Презентация "Элементы комбинаторики"

• 1 слайд

  Элементы комбинаторики
  Ахмеджанова Т.Д.
  

• 2 слайд

  Комбинаторика
  - раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, как правило, конечного множества в соответствии с заданными правилами.
  

• 3 слайд

  Множество
  Всякая совокупность элементов произвольного рода, обладающая некоторым общим свойством, образует множество (соединение).
  

• 4 слайд

  Примеры множеств:
  множество всех действительных чисел,
  множество натуральных чисел,
  множество всех студентов данного университета,
  множество парт в данном классе.
  

• 5 слайд

  Множество считается определенным, если указаны все его элементы или указано их общее свойство.
  Множества, содержащие конечное число элементов, называются конечными. Характеристикой конечного множества является число его элементов.
  

• 6 слайд

  Множество, состоящее из n элементов, называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие натуральное число от 1 до n таким образом, что различным элементам соответствуют различные натуральные числа.
  Всякое конечное множество можно упорядочить.
  
  

• 7 слайд

  Правило суммы
  Пусть некоторый предмет А может быть выбран m способами, а другой предмет В может быть выбран n способами. Тогда имеется m + n возможностей выбрать либо предмет А, либо предмет В.
  
  

• 8 слайд

  Правило суммы
  А
  В
  

• 9 слайд

  Задача 1
  От сквера Кирова до академгородка можно проехать через Ангарский мост, плотину и новый мост. В первом случае количество дорог равно 2, во втором — 2, в третьем — 3. Сколькими способами можно добраться от сквера Кирова до академгородка ?
  

• 10 слайд

  Решение
  2+2+3=7
  сквер
  академгородок
  

• 11 слайд

  Правило произведения
  Пусть некоторый предмет А может быть выбран m способами, а другой предмет В может быть выбран n способами. Тогда имеется mn возможностей выбрать предмет А и предмет В.
  
  

• 12 слайд

  Правило произведения
  В
  А
  В
  А
  В
  А
  В
  и
  А
  ´
  Ç
  Ù
  

• 13 слайд

  Задача 2
  В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида открыток. Сколькими способами можно купить конверт и открытку?
  

• 14 слайд

  Решение
  5 · 4 = 20
  

• 15 слайд

  Задача 3
  Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова КОНВЕРТ?
  

• 16 слайд

  Решение
  Гласную можно выбрать двумя способами.
  Согласную — пятью способами.
  Ответ. 2 · 5 = 10.
  к
  о
  Н
  В
  Е
  Р
  Т
  

• 17 слайд

  Задача 4
  Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
  

• 18 слайд

  Решение
  64 · 49 = 3136
  

• 19 слайд

  Задача 5
  «Тёмное , чистое небо торжественно и необъятно высоко стояло над нами со всем своим таинственным великолепием».
  Сколько осмысленных предложений можно составить, вычёркивая некоторые слова этого предложения? (Во все предложения обязательно должны входить подлежащее небо и сказуемое стояло.)
  

• 20 слайд

  Решение
  небо
  стояло
  тёмное
  чистое
  торжественно
  и высоко
  над нами
  со всем
  великолепием
  таинственным
  своим
  необъятно
  

• 21 слайд

  Задача 6
  От Братска до Иркутска можно добраться поездом, самолётом, автобусом, теплоходом. Из Иркутска до Листвянки можно доехать на автобусе, либо на теплоходе. Сколькими способами можно проехать от Братска до Листвянки?
  

• 22 слайд

  Решение
  Б
  И
  Л
  

• 23 слайд

  Задача 7
  У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?
  

• 24 слайд

  Решение
  

• 25 слайд

  Задача 8
  На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — это окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).
  

• 26 слайд

  Решение
  Меридианы делят глобус на 24 части, а параллели делят каждую часть ещё на 17 + 1 = 18 частей.
  

• 27 слайд

  Задача 9
  Сколькими способами из колоды (36 карт) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?
  

• 28 слайд

  Решение
  В каждой масти по 9 карт.
  Из каждой масти выбираем по 1 карте, учитывая достоинство уже выбранной ранее карты.
  

• 29 слайд

  Факториал
  произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно (читается n–факториал).
  n! = 1•2•3•…•n
  Замечание: 0! = 1! =1.
  n!
  

• 30 слайд

  Перестановки
  Число различных способов, которыми может быть упорядочено данное множество, состоящее из n элементов, называется числом перестановок множества и обозначается Pn.
  

• 31 слайд

  Перестановки без повторений
  

• 32 слайд

  Задача 10
  Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых цифры 2, 3, 4, 5 встречаются ровно по одному разу?
  

• 33 слайд

  Решение
  2
  3
  4
  5
  2
  4
  5
  2
  5
  5
  4
  3
  2
  1
  

• 34 слайд

  Задача 11
  Сколько трёхзначных чисел можно получить из цифр 1,2,3, если цифры в числе не повторяются?
  

