Презентация "Формирование у учащихся культуры математических записей при решении стереометрических задач"

• 1 слайд

  Формирование у учащихся культуры математических записей при решении задач и упражнений
  Учитель математики
  Кормовской ОШ
  Парафилова Е.А.
  

• 2 слайд

  Одним из способов обеспечения высокого уровня математической подготовки являются логические обоснования и культура математических записей и графических работ. Часто учащиеся делают громоздкие записи, «цитируют» формулировки аксиом, теорем, определений, на которые ссылаются, не обосновывают основные моменты задач. Все это приводит к нарушению логики и последовательности доказательств. Типичные ошибки связаны с неправильным использованием математических терминов и символики, некорректно выполненными рисунками, графиками, схемами. Не следует ограничивать инициативу учащихся в оформлении работ, необходимо показывать различные формы записей решений, ориентируя учащихся на то, что они должны быть четкими, логичными, достаточно краткими.
  

• 3 слайд

  ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЗАПИСЯМ
  - каждая математическая запись, рисунок должны быть четкими, аккуратными и удобными для чтения;
  - записи должны быть логичными, последовательными, краткими; отдельные части доказательств и решений необходимо отделять друг от друга, сопровождая необходимыми объяснениями;
  - с целью экономии времени при оформлении записей можно использовать символику теории множеств, однако делать это следует математически грамотно;
  - ошибочные записи не исправляются, а зачеркиваются одной чертой, исправления с помощью «штриха» или другими средствами не допустимы.
  

• 4 слайд

  ОБОСНОВАНИЯ ТРЕБУЮТ:
  - угол прямой с плоскостью;
  - линейный угол двугранного угла;
  - положение высот;
  - центров вписанного (описанного) шара, вписанной (описанной) окружности, если это используется при решении задачи;
  - расстояние от точки до прямой, от прямой до плоскости, между плоскостями;
  - вид сечения, положение взаимного расположения комбинации тел, если это используется при решении.
  

• 5 слайд

  ПРИ ЛОГИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ:
  - математические утверждения, которые содержатся в теоретическом материале школьного учебника;
  - опорные задачи, на которые ученики в процессе обучения опирались, решая более сложные задачи;
  - свойства, которые изучены учениками на индивидуальных занятиях или самостоятельно, причем каждый учитель должен постоянно повторять вместе с теоретическим материалом опорные факты.
  

• 6 слайд

  ЗАДАЧА 1
  В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Определите полную поверхность пирамиды, если расстояние от основания ее высоты до боковой грани равно a.
  

• 7 слайд

  РЕШЕНИЕ.
  Пусть SABC данная правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник ABC. SO- высота пирамиды, О- центр основания, SD- медиана (высота), проведенная к основанию СВ равнобедренного Δ SBC, AD- медиана (высота) ΔABC. CB┴SD, CB┴AD, следовательно, ребро CB┴ (SDA) (по признаку перпендикулярности прямой к плоскости). Следовательно, ‹SDA- линейный угол двугранного угла с ребром BC, ‹SDA = α.
  (SOD) ┴ (SCB) (по признаку перпендикулярности плоскостей). В (SOD) проведем OM ┴ SD, следовательно OM ┴ SD, следовательно OM ┴ (SCB) (по свойству прямой, лежащей в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной их линии пересечения). OM=a.
  
  

• 8 слайд

  ЗАДАЧА 2
  Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 4, 13 и 15 см. Высота этой пирамиды проходит через вершину меньшего основания. Расстояние от вершины пирамиды до прямой, которая содержит меньшую сторону основания, равно 37 см. Найдите объем пирамиды.
  

• 9 слайд

  РЕШЕНИЕ.
  Пусть основанием пирамиды SABC является ΔABC со сторонами AB = 15 см, BC = 13 см, AC = 4 см, высота пирамиды SB проходит через вершину B меньшего ‹ABC основания. В ΔABC AB²>AC²+BC² (225>16+169), следовательно, ‹BCA тупой. Расстояние SM от вершины пирамиды до прямой AM, которая содержит меньшую сторону AC основания; равно 37 см.
  SM – наклонная к плоскости основания пирамиды, BM – ее проекция на эту плоскость, SM┴AC, следовательно BM┴AC (по теореме о трех перпендикулярах).
  

• 10 слайд

  ЗАДАЧА 3
  Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом β. Высота этого треугольника, проведенная к гипотенузе, равна h. Боковая грань, которая содержит катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите объем пирамиды.
  

• 11 слайд

  РЕШЕНИЕ.
  Пусть SABCD данная пирамида, основанием которой является прямоугольный ΔABC с острым углом β ( ‹ACB = 90˚, ‹ABC = β) и высотойCN = h. Грань SBC, содержащая катет BC, прилежащий к данному углу β, перпендикулярна к плоскости основания пирамиды. Проведем в ΔSCB SO┴BC, значит, SO – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды ( по свойству прямой, лежащей в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной их линии пересечения). SO – высота пирамиды. OC – проекция наклонной SC на плоскость основания пирамиды, OC┴AC, следовательно, SC┴AC ( по теореме о трех перпендикулярах).
  

• 12 слайд

  Значит, ребро AC перпендикулярно плоскости SOC ( по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Значит, ‹SCB – линейный угол двугранного угла с ребром AC; ‹SCB = α.
  Опустим из точки O перпендикуляр OM на гипотенузу AB. OM – проекция наклонной SM на плоскость основания пирамиды, OM ┴AB, следовательно, SM┴AB. Значит, ребро AB перпендикулярно плоскости SMO. Значит, ‹SMO – линейный угол двугранного угла с ребром AB; ‹SMO = α.
  Прямоугольные треугольники SOM и SOC равны ( SO – общий катет, ‹SMO = ‹SCO = α). Следовательно, OM = OC.
  Прямоугольные треугольники AMO и ACO равны ( AO – общая гипотенуза, OM = OC). Следовательно, ‹CAO = ‹MAO = 45˚-β/2.
  

• 13 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