Презентация и конспект урока по теме "Использование разных методов разложения на множители"

Тема урока: Различные способы при разложении многочлена на множители.

Тип урока: Урок-исследование.

Образовательная цель:

• создать условия для отработки умений и навыков разложения многочлена на множители с использованием различных способов.

Развивающие цели:

• развивать интеллектуальные умения (анализ, синтез)
• развивать такие качества мышления, как убедительность, доказательность, гибкость, критичность.

Воспитательные цели:

• воспитывать чувство ценности интеллектуального труда, чувство удовлетворенности своей учебной работой, умение работать в группе.

1.                  Орг.момент.

       Здравствуйте ребята! Как ваше настроение?  Надеюсь, сегодня на уроке, мы с вами отлично поработаем. Желаю вам в группах взаимопонимания, чёткости, гибкости, умения слышать друг друга!

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ГРУППЕ:

1.Внимательно слушать задания.

2. Группа совместно обсуждает и решает, выдвигает идеи или опровергает их.

3. Выберите выступающего.

4. Помните, что успех группы зависит от того, насколько каждый проявит свои достоинства.

5. Во время работы с уважением относитесь к товарищам: принимая или отвергая идею, делайте это вежливо. Помните, что каждый имеет право на ошибку.

6. Каждый член группы должен работать в полную меру своих сил.

Эпиграф «Первое условие, которое надлежит выполнить в математике,- это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым»(Слайд 2)

                                                                                                                             Л. Карно.

2.          Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока «Различные способы при разложении многочлена на множители».

            Вы когда- нибудь слышали кто такие исследователи? Исследователь – человек, занимающийся  научными   исследованиями. Исследовать –    подвергнуть научному изучению.  Сегодня мы будем учиться проводить исследование. Любая профессия предполагает постановки цели, выдвижения гипотез. Все учёные – исследователи работают по определенному плану. Итак:

   Этапы исследования:(Слайд 3)

1.      Актуальность.

2.       История вопроса.

3.      Теоретическая база.

4.       Постановка гипотезы.

5.       Доказательство гипотезы.

6.       Вывод.

              Исследование начинается с проблемы. Вспомним короля математики Карла Гаусса. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел  от 1 до 100. Юный Гаусс ( а было ему 10 лет) заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: . Математики народ особый, они ищут более рациональные (рациональный, значит разумный) пути решения проблем.  Сегодня мы поступим как истинные математики.

 3.   1) Актуальность.

 На доске записано  задание: Найти значение многочлена:(Слайд 4)

X⁶+2 X⁵+9 X⁴+16 X³ +24 X²+32 X+16, если X=2.

Получение ответа непосредственным счётом займёт слишком много времени.

Как нам выполнить это задание?

2) История вопроса. У любой проблемы есть своя история. Поэтому обязательным этапом  является история вопроса. Чтобы решить эту проблему, мы используем наш опыт.  

Какие способы вы знаете разложения многочлена на множители? В группах подумайте. Слушаю ваши ответы.(Слайд 5)

 

3) Теоретическая база. Как настоящие исследователи вспомним теорию. У вас на столах есть учебники, воспользуйтесь ими.

        Подумайте и ответьте на следующие вопросы:  1)Что такое многочлен? 2)Что значит разложить многочлен на множители? 3)  Формулы сокращенного умножения.

Ответ 1)Многочленом называется сумма одночленов. Ответ 2)Представить многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночленов.

Ответ 3)Формулы сокращенного умножения.(Проговорите формулы).(Слайд 6)

a²+ 2аb + b² = (a + b)²

a² - 2аb + b² = (a - b)²

a² - b² = (а – b)(а + b)

a³+ b³ = (а + b)( a² - аb + b²)

a³- b³= (а - b)( a²+ аb + b²)    

Теорию мы повторили, сейчас проверим ваши практические навыки разложения многочлена на множители. Следующее задание для группы: разложить на множители каждый многочлен, выбрать ответ и записать соответствующую букву, в итоге у вас получится слово. (Слайд 6)

1)6a³x-9a²y;    =3a²(2ax-3y)  Е

2) ac+ad+2bc+2bd;  =(c+d)(a+2b) В

3) c²-4;    =(c-2)(c+2)  К

4)x²-2x+1;     =(x-1)²    Л

5) 5a²-5ax-7a+7x;    =(a-x)(5a-7) И

6)4b²+4b+1.  = (2b+1)² Д

В	Д	К	И	Л	Е
(c+d)(a+2b)	(2b+1)2	(c-2)(c+2)	(a-x)(5a-7)	(x-1)2	3a2(2ax-3y)

«Евклид».  На стр.206 прочитайте о формулах сокращённого умножения. (Слайд 8)

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс.лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

   У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили, на « a²», а «квадрат на отрезке a», не « ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a  и  b». Например, тождество     (a + b)²=  a²+ 2аb + b²  во второй книге «Начала» Евклида(3 в.до н.э.) формулировалось так: «Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками».

    Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень – кубом.

     Что поняли? Что запомнилось?

Евклид был учёным-одиночкой, ему приходилось работать одному. Вам должно быть легче работать в группах.

Первый пример был с использованием, какого способа? ( Вынесение общего множителя за скобки). А второй?  (Способ группировки). Третий? С помощью формул сокращенного умножения. Четвёртый? (С помощью формул сокращенного умножения). Пятый?  (Способ группировки). И шестой? (С помощью формул сокращенного умножения). Где возможно применить? (Слайд  9) 1. При  решении уравнений:  

  х² – 15х +56 =0;

2.      При доказательстве тождеств:

(а² +3а)² +2(а² +3а)= а(а+1)(а+2)(а+3);

4) Постановка гипотезы. Возвращаемся к нашему заданию. Как настоящие учёные- исследователи, мы должны выдвинуть гипотезу: как выполнить задание? Я предлагаю  разбить наше выражение на мелкие части. Ведь если есть одна большая проблема, решать её сложно, а разбив её на маленькие части, мы сможем постепенно, теми способами, которые мы знаем разрешить её.

          Но для начала я предлагаю вам выполнить следующее задание. (Слайд10).Выполните разложение многочлена на множители, выбрав любой уровень, эта работа индивидуальная. Задание выполняет каждый, на карточке, их подпишите.

1 уровень 1)     Разложить на множители: а) 3x2-12; б) 50b-2a2b. 2)     Представить в виде произведения: а) 3 a2-6 ab+3 b2; б) ax2+4 ax +4a; в) 2x2- 4x+2. 1)

2 уровень 1)     Разложить на множители: а) -3a3+3ab2; б) –abc-5ac-4ab-20a. 2)     Представить в виде произведения: а) -5a2- 10ab-5 b2; б) -12x3-12x2 -3x.

  Давайте сверим ответы. Кто выполнял задания 1 уровня? Кто -2уровня?

Решение: (Слайд 11)

1 уровень

1)     Разложить на множители:

а) 3x²-12=3(x²-4)=3(x-2)(x+2);

б) 50b-2a²b=2b(25- a²)= 2b(5-a)(5+a).

2)     Представить в виде произведения:

а) 3 a²-6 ab+3 b²=3(a²-2ab+b²)=3(a-b)²;

б) ax²+4 ax +4a=a(x²+4x+4)=a(x+2)²;

в) 2x²- 4x+2=2(x²-2x+1)=2(x-1)².

2 уровень

1)     Разложить на множители:

а) -3a³+3ab²=-3a(a²- b²)=-3(a-b)(a+b);

б) –abc-5ac-4ab-20a=-a(bc+5c+4b+20)=-a(c(b+5)+4(b+5))=-a(b+5)(c+4).

2)     Представить в виде произведения:

а) -5a²- 10ab-5 b²=-5(a² +2 ab+ b²)= -5(a+b)²;

б) -12x³-12x² -3x= -3 x(4 x²+4x+1)=-3х(2x+1)².

    Работа для группы. Возьмите карточку, на которой у вас одно выражение и разложите его на множители. По одному человеку от группы к доске, записать решение.

1)      X⁶+2 X⁵+ X⁴= X⁴(X²+2 X+1)= X⁴(X+1)²;

2)      8X⁴+16 X³⁺8 X²=8 X²(X²+2 X+1)= 8 X²(X+1)²;

3)      16 X²+32 X+16=16(X²+2 X+1)=16(X+1)²;

5)Доказательство гипотезы. Наша гипотеза, что выражение можно, разложить на множители,  разбив его на мелкие части, может подтвердиться, а может, и нет.  Давайте проверим. Кто может выйти к доске и собрать все части вместе?

 X⁶+2 X⁵+9 X⁴+16 X³⁺24 X²+32 X+16= (X⁶+2 X⁵+ X⁴)+ (8X⁴+16 X³⁺8 X²)+ (16 X²+32 X+16)= =X⁴(X+1)²+8 X²(X+1)²+16(X+1)²=(X+1)²(X⁴+8 X²+16)= (X+1)²(X²+4).

Если X=2, то (2+1)²(2²+4)²=3² * 8²=9*64=576.

Когда легче найти значение многочлена, до его разложения на множители или после?

- После.

6) Вывод. Мы решили одно задание, а, сколько знаний мы при этом использовали! Какие способы мы применяли для разложения многочлена на множители?

· Вынесение общего множителя за скобки;

· Способ группировки;

· С помощью формул сокращенного умножения.

          Составим алгоритм  разложения многочлена на множители: (Слайд 18)

· Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

· Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

· Попытаться применить способ группировки

(если предыдущие способы не привели к цели).

Для решения любой проблемы нужна большая теоретическая база и навыки практического применения алгоритмов. Давайте ещё раз повторим, какие этапы пути мы прошли  с вами как исследователи.

4.      Вы сегодня поработали в командах. Оцените свою работу. Было ли вам комфортно работать? Какие у вас возникли проблемы?

5. Дом. задание: Я приготовила для вас карточку с заданиями 3 уровня, пожалуйста, выполните их.

                       3 уровень

1)     Разложить на множители:

а) x²(x-3)-2x(x-3)+(x-3);

б)  4a²-4 b²-4a+4b;

2)     Какой многочлен надо записать вместо знака #, чтобы выполнялось равенство:

(x+1)* #=x²+3x+2.

С каким настроением вы уходите с урока? Вы сегодня хорошо потрудились! Молодцы! Всем спасибо! Урок закончен!

Для урока нужно:

Детям – 1. Иметь приличный вид. 2. Знать теорию. 3. Уметь применять её на практике. 4. Учебники. 5. Тетради, ручки.

Учителю – 1. Следующие карточки для групп:

1)6a3x-9a2y=                  2) ac+ad+2bc+2bd=                  3) c2-4 =                  4)  x2-2x+1=                  5) 5a2-5ax-7a+7x=                  6)4b2+4b+1= В Д К И Л Е (c+d)(a+2b) (2b+1)2 (c-2)(c+2) (a-x)(5a-7) (x-1)2 3a2(2ax-3y)

1)    X6+2 X5+ X4

2)         8X4+16 X3+8 X2

3) 16 X2+32 X+16

1 уровень 1) Разложить на множители: а) 3x2-12= б) 50b-2a2b= 2) Представить в виде произведения: а) 3 a2-6 ab+3 b2= б) ax2+4 ax +4a= в) 2x2- 4x+2= 2)

2 уровень 1)Разложить на множители: а) -3a3+3ab2= б) –abc-5ac-4ab-20a= 2)Представить в виде произведения: а) -5a2- 10ab-5 b2= б) -12x3-12x2 -3x=

3 уровень 1) Разложить на множители: а) x2(x-3)-2x(x-3)+(x-3); б)  4a2-4 b2-4a+4b; 2) Какой многочлен надо записать вместо знака #, чтобы выполнялось равенство: (x+1)* #=x2+3x+2?

3 уровень 1) Разложить на множители: а) x2(x-3)-2x(x-3)+(x-3); б)  4a2-4 b2-4a+4b; 2)Какой многочлен надо записать вместо знака #, чтобы выполнялось равенство: (x+1)* #=x2+3x+2?

3.      Карточку с решением.

Решение:

1 уровень

1) Разложить на множители:

а) 3x²-12=3(x²-4)=3(x-2)(x+2);

б) 50b-2a²b=2b(25- a²)= 2b(5-a)(5+a).

2)Представить в виде произведения:

а) 3 a²-6 ab+3 b²=3(a²-2ab+b²)=3(a-b)²;

б) ax²+4 ax +4a=a(x²+4x+4)=a(x+2)²;

в) 2x²- 4x+2=2(x²-2x+1)=2(x-1)².

2 уровень

1)Разложить на множители:

а) -3a³+3ab²=-3a(a²- b²)=-3(a-b)(a+b);

б) –abc-5ac-4ab-20a=-a(bc+5c+4b+20)=-a(c(b+5)+4(b+5))=-a(b+5)(c+4).

2)Представить в виде произведения:

а) -5a²- 10ab-5 b²=-5(a² +2 ab+ b²)= -5(a+b)²;

б) -12x³-12x² -3x= -3 x(4 x²+4x+1)=-3х(2x+1)².

3. 4 файла, в которые нужно сложить1) Карточку с Евклидом. 2) Одно задание .3)  По шесть карточек 1 и 2 уровень. 4) Шесть карточек 3 уровень. 5) Чистый лист бумаги (на котором будут фиксировать теоретические вопросы). 6) Демо.вариант.

• 1 слайд

• 2 слайд

  
  «Первое условие, которое надлежит выполнить в математике,- это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым»
  Л. Карно.
  
  

• 3 слайд

  Актуальность.
  История вопроса.
  Теоретическая база.
  Постановка гипотезы.
  Доказательство гипотезы.
  Вывод.
  
  

• 4 слайд

  X6+2X5+9X4+16X3+24X2+3X+16, если X=2.
  
  
  

• 5 слайд

  Разложение многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов
  Три способа:
  Вынесение общего множителя за скобки.
  Способ группировки.
  С помощью формул сокращенного умножения.
  

• 6 слайд

  
  а2 + 2аb + b2 = (а + b)2
  а2 - 2аb + b2 = (а - b)2
  а2 - b2 = (а – b)(а + b)
  а3 + b3 = (а + b)(а2 - аb + b2)
  а3 - b3 = (а - b)(а2 + аb + b2)
  

• 7 слайд

  Разложить на множители каждый многочлен, выбрать ответ и записать соответствующую букву, в итоге у вас должно получится слово.
  1)6a3x-9a2y;
  2) ac+ad+2bc+2bd;
  3) c2-4;
  4)x2-2x+1;
  5) 5a2-5ax-7a+7x;
  6)4b2+4b+1.
  
  

• 8 слайд

  Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс.лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.
  У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили, на « a2», а «квадрат на отрезке a», не « ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b». Например, тождество (a + b)2= a2+ 2аb + b2 во второй книге «Начала» Евклида(3 в.до н.э.) формулировалось так: «Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками».
  Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень – кубом.
  
  

• 9 слайд

  1. При решении уравнений : х2 – 15х +56 =0
  2. При доказательстве тождеств:
  (а2 +3а)2 +2(а2 +3а)= а(а+1)(а+2)(а+3)
  3. При разложении на множители:
  а)х2 – 3х +2
  b)х2 + 4х +3
  
  

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

  1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
  2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
  3. Попытаться применить способ группировки
  (если предыдущие способы не привели к цели).
  

• 13 слайд

  !