Презентация. Геометрия Эвклида.

• 1 слайд

  Тема: Геометрия Эвклида и сравнение, и выяснения в каком мире мы живем.
  Выполнила: Сарсембина Л.К
  Руководитель: Алдыбаева Н.А
  Презентация.
  Г.Павлодар
  2013-2014гг.
  

• 2 слайд

  Цели.
  1.Изучить исторический материал, связанный с проблемой параллельности прямых.
  2.Найти, существует ли доказательство пятого постулата Евклида?
  3.Выявить, существуют ли геометрии, отличные от евклидовой?
  
  Задачи.
  1.Собрать и проанализировать как можно больше литературы о геометрии Эвклида и Неэвклидовой геометрии в различных источниках .
  2.Сравнить их и выяснить какой геометрией описывается наш мир, а также выяснить что сделал Эвклид в развитие геометрии и арифметике.
  Гипотеза.
  1.Если изучить эти на первый взгляд одинаковые геометрии, то можно будет выяснить какой геометрией описывается наш мир, ведь от этих знаний может зависеть судьба вселенной.
  

• 3 слайд

  Древнегреческий ученый Эвклид.
  Эвклид (Евклид (Eukléides), около 365–300 г. до н. э.) — древнегреческий ученый.
  Приписываемые ему труды накапливают основные знания классической цивилизации по математике, логике, оптике, музыке и астрономии. Его именем названы классическая геометрия и алгоритм Эвклида.
  Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.
  Данные о жизни Эвклида сохранились на страницах арабской рукописи XII в.: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем „Геометра“, учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира». Тир — столица Финикии. Вероятно, род Эвклида был из тирийцев, поселившихся в Афинах. Первый комментатор «Начал» Прокл не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот учёный муж» жил в эпоху царствования Птолемея I.
  Эвклид получил научное образование от учеников Платона и был приглашён в Александрию Птолемеем, сыном Лага; здесь, в Александрии он основал школу математики. Из его сочинений дошли только «Элементы геометрии», книга под заглавием «Данные», трактата по геометрической оптике и катоптрике и часть сочинения о делении площадей многоугольников.
  

• 4 слайд

  Учитель Эвклида - Платон.
  Плато́н — древнегреческий философ
  ученик Сократа
  учитель Аристотеля, Евклида
  Настоящее имя — Аристокл
  Платон родился в 428—427 годах до н.э. в Афинах
  Платон родился в семье, имевшей аристократическое происхождение
  В 389 году отправился в Южную Италию и Сицилию, где общался с пифагорейцами
  В 387 году Платон возвращается в Афины, где основывает собственную школу — Платоновскую Академию
  
  Статуя Платона в Дельфах.
  

• 5 слайд

  С чего все начиналось?
  Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.
  Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.
  Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.
  Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. Вот так Эвклид и написал свое знаменитое произведение «Начала».
  
  

• 6 слайд

  Рафаэль Санти, Евклид, деталь
  1508-11, фреска "Афинская школа"
  Станц делла Сеньятура, Ватикан, Рим, Италия.
  

• 7 слайд

  
  Основное сочинение Евклида
  «Начала» .
  
  Ватиканский манускрипт
  Гиппократ
  Хиосский
  Леонт
  Февдий
  
  В них впервые сделана попытка
  логического построения геометрии
  на основе аксиоматики.
  «Начала» состоят из тринадцати книг.
  Некоторые книги предваряются списком
  определений.
  В I книге также список постулатов и
  аксиом.
  Постулаты задают базовые построения
  Аксиомы – общие правила вывода при
  оперировании с
  величинами.
  
  

• 8 слайд

  Интересный факт из жизни Эвклида.
  У Евклида мы встречаем также описание монохорда — однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры). Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино, А первопричиной появления этих музыкальных инструментов стала математика.
  
  

• 9 слайд

  В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
  Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости.
  Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.
  
  «Начала»
  

• 10 слайд

  Что рассматривается в этих книгах?
  I книга – изучаются свойства треугольников и параллелограммов;
  II книга – посвящена «геометрической алгебре»;
  III-IV книги – излагается геометрия окружностей;
  V книга – вводится общая теория пропорций;
  VI книга – прилагается к теории подобных фигур;
  VII-IX книги – посвящены теории чисел;
  X книга – строится классификация иррациональностей;
  XI книга – содержит основы стереометрии;
  XII книга – доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, объёмов пирамид и конусов;
  XIII книга – посвящена построению пяти правильных многогранников
  

• 11 слайд

  Другие произведения Эвклида.
  «Данные» — о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  «О разделении» — сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  «Явления»— приложения сферической геометрии к астрономии;
  «Оптика» — о прямолинейном распространении света.
  
  

• 12 слайд

  Уже со времён пифагорейцев и Платона геометрия, арифметика и другие математические науки рассматривались в качестве
  -образца систематического
  мышления
  -предварительной ступени
  для изучения философии.
  Над входом в платоновскую Академию - надпись:
  «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».
  Йос Ван Вассенхове
  Евклид и античная философия
  

• 13 слайд

  Неевклидова геометрия — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида;
  однако традиционно термин «Неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.
  Неевклидова геометрия
  

• 14 слайд

  Исследования Саккери
  Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырехугольника, у которого четвертый угол ф тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли. Неприступная "крепость" пятого постулата осталась непокоренной.
  Итальянец Саккери рассматривал четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвертый угол (обозначим его через ф) мог оказаться прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвертый угол ф всегда равен 900, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.
  
  

• 15 слайд

  Исследования Лежандра
  Французского математик Адриен Мари Лежандр, в каждом издании книги, посвященной евклидовой геометрии, приводил рассуждение, в котором, по его мнению, доказывался пятый постулат.
  Но неизменно в следующем издании автор, признавая, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) - "очевидное", но в действительности представлявшее собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.
  Ни одна из попыток Лежандра не привела к успеху.
  
  

• 16 слайд

  Исследования Гаусса
  Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел к мысли о построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой.
  В 1817 г. в одном из писем признался: "Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана". Но обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым.
  Гаусс не опубликовал ни один из своих результатов, хотя из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неевклидовой геометрии.
  
  

• 17 слайд

  Исследования Януша Больяй
  Творцом новой геометрии стал так же и венгерский математик Янош Больяй (1802 - 1860). В отличие от Гаусса он стремился распространить свои идеи, но большинство математиков тогда еще не были готовы их воспринять.
  
  Результаты Яноша Больяя были сжато изложены в 1832 г. в приложении книге его отца, Фаркаша Больяя. Труд Я. Больяя "Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)" обычно кратко называют "Аппендикс" (от лат. "приложение").
  
  

• 18 слайд

  Исследования Лобачевского
  Русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, писал, что задача о параллельных прямых представляет собой "трудность, до сих пор непобедимую, но между тем заключающую в себе истины ощутительные, вне всякого сомнения, и столь важные для целей науки, что никак не могут быть обойдены".
  

• 19 слайд

  В современных аксиоматических изложениях геометрии в качестве неопределяемых терминов обычно рассматриваются точка, прямая, плоскость и некоторые другие. Евклид, однако, стремился определить и эти термины тоже, например:
  точка – это то, что не имеет частей;
  линия – это длина без ширины;
  прямая – это линия, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
  поверхность – это то, что имеет только длину и ширину;
  плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней;
  граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
  
  
  

• 20 слайд

  Определения в доказательствах.
  полукруг – это фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности;
  равносторонний треугольник – треугольник, имеющий три равные стороны;
  параллельные прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой
  не встречаются;
  говорят, что прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает круга.
  
  

• 21 слайд

  Постулаты Евклида
  Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;
  Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
  Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
  Все прямые углы равны;
  И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
  

• 22 слайд

  О чем говорится в V постулате Евклида?
  Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°).
  

• 23 слайд

  Как формулируется равносильная аксиома параллельности?
  К данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более одной параллельной прямой.
  а
  b
  B
  

• 24 слайд

  Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые а и в, причем так, что а образует с прямой АВ угол а=900, а угол между прямыми в и АВ равен 89059'59" (рис. 2). Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов а и в всего на 1 угловую секунду меньше 1800.
  Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен y и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tg y=2,06*105. Следовательно, длина катета АС составляет приблизительно 2,06*105 м= =206 км (на самом деле немного больше).
  
  

• 25 слайд

  Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических расчетах). Но проверить, что указанные выше прямые а и в пересекаются на расстоянии 206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку более 200 км не представляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо добавить еще один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия, а физика). А если сумма углов а и в отличается от 180° еще менее чем на 1 угловую секунду?!
  Пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.
  

• 26 слайд

  Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери, Лежандр, Гаусс, Больяй, и Лобачевский.
  

• 27 слайд

  Итак, на базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму.
  Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.
  

• 28 слайд

  Например:
  сумма углов треугольника равна 180°,
  во всех треугольниках сумма углов одна и та же,
  через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла,
  существуют два подобных, но не равных треугольника,
  теорема Пифагора,
  для всякого треугольника существует описанная окружность и др.
  
  

• 29 слайд

  В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.
  
  

• 30 слайд

  А может быть на этом пути вообще не прийти к противоречию?
  

• 31 слайд

  Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее не содержит никаких логических противоречий?
  
  

• 32 слайд

  Другая геометрия?
  

• 33 слайд

  Геометрия Лобачевского
  Лобачевский построил новую геометрию, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”.
  
  

• 34 слайд

  И не получил противоречия.
  Отсюда следует, что таких прямых может быть бесконечное количество.
  Доказывая много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий, Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он назвал её воображаемой.
  В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата.
  
  

• 35 слайд

  Например:
  вертикальные углы равны;
  углы при основании равнобедренного треугольника равны;
  из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр
  и др.
  

• 36 слайд

  Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности прямых, видоизменяются:
  Теорема о сумме углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину.
  

• 37 слайд

  В геометрии Лобачевского:
  Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
  В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.
  Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
  Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.
  
  

• 38 слайд

  Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского:
  Две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися
  

• 39 слайд

  Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди ясного неба Эйнштейн создаёт теорию относительности, частным случаем которой является теория тяготения Ньютона.
  Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
  Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
  

• 40 слайд

  Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что наше как мы думали трёхмерное евклидово пространство на самом деле таковым не является.
  А живём мы в четырёхмерном искривлённом пространстве-времени, которое описывается общей геометрией Римана.
  Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи массивных тел.
  Следствием этого является замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.
  

• 41 слайд

  Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на нашей планете мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида и механикой Ньютона с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожно малы.
  

• 42 слайд

  В каком мире
  мы живем?
  Какой геометрией
  он описывается?
  ?
  

• 43 слайд

  От этого знания
  зависит
  судьба
  Вселенной!!!
  

• 44 слайд

  Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского
  

• 45 слайд

  Спасибо,
  За внимание!
  
  

Краткое описание документа:

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была данаГильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.