Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Занятие кружка по математике
«Мосты Эйлера».
Теория графов. Мосты Кёнигсберга.
2 слайд
3 слайд
С дворянским титулом «граф» эту тему связывает только общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.
Г
Р
А
Ф
И
О
4 слайд
Появление теории графов как математической дисциплины, все единодушно относят к 1736 году, когда Л. Эйлер (1707-1782, российский математик, швейцарец по происхождению, академик Петербургской и Берлинской академии наук), решил широко известную в то время задачу о Кёнигсбергских мостах. Подробнее об этой задаче будет сказано ниже. Этот результат более ста лет оставался единственным в теории графов.
5 слайд
Что такое граф?
В процессе решения задач математики заметили, что удобно изображать объекты точками, а отношения между ними отрезками или дугами.
В математике определение графа дается так:
Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями.
Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.
Рёбра графа
Вершина графа
6 слайд
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.
Нечётная степень
Чётная степень
7 слайд
Условимся называть точки, в которых сходится четное количество линий, четными, а точки, в которых сходится нечетное число линий, - нечетными.
8 слайд
Признаки вычерчивания фигур одним росчерком:
если нечетных точек в фигуре нет, то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любого места;
если в фигуре две нечетные точки (если фигура имеет нечетную точку, то она всегда имеет и вторую нечетную точку), то ее можно начертить одним росчерком, начав вычерчивание в одной из нечетных точек и закончив в другой;
если в фигуре более двух нечетных точек, то ее нельзя вычертить одним росчерком.
9 слайд
Попробуй начертить самостоятельно
Давай
проверим!
10 слайд
Определите, какие из фигур можно начертить не отрывая карандаш от бумаги
(и не проводя по одной линии дважды).
признаки вычерчивания
задачи
физминутка
11 слайд
12 слайд
13 слайд
14 слайд
15 слайд
16 слайд
17 слайд
18 слайд
История о Кенигсбергских мостах
Бывший Кенигсберг Возникший в XIII веке (ныне Калининград) расположен на реке Прегель, делящей город на четыре главные части: Альтштадт, Кнайпхоф, Ломзе и Форштадт. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены.
19 слайд
К концу 19 века в Кёнигсберге было построено 7 основных мостов. Примерно в эти же годы составлена классическая задача о семи мостах Кёнигсберга. Надо было пройти по всем городским мостам не проходя по одному из них дважды.
20 слайд
Схема мостов Кёнигсберга
21 слайд
По старой традиции, каждый приезжающий в Кёнигсберг должен бросить по одной монетке с любого из семи мостов, чтобы вернуться в этот город.
22 слайд
Философ Иммануил Кант, гуляя по городу Кенигсбергу, поставил задачу, известную в математике как задача о семи кенигсбергских мостах: можно ли пройти по всем этим мостам и при этом вернуться в исходную точку так, чтобы по каждому мосту пройти только один раз.
23 слайд
Преподаватель Кёнигсбергского университета "Альбертина" Леонард Эйлер решил задачу, составленную Кантом.
24 слайд
Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа.
25 слайд
Одним росчерком
Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым.
Решая задачу О кенигсбергских мостах, Эйлер сформулировал свойства графа:
Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
26 слайд
В Кенигсберге река, омывающая два острова, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?
№ 1
27 слайд
Составим схему к решению задачи
Из рисунка видно, что у полученной фигуры четыре нечетные вершины, следовательно, ее нельзя построить, не пройдя по одной линии дважды,
а значит, нельзя пройти по мостам так, чтобы не пройти по одному и тому же два раза.
А
В
С
D
Решение.
28 слайд
Через реку, омывающую три острова, перекинуто 9 мостов. Можно ли обойти все эти мосты, гоняясь за зайцем, не побывав ни на одном из них более одного раза?
А
В
С
D
E
№ 2
29 слайд
Составим схему к решению задачи
Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить, не отрывая карандаша от бумаги, а значит, можно пройти по мостам, не пройдя по одному и тому же два раза, начиная, например, с одного из мостов островка Е.
А
В
E
D
С
Решение.
А
В
Е
С
D
30 слайд
Выводы:
ЕСЛИ все вершины – четные, то его можно начертить «одним росчерком», начиная с любой вершины.
ЕСЛИ 2 вершины – нечетные, то его нужно начать с одной из нечетных вершин.
Обход невозможен, если нечетных вершин больше 2.
31 слайд
Но история о семи мостах Кёнигсберга имеет свое продолжение:
В 1905 году в Кенигсберге был поострен еще один мост. (Слайд 30) История кайзера Вильгельма: Кайзер (император) Вильгельм славился своей прямотой, простотой мышления и солдатской «недалёкостью». Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. К всеобщему удивлению, кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы минуты. Ошеломлённый немецкий истеблишмент не мог поверить своим ушам, но бумагу и чернила быстро нашли. Кайзер положил листок на стол, взял перо, и написал: «приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Так в Кёнигсберге и появился новый мост, который так и назвали — мост кайзера. А задачу с восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.
32 слайд
Был построен в 1905 году по приказу канцлера Вильгельма.
Своему появлению он обязан самой задачи Эйлера.
ИМПЕРАТОРСКИЙ мост(Kaiser-brucke).
33 слайд
Графы достаточно широко применяются в математике, технике, экономике, управлении. В качестве примера рассмотрим несколько задач.
34 слайд
Задача №1.
В розыгрыше финальной части турнира участвуют семь команд: шесть команд, набравших наибольшее количество очков в предварительной части турнира и команда – победитель прошлого года. Сначала играют друг с другом первые шесть команд, затем три команды, одержавшие победы и команда, победитель прошлого года, играют друг с другом. Два победителя этого тура встречаются в финале.
35 слайд
Понять о чем идет речь в этом тексте нелегко. Попробуем представить его в виде наглядной схемы и порядок организации финальной части розыгрыша станет очевидным.
Рисунок 2. Граф к примеру 1
36 слайд
Задача №2
В школьный компьютерный класс завезли 5 компьютеров, которые требуется связать локальной сетью. Известны расстояния между компьютерами. Требуется связать компьютеры таким образом, чтобы общая длина кабеля была бы наименьшей.
37 слайд
В таблице приведены данные о расстояниях между компьютерами.
38 слайд
Граф будет иметь следующий вид:
1
5
3
2
4
39 слайд
Задача 3
Мальчики 10 б класса Андрей, Витя, Сережа, Валера, Дима при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение:
Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию — отрезок или часть кривой, соединяющая конкретные точки - имена. Если подсчитать число рёбер графа, изображённого на рисунке, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий между пятью молодыми людьми. Их 10.
40 слайд
Задача 4
Дан кусок проволоки, длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
Решение:
Если куб – граф, тогда он имеет более двух нечетных вершин (8). Значит, невозможно изготовить такой каркас, не ломая проволоки.
41 слайд
На этом занятии были рассмотрены графы, которые тесно связаны с историей о мостах Кёнигсберга.
С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 662 791 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кузьмина Татьяна Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.