Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Презентация и проект по математике ученика 5 класса "Фракталы. Формула жизни"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация и проект по математике ученика 5 класса "Фракталы. Формула жизни"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Фракталы новая.ppt

библиотека
материалов
Фракталы. Формула жизни. Работу выполнил ученик 5-г класса МАОУ гимназии №1 П...
Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и...
ПРОБЛЕМА Какова роль фрактальных моделей в современном мире? Почему наука о ф...
ЦЕЛИ Провести исследование и сделать выводы по данным проблемным вопросам. На...
Структура проекта Проект состоит из двух частей: 1. Теоретическая 2. Практиче...
Гипотиза Развитие теории фракталов стало возможным благодаря развитию компьют...
В ходе работы над проектом, я узнал: что такое фрактал; какие бывают фракталы...
Основные понятия. Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоп...
Фрактал… Мы встречаемся с фракталами каждый день, но мало кто знает, что это...
Какими могут быть фракталы? Природные фракталы Фракталы, созданные человеком
Основные типы фракталов 1. Геометрические 2. Алгебраические 3. Стохастические
Применение фракталов Фрактальную геометрию используют для проектирования анте...
Фрактальная графика. Фрактальная графика — один из современных и оригинальных...
Автор фрактальных цветов. Сильвия Кордедда родилась в 1991 году в городе Карр...
Программирование фракталов. Цветы Сильвии вдохновили меня на создание собстве...
Изменив фон, я получил такие цветы:
Используя эти изображения, я сделал открытку к 8 марта
Заключение Наука о фракталах очень молода, многое еще не изучено, и многое ещ...
Математика, оказывается очень увлекательная и красивая наука. Она , как и цве...
Фотоотчет…
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
22 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Фракталы. Формула жизни. Работу выполнил ученик 5-г класса МАОУ гимназии №1 П
Описание слайда:

Фракталы. Формула жизни. Работу выполнил ученик 5-г класса МАОУ гимназии №1 Петраков Петр

№ слайда 2 Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и
Описание слайда:

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту Бертранд Рассел Цитата

№ слайда 3 ПРОБЛЕМА Какова роль фрактальных моделей в современном мире? Почему наука о ф
Описание слайда:

ПРОБЛЕМА Какова роль фрактальных моделей в современном мире? Почему наука о фракталах достаточно молода? Возможно ли создать свои собственные фракталы?

№ слайда 4 ЦЕЛИ Провести исследование и сделать выводы по данным проблемным вопросам. На
Описание слайда:

ЦЕЛИ Провести исследование и сделать выводы по данным проблемным вопросам. Научиться строить фракталы. Выяснить, как в жизни можно использовать знания по данной теме.

№ слайда 5 Структура проекта Проект состоит из двух частей: 1. Теоретическая 2. Практиче
Описание слайда:

Структура проекта Проект состоит из двух частей: 1. Теоретическая 2. Практическая

№ слайда 6 Гипотиза Развитие теории фракталов стало возможным благодаря развитию компьют
Описание слайда:

Гипотиза Развитие теории фракталов стало возможным благодаря развитию компьютерных технологий.

№ слайда 7 В ходе работы над проектом, я узнал: что такое фрактал; какие бывают фракталы
Описание слайда:

В ходе работы над проектом, я узнал: что такое фрактал; какие бывают фракталы; где применяются фракталы. Я научился: Строить фракталы с помощью циркуля и линейки, и в компьютерной программе.

№ слайда 8 Основные понятия. Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоп
Описание слайда:

Основные понятия. Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом.  

№ слайда 9 Фрактал… Мы встречаемся с фракталами каждый день, но мало кто знает, что это
Описание слайда:

Фрактал… Мы встречаемся с фракталами каждый день, но мало кто знает, что это и есть фракталы. Что же это такое - фракталы?  Я приглашаю познакомиться с ними. Они вам точно понравятся, как понравились мне.  

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11 Какими могут быть фракталы? Природные фракталы Фракталы, созданные человеком
Описание слайда:

Какими могут быть фракталы? Природные фракталы Фракталы, созданные человеком

№ слайда 12 Основные типы фракталов 1. Геометрические 2. Алгебраические 3. Стохастические
Описание слайда:

Основные типы фракталов 1. Геометрические 2. Алгебраические 3. Стохастические

№ слайда 13 Применение фракталов Фрактальную геометрию используют для проектирования анте
Описание слайда:

Применение фракталов Фрактальную геометрию используют для проектирования антенных устройств. Фракталы используются в компьютерных технологиях Особую любовь фракталы завоевали у дизайнеров.

№ слайда 14 Фрактальная графика. Фрактальная графика — один из современных и оригинальных
Описание слайда:

Фрактальная графика. Фрактальная графика — один из современных и оригинальных видов искусства, создаваемый математическими формулами.

№ слайда 15 Автор фрактальных цветов. Сильвия Кордедда родилась в 1991 году в городе Карр
Описание слайда:

Автор фрактальных цветов. Сильвия Кордедда родилась в 1991 году в городе Каррара (Италия). В арсенале Сильвии нет ни красок, ни карандашей. Всё что ей необходимо - это специальная фрактальная программа, работать с которой, на минуточку, не каждый сможет. Расчет фрактальных объектов с визуальным отображением - дело не простое. Ее работы:

№ слайда 16 Программирование фракталов. Цветы Сильвии вдохновили меня на создание собстве
Описание слайда:

Программирование фракталов. Цветы Сильвии вдохновили меня на создание собственного фрактала-цветка. С этой проблемой мне помог справиться учитель информатики. Он посоветовал мне программу Apophysis 7X. Для создания фрактала я менял размеры треугольников, менял разные параметры и цвета, после этого запустил процесс рендеринга на ночь, и утром в компьютере уже цвел мой первый фрактал!

№ слайда 17 Изменив фон, я получил такие цветы:
Описание слайда:

Изменив фон, я получил такие цветы:

№ слайда 18 Используя эти изображения, я сделал открытку к 8 марта
Описание слайда:

Используя эти изображения, я сделал открытку к 8 марта

№ слайда 19 Заключение Наука о фракталах очень молода, многое еще не изучено, и многое ещ
Описание слайда:

Заключение Наука о фракталах очень молода, многое еще не изучено, и многое еще предстоит открыть. Мощный рывок в развитии теории фракталов стал возможен в результате использования компьютеров.

№ слайда 20 Математика, оказывается очень увлекательная и красивая наука. Она , как и цве
Описание слайда:

Математика, оказывается очень увлекательная и красивая наука. Она , как и цветы- олицетворение прекрасного!

№ слайда 21 Фотоотчет…
Описание слайда:

Фотоотчет…

№ слайда 22 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Выбранный для просмотра документ Фракталы. Формула жизни..doc

библиотека
материалов


Петраков П.- учащийся 5-го класса

руководитель:

Е.А.Осипова, учитель математики


hello_html_m55dd07d9.gif hello_html_m4e590f36.gif hello_html_3d8090b0.gif

Муниципальное автономное образовательное учреждение гимназия №1, г. Калининград

МАОУ гимназия №1, г.Калининград

2016


Оглавление




Введение…………………………………………….….……………...3

Глава I Из истории…….. ………...…………………..……………...4

Глава II Основные понятия ….………………………………….…..6

Глава III Геометрические, алгебраические и стохастические фракталы………………..……………………………………………..8

Глава IV Применение фракталов………….……………………......10

Глава V Фрактальная графика. Творчество Сильвии Кордедды

и мой первый фрактал………..……………………………….……. 11

Заключение……………………………..…….………. ………...…..13

Источники информации...…………………...……………………....14

Приложения…………………………………………..…………....…15






























«…В мире нет места для некрасивой математики!»

(Г.Х.Харди)


Введение

Нельзя недооценивать возможности математики. Но, к сожалению, многие люди считают, что математика – «сухая» наука, и в ней нет ничего интересного: одни цифры, да формулы. С этим можно не согласиться. Бертран Рассел, английский математик и философ, говорил: "Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту".

 Чтобы подтвердить эту мысль, хотелось бы, рассказать о фракталах. Впервые я услышал о фракталах на первом занятии математического кружка, когда наша учительница математики представляла нам курс «Цветная математика». В той презентации было много красивых математических объектов, в том числе и потрясающие фрактальные цветы. Они были не просто красивыми, а какими-то фантастическими! Мне захотелось поближе познакомиться с этими интересными объктами. Для начала в интернете я нашел информацию о фракталах, затем посмотрел фильм «Фракталы. Поиски новых размерностей» и даже немного почитал книгу основателя теории фракталов Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Я узнал, что такое снежинка Коха и треугольник Серпинского, фрактал Мандельброта и стохастический фрактал. После этого я сформулировал цель работы: «Создание фракталов с помощью циркуля и линейки, и используя компьютер». Теперь надо было обозначить практические задачи. Для начала я решил построить фракталы «вручную». Эта задача оказалась не очень сложной, но пришлось повозиться - небольшая неточность в построении влекла за собой испорченный рисунок в целом. Также я понял, что «вручную» сложно сделать достаточное количество итераций. Треугольники уже на 3-м шаге становятся такими маленькими, что использовать циркуль просто невозможно! И я стал искать информацию о том, как строить фракталы с помощью компьютера. Оказалось, нужна специальная программа. Обратившись за помощью к учителю информатики, я получил нужную программу, и консультацию по ее применению. Так получился мой первый компьютерный фрактал.

Мы встречаемся с фракталами каждый день, но мало кто знает, что это и есть фракталы. Что же это такое - фракталы? Я приглашаю познакомиться с ними. Они вам точно понравятся, как понравились мне.






Глава I Из истории.

hello_html_m1eacda15.jpg

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке.


КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора7.


Рис.1 Георг Кантор, немецкий математик


Дhello_html_28ba240.jpgжузе́ппе Пеа́но (Giuseppe Peano; 1858—1932) — итальянский математик изобразил особую линию. Он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком. И так до бесконечности. Уникальность такой линии в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве7.



Рис.2 Джузеппе Пеано, ………………………………………………………………………………………………………………………..итальянский математик

hello_html_m7669addd.png

Рис.3 Кривая Пеано. Первые три итерации.


Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0).

А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, похожим на описанные выше (Броуновское движение, цены на акции). Этими вопросами занимались такие ученые как Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и др. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт. Работая в известной фирме IBM математическим аналитиком, постепенно сопоставляя факты, он обобщил и сhello_html_m3d4c5567.pngистематизировал работы ученых и пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Он предложил термин «фрактал» для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам.

«Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть»- говорил Б.Мандельброт.

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. В 1936 году семья Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. После войны Бенуа стал

Рис.4 Бенуа Мандельброт ……...студентом Сорбонны. В 1958 году приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне. Исследуя экономические проблемы, обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку. Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где остальные видели деньги и товар. Мандельброт был профессором Йельского университета, членом Национальной академии наук США, членом американской Академии искусств и наук. Он удостоен многочисленных почетных степеней и наград. Кроме того он создал фрактал под названием – Множество Мандельброта7.


hello_html_m975051c.png

Рис.5 Множество Мандельброта











Глава II Основные понятия.


Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом. В повседневной жизни мы можем увидеть фракталы на рисунке обоев, на ткани, заставке рабочего стола на компьютере, дизайне открыток, тетрадей, книг.


В природе – это растения, морские животные, природные явления. Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения.



hello_html_m3ff61ce0.jpg

Рис.6 Природный фрактал



hello_html_33af56f2.jpghello_html_m2dfa245a.jpg


Рис.7 Природные фракталы


hello_html_6e7a6e76.gifКак представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной? Фракталы – вот средство для исследования поставленных вопросов.


Рис.8 Кровеносная система человека




































Глава III Геометрические, алгебраические и стохастические фракталы.


Геометрические фракталы.


Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ним применяют набор правил, которые преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований (это можно сделать с помощью ПК), то получим геометрический фрактал.

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно известным является снежинка Коха.


hello_html_441f3451.png

Рис.9 Снежинка Коха. Пять итераций.

Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая сторона которого делится на 3равные части, на центральных частях достраиваются равносторонние треугольники меньшего размера, на сторонах этих треугольников стоятся еще более мелкие треугольники, можно продолжать снова и снова. Фрактал не заканчивается никогда!

Треугольник Серпинского

Иhello_html_8e1e958.pngз центра равностороннего треугольника "вырезается" треугольник. Эта же процедура повторяется для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального), и так до бесконечности.

Если взять теперь любой из образовавшихся треугольников и увеличить его - получим точную копию целого. В данном случае наблюдается полное самоподобие.






Рис.10 Треугольник Серпинского. Шесть итераций.




Я выполнил построение этих фракталов самостоятельно, без использования компьютера.

hello_html_mf9d6f7a.pnghello_html_1b287ef3.png

Рис.11 Треугольник Серпинского и снежинка Коха. Построил Петраков Петр.

Алгебраические фракталы - необычайно красивы!

Вhello_html_m7aee7db8.pngсего лишь элементарное уравнение, запущенное по фрактальному принципу – может дать невероятно сложные формы, потрясающие воображение. Их

Рис.12Алгебраическийфрактал. можно изменить, всего лишь подкорректировав базовое уравнение – в таком случае, по подобию малой части, вся сложная структура глобально изменится.

Стохастические фракталы. Многие природные системы настолько сложны, что использование знакомых геометрических объектов для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта, кроны дерева, береговой линии?

Зhello_html_m74fd67dc.jpgдесь используется стохастический фрактал - «Плазма»

Для его построения возьмем прямоугольник и для каждого угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему Рис.13 Фрактал «Плазма» арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если считать, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив.

Глава IV Применение фракталов.

Фрактальную геометрию используют для проектирования антенных устройств. Впервые это было применено американским инженером Натаном Коэном, который жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Коэн вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и затем наклеил ее на лист бумаги и присоединил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну создать собственную компанию и наладить их серийный выпуск. В данный момент американская фирма «Fractal Antenna System» разработала антенну нового типа. Теперь можно отказаться от использования в мобильных телефонах торчащих наружных антенн. Так называемая фрактальная антенна располагается прямо на основной плате внутри аппарата.


hello_html_45c25347.jpg

Рис.14 Русская матрешка

Присмотревшись к матрешкам с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир – типичный фрактал. Матрешка – это конструкция, состоящая из самоподобных элементов.

Фракталы используются в компьютерных технологиях:

  • сжатие изображений и информации;

  • сокрытие информации на фрактальных изображениях или в звуке;

  • шифрование данных с помощью

фрактальных алгоритмов;

  • создание фрактальной музыки;

  • моделирование систем;

  • фрактальная графика.








Глава V Фрактальная графика. Творчество Сильвии Кордедды и мой первый фрактал.

Фрактальная графика — один из современных и оригинальных видов искусства, создаваемый математическими формулами.

С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при создании искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных объектов, образы которых весьма похожи на природные объекты.

hello_html_m7db424c0.jpg

Рис. 15 Сильвия Кордедда

Сильвия Кордедда родилась в 1991 году в городе Каррара (Италия).  За достаточно небольшой промежуток времени Сильвия смогла создать ряд потрясающих работ фрактальной графики. Фрактальные цветы  Сильвии Кордедды - это настоящая чарующая сказка. После того, как художница из Италии познакомилась с фракталами и фрактальной графикой, она влюбилась в это необычное искусство и посвятила огромную часть своего творчества именно созданию красивых узоров-цветов при помощи этой техники6. Цветы неземной красоты кажутся фантастическими! Наверное, где-то далеко-далеко, в самой глубине вселенной растут и цветут именно такие чудеса.

В арсенале Сильвии нет ни красок, ни карандашей. Все, что ей необходимо - это специальная фрактальная программа, работать с которой не каждый сможет. Расчет фрактальных объектов с визуальным отображением - дело не простое. Можно сделать ничего себе не значащий фрактал, но что бы вырастить такой виртуальный цветок, нужен талант и практика. Такой вид искусства можно называть отдельным ответвлением цифровой графики.


hello_html_m31cfd25d.jpg

Рис.16 Фрактальный цветок

Именно работы этого графического дизайнера вдохновили меня на создание собственного цветка-фрактала.

Мhello_html_m6d4b652.pngой учитель информатики посоветовал программу, которую можно использовать начинающим.Это- Appophysis В ней все начинается с построения треугольника, затем изменяя различные параметры, я изменял размер, форму и цвет фрактала. После этого запустил процесс рендеринга и пошел спать. А утром в моем компьютере уже «цвел» мой первый фрактальный цветок!



















Рис. 17 Фрактальный цветок. Автор: Петраков Петр.

Программисты и специалисты в области компьютерной графики без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира3.




Заключение.


Мне понравилось работать над проектом. Я узнал много нового для себя. Я люблю играть в компьютерные игры, но раньше никогда не думал о том, как в этих играх создают природу - горы, облака. Теперь я знаю-с помощью фракталов! Мобильные телефоны есть у всех, еще совсем недавно они были с антеннами, а потом антенны куда-то делись. Теперь я знаю, что с ними случилось. Работая над проектом, я понял, что мощный рывок в развитии теории фракталов стал возможен в результате использования компьютеров. На собственном опыте я убедился, что «вручную» можно начертить фрактал, но количество итераций будет небольшим (3-4). А используя компьютер можно задавать очень большое количество итераций. А еще, я построил свой первый фрактальный цветок. Полученное изображения я напечатал на футболке и теперь с гордостью ношу эту футболку! И я точно знаю, что этот проект не последний! Думаю, темой следующего проекта будет что-то вроде: «Коллекция природных и компьютерных фракталов Петракова П.»

Наука о фракталах очень молода, многое еще не изучено, и многое еще предстоит открыть. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные графические программы. От самого процесса создания совершенно для тебя нового и одновременно невероятно красивого, порой фантастического, получаешь массу удовольствия. Математика, оказывается очень интересная и красивая наука. Она, как и цветы - олицетворение прекрасного!





























Источники информации.


1. http://fract.narod.ru ;
2.
http://sakva.narod.ru/fractals.htm#History ;
3.
http://www.ghcube.com/fractals;

4. http://shakin.ru/creative/fractals.html;

5. http://anysite.ru/publication/fractal;

6. http://www.dejurka.ru/inspiration/silvia_cordedda/;

7. https://ru.wikipedia.org

8. Анна Вельтман. Математика- это красиво!, Издание на русском языке, перевод. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2015;

9. Бенуа Мандельброт, Фрактальная геометрия природы,издат.Институт компьютерных исследований, 2002;

10. Фильм, Поиск новых размерностей, студия NOVA, продюсер и режиссер Майкл Шварц и Билл Джерси , 2008











































ПРИЛОЖЕНИЯ





















Фотоотчет.

hello_html_5c161d22.png



Работа над проектом: в классе, дома , в информационном центре.


Автор
Дата добавления 14.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров283
Номер материала ДБ-081715
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх