Презентация "Бесконечно малые и бесконечно большие величины"

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины

Бесконечно малые величины.

Бесконечно большие величины

Теорема

Число A является пределом функции f (x) при x → x₀ (x → ∞) тогда и

только тогда, когда функцию f (x) можно представить в виде суммы числа A и бесконечно малой α(x) при x → x₀ (x → ∞), т.е. f (x) = A + α(x).

Определение

Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при x → x₀ (x → ∞), если lim f (x) = ∞

.

Свойства бесконечно малых.

Если α(x) и β(x) — бесконечно малые при x → x₀ (x → ∞), то будут бесконечно малыми величины:

7 / 52 7 / 52 7 / 52

Свойства бесконечно больших.

Если f (x) — бесконечно большая величина при x → x₀ (x → ∞), то будут бесконечно большими величины:

9 / 52

Если функция α(x) — бесконечно малая величина при x → x₀ (x → ∞), то функция f является

бесконечно большой величиной,

и обратно, если f (x) — бесконечно

большая функция при x → x₀

1

(x → ∞), то α(x) =               является

f (x)

бесконечно малой величиной.

Сравнение порядков бесконечно малых величин

Если α(x) и β(x) — бесконечно малые при x → x₀ α(x)

(x →∞) и lim = A, то при A = 0 x→x₀(∞) β(x)

бесконечно малая α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно β(x) (обозначение: α(x) = o(β(x))); при 0 < A < ∞ — одного порядка малости; при A = ∞ — более низкого порядка малости относительно β(x).

Сравнение порядков бесконечно малых величин

α(x)

Если      lim                 = A, A 6= 0, то

x→x₀(∞) β^k(x)

бесконечно малая α(x) называется бесконечно малой k-го порядка малости относительно β(x).

Сравнение порядков бесконечно малых величин

Если A = 1, то бесконечно малые α(x) и β(x) называются эквивалентными (обозначение: α(x) ∼ β(x)).

15 / 52 15 / 52 15 / 52 15 / 52 15 / 52 15 / 52

Утверждение

Предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если эти бесконечно малые заменить на бесконечно малые, им эквивалентные.

Непрерывность функции и

точки разрыва

Определение

Функция f (x), определенная в точке x₀, называется непрерывной в точке x₀, если существует конечный предел f (x) при x → x₀ и этот предел равен значению функции в точке x₀, т.е.

lim f (x) = f (x₀).

x→x0

Определение

Эквивалентное определение. Функция f (x), определенная в точке x₀, называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

,

где ∆x = x − x₀, ∆y = f (x₀ +∆x)− f (x₀).

Утверждение

Любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Утверждение

Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма, произведение и частное (при условии, что знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль) являются функциями, непрерывными в точке x₀.

Утверждение

Если функция y = f (u) непрерывна в точке u₀ = g(x₀), а функция u = g(x) непрерывна в точке x₀, то сложная функция y = f (g(x)) непрерывна в точке x₀.

Определение

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения.

Теорема

Первая теорема Больцано-Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует такая точка c, что f (c) = 0.

Теорема

Вторая теорема Больцано-Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и m — наименьшее, а M — наибольшее значения f (x) на [a,b],

то для любого числа C, удовлетворяющего условию m < C < M, существует внутри [a,b] такая точка c, что f (c) = C.

Определение

Если функция y = f (x) не является непрерывной в точке x₀, то точка x₀ называется точкой разрыва функции f (x) (функция y = f (x) в точке x₀ терпит разрыв).

Определение

Если хотя бы один из односторонних

пределов    lim f (x) или       lim f (x)

x→x0−        x→x0+ бесконечен, то x₀ называется точкой разрыва второго рода.

Определение

Если оба односторонних предела lim f (x) и    lim f (x) конечны, но

x→x0−                         x→x0+

не равны между собой, то x₀ называется точкой неустранимого разрыва первого рода.

Определение

Если оба односторонних предела lim f (x) и    lim f (x) конечны,

x→x0−                         x→x0+

равны между собой, но не равны f (x₀), то x₀ называется точкой устранимого разрыва первого рода.