореме о трех перпендику-клярах FMAB Обозначим AB – x, тогда AF=x Из BAD ( угол A - прямой ) ДАЛЕЕ

№ слайда 4 A B C D O F M K P Так как M- середина AB и KM || BD, то KM- средняя линия AB
Описание слайда:

A B C D O F M K P Так как M- середина AB и KM || BD, то KM- средняя линия ABD. Из AMF ( угол M - прямой ) Из равенства треугольников FOM и FOK следует FM=FK. Тогда треугольник KFM- равнобедренный. Проведем в этом треугольнике медиану FP. Тогда FP  KM ( свойство равнобедренного треугольника). Из FPM ( угол P - прямой )

№ слайда 5 Угол между плоскостями π1 и π2,пересекающимися по прямой k, равен α. В плоско
Описание слайда:

Угол между плоскостями π1 и π2,пересекающимися по прямой k, равен α. В плоскости π1 лежит прямая р, образующая с прямой k угол β. Найдите угол между прямой р и плоскостью π2. π2 π1 p β b A B C D Пусть дано изображение плоскостей π1 и π2, Прямая p лежит в плоскости π1 которые пересекаются по прямой k. В плоскос-ти π1 проведем перпендикуляр BD к прямой k. Возьмем на прямой p точку B. и образует угол β с прямой k. Через точку D в плоскости π2 проведем прямую b перпендикулярную прямой k. Плоскость γ проходящая чрез прямые BD и b перпендикулярна прямой k. α k γ В плоскости γ проведем перпендикуляр BC к прямой b. Тогда, по определению угла между плоскостями, угол между плоскостями π1 и π2 π2 есть угол между прямыми BD и b, и он равен α. Тогда BC  π1 , а следовательно BC AC ДАЛЕЕ

№ слайда 6 π2 π1 p β b A B C D x α k γ По определению угла между прямой и плоскостью, уг
Описание слайда:

π2 π1 p β b A B C D x α k γ По определению угла между прямой и плоскостью, угол BAC и есть искомый угол. Обозначим его x. AC проекция прямой AB на плоскость π2 Обозначим BD - a Из BCD ( угол C- прямой) имеем Из BDA ( угол D- прямой) имеем Из BCA ( угол C- прямой) имеем

Выбранный для просмотра документ Изображение пространственных фигур.ppt

библиотека
материалов
Сторона MN плоского четырехугольника MNPQ лежит в плоскости α. Постройте точк...
Параллельные прямые АВ и СD пересекают две пересекающиеся плоскости α и β в ч...
Пусть А1В1С1D1 - проекция ромба АВСD на плоскость α, М1-проекция точки М леж...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Сторона MN плоского четырехугольника MNPQ лежит в плоскости α. Постройте точк
Описание слайда:

Сторона MN плоского четырехугольника MNPQ лежит в плоскости α. Постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью α. M Q P N α Пусть дано изображение плоскости α и четырехугольника MNPQ. Продолжим QP до пересечения с прямой MN. А Она пересечет MN в точке А. Так как прямая MN лежит в плоскости α, то точка А принадлежит α, но точка А лежит и на прямой QP, следовательно точка А есть точка пересечения QP с плоскостью α.

№ слайда 3 Параллельные прямые АВ и СD пересекают две пересекающиеся плоскости α и β в ч
Описание слайда:

Параллельные прямые АВ и СD пересекают две пересекающиеся плоскости α и β в четырех точках. Постройте точку D по трем заданным точкам А, В и С. Пусть дано изображение пересекаю-щихся плоскостей α и β, α β А В С b c а Продолжим прямую АС до пересечения с прямой а (АС и а пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Через точки В и К проведем прямую. Эта прямая лежит в плоскости АВС. Так как она пересекается с прямой а, а прямая а ║ b, то ВК пересекается с b в точке D. Точка D лежит в плоскости β, а также и на прямой b. Следовательно D точка пересечения прямой b с плоскостью α. К D Параллельные прямые с и b пересекают плоскости в точках A,B,C. которые пересекаются по прямой a. Получим точку К.