• 35 слайд

  Решение
  

• 36 слайд

  Перестановки с повторениями
  Пусть имеются предметы k различных типов.
  Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа,..., nk элементов k-го типа?
  
  

• 37 слайд

  Перестановки с повторениями
  

• 38 слайд

  Задача 12
  Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас», так, чтобы получались разные «слова»? Смысл «слов» значения не имеет.
  

• 39 слайд

  Решение
  «Ананас» - 6:
  а – 3; н – 2; с – 1.
  А
  А
  А
  Н
  Н
  С
  

• 40 слайд

  Задача 13
  К Маше пришли 7 подружек. Сколькими способами можно рассадить 8 человек за столом?
  

• 41 слайд

  Решение
  

• 42 слайд

  Задача 14
  8 девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг?
  

• 43 слайд

  Решение
  Девушки могут перемещаться по кругу.
  Число перестановок уменьшается в 8 раз.
  Ответ: 7!
  
  

• 44 слайд

  Задача 15
  Сколько ожерелий можно составить из 8 различных бусин?
  

• 45 слайд

  Решение
  Ожерелье можно вращать.
  Его можно и перевернуть.
  Число перестановок уменьшается ещё вдвое.
  Ответ: 7!/2
  

• 46 слайд

  Размещения
  Число упорядоченных k элементных подмножеств множества из n элементов называется числом размещений из n элементов по k и обозначается
  

• 47 слайд

  Размещения
  Размещения с повторениями
  
  Размещения без повторений
  
  

• 48 слайд

  Задача
  В машине 7 мест, включая водительское. Поедут 7 человек. Сколько существует способов распределения пассажиров по местам, если права есть лишь у троих?
  

• 49 слайд

  Решение
  (3*6!=2160)
  1
  2
  3
  

• 50 слайд

  Задача
  У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
  Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
  
  
  

• 51 слайд

  Решение
  

• 52 слайд

  Задача
  Сколько существует 4-значных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры?
  

• 53 слайд

  Решение
  
  Однозначных нечётных чисел ровно 5.
  К каждому однозначному нечётному числу вторая нечетная цифра может быть дописана 5 различными способами.
  Далее – по аналогии:
  1
  3
  5
  7
  9
  1
  3
  5
  7
  9
  1
  3
  5
  7
  9
  1
  3
  5
  7
  9
  

• 54 слайд

  Задача
  Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.
  

• 55 слайд

  Решение
  3 + 32 + 33 + 34 = 120
  А
  В
  Б
  

• 56 слайд

  Сочетания
  Если из n элементов составлять группы по m элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями без повторений из n элементов по m.
  

• 57 слайд

  Сочетания
  Сочетания без повторений
  
  Сочетания с повторениями
  
  

• 58 слайд

  Задача.
  В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если участвуют 12 команд?
  

• 59 слайд

  Решение.
  

• 60 слайд

  Задача.
  В группе 10 стрелков, из них 6 снайперов. Для выполнения боевой задачи нужно отобрать 5 стрелков, причем снайперов должно быть не меньше 4. Сколькими способами это можно сделать?
  

• 61 слайд

  Решение
  Не меньше 4 – это значит, что снайперов должно быть либо 4, либо 5.4 снайпера из 6 можно выбрать способами, остальных стрелков выбираем из оставшихся 4 стрелков (10-6)способами. Проводим аналогичные рассуждения, когда в группе снайперов 5.
  
  

• 62 слайд

  Задача.
  В классе 24 ученика, из них 8 отличников. Нужно выбрать 12 человек так, чтобы среди них было хотя бы 5 отличников. Сколькими способами можно это сделать?
  Ответ: 901628
  

• 63 слайд

  Свойства сочетаний
  

• 64 слайд

  Решить систему уравнений:
  

• 65 слайд

  Решение
  

• 66 слайд

  Треугольник Паскаля
  Треугольник Паскаля является одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.
  Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике".
  
  

• 67 слайд

  Треугольник Паскаля
  Эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата.
  В 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.
  
  

• 68 слайд

  Изображен треугольник на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.
  Омар Хайям, бывший философом, поэтом, математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.
  

• 69 слайд

  Построение треугольника Паскаля
  Треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке.
  Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.
  
  

• 70 слайд

  Свойства строк
  Сумма чисел n-й строки Паскаля равна (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна =1)
  
  

• 71 слайд

  Свойства строк
  Все строки треугольника Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).
  

• 72 слайд

  Свойства строк
  Каждый член строки треугольника Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т- простое число, а n - степень этого простого числа
  

• 73 слайд

  Нахождение элемента треугольника
  Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить тремя способами:
  где n - номер строки, k- номер элемента в строке;
  оно равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над данным.
  
  

• 74 слайд

  Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит данное число, причем сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются.