Презентация и конспект урока "Системы уравнений"

 Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»

9 класс

Тема: Решение целых уравнений

и систем уравнений

второй степени.

                                                                       Урок

подготовлен и проведён

 учителем математики

                                                                         МГОУ СОШ №1

                                                                        Бажановой В.И.

с. Красногвардейское

 Цели урока:

1.    Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

2.    Развивающие – способствовать формированию умений применять приёмы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

3.    Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и её приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично – поисковый (эвристический). Тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование и источники информации: магнитная доска, системно – обобщающая схема, шкала оценок, мел, указка, динамичные блоки формул. У учащихся на партах листы учёта знаний, системно – обобщающая схема, по 4 листа подписанных листочка и копирка.

План урока:

1.    Организационный момент – 2 мин.

2.    Тест через копирку (с самопроверкой) – 7 мин.

3.    Сообщение – 3 мин.

4.    Систематизация теоретического материала: 4 подраздела по 2, 4, 7 и 3 мин. соответственно.

5.    Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (с самопроверкой) – 10 мин.

6.    Проверка самостоятельной работы – 2 мин.

7.    Итог урока – 2 мин.

Ход   урока.

1.    Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924 гг) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение уравнений и систем уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приёмы решения уравнений и систем уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению систем уравнений и уравнений.

Задание на дом: 1) п. 10-13;

                            2) принести домашние зачётные работы (задания были даны заранее; они состоят из обязательной и дополнительной частей).

2. Тест через копирку. ( с самопроверкой).

Тема: «Самое главное в уравнениях и системах уравнений».

Цель: контроль (самоконтроль) знаний и приведение в систему знаний по системам уравнений.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды повторяя каждый вопрос.

Вариант 1.

1.    Какое уравнение с одной переменной называется целым?

2.    Сколько корней может иметь целое уравнение с одной переменной первой степени?

3.    Какой вид имеет квадратное уравнение?

4.    Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

5.    Графиком уравнения у=х+2 является?

6.    Графиком уравнения  у =       является?

7.    Графиком уравнения  (х-1)²+(у+1)²=6 является?

8.    Существуют следующие способы решения системы уравнения…

9.    Парабола у=5х²     занимает четверти…

10.                Если точка пересечения графиков уравнений лежит в первой четверти, то…

11.                Если точка пересечения графиков уравнений лежит в третьей четверти, то…

Вариант 2.

1.    Какое уравнение с одной переменной целым называть нельзя?

2.    Сколько корней может иметь целое уравнение второй степени?

3.     Какой вид имеет биквадратное уравнение?

4.    Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

5.    Графиком уравнения у=х²   является?

6.    Графиком уравнения х² + у² =4   является?

7.    Графиком уравнения х³ –у =0  является?

8.    Существуют следующие способы решения системы уравнения…

9.    Кубическая парабола у=5х³     занимает четверти…

10.                      Если точка пересечения графиков уравнений лежит во второй четверти, то…

11.                      Если точка пересечения графиков уравнений лежит в четвёртой четверти, то…

Ответы на вопросы находятся у каждого на столе. На листе под копиркой записаны ответы.

В - 1:    4; 7; 5; 1; 3; 11; 6; 2; 9; 12; 8; 10; 13.

В – 2:   7; 2; 1; 3; 8; 4; 11; 5; 10; 13; 6; 9; 12.

Тест окончен (собираются листочки с работой и открываются правильные ответы). Учащиеся отмечают на оставшихся листах неправильные шаги и количество правильных шагов, заносят в лист учёта знаний.

      Вариант 1.                                                Вариант 2.

1. Не более четырёх.                             1. ах² + вх + с =0.

2. Подстановка.                                     2.  1, 2 или ни одного.

3. Прямая.                                              3. Не более двух.

4. Левая и правая часть - целые вы-   4. Окружность.                                       

     ражения.

5. ах² + вх + с =0.                                  5. Графический.

6. Окружность.                                      6. Первую и третью.

7. Один, ни одного или бесконечное  7.  Левая и правая часть – це-                                          

     множество.                                            лые выражения.

8. Первую и вторую.                             8. Парабола.

9. Графический.                                     9. x<0,  y>0.

10. x>0,  y>0.                                        10. Подстановка.              

11. Гипербола.                                     11. Кубическая парабола.

12. Сложение.                                      12. x>0,  y<0.

13. x<0,  y<0.                                        13.  Сложение.

2.    Сообщение.

Мы, порой, не очень любим заниматься чертежом. Это очень точная работа, требующая умений: ловкости, творчества, таланта, эстетики. Но это важно уметь, т. к. вся наша жизнь – это сплошные линии, кривые, ломаные, лабиринты, замкнутые круги, перекрёстки. Как не затеряться нам во всём этом? О значении графиков при решении уравнений пойдёт речь в сообщении.

При пользовании графиками нет, вообще говоря, неразрешимых уравнений. Для образца, как для решения уравнений, можно пользоваться графиками; возьмём простой пример из «Практической математики» профессора Джона Пери. Пусть требуется графическим путём решить уравнение

х² – 5,11х+5,709=0.

Положим у= х² – 5,11х+5,709 и сделаем график функции у. Вот здесь –то и следует отметить, что все почти результаты, получаемые с помощью графиков, лишь приблизительные, а не вполне точны. Это всегда следует иметь в виду, когда пользуются графиками. Но следует так же знать и то, что при тщательном составлении графиков получаемые результаты вполне удовлетворяют требованиям практики.

Итак, если мы не умеем решать алгебраически уравнений третьей и четвёртой степеней, то нам помогут графики. Они же помогут найти корень и всякого иного уравнения, в том числе даже неразрешимого алгебраически уравнения выше четвёртой степени, и разрешить их с желательной степенью точности.

Теперь вам, вероятно, понятно значение графиков, хотя вряд ли можно согласиться с уважаемым профессором Пери, который всякого защитника алгебраических «точных» способов решения задач обзывают «самоуверенным учёным с деревянной головой». К числу преимуществ графика перед иными способами решения задач принадлежит и наглядность – возможность действовать на ум посредством глаза. А это для нас великая вещь.

Цель сообщения: содействовать воспитанию интереса к           математике и её приложениям.

4.    Систематизация теоретического материала.

4.1.        Устные задания на определение метода решения системы уравнений.

Цель: обобщение знаний по видам систем.

Ребята, здесь вы видите схемы систем уравнений. Как вы думаете, какая из систем каждой группы систем является лишней? Что объединяет остальные системы схем?

(Отвечающие учащиеся правильные шаги заносят в лист учёта знаний).

Слайд    1.

 

а)  х²+у²=4,       б)  (х-5)² + (у+2)² = 1,     в)   х+у=2,

     ху=6;                   х=у;                                  х-у=-4.

Слайд    2.

 

    а)    х=5+у,           б)   х²+у²=1,                   в)     х²+(у-1)² =9,

            х²+у²=1;               х=4-у;                              у=(х²)²,

                                                                                  х²+у²=5

Слайд    3.

а)   2х+2у=6,                   б)    у = х,                      в)   у =0,3х²+4,

       х+у=3;                             х-у = 0;                         -у = -0,3х²-4.

Слайд    4.

а)   х-5у² =2,                  б)   х²+0,5у² = 4,                в)    у = -х²-1,

       х-5у² =3;                        х²+0,5у² = -1;                       у = х²-1.

Схема 1 -  в) сложение,     схема 2 – в) графически;   схема 3 – в) нет решений;  схема 4 – в) единственное решение.

4.2.        Учебная серия «Классификация систем уравнений – приёмов решения».

Цель: привести в систему знания по методам решения систем уравнений.

На доске написаны системы уравнений и повешена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя методы решения, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов заносят с лист учёта знаний соседа.

Системно-обобщающая таблица.

№ 1.      х²+у²=25,                                     № 2.      х=у+6,

              у=х³;                                                          у²-2х+15=0;

 

№ 3.     а+в=15,                                          № 4.      2х-8у=7,

             а-в=17;                                                       2х+у=-9;

 

№ 5.      у=8х-1,                                          № 6.      (х-1)²+(у-5)² =16,

              х²-2у=27;                                                    у=х²;

№ 7.      5х+у=1,                                         № 8.       х²-у²=1,

              2х-у=5;                                                       х²+у²=7;

№ 9.      (х-1)²+у²=25,                             № 10.     у=6+х,

              х²+у²=4;                                                      х+у² = -2;

№ 11.    у²-х=35,                                        № 12.     (х-7)²+(у-5)² =4,

              х = -2-у;                                                       у=х²;

№ 13.     у=х³,                                            № 14.     х²+у²+ху=2,

               у=-;                                                          х²-у²-ху=4.

Ответы:  (на экране).

№: 1, 6, 9, 12, 13.       №: 3, 4, 7, 8, 14.       №: 2, 5, 10, 11.

4.3.        Динамические блоки уравнений и систем уравнений (на экране последовательно появляются слайды) на сравнение, обобщение и выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, систем, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма решения уравнений, систем уравнений (или перекидной календарь).

Слайд 1. Вопрос. О чём идёт речь?

?  Особенное  !
1.  2х² + 3х -2 =0	2. х² – 8х +4 = 0
3. (х²)²  + 3х² + 2 =0	4. –х² +3х +6 =0

1, 2, 4 – квадратные уравнения, корни которых находятся через дискриминант по формулам корней;  3 – биквадратное уравнение, решается путём введения новой переменной.

Слайд 2. Вопрос.  О чём говорит этот блок?

?  Лишнее, но  !
1.  х  +  х³  -  2  =0	2.  х  +    -  2  =0
3.  2х  +  х  - 4  =0	4.  х  -  2х²  -  7  =0

1, 3, 4 – целые уравнения, решаются путём приведения к виду ах²+вх+с=0;  2 – не целое уравнение, но его можно привести к виду ах²+вх+с=0 при условии, что х=0.

Слайд 3. Вопрос.  Что бы это означало?

?  Нельзя  !
1.     х²+у²+а=0,         х+у=4.	2.   х²+у²=25,       у=
3.     11х-9у=37,          х=1+2у.	4.   у=х³,  у=15х
?  Можно  !

1 – решить нельзя, т. к. имеется параметр а.

2 – система не имеет смысла.

3 – можно решить подстановкой.

4 – легко решить графически.

Слайд 4. Вопрос. Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

а)

1.  5х³  +  3х²  +  х  -  2  =0

2.  -4х  -  х²  +  6  =0

3.  (х²)²  -  2х²  -  6  =0

1 – лишнее.

б)

1.  5х  +  6х²  -  1  =0

2.  (х² + 3)² – 11(х²+3) + 28 =0

3.  5х – 4 = 0

3 – лишнее.

Слайд 5. Вопрос. Одна и та же система решена двумя способами. Что вы можете сказать об этом?

Слайд 6. Вопрос. Можно ли решить задачу системой уравнений: сумма двух чисел равна 12, а их произведение 35. Найти эти числа.

Попробуйте составить систему!

 

х+у=12

ху=35.

Но этот вопрос мы будем изучать на следующем уроке подробно!

4.4.        Тестовые задания на нахождение идей решения уравнений и систем уравнений.

Цель: расширение математического кругозора.

Слайд  1. При решении уравнений 1.1-1.4 укажите нужную замену 2.1-2.2.

1.1.        (х² – 4х)²  + 9(х²  - 4х)  + 20 =0.

1.2.        х  - 25х² + 144 =0.

1.3.        2х  -  9х  +4 =0.

1.4.        (х²  +х)(х²  + х  - 5) =84.

2.1.        t = x .

2.2.        t =x²  -  4x.

2.3.        t = x² + x

2.4.        t = x² .

Ответы:   1.1           2.2

1.2                             2.4

1.3                             2.1

1.4                             2.3

Слайд  2. Даны системы уравнений. Укажите из перечисленных пар чисел те, которые являются решениями системы.

1.1.           х² + у² =5

6х + 5у = -4.

1.2.           у = х

ху =116.

 

1.3.           у² – х = -1

х = у + 3.

1.4.    х + у =9

          у² + х =29.

2.1.           (5; 2)

2.2.           (1; -2)

2.3.           (4; 5)

2.4.           (2; 8).

Ответ:   1.1             2.2

1.2                                   2.4

1.3                                   2.1

1.4                                   2.3

Количество правильных ответов заносятся в лист учёта знаний, подсчитать баллы. Поставить предварительную оценку по схеме:  оценка «5» - правильных шагов больше 20;  «4» - 17 – 19;  «3» - 14-16;  «2» - меньше 14.

5.    Дифференцированная самостоятельная работа (с самопроверкой).

На доске написаны задания на трёх уровнях. Учащиеся выполняет задания того уровня, который он выбрал.

Группа А.                 Группа В.                    Группа С.

№ 245 (б)                     № 248 (а)                    № 249 (б)

№ 246 (а)                     № 249 (а)                    № 250 (а)

Ответы:  Группа А:  (-1; 0),  (-2; -1)

                   (2; -1),  (1; -2)

Группа В:  (-0,6; 0,8), (1; 4)

                   (-3; -1),  (5,5; 5)

Группа С:  (3; -5), (5,5; 0,7)

                   (-;-),  (;-).

6. Проверка самостоятельной работы по ответам (через проектор проектируются ответы и оценочная таблица)

7.Итог урока.

• 1 слайд

  Самое главное в уравнениях и системах уравнений
  Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приёмы решения уравнений и систем уравнений.
  

• 2 слайд

  Самое главное в уравнениях и системах уравнений
  

• 3 слайд

  Какая из систем каждой группы систем является лишней? Что объединяет остальные системы схем?
  
  а) х²+у²=4, б) (х-5)² + (у+2)² = 1,
  ху=6; х = у;
  
  в) х+у=2,
  х-у=-4.
  в) - сложение
  
  

• 4 слайд

  Какая из систем каждой группы систем является лишней? Что объединяет остальные системы схем?
  а) х=5+у, б) х²+у²=1,
  х²+у²=1, х=4-у;
  
  в) х² +(у-1)² =9,
  у =(х²)²,
  х²+у²=5.
  в) - графически
  
  

• 5 слайд

  Какая из систем каждой группы систем является лишней? Что объединяет остальные системы схем?
  а) 2х+2у=6, б) у = х,
  х+у=3; х - у = 0;
  
  в) у =0,3х²+4,
  -у = -0,3х²-4.
  
  в) – нет решений
  

• 6 слайд

  Какая из систем каждой группы систем является лишней? Что объединяет остальные системы схем?
  а) х-5у² =2, б) х²+0,5у² = 4,
  х-5у² =3; х²+0,5у² = -1;
  
  в) у = -х²-1,
  у = х²-1.
  
  в) – единственное решение
  

• 7 слайд

  Классификация систем уравнений – приёмов решения
  № 1. х²+у²=25, № 2. х=у+6, № 3. а+в=15
  у = х³; у²-2х+15=0; а-в=17;
  
  № 4. 2х-8у=7, № 5. у=8х-1, № 6. (х-1)²+(у-5)² =16,
  2х+у=-9; х²-2у=27; у = х²;
  
  № 7. 5х+у=1, № 8. х²-у²=1, № 9. (х-1)²+у²=25
  2х-у=5; х²+у²=7; х²+у²=4;
  
  № 10. у=6+х, № 11. у²-х=35, № 12. (х-7)²+(у-5)² =4,
  х + у² = -2; х = -2 у = х²;
  
  № 13. у = х³, № 14. х²+у²+ху=2,
  у = - ; х²-у²-ху=4.
  

• 8 слайд

  Системно-обобщающая таблица
  Система уравнений
  Графический
  метод
  
  Сложение
  Метод подстановки
  1, 6, 9,
  
  12, 13
  3, 4, 7,
  8, 14
  2, 5,
  10, 11
  

• 9 слайд

  О чём идёт речь?
  ? Особенное !
  
  1. 2х² + 3х -2 =0 2. х² – 8х +4 = 0
  
  3. (х²)² + 3х² + 2 =0 4. –х² +3х +6 =0
  

• 10 слайд

  О чём идёт речь?
  ? Лишнее, но !
  
  1. (х²)³ + х³ - 2 =0;
  2. х + 1:х - 2 =0;
  3. 2(х³)² + х³ - 4 =0;
  4. (х ²) ² - 2х² - 7 =0.
  

• 11 слайд

  Что бы это означало?
  ? Нельзя !
  1. х²+у²+а=0, 2. х²+у²=25,
  х+у=4. у= √ х²-6.
  
  3. 11х-9у=37, 4. у=х³,
  х=1+2у. у=15х.
  ? Можно !
  

• 12 слайд

  Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.
  1. 5х³ + 3х² + х - 2 =0
  
  2. -4х - х² + 6 =0
  
  3. (х²)² - 2х² - 6 =0
  

• 13 слайд

  Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.
  
  1) 5х + 6х² - 1 =0
  
  2) (х² + 3)² – 11(х²+3) + 28 =0
  
  3) 5х – 4 = 0
  

• 14 слайд

  Одна и та же система решена двумя способами. Что вы можете сказать об этом?
  х²+у²=16,
  х-у=4;
  х=у+4,
  (у+4)²+у²=16;
  у²+8у+16+у²=16,
  2у²+8у=0,
  у(у+4)=0, А(0;-4), В(4;0)
  у=0, или у=-4,
  х=4. х=0.
  х
  у
  

• 15 слайд

  Сумма двух чисел равна 12, а их произведение 35. Найти эти числа.
  
  х + у =12
  ху=35.
  

• 16 слайд

  При решении уравнений 1.1-1.4 укажите нужную замену 2.1-2.4.
  1.1. (х² – 4х)² + 9(х² - 4х) + 20 =0.
  1.2. (х²) ² - 25х² + 144 =0.
  1.3 2(х²)²)² - 9(х²)² +4 =0.
  1.4 (х² +х)(х² + х - 5) =84.
  
  
  
  2.1 t = (x²)²
  2.2 t =x² - 4x 2.3 t = x² + x
  2.4 t = x² .
  
  1.1 - 2.2 1.2 – 2.4 1.3 – 2.1 1.4 – 2.3
  

• 17 слайд

  Укажите из перечисленных пар чисел те, которые являются решениями системы.
  1.1) х² + у² =5 1.2) у = х
  6х + 5у = -4. ху =116.
  
  1.3) у² – х = -1 1.4) х + у =9
  х = у + 3. у² + х =29.
  2.1- (5;2) 2.2 – (1;-2) 2.3 – (4;5) 2.4 – (2;8)
  Ответы: 1.1-2.2 1.2-2.4 1.3-2.1 1.4-2.3
  
  

• 18 слайд

  Самостоятельная работа
  А Б В №245 (б) № 248 (а) № 249 (б)
  № 246 (а) № 249 (а) № 250 (а)
  
  Ответы: Группа А: (-1; 0), (-2; -1)
  (2; -1), (1; -2)
  Группа Б: (-0,6; 0,8), (1; 4)
  (-3; -1), (5,5; 5)
  Группа В: (3; -5), (5,5; 0,7)
  (-3√3/2;-√3/2), (3√3/2 ;-√3/2).
  
  
  

• 19 слайд

  Оцени свои знания
  

1.  Материал по курсу «Алгебра», 9 класс, тема: «Решение целых уравнений

и систем уравнений второй степени». Урок обобщения и систематизации знаний.

  2. Аннотация. В данном проекте предоставлен план урока с использованием    ИКТ, мультимедийная презентация к уроку.

·        Устный счет

·        Самостоятельная работа

·        Тест

·        Оценочная таблица

3.     Бажанова В.И.

4.     с . Красногвардейское МОУ СОШ №1

5.     Текст, презентация.