№ слайда 4 Пусть А1В1С1D1 - проекция ромба АВСD на плоскость α, М1-проекция точки М леж
Описание слайда:

Пусть А1В1С1D1 - проекция ромба АВСD на плоскость α, М1-проекция точки М лежащей на стороне ВС. Постройте проекцию М1N1 перпендикуляра МN, опущенного из точки М на диагональ ВD. А1 А С D Пусть А1В1С1D1 изображение проекции ромба АВСD на плоскость α, По условию ВВ1 параллельно DD1. Проведем плоскость через эти прямые. В этой плоскости через N проведем прямую a параллельно ВВ1. Так как В1D1 лежит в плоскостях В1ВD и A1B1C1, то прямая a пересечет плоскость A1B1C1 в точке N1 которая лежит на B1D1. Следовательно М1N1 проекция перпендикуляра МN на плоскость α Проведем МNВD. В М N α В1 С1 D1 М1 N1 М1-проекция точки М, MM1||BB1. a

Выбранный для просмотра документ Параллельность плоскостей.ppt

библиотека
материалов
Если две различные плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельн...
Докажите, что плоскость, проведенная через середины ребер AD, DC и АD1 куба А...
Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из э...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Если две различные плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельн
Описание слайда:

Если две различные плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой. Докажите. Пусть α,β,γ- изображение плоскостей. Причем α  β и α γ. Докажем что β  γ. Допустим, что плоскости β и γ пересекаются в точке А, которая лежит на прямой а. а А Тогда через точку А проходит две плоскости- β,γ параллельные плоскости α. α β γ Что противоречит теореме 2,5

№ слайда 3 Докажите, что плоскость, проведенная через середины ребер AD, DC и АD1 куба А
Описание слайда:

Докажите, что плоскость, проведенная через середины ребер AD, DC и АD1 куба АВСDАВ1С1D1, параллельна диагональному сечению АА1С1С. А В С D А1 В1 С1 D1 Пусть АВСDАВ1С1D1 изображение параллелепипеда. Точки К,М,L середин ребер АD, DC и A1D1 соответственно. Докажем, что плоскость КМL параллельна диагональному сечению АА1С1С. КМ средняя линия ∆АDC поэтому КМАС, М L К Так как К середина АD, а L середина А1D1 то КLАА1. Тогда по теореме 2,4 плоскость КМL и АСС1 параллельны.

№ слайда 4 Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из э
Описание слайда:

Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что МА1=4см., В1В2=9, А1А2=МВ1. Найдите МА2 и МВ2. М α β А1 В1 А2 В2 Пусть α и β изображение параллелельных плоскостей. Точка М лежит вне их. Плоскость МА1В1 пересекает плоскости α и β по прямым А1В1 и А2В2, МА1В1= Пусть МВ1=х (х>0), тогда А1А2=х. Получаем 4/(4+х)=4/(9+х), Х2=36; х=6(см).(х=-6 искл.). тогда по теореме 2,6 А1В1А2В2. Рассмотрим ∆МА1В1 и ∆МА2В2. М у них общий, Тогда треугольники МА1В1 и МА2В2 подобны. Имеем: МА1/МА2=МВ1/МВ2. Тогда МА2=МА1+А1А2=4+6=10(см) МВ2=МВ1+В1В2=6+9=15(см). МА2В2 как соответственные.

Выбранный для просмотра документ Параллельность прямых в пространстве.ppt

библиотека
материалов
Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. А В С К Е F Р М Проведем через...
Прямые а и b параллельны. А В С D Через прямые а и b проведем плоскость(она е...
Точка М лежит вне плоскости параллелограмма АВСD. Точки Р, F, Е, К соответств...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. А В С К Е F Р М Проведем через
Описание слайда:

Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. А В С К Е F Р М Проведем через точки К и Р прямую Она будет параллельна МВ, так как данные точки являются серединами сторон треугольника АМВ, значит прямая будет средней линией, а по свойству средней линии она параллельна основанию. Проведем прямую через точки Е и F. Аналогично МВ параллельно ЕF. По теореме 2,2 наши прямые параллельны. Точки К, Р,Е,F-середины отрезков МА, АВ, МС, ВС. Как расположены прямые КР и ЕF?

№ слайда 3 Прямые а и b параллельны. А В С D Через прямые а и b проведем плоскость(она е
Описание слайда:

Прямые а и b параллельны. А В С D Через прямые а и b проведем плоскость(она единственна) а b α Точки А и С принадлежат плоскости α. Значит по теореме 1.2 вся прямая принадлежит плоскости. Точки А и В принадлежат прямой a. Лежат ли прямые АС и ВD в одной плоскости. Точки C и D принадлежат прямой b. Аналогично, ВD принадлежит плоскости α.. Следовательно данные прямые лежат в одной плоскости

№ слайда 4 Точка М лежит вне плоскости параллелограмма АВСD. Точки Р, F, Е, К соответств
Описание слайда:

Точка М лежит вне плоскости параллелограмма АВСD. Точки Р, F, Е, К соответственно середины отрезков МА, МВ, МС, МD. Определите вид четырехугольника РFЕК. А D C E M Р К F В Пусть дано изображение параллелограмма АВСD и точки лежащей вне его плоскости М. Так как АD║ВС, а РК║АD и EF║ВС то РК║ EF. Так же докажем, что PF║КЕ. Следовательно четырехугольник РFЕК параллелограмм. Точки Р, F, Е, К середины отрезков МА, МВ, МС, МD, соответственно Так как точки Р, F, Е, К середины отрезков МА, МВ, МС, МD, то прямые РК, КЕ, EF, PF будут средними линиями треугольников По свойству средней линии РК║АD, КЕ║DС, EF║ВС, PF║АВ.

Выбранный для просмотра документ параллельность прямой и плоскости.ppt

библиотека
материалов
Через середины К и М сторон треугольника АВС( К лежит на АВ, М- на ВС) провед...
Через точку В отрезка АВ проведена плоскость α. Отрезок АВ разделен точкой С...
Докажите, что если прямая а параллельна плоскости α, α а а1 А b Используем ме...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Через середины К и М сторон треугольника АВС( К лежит на АВ, М- на ВС) провед
Описание слайда:

Через середины К и М сторон треугольника АВС( К лежит на АВ, М- на ВС) проведена плоскость. Какое положение относительно стороны АС занимает плоскость. Пусть дано изображение треугольника АВС. А С В М К Проведем через середины сторон АВ и ВС, точки К и М, плоскость α. Прямая КМ будет средней линией, и значит параллельна АС. Так как КМ принадлежит плоскости α то плоскость будет параллельной АС. (Теорема 2,3)

№ слайда 3 Через точку В отрезка АВ проведена плоскость α. Отрезок АВ разделен точкой С
Описание слайда:

Через точку В отрезка АВ проведена плоскость α. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 3:4( считая от А к В); отрезок СD , равный 12 см., проведен параллельно плоскости α. Через точку D проведена прямая АD, пересекающая плоскость α в точке Е. Определите расстояние между точками В и Е. α В Е С D А Пусть х- коэффициент пропорциональности. Тогда АС=3х, а ВС=4х. Значит АВ=(3х+4х)=7х. Пусть α- изображение данной плоскости. СD параллельно ВЕ. Рассмотрим ∆САD и ∆АЕВ. Угол ВАЕ- общий, САD=АВЕ, как соответственные. Следовательно ∆САD подобен ∆АЕВ. Составим пропорцию АВ/АС=ВЕ/СD ; 7х/3х=ВЕ/12; ВЕ=28 (см)

№ слайда 4 Докажите, что если прямая а параллельна плоскости α, α а а1 А b Используем ме
Описание слайда:

Докажите, что если прямая а параллельна плоскости α, α а а1 А b Используем метод от противного. Проведем через а и b плоскость. , причем а1║а , но и b║а . Она пересечет α по прямой а1 то любая прямая, параллельная прямой а и проходящая через точку A плоскости α, лежит в плоскости α. Пусть через точку А проходит прямая b b║а, но не лежащая в α. Это невозможно так как через точку вне прямой можно провести только одну прямую параллельную данной. Пришли к противоречию.

Выбранный для просмотра документ Перпендикуляр и наклонная.ppt

библиотека
материалов
Точка О- центр квадрата со стороной а; ОА- отрезок, перпендикулярный к плоско...
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольник...
Из некоторой точки проведены к данной плоскости две равные наклонные. Угол ме...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Точка О- центр квадрата со стороной а; ОА- отрезок, перпендикулярный к плоско
Описание слайда:

Точка О- центр квадрата со стороной а; ОА- отрезок, перпендикулярный к плоскости квадрата и равный b. Найдите расстояние от точки А до вершин квадрата. АО  (ВСD), АО=b. Так как АО перпендикуляр,то АО ВD и АО  СЕ. ОВ=ОС=ОD=ОЕ (по свойству квадрата). Рассмотрим ∆ВОА, ∆СОА, ∆DОА, ∆ЕОА. Тогда АВ=АС=АD=АЕ. Пусть ВСDЕ изображения квадрата. ВС=а, Е B C D О- центр квадрата o А Они прямоугольные. АО- общая. Следовательно они равны (по двум катетам) О=900) По теореме Пифагора АВ2=АО2+ВО2 Ответ: Ответ: Рассмотрим ∆АОВ (

№ слайда 3 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольник
Описание слайда:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстояние 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника. С=900, АВ=12 см. Из точки D опустим перпендикуляр DO на плоскость треугольника. ∆DOA, ∆DOB, ∆DOC прямоугольные. DO общая, следовательно эти треугольники равны. Тогда ОА=ОВ=ОС. Точка О равноудалена от вершин треугольника. Следовательно О-середина АВ(свойство прямоугольного треугольника.) Пусть АВС изображение прямоугольного треугольника. DA=DB=DC=10 см. A B C Точка D равноудалена от вершин А, В, С треугольника АВС. D Найдем расстояние от точки D до плоскости треугольника. O АО=10 см АВ=6см. из ∆DOA ( О=900) DO2=AD2+AO2 DO=8 см

№ слайда 4 Из некоторой точки проведены к данной плоскости две равные наклонные. Угол ме
Описание слайда:

Из некоторой точки проведены к данной плоскости две равные наклонные. Угол между ними равен 600 , угол между их проекциями прямой. Найдите угол между наклонной и ее проекцией. α В С К О А Пусть α-изображение плоскости. АВ и АС -изображение наклонных. АВ=АС. Из точки А опустим перпендикуляр АО на плоскость α. ОВ и ОС проекции наклонных АВ, АС на плоскости α, соответственно. ∆АОВ= ∆АОС (по гипотенузе и катету) АО- общая. Обозначим АВ – х. Тогда из ∆АКВ ( В треугольнике ВОС проведем ОК  ВС. ВАС=600 ВОС=900. Найдем угол между проекцией и наклонной. Следовательно ВО=ОС. Так как ∆ВОС равнобедренный, то ОК –биссектриса ( ВОК= СОК=450). ∆ВАС равнобедренный. АК медиана, следовательно АК биссектриса ( ВАК= САК= =300) и высота (АК  ВС). К=900 ). ВК=0,5х (свойства катета против угла в 300). Из ∆ВОК ( К=900) Из ∆АОВ ( О=900) Тогда АВО=450

Выбранный для просмотра документ Перпендикулярность плоскостей.ppt

библиотека
материалов
Докажите, что если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных пло...
Докажите, что если прямая лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостях...
Два равносторонних треугольника ABC и ADC лежат в перпендикулярных плоскостях...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Докажите, что если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных пло
Описание слайда:

Докажите, что если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой. Пусть α и β – изображение паралле-льных плоскостей. α β Плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Докажем, что γ перпендикулярна и плоскости β. Пусть a и b прямые пересечения плоскости γ с плоскостями α и β, соответственно. γ a b Проведем плоскость  перпендикуляр-ную прямой a. Она пересекает плоскости α, β, γ по прямым a1, b1, c, соответственно. a1 b1 c  Так как α  γ то a1  c. Плоскости α и β параллельны, то a || b и a1 || b1. Тогда из того, что   a следует  b (Теорема 3,3) a1  c тогда b1 c Следовательно γβ (по определению)

№ слайда 3 Докажите, что если прямая лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостях
Описание слайда:

Докажите, что если прямая лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостях и перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Пусть α и β – изображение перпендикулярных плоскостей, α которые пересекаются прямой по p. p AA1  p, A1 A Докажем, что AA1 β Через точку A в плоскости α, проведем прямую AK  p. K Тогда плоскость A1AK  p. β Так как плоскости α и β перпендикулярны, то по определению плоскостей AA1  AK По теореме 3.2 AA1  β.

№ слайда 4 Два равносторонних треугольника ABC и ADC лежат в перпендикулярных плоскостях
Описание слайда:

Два равносторонних треугольника ABC и ADC лежат в перпендикулярных плоскостях. Найдите BD, если AC=1 см. Пусть дано изображение треугольников ABC и ADC, причем (ABC)(ADC) AC=1 см. A D B C Найдем BD. Проведем BK  AC. K Тогда BK  (ACD), в частности и KD. ABC- равносторонний, тогда Аналогично Из треугольника BKD ( K=900), имеем BD2=BK2+DK2

Выбранный для просмотра документ Перпендикулярность прямой и плоскости.ppt

библиотека
материалов
Отрезок ВС параллелен плоскости α. Из точки В к плоскости α опущен перпендику...
Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпенд...
Даны два отрезка AB и CD, лежащие в плоскости α, в точке пересечения E делят...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Отрезок ВС параллелен плоскости α. Из точки В к плоскости α опущен перпендику
Описание слайда:

Отрезок ВС параллелен плоскости α. Из точки В к плоскости α опущен перпендикуляр ВА. Через точку С проведен отрезок СD параллельно ВА до пересечения с плоскостью α в точке D. Определите тип четырехугольника АВСD. В С А D α Если в параллелограмме один из углов прямой, то он будет прямоугольником. Пусть дано изображение плоскости α. ВС ||α, BA α, CD ||BA, Определим тип четырехугольника АВСD. Так как BC || α, а AD лежит в плоскости α и плоскости ABCD, то AD || BC. Следовательно ABCD-параллелограмм. Так как BA  α, то BA  AD (Теорема 3,2) Следовательно ABCD-прямоугольник.

№ слайда 3 Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпенд
Описание слайда:

Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника. О С А В Х Пусть дано изображение треугольника ABC. Точка O- центр описанной окружности. Прямая a перпендикулярна плоскости треугольника. a Возьмем на прямой a любую точку X, и докажем что она равноудалена от точек A,B,C. Так как XO(ABC), то XOOA, XOOB, XOOC. (Теорема 3.2) Тогда треугольники АХО, ОХВ и СХО прямоугольные и равны. (ХО -общая, OА=OВ=OС, как радиусы). В итоге получим АХ=ХВ=ХС.

№ слайда 4 Даны два отрезка AB и CD, лежащие в плоскости α, в точке пересечения E делят
Описание слайда:

Даны два отрезка AB и CD, лежащие в плоскости α, в точке пересечения E делятся пополам. Вне плоскости дана точка K так, что KA=KB и KC=KD. Докажите, что прямая KE перпендикулярна плоскости α. Пусть дано изображение плоскости α. α Отрезки AB и CD, лежат в плоскости α, A B C D и пересекаются в точке E, E причем AE=BE, CE=DE. Точка K лежит вне плоскости α, K KA=KB и KC=KD. Докажем KE что перпендикулярна плоскости α ∆AKB – равнобедренный, тогда KE – медиана, а следовательно и высота. KE  AB. ∆CKD – равнобедренный, тогда KE – медиана, а следовательно и высота, KE  CD. В итоге по теореме 3.2 получим, что KE  α

Выбранный для просмотра документ Перпендикулярность прямых.ppt

библиотека
материалов
Через точку О, лежащую на грани АА1D1D куба АВСDА1В1С1D1, проведены в этой гр...
Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти длину отрезка ВС, если АD=...
Стороны четырехугольника АВСD и прямоугольника А1В1С1D1 соответственно паралл...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Через точку О, лежащую на грани АА1D1D куба АВСDА1В1С1D1, проведены в этой гр
Описание слайда:

Через точку О, лежащую на грани АА1D1D куба АВСDА1В1С1D1, проведены в этой грани прямые ОМ║В1С1 и ОN║СС1. Доказать, что угол МОN=900. А А1 В1 С1 D С В D1 М N О Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 Точка О преднадлежит грани АА1D1D Проведем ОМ║В1С1 и ОN║СС1. В1С1 и СС1 перпендикулярны. Тогда по теореме 3,1 NOOM.

№ слайда 3 Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти длину отрезка ВС, если АD=
Описание слайда:

Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти длину отрезка ВС, если АD= а, DС=b, DВ= с. А В С D Пусть дано изображение прямых АВ, АС и АD , которые перпендикулярны между собой, АD= а, DС=b, DВ= с. a b c Найдем ВС. Рассмотрим DAC ( А=900) Из DAB ( А=900) Из BAC ( А=900)

№ слайда 4 Стороны четырехугольника АВСD и прямоугольника А1В1С1D1 соответственно паралл
Описание слайда:

Стороны четырехугольника АВСD и прямоугольника А1В1С1D1 соответственно параллельны. Докажите, что АВСD прямоугольник. А В С D А1 В1 С1 D1 Так как АВ || А1В1 , ВС || В1С1 , СD || С1D1 , АD || A1D1, то АВСD – параллелограмм. ( теорема 2,2 ) Пусть дано изображение прямоугольника А1В1С1D1 и четырехугольника АВСD. Докажем, что АВСD -прямоугольник B1C1  C1D1, тогда по теореме 3,1 BC  CD. Следовательно АВСD - прямоугольник

Выбранный для просмотра документ Скрещивающиеся прямые.ppt

библиотека
материалов
Плоскости α и β пересекаются по прямой р. Точка А лежит в плоскости α вне пря...
Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и СС1...
АВ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и b. Точки A и С лежат на п...
4 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Плоскости α и β пересекаются по прямой р. Точка А лежит в плоскости α вне пря
Описание слайда:

Плоскости α и β пересекаются по прямой р. Точка А лежит в плоскости α вне прямой р. Точка В лежит в плоскости β вне прямой р. Как расположены прямые АВ и р? β α А В р Пусть дано изображение плоскостей α и β, которые пересекаются по прямой р. Точка А принадлежит плоскости α. Точка В принадлежит плоскости β. Прямая АВ не пересекает прямую р и лежит с ней в разных плоскостях. Следовательно эти прямые скрещивающиеся.

№ слайда 3 Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и СС1
Описание слайда:

Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и СС1. А С D А1 В1 С1 D1 Пусть дано изображение куба АВСDА1В1С1D1. Так как АВ и СС1 лежат в разных плоскостях и не пересекаются, то они скрещивающиеся. следовательно ВС искомое расстояние. В ВСАВ, ВССС1, ВС=2см

№ слайда 4 АВ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и b. Точки A и С лежат на п
Описание слайда:

АВ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и b. Точки A и С лежат на прямой а, точки В и D лежат на прямой b; AC = BD. Докажите, что углы ACD и BDC равны. Пусть дано изображение двух скрещивающихся прямых a и b. a b Отрезок AB – перпендикулярен прямым a и b. A B Точка С лежат на прямой а, точка D лежат на прямой b, причем AC = BD. С D Рассмотрим треугольники CAB и DBA. Они прямоугольные, АВ – общая, AC = BD. Тогда они равны ( по двум катетам) Следовательно углы ACD и BDC равны.

Выбранный для просмотра документ теорема о з перпендикулярах.ppt

библиотека
материалов
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведен к плоскос...
Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а...
Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а...
Если наклонная к плоскости проходит через его вершину и образует с его сторон...
5 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведен к плоскос
Описание слайда:

Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведен к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найдите расстояние от точки М до стороны DC, если АD= 6см, ОМ=4см. А В С D О К М Пусть АВСD изображение квадрата со стороной АD=6см и О-точка пересечения диагоналей, Найдем расстояние от точки М до стороны DC. Опустим перпендикуляр МК на СD в плоскости МСD, МК и есть искомое расстояние. МО-перпендикуляр, ОК проекция наклонной МК на плоскость АВС. Так МК СD,то по Теореме о трех перпендикулярах ОК СD. ∆DOC равнобедренный. ОК-высота, тогда ОК медиана (свойство равнобедренного треугольника). OM  (ABC). Так как О центр вписанной окружности, то ОК- радиус. r=a/2. Тогда ОК= СD/2=3(см) Рассмотрим ∆МОК ( К=900) МК2=МО2+ОК2; МК=5(см)

№ слайда 3 Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а
Описание слайда:

Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а его вершина удалена от плоскости на 6 см. Проекции его боковых сторон на плоскость α перпендикулярны друг другу. Найдите высоту этого треугольника, опущенного на его основание. С А М В К Пусть α- изображение плоскости, α АВС- изображение равнобедренного треугольника. АС=ВС, АВ=16 см. Из точки С опустим перпендикуляр СМ на плоскость α. Тогда СМ=6см. МВ и МА-проекции боковых сторон СВ и СА на плоскость α, соответственно. Тогда угол АМВ=900 ДАЛЕЕ МК проекция наклонной СК на плоскость α. Тогда по Т.Т.П. из того что СК┴АВ имеем МК┴АВ. Найдем высоту треугольника АСВ - СК.

№ слайда 4 Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а
Описание слайда:

Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости α, а его вершина удалена от плоскости на 6 см. Проекции его боковых сторон на плоскость α перпендикулярны друг другу. Найдите высоту этого треугольника, опущенного на его основание. С А М В К α Рассмотрим ∆СМА и ∆СМВ они прямоугольные. СМ- общая, СА=СВ( по условию), тогда ∆СМА= ∆СМВ (по двум катетам) и АМ=МВ. ∆АМВ равнобедренный и прямоугольный. Угол МАВ=МВА=450 МК-высота, а следовательно и биссектриса и медиана. АК=КВ=8см, угол АМК=DVR=450 ∆АКМ- равнобедренный угол МАК=АМК, тогда МК=АК=8 см. Из ∆СМК (угол М=900) имеем СК2=СМ2+МК2 СК=10(см)

№ слайда 5 Если наклонная к плоскости проходит через его вершину и образует с его сторон
Описание слайда:

Если наклонная к плоскости проходит через его вершину и образует с его сторонами равные углы, то биссектриса угла лежит на проекции этой прямой. Пусть α- изображение плоскости. ВАС- угол принадлежащий ей. Опустим перпендикуляр DO на плоскость α. АО проекция наклонной DО на плоскость α. Докажем, что АО-биссектриса угла ВАС. DК проекция наклонной DK на плоскость α, тогда по ТТП т.к. ОК  АС то DK  AB, аналогично DLAC. Рассмотрим DKA и DLA. DA - общая, угол DAK=DAL(по условию).Значит они равны(по гипотенузе и острому углу), поэтому DK=DL и AK=AL Рассмотрим АКО и ALO.Они прямоугольные. АО- общая, АК=AL, следовательно они равны( по гипотенузе и катету), тогда угол КАО=LAO. Следовательно ОА биссектриса угла ВАС, что и требовалось доказать. α А L O D B C K DА -наклонная, угол DАВ=DАС Из точки О опустим перпендикуляры ОК на АВ и OL на АС.

Выбранный для просмотра документ Презентация Microsoft PowerPoint.ppt

библиотека
материалов
Список аксиом Аксиома 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки принадл...
Список аксиом V:На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно...
Список теорем Теорема 1,1 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провес...
Теорема 2,1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую параллельну...
Теорема 3,1. Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикуляр...
Теорема 3.5. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Прямая, проведенная на плоскости...
Теорема 4.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна...
7 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Список аксиом Аксиома 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки принадл
Описание слайда:

Список аксиом Аксиома 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки принадлежащие этой плоскости и точки не принадлежащие ей. Аксиома 2: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Аксиома3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. II2 : Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. IV2 :От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 1800, и только один. IV3 : Коков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

№ слайда 2 Список аксиом V:На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно
Описание слайда:

Список аксиом V:На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной I1:Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. I2:Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

№ слайда 3 Список теорем Теорема 1,1 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провес
Описание слайда:

Список теорем Теорема 1,1 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 1,2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема 1,3 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

№ слайда 4 Теорема 2,1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую параллельну
Описание слайда:

Теорема 2,1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую параллельную данной и притом только одну. Теорема2,2. Две прямые, параллельные третьей прямой параллельны. Теорема2,4. Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Теорема 2,3. Если прямая не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости Теорема 2,5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной и притом только одну. Теорема 2,6. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Теорема 2,7. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

№ слайда 5 Теорема 3,1. Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикуляр
Описание слайда:

Теорема 3,1. Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны. Теорема3,2. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости. Теорема 3,3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Теорема 3.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

№ слайда 6 Теорема 3.5. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Прямая, проведенная на плоскости
Описание слайда:

Теорема 3.5. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной и перпендикулярная ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Теорема 3.6. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Теорема 3.7. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Теорема 3.8. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

№ слайда 7 Теорема 4.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна
Описание слайда:

Теорема 4.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 11.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1068
Номер материала ДA-038475
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх