Презентация "Геометрия 10 класс"

• 1 слайд

  Стереометрия
  10 класс
  Учитель математики МБОУ «СОШ № 15» г. Братска
  Аникиной А.И.
  

• 2 слайд

  Содержание
  Стереометрия (аксиомы и следствия)
  Параллельность прямых и плоскостей
  Взаимное расположение прямых в пространстве
  Параллельность плоскостей
  Перпендикулярность прямых и плоскостей
  Перпендикулярные и наклонные
  Двугранный угол
  

• 3 слайд

  ГЕОМЕТРИЯ
  (ПЛОСКИЙ) (ОБЪЁМНЫЙ)
  ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ
  (ТОЧКА, ПРЯМАЯ) (ТОЧКА, ПРЯМАЯ,
  ПЛОСКОСТЬ)
  

• 4 слайд

  Предмет стереометрии
  Стереометрия —это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.
  
  

• 5 слайд

  ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
  ТОЧКА: А,В,С,…
  
  ПРЯМАЯ: а,b,c,d,…; АВ,СР,…
  
  ПЛОСКОСТЬ: АВС, MNР,…
  

• 6 слайд

  Аксиомы стереометрии
  Аксиома 1:
  Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  
  А
  В
  С
  
  

• 7 слайд

  Аксиомы стереометрии
  Аксиома 2:
  Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  
  A
  B
  
  

• 8 слайд

  Аксиомы стереометрии
  Аксиома 3:
  Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  а
  
  
  А
  

• 9 слайд

  Некоторые
  следствия из аксиом
  Теорема:
  
  Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
  a
  E
  P
  M
  
  

• 10 слайд

  Некоторые
  следствия из аксиом
  Теорема:
  
  Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
  M
  N
  
  b
  a
  

• 11 слайд

  Параллельность прямых и плоскостей
  Параллельность прямых, прямой и плоскости
  
  

• 12 слайд

  Параллельные
  прямые в пространстве
  Определение:
  
  Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
  Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
  Теорема:
  M
  a
  b
  
  

• 13 слайд

  Параллельность
  трех прямых
  Лемма:
  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  а
  
  
  b
  p
  N
  M
  

• 14 слайд

  Параллельность
  трех прямых
  Теорема:
  Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  К
  a
  b
  
  c
  

• 15 слайд

  Параллельность прямой и плоскости
  Определение:
  
  Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
  
  b
  a
  

• 16 слайд

  Параллельность прямой и плоскости
  Теорема:
  
  Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна.
  
  b
  a
  

• 17 слайд

  Два утверждения, используемые при решениях задач
  Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
  
  
  b
  a
  
  

• 18 слайд

  Два утверждения, используемые при решениях задач
  2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
  
  
  b
  a
  

• 19 слайд

  Взаимное расположение прямых в пространстве
  Угол между двумя прямыми
  

• 20 слайд

  Скрещивающиеся прямые
  Определение:
  Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
  
  
  

• 21 слайд

  Признак
  скрещивающихся прямых
  Теорема:
  
  Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  А
  В
  
  D
  C
  

• 22 слайд

  Три случая расположения двух прямых в пространстве
  Прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку(рис.а)
  
  
  
  
  а
  б
  в
  Прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются(рис.б)
  Прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости(рис.в)
  

• 23 слайд

  Теорема о скрещивающихся прямых
  Теорема:
  
  Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
  
  B
  A
  E
  D
  C
  

• 24 слайд

  Углы с сонаправленными сторонами
  Теорема:
  
  Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
  O1
  O
  A
  A1
  B
  B1
  

• 25 слайд

  Параллельность плоскостей
  
  

• 26 слайд

  Параллельные плоскости
  Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
  Определение:
  а
  
  
  
  
  

• 27 слайд

  Признак параллельности двух плоскостей
  Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  Теорема:
  
  
  a1
  b1
  a
  b
  M
  

• 28 слайд

  Свойства
  параллельных плоскостей
  1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линий их пересечения параллельны.
  
  
  
  b
  a
  

• 29 слайд

  Свойства
  параллельных плоскостей
  2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
  
  
  
  B
  A
  D
  C
  

• 30 слайд

  Перпендикулярность прямых и плоскостей
  
  

• 31 слайд

  Перпендикулярные прямые в пространстве
  Определение:
  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90.
  
  c
  b
  a
  

• 32 слайд

  Перпендикулярные прямые в пространстве
  Лемма:
  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
  A
  c
  C
  b
  a
  M
  

• 33 слайд

  Параллельные прямые,
  перпендикулярные к плоскости
  Определение:
  Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  
  a
  

• 34 слайд

  Параллельные прямые,
  перпендикулярные к плоскости
  Теорема:
  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
  
  а
  а1
  x
  

• 35 слайд

  Параллельные прямые,
  перпендикулярные к плоскости
  Теорема:
  Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
  
  
  M
  b
  a
  b1
  c
  

• 36 слайд

  Параллельные прямые,
  перпендикулярные к плоскости
  Теорема:
  Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
  q
  
  m
  o
  a
  p
  b
  

• 37 слайд

  Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
  Теорема:
  Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
  
  
  M
  b
  a
  c
  

• 38 слайд

  Перпендикулярные и наклонные
  Угол между прямой и плоскостью
  
  

• 39 слайд

  Расстояние
  от точки до плоскости
  Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости , а точка Н – основанием перпендикуляра.
  
  M
  H
  A
  

• 40 слайд

  Расстояние
  от точки до плоскости
  АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости , а точка М – основанием наклонной.
  Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость .
  АН – катет, сторона АМ – гипотенуза, поэтому АН<АМ.
  
  M
  H
  A
  

• 41 слайд

  Расстояние
  от точки до плоскости
  Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.
  
  M
  H
  A
  

• 42 слайд

  Замечания
  1. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
  2.Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
  3. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
  

• 43 слайд

  Теорема о трех перпендикулярах
  Теорема:
  Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
  Обратная теорема:
  Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции
  
  
  M
  a
  H
  A
  

• 44 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  Определение:
  Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
  
  A
  M
  0
  
  

• 45 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.
  
  M
  M1
  N
  F1
  F
  

• 46 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.
  
  
  H1
  a
  H
  a1
  M
  

• 47 слайд

  Двугранный угол
  Перпендикулярность плоскостей
  
  

• 48 слайд

  Двугранный угол
  Определение:
  a
  Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
  

• 49 слайд

  Двугранный угол
  Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.
  У двугранного угла две грани, отсюда и название – двугранный угол.
  Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.
  a
  

• 50 слайд

  Двугранный угол
  Отметим на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.
  A
  C
  O
  B
  D
  

• 51 слайд

  Двугранный угол
  Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
  Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
  A
  O
  B
  O1
  B1
  A1
  

• 52 слайд

  Виды двугранных углов
  Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90 (меньше 90, больше 90).
  90
  45
  110
  Прямой
  Тупой
  Острый
  

• 53 слайд

  Признак перпендикулярности двух плоскостей
  Определение:
  Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90
  
  
  90°
  

• 54 слайд

  Признак перпендикулярности двух плоскостей
  Теорема:
  Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
  
  
  A
  C
  B
  D
  

• 55 слайд

  Признак перпендикулярности двух плоскостей
  Следствие:
  Плоскость, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
  
  
  
  а