Презентация для провеления элективного курса по геометрии на тему "Свойства касающихся окружностей"

• 1 слайд

  Свойства двух касающихся окружностей МБОУ Гимназия№4,г.Новосибирск, Баринова Людмила Леонидовна

• 2 слайд

  Взаимное расположение двух окружностей 1)Не пересекаются 2)Пересекаются 3)Касаются в одной точке снаружи 4)Внутреннее касание

• 3 слайд

  Свойство 1 А1В1 = А2В2 = 2√Rr

• 4 слайд

  Свойство 1 А1В1 = А2В2 = 2√Rr

• 5 слайд

  Свойство 1 А1В1 = А2В2 = 2√Rr

• 6 слайд

  Свойство 1 А1В1 = А2В2 = 2√Rr

• 7 слайд

  Свойство 1 А1В1 = А2В2 = 2√Rr

• 8 слайд

  Свойство 1 А1В1 = А2В2 = 2√Rr ▲О1О2D – прямоугольный, т.к. О2D ┴ О2В1 О1О2 = R + r, О2D = R – r По теореме Пифагора А1В1 = 2√Rr (O1D2=(R+r)2-(R-r)2=R2+2Rr+r2-R2+2Rr-r2=√4Rr=2√Rr) А2В2 = 2√Rr (доказывается аналогично) 1. О1А1 и О2В1 – радиусы, проведённые в точки касания. 2. О1А1 ┴ А1В1, О2В1 ┴ А1В1 → → О1А1 ║ О2В1.(по пункту 1)

• 9 слайд

  Свойство 2 А1М = МВ1 = А2N = NB2 = √Rr

• 10 слайд

  Свойство 2 А1М = МВ1 = А2N = NB2 = √Rr

• 11 слайд

  Свойство 2 А1М = МВ1 = А2N = NB2 = √Rr

• 12 слайд

  Свойство 2 А1М = МВ1 = А2N = NB2 = √Rr Доказательство: МС = МА1 (как отрезки касательных) МС = МВ1 (как отрезки касательных) А1М = МВ1 = √Rr , А2N = =NB2 = √Rr (по пункту 1 и 2)

• 13 слайд

  Свойство 3 MN = A1B1 = 2√Rr

• 14 слайд

  Свойство 3 MN = A1B1 = 2√Rr

• 15 слайд

  Свойство 3 MN = A1B1 = 2√Rr Доказательство: MN = MC + CN = 2MC = 2A1M = = A1B1 = 2√Rr (Исходя из свойства 2)

• 16 слайд

  Свойство 4 ▲О1МО2 – прямоугольный, причём О1М / МО2 = √r / R

• 17 слайд

  Свойство 4 ▲О1МО2 – прямоугольный, причём О1М / МО2 = √r / R

• 18 слайд

  Свойство 4 ▲О1МО2 – прямоугольный, причём О1М / МО2 = √r / R

• 19 слайд

  Свойство 4 ▲О1МО2 – прямоугольный, причём О1М / МО2 = √r / R

• 20 слайд

  Свойство 4 ▲О1МО2 – прямоугольный, причём О1М / МО2 = √r / R Доказательство: МО1 – биссектриса угла А1МС, МО2 – биссектриса угла В1МС, т.к. центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе этого угла. По пункту 1 О1МС + СМО2 = 0,5(А1МС + СМВ1) = 0,5 = /2 О1МО2 – прямой. МС – высота треугольника O1МО2, т.к. касательная МN перпендикулярна радиусам, проведённым в точки касания → треугольники О1МС и МО2С – подобны. О1М / МО2 = О1С / МС = r / √Rr = √r / R (по подобию)

• 21 слайд

  Свойство 5 ▲А1СВ1 – прямоугольный, причём А1С / СВ1 = √r / R

• 22 слайд

  Свойство 5 ▲А1СВ1 – прямоугольный, причём А1С / СВ1 = √r / R

• 23 слайд

  Свойство 5 ▲А1СВ1 – прямоугольный, причём А1С / СВ1 = √r / R

• 24 слайд

  Свойство 5 ▲А1СВ1 – прямоугольный, причём А1С / СВ1 = √r / R

• 25 слайд

  Свойство 5 ▲А1СВ1 – прямоугольный, причём А1С / СВ1 = √r / R Доказательство: ▲А1МС и ▲СМВ1 – равнобедренные → МА1С = МСА1 = α, МВ1С = МСВ1 = β. 2α + 2β + А1МС + СМВ1 = 2 → 2α + 2β = 2 - (А1МС + СМВ1) = 2 -  = , α + β = /2 Но А1СВ1 = α + β → А1СВ1 – прямой → В1СО2 = СВ1О2 = /2 – β = α ▲А1МС и ▲СО2В1 – подобны → А1С / СВ1 = МС / О2В1 = √Rr / R = √r / R

• 26 слайд

  Свойство 6 А2А1В1В2 – трапеция, в которую можно вписать окружность.

• 27 слайд

  Свойство 6 А2А1В1В2 – трапеция, в которую можно вписать окружность.

• 28 слайд

  Свойство 6 А2А1В1В2 – трапеция, в которую можно вписать окружность.

• 29 слайд

  Свойство 6 А2А1В1В2 – трапеция, в которую можно вписать окружность.

• 30 слайд

  Свойство 6 А2А1В1В2 – трапеция, в которую можно вписать окружность.

• 31 слайд

  Свойство 6 А2А1В1В2 – трапеция, в которую можно вписать окружность. Доказательство: ▲А1РА2 и ▲В1РВ2 – равнобедренные т.к. А1Р = РА2 и В1Р = РВ2 как отрезки касательных → ▲А1РА2 и ▲В1РВ2 – подобные. А1А2 ║ В1В2, т.к. равны соответственные углы, образованные при пересечении секущей А1В1 MN – средняя линия по свойству 2 → А1А2 + В1В2 = 2MN = 4√Rr А1В1 + А2В2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А1А2 + В1В2 → в трапеции А2А1В1В2 сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием существования вписанной окружности.

• 32 слайд

  Задача Дано: FM-общая касательная AC=15см FM=4см O2M=2О1M Найти: SBFM/SAFMC

• 33 слайд

  Задача Решение: 1)FM=2√Rr,O1M/O2M=√r/R 2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4 3)▲BO1P и ▲BO2Q подобны → BP/BQ=O1P/O2Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP=4/3 4)FM+BP=16/3, SFBM=r*pFBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3 5)SABC=R*pABC=4*(61/3)=244/3 → SBFM/SAFMC=(16/3):(244/3)=4/61