• 

  1 слайд

  Формулы сложения
  

• 

  2 слайд

  Цель занятия:
  вывести формулы суммы и разности углов для синуса, косинуса, тангенса и котангенса и сформировать умения и навыки использования теорем сложения при выполнении несложных преобразований тригонометрических выражений, при доказательстве тригонометрических тождеств, в вычислительных упражнениях.
  

• 

  3 слайд

  
  Синус, косинус, тангенс и котангенс чисел α и - α
  Пусть Мα – точка единичной окружности, соответствующая числу α, а М-α – точка этой окружности, соответствующая числу – α.
  Точка Мα имеет координаты cos α и sin α, а точка М-α – координаты cos (-α) и sin (-α).
  Точки Мα и М-α симметричны относительно оси Ох, следовательно, абсциссы данных точек совпадают, а ординаты противоположны. Получаем
  
  для любого α.
  
  Тогда tg (- α) = - tg α, ctg (- α) = - ctg α. (Почему?)
  
  О
  х
  у
  α
  -α
  Мα
  М-α
  

• 

  4 слайд

  Примеры
  Вычислите
  Упростите .
  
  Решите уравнение
  
  Докажите тождество
  

• 

  5 слайд

  Синус и косинус чисел α и α ± 2π
  Числам α, α + 2π и α - 2π соответствует одна и та же точка единичной окружности с центром в начале координат, поэтому справедливы формулы:
  cos (α ± 2π) = cos α, sin (α ± 2π) = sin α
  для любого α є R.
  
  Например, cos 2,5π = cos (2π + 0,5π) = cos 0,5π = 0;
  sin 390° = sin (360° + 30°) = sin 30° = ½.
  

• 

  6 слайд

  Тангенс и котангенс чисел α и α ± π
  Числам α и α ± π на единичной окружности соответствуют точкам Мα и Мα±π, симметричные относительно начала координат, поэтому
  справедливы формулы
  sin (α ± π) = - sin α,
  cos (α ± π) = - cos α.
  ,
  Мα
  Мα ± π
  

• 

  7 слайд

  Тангенс и котангенс чисел α и α ± π
  Числам α и α ± π на единичной окружности соответствуют точкам Мα и Мα±π, симметричные относительно начала координат, поэтому
  справедливы формулы
  sin (α ± π) = - sin α,
  cos (α ± π) = - cos α.
  Тогда
  ,
  Мα
  Мα ± π
  

• 

  8 слайд

  Тангенс и котангенс чисел α и α ± π
  Числам α и α ± π на единичной окружности соответствуют точкам Мα и Мα±π, симметричные относительно начала координат, поэтому
  справедливы формулы
  sin (α ± π) = - sin α,
  cos (α ± π) = - cos α.
  Тогда
  ,
  Мα
  Мα ± π
  

• 

  9 слайд

  Формулы сложения
  Формулами сложения называют формулы, выражающие косинусы и синусы углов α + β и α - β через косинусы и синусы углов α и β.
  Теорема 1. Для любых действительных α и β справедливо равенство
  
  Пример. Вычислить cos 135°.
  cos 135° = cos (90° + 45°) = cos 90° cos 45° - sin 90° sin 45°=
  =0 * √2/2 – 1 * √2/2 = - √2/2.
  

• 

  10 слайд

  Заменив в формуле β на – β, получим
  
  откуда
  
  Пример. Вычислить cos 150⁰.
  Согласно данной формуле имеем
  cos 150⁰ = cos (180⁰ - 30⁰) = cos 180 ⁰ cos30 ⁰ +
  + sin 180 ⁰ sin 30 ⁰ = - 1 *√3/2 + 0* ½ = - √3/2.
  

• 

  11 слайд

  Для синуса суммы имеем
  
  
  
  

• 

  12 слайд

  Для синуса суммы имеем
  
  Заменив в этой формуле β на – β, получим
  
  
  

• 

  13 слайд

  Для синуса суммы имеем
  
  Заменив в этой формуле β на – β, получим
  
  
  Пример. Вычислить sin 240°
  

• 

  14 слайд

  Формулы тангенса суммы и разности углов α и β.
  

• 

  15 слайд

  Формулы тангенса суммы и разности углов α и β.
  

• 

  16 слайд

  Вопросы для контроля
  Как связаны между собой синусы чисел α и – α?
  Как связаны между собой косинусы чисел α и – α?
  Как связаны между собой тангенсы и котангенсы чисел α и – α?
  Запишите формулы, связывающие синусы (косинусы) чисел α и α ± 2π?
  Запишите формулы, связывающие синусы (косинусы) чисел α и α ± π?
  Запишите формулы, связывающие тангенсы (котангенсы) чисел α и α ± π?
  Запишите формулы косинуса суммы и разности двух углов.
  Запишите формулы синуса суммы и разности двух углов.
  Запишите формулы тангенса суммы и разности двух углов. При каких значениях углов эти формулы справедливы?
  
  
  
  

Краткое описание материала