Презентация "Число е и его применение в финансовых расчетах"

• 1 слайд

  Государственное бюджетное профессиональное
  образовательное учреждение Воронежской области
  «Воронежский государственный промышленно-гуманитарный колледж»
  
  Число е и его применение в финансовых расчетах
  Номинация 4. Использование математических методов для решения профессионально ориентированных задач
  Выполнила Ситникова Екатерина Сергеевна
  Руководитель Латышева Надежда Леонидовна
  

• 2 слайд

  Цель работы:
  
  
  Рассмотреть сущность и различные подходы к определению числа е, а так же его использование в финансовых расчетах.
  

• 3 слайд

  Число e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число.
  Приблизительно равно 2,71828.
  
  
  
  

• 4 слайд

  Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).
  

• 5 слайд

  Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.
  
  Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел, равный е.
  
  

• 6 слайд

  
  1. через угловой коэффициент прямой;
  2. через производную;
  3. через интеграл;
  4. через предел последовательности;
  5. через сумму ряда.
  Существует несколько подходов к
  определению числа е:
  

• 7 слайд

  Определение 1.
  
  Нарисуем несколько графиков функций, y=ax, изменяя а: 2≤а≤3.
  Проведем к ним касательные в т. М(0;1). Угол наклона касательных будет изменяться от 35 до 51.
  Очевидно, что увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угол наклона касательной будет равен 45.
  Такое число обозначается буквой е. Оно иррационально. е ≈ 2,718.
  
  А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа
  М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа
  
  

• 8 слайд

  Определение 2.
  
  Производная, т.е. скорость роста, показательно функции пропорциональна самой этой функции:
  (ах)′=k·ax
  Число е – это такое основание показательной функции, для которой коэффициент пропорциональности k = 1, т.е. производная функции y=ex на самой этой функции:
  (ех)′=еx
  
  М.И. Башмаков
  Алгебра и начала анализа
  
  

• 9 слайд

  Определение 3.
  
  Рассмотрим функцию
  
  Рассмотрим площадь
  
  Очевидно, что и
  
  Т.о. существует число е: 2 ≤ е ≤ 3, такое что . е ≈ 2,718.
  
  Н.Я. Виленкин. Алгебра и начала анализа
  
  

• 10 слайд

  Определение 4.
  
  Рассмотрим последовательность xn = (1+1/n)n.
  xn = {2; 2,25; 2,37; 2,44; …}
  
  Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена (можно доказать, что xn< 3). Следовательно, она имеет предел, который имеет специальное обозначение е.
  
  А.Г. Цыпкин. Справочник по математике
  
  

• 11 слайд

  Определение 5.
  
  Число е – иррациональное число, приблизительно равное 2,718.
  Его можно представить как сумму:
  
  
  
  
  Ш.А. Алимов. Алгебра и начала анализа
  
  

• 12 слайд

  Число е находит применение в интегральном и дифференциальном исчислении, а так же в естественных науках.
  
  Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. 
  Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e–kt, где k = R/L, I0 – сила тока в момент времени t = 0.
  Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля.
  Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt.
  
  

• 13 слайд

  Применение в финансовых расчетах.
  
  В практических банковских расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.).
  
  В некоторых случаях — для экономического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными процессами, в математическом моделировании, а иногда и на практике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов.
  
  

• 14 слайд

  В финансовой математике увеличение суммы денег в результате начисления сложных процентов определяется формулой:
  
  FV=PV(1+j/m)mn
  где
  
  PV – исходная сумма денег
  FV – наращенная сумма денег
  n – число лет, соответствующее сроку финансовой операции
  j – ставка процентов за год
  m – число периодов начисления в году
  
  Чем больше m, тем чаще начисляются проценты. Способ начисления процентов, при котором m, называется непрерывным начислением процентов.
  

• 15 слайд

  В этом случае:
  
  
  
  
  
  Полученную формулу обычно записывают в виде:
  
  
  где S0 – начальная сумма денег.
  
  В этой формуле величина δ характеризует скорость роста суммы. Ее называют силой роста, или силой процента. Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. 
  

• 16 слайд

  Пример.
  Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?
  
  Решение:
  
  

• 17 слайд

  Пример.
  Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Во сколько раз уменьшится первоначальная сумма через полгода?
  
  Решение:
  
  
  
  
  
  
  Т.о. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.
  
  

• 18 слайд

  Вывод:
  Удивительно, но число е настолько многогранно, что к нему можно прийти, рассматривая самые разные математические задачи.
  Число е играет огромную роль в математике и прикладных науках.
  В банковском деле оно позволяет определять прирост денег при непрерывном начислении процентов.
  
  

• 19 слайд

  Использованная литература:
  
  Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.:Просвещение, 2014.
  Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М.:Просвещение, 2012.
  Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень.  18-е изд., стер. - М.: 2014. -  312 с. 
  Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике : учеб. пособие / В.В. Капитоненко. – М. : Финансы и статистика, 2014. – 256 с. : ил.
  Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М.:Просвещение, 2014.
  Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2014. – 464 с.
  Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений, 1983