Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Презентация и разработка урока "Графический способ решения задач"

Презентация и разработка урока "Графический способ решения задач"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


F:\Фирменный знак & Логотип.jpg

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Пермский агропромышленный техникум»

Дисциплина: Математика с элементами высшей (база среднее общее (полное) образование)

Преподаватель: Есенеева Эльвира Самигулловна

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Тема занятия: Графический способ решения задач линейного программирования

Цели занятия:

- формировать целостное представление о графическом способе решения задач линейного программирования

- развивать умения по осуществлению поиска и использованию информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач на оптимизацию

- развивать навыки коммуникационного взаимодействия, умение выстраивать логические связи, презентационные умения;

- воспитывать чувство ответственности за порученное дело, чувство коллективизма

Тип занятия: усвоение новых знаний

Форма организации деятельности студентов: фронтальная, групповая.

Методы:

- организации и осуществления учебных действий: лекция с использованием слайд-презентации, беседа с постановкой проблемных вопросов, демонстрация процесса решения задач; решение практических задач профессиональной направленности

- методы организации деятельности и формирования опыта: погружение в профессиональную среду, работа с опорными конспектами, самоконтроль, работа в микрогруппах;

- методы стимулирования и мотивации деятельности: соревнование, установление связи учебного материала с прежним опытом студента и с будущим видом профессиональной деятельности, создание ситуации успеха

- методы контроля: экспресс-опрос, экспертное заключение.

Использованные педагогические технологии: технология обучения в математике на основе решения задач, деятельностный подход в обучении

Метапредметные связи: ОП 05. Экономика организации; МДК 02.03. Маркетинг ландшафтных услуг; ЕН Информационные технологии в профессиональной деятельности

Методическое обеспечение занятия: опорные конспекты, слайд-презентация, лист экспертной оценки, методические рекомендации по выполнению практического задания

Техническое, информационное и материальное обеспечение занятия: компьютер, мультимедиапроектор, лазерная ручка-указка, экран, программный пакет «MathCAD», угольник, линейка.

















Модель занятия

Тема: Графический способ решения задач линейного программирования

Вид занятия: изучение нового материала

Курс 2, специальность: «Садово-парковое и ландшафтное строительство»

Время 40 минут



п/п




Этапы занятия




Время,

мин.


Задачи, решаемые на этапе


Содержание этапа




Формы, методы и средства обучения

Предполагаемый результат


1

2

3

4

5

6

7

1

Организационный момент

2 мин

Создать благоприятные условия для взаимодействия преподавателя и студентов

Представление

Приветствие

Озвучивание эпиграфа

Фронтальная,

Живое слово преподавателя,

Средства наглядности

(слайд 1 )

Положительный эмоциональный фон

Готовность студентов к работе

2

Актуализация знаний, постановка проблемы

4 мин

Анализ представлений студентов об изученных ранее темах дисциплины

Мотивирование студентов к изучению темы

Формулирование темы и цели учебного занятия.

Постановка проблемных вопросов, помощь студентам при ответах


Фронтальная,

Живое слово преподавателя

Средства наглядности

(слайды 2,3,4,5,6,7,8 )

Познавательный интерес к теме

3

Изложение нового материала

15

мин

Формирование знаний о графическом способе решения задач линейного программирования

Демонстрация опорных конспектов.

Изложение нового материала в форме беседы с демонстрацией слайдов

Демонстрация алгоритма решения задачи на оптимизацию


Фронтальная,

Живое слово преподавателя

Средства наглядности:



(слайды 9,10,11 )

Познавательный интерес к теме

Усвоение информации

4

Практическая работа

8

Закрепление пройденного материала, индивидуальное решение практических задач, обсуждение в микрогруппах и принятие решения об оптимальном варианте решения задач.

Организация работы студентов в микрогруппах: формулирование задания, консультирование студентов.

Групповая

Живое слово преподавателя

Опорные конспекты, методические рекомендации по выполнению практического задания

Активность студентов

Позитивные межличностные отношения в команде

Проявление творческих и аналитических способностей

Переложение теоретических знаний в практические умения

5

Презентация выполненной работы, экспертиза работы, подведение итогов

6

Трансляция результатов работы студентами

Оценивание результатов работы преподавателем и студентами

Подведение итогов работы, выявление типичных ошибок

Представление работы по аналитико-синтетической переработке информации

Демонстрация и обоснование оптимального решения практической задачи

Ответы на вопросы студентов и преподавателя

Оценка деятельности работы студентов преподавателем

Оценка результатов практической работы

Фронтально-групповая

Живое слово преподавателя

Техническое обеспеченье: лазерная ручка-указка

(слайды 12-19 )

Активность студентов

Формирование представлений о способах решений задач по оптимизации

Осознание результатов своей работы

7

Демонстрация решения задач линейного программирования с использованием ИКТ

2

Формирование интереса студентов к использованию ИКТ при решении практикоориентированных задач

Демонстрация преподавателем возможностей использования программного продукта MathCAD при решении задач линейного программирования из сферы профессионального интереса студентов.

Фронтальная

Живое слово преподавателя

Программный продукт MathCAD

Познавательный интерес к представленным продуктам

Усвоение информации

8

Подведение итогов занятия, задание на дом

2

Обобщение знаний, полученных на занятии

Повторение ключевых положений пройденной темы.

Расстановка акцентов

Фронтальная

Средства наглядности

(слайды 23 )

Усвоение и закрепление знаний

9

Рефлексия

1

Оценка эмоционального состояния студентов и преподавателя

Заполнение студентами листов рефлексии

Оценка преподавателя

Живое слово преподавателя

(слайд 24,25)

Положительные впечатления от занятия


















Ход урока

1.Организационный момент.

- приветствие;

- проверка посещаемости;

2. Актуализация знаний.

- вводное слово;

- ознакомление с целью и задачами урока;

- актуализация темы;

- повторение опорных знаний, необходимых для изучения нового материала.

(Вопросы для повторения - приложение 1).

3. Изложение нового материала.

- ознакомление с алгоритмом решения задач линейного программирования графическим методом;

- разбор задачи;

- исследование области допустимых решений задачи линейного программирования.

(Опорные конспекты и справочный материал для изучения нового материала - приложение 2).

4. Практическая работа в группах.

(Методические рекомендации к практической работе - приложение 3).

5. Презентация выполненной практической работы с проверкой. Подведение итогов практической работы.

( Студенты демонстрируют решение через документ – камеру, преподаватель через проектор).

6. Демонстрация решения задач линейного программирования с использованием ИКТ.

7. Подведение итогов занятия. Домашнее задание.

(Инструктаж по выполнению домашнего задания).

8. Рефлексия.







Приложение 1


Вопросы для повторения

- Что такое математическая модель задачи?

Ответ: Математическая модель задачи - это компактная запись её условия на языке математики с помощью математических символов , цифр, скобок, знаков действий. знаков сравнения уравнений, функций и других математических выражений.

- Какие методы решения систем уравнений вы знаете ?

Ответ: метод подстановки и метод сложения.

- Как решить неравенство с 2-мя переменными?

Ответ: Проводим граничную прямую, которая делит плоскость на 2 полуплоскости. Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если несправедливо, то в противоположную от точки в сторону. Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой или выделяем штриховкой).

- Как построить прямую, заданную уравнением 2х+3у=12?

Ответ: Можно выразить переменную у и найти 2 точки прямой ( так как через любые 2 точки можно провести прямую и притом только одну). Или найти 1 точку лежащую на оси у и 1 точку на оси х и провести прямую через них.















Приложение 2

Опорный конспект

Тема занятия: Графический способ решения задач линейного программирования.

Алгоритм решения задач графическим методом.

1. Составить математическую модель задачи.

(Изучить условие задачи, выбрать неизвестные, составить целевую функцию, записать систему ограничений).

  1. Найти область допустимых решений (ОДР) системы ограничений задачи.

  2. Построить вектор С(c1,c2), который указывает направление целевой функции;

  3. Провести линию уровня L0, которая перпендикулярна С.(или построить прямую целевой функции, проходящую через начало координат)

5. Линию уровня (или прямую целевой функции) перемещаем по направлению вектора С для задач на максимум и в направлении противоположном С, для задач на минимум до выхода из ОДР.

Возможные случаи ОДР:

Рис.4

hello_html_m43797e01.gif

Область допустимых решений состоит из единственной точки А.







Рис.1

hello_html_m6f6815b0.gif


Область допустимых решений – замкнутое множество (многоугольник).







Рис.2

hello_html_m71cb70cf.gif


Область допустимых решений – открытое множество.





Рис.3


hello_html_m60207810.gif

Область допустимых решений – пустое множество

(система ограничений несовместна).


















Пример решения задачи

Задача. Имеются 2 проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их запас и полезная площадь дома каждого проекта приведены в таблице. Определите, сколько домов первого и второго проекта следует построить, чтобы полезная площадь была наибольшей.

Стройматериалы

Расход стройматериалов (м3)

на один дом

Запас стройматериалов

1

2

Кирпич силикатный

12

4

3000

Кирпич красный

4

4

1200

Пиломатериалы

3

12

2520


Решение:

hello_html_m7486ff61.gif1.Составляем математическую модель задачи

1.1. Вводим управляющие переменные: х – количество домов 1-го проекта, у – количество домов 2 проекта.

1.2.Строим целевую функцию: F = 30х+40у → max.

1.3. Составляем систему ограничений:

hello_html_1adc7cb1.gif

2 .Строим ОДР (область допустимых решений) системы ограничений.



Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.


12 x

+ 4 у

http://www.reshmat.ru/images/znak_1.gif

3000 


Построим прямую.


Заменим знак неравенства на знак равенства .


12 у

+ 4 х

=

3000 


при х=0, у=250

при у=0, х=750.

Отметим полученные точки на осх х и у, проведем прямую.

Какие точки нас интересуют?


12 х

+ 4 у

http://www.reshmat.ru/images/znak_1.gif

3000 


4 у

http://www.reshmat.ru/images/znak_1.gif

-12 x

+ 3000


у

http://www.reshmat.ru/images/znak_1.gif

-3 х

+ 750


Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

(Решение неравенств показываем стрелкой).

Аналогично рассматриваем все остальные ограничения.

hello_html_5192f6e2.png

ОДР - ОАВСD – многоугольник, где


О (0 , 0), А( 210,0), В(120, 180), С(225, 75), D(250,0).


3. Строим вектор С с вершинами в точках (0;0) и (30;40) , который показывает напрвление роста целевой функции. ((30;40) –коэффициенты при х и у целевой функции) и линию целевой функции hello_html_m56fa93d1.gif. (Уравнение линии находим из условия 30х+40у=0). Эта линия перпендикулярна вектору С и называется линией уровня.

hello_html_m18d354a1.png

5. Точкой выхода линии уровня из ОДР является точка В – точка пересечения прямых, заданных уравнениями 4x+4у=1200 и 3x+12у=2520.

6. Определим координаты этой точки решая систему уравнений: hello_html_308a277e.gif.

Получим: В (120; 180). Найдем значение целевой функции в этой точке:

F(х) = 30*120 + 40*180 = 10800 –наибольшая полезная площадь при заданных условиях.





















Справочный материал

I. Определения, понятия

1. Математическая модель - это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

2. Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.

3. Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

4. Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется вектор hello_html_m41bbd8b7.gif, удовлетворяющий системе ограничений.

5. Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений (ОДР).

6. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается hello_html_4b3ca3db.gif.

II. Решение систем m линейных неравенств с 2-мя переменными

Х 2

Дана система m линейных уравнений с 2-мя переменными:

I

II

hello_html_79c76a60.gifhello_html_d469894.png

Х 1

(Знаки некоторых или всех неравенств могут быть hello_html_m26ab4f86.gif).

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2.

hello_html_1fe27e0d.gif- которая называется граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на 2 полуплоскости 1 и 2 (см. рис.1) . Рис. 1

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начало координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если несправедливо, то в противоположную от точки в сторону. Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.

Например, на рис. 2 приведено решение неравенства hello_html_523a17c4.gif, на рис. 3 решение неравенства hello_html_75e54cb6.gif.

РИС. 2

Рис 1

2.Т.о. решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

3. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы. (ОР).

4. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности называют областью неотрицательных, или допустимых решений (ОДР). (см. выше).

РИС. 2

У=2х+3

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m7baa36b6.png

РИС. 3

hello_html_78135d40.png


Пример: Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости.

hello_html_m1e51b51.gif



  1. Изобразим решение 1-го неравенства

hello_html_m118ef081.gif

hello_html_m7c57556a.png

2. Изобразим решение 2-го неравенства

hello_html_m58e029b.gif

hello_html_m299183aa.png


3 .Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств.

hello_html_5c159044.png






Приложение 3 hello_html_m5aa66f03.png

Методические рекомендации к выполнению

практического задания

Тема занятия: Графический способ решения задач линейного программирования.

Цель работы: Решить задачу линейного программирования (найти оптимальное решение при заданных условиях).

Резерв времени:

на выполнение практического задания – 8 минут

на представление результатов работы– 2 минуты


Задача для группы 1.

Строительная фирма может арендовать экскаваторы марок М1 и М2 для выполнения работ Р1, Р2 и Р3. Производительность экскаваторов при выполнении указанных работ, общий объем работ, и стоимость аренды каждого экскаватора приведены в таблице.

Вид работ

Объем работ , га

Производительность экскаватора, м/ч

М1

М2

Р1

70

5

2

Р2

40

2

1

Р3

160

2

7

Стоимость экскаватора

6

4

Определите оптимальное количество экскаваторов, которое необходимо арендовать для выполнения всего комплекса работ при минимальных денежных затратах на аренду техники.

Задания

  1. Ознакомиться с условием задачи.

  2. Составить математическую модель задачи :

- целевую функцию;

- систему ограничений.

3. Изобразить область допустимых решений (ОДР) задачи.

4. Найти решение задачи и рассчитать значение целевой функции .

- если решением задачи является точка пересечения двух прямых, найти координаты этой точки, решая систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

5. Презентация задачи .

- представить целевую функция и систему ограничений, вид области допустимых решений (многоугольник, открытое множество и т.д), решение.

P.S. При необходимости использовать опорные конспекты и справочный материал.



Методические рекомендации к выполнению

практического заданияhello_html_1b00583e.png

Тема занятия: Графический способ решения задач линейного программирования.

Цель работы: Решить задачу линейного программирования (найти оптимальное решение при заданных условиях).

Резерв времени:

на выполнение практического задания – 8 минут

на представление результатов работы– 2 минуты


Задача для группы 2

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов . Норма затрат ресурсов на изготовление единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

Ресурсы

Норма затрат ресурсов на одно изделие

Общее количество ресурсов

1-го вида

2-го вида

1

2

2

12

2

1

2

8

3

4

0

16

4

0

4

12

Прибыль от реализации одной единицы продукции 1-го вида составляет 2 д.е, 2-го вида – 3 д.е. Найдите количество продукции 1-го и 2- го вида, при котором прибыль от реализации будет максимальной.

Задания

1. Ознакомиться с условием задачи.

2. Составить математическую модель задачи :

- целевую функцию;

- систему ограничений.

3. Изобразить область допустимых решений (ОДР) задачи.

4. Найти решение задачи и рассчитать значение целевой функции .

- если решением задачи является точка пересечения двух прямых, найти координаты этой точки, решая систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

5. Презентация задачи .

- представить целевую функция и систему ограничений, вид области допустимых решений (многоугольник, открытое множество и т.д), решение.

P.S. При необходимости использовать опорные конспекты и справочный материал.



Методические рекомендации к выполнению hello_html_51e5ef53.png

практического задания


Тема занятия: Графический способ решения задач линейного программирования.

Цель работы: Решить задачу линейного программирования (найти оптимальное решение при заданных условиях).

Резерв времени:

на выполнение практического задания – 8 минут

на представление результатов работы– 2 минуты


Задача для группы 3

Для производства двух видов сэндвич – панелей А и В фирма использует 3 вида сырья. Норма затрат ресурсов на изготовление единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице:

Вид сырья

Норма расхода сырья на одно изделие, кг

Общее количество сырья, в тоннах

А

В

1

12

4

300

2

4

4

120

3

3

12

252

Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед.

30

40


Составить такой план выпуска изделий, при котором прибыль предприятия от реализации будет максимальной.

Задания

1. Ознакомиться с условием задачи.

2. Составить математическую модель задачи :

- целевую функцию;

- систему ограничений.

3. Изобразить область допустимых решений (ОДР) задачи.

4. Найти решение задачи и рассчитать значение целевой функции .

- если решением задачи является точка пересечения двух прямых, найти координаты этой точки, решая систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

5. Презентация задачи .

- представить целевую функция и систему ограничений, вид области допустимых решений (многоугольник, открытое множество и т.д.), решение.

P.S. При необходимости использовать опорные конспекты и справочный материал.




Методические рекомендации к выполнениюhello_html_2a0f00d9.png

практического задания

Тема занятия: Графический способ решения задач линейного программирования.

Цель работы: Решить задачу линейного программирования (найти оптимальное решение при заданных условиях).

Резерв времени:

на выполнение практического задания – 8 минут

на представление результатов работы– 2 минуты


Задача для группы 4

Для изготовления шкафов и буфетов мебельная фабрика применяет древесину 4-ех видов, запасы которой ограничены и составляют соответственно 12, 16, 12 и 8 м3. Количество древесины для изготовления 1 шкафа и 1 буфета, запасы и доход от реализации каждого вида продукции даны в таблице.

Ресурсы

Запасы

Расход

1 шкаф

1 буфет

1

12

-

0.4

2

20

0.4

-

3

12

0.2

0.2

4

8

0.1

0.2

Доход

2

3

Требуется найти количество шкафов и буфетов , который обеспечивает фабрике наибольший доход.

Задания

1. Ознакомиться с условием задачи.

2. Составить математическую модель задачи:

- целевую функцию;

- систему ограничений.

3. Изобразить область допустимых решений (ОДР) задачи.

4. Найти решение задачи и рассчитать значение целевой функции.

- если решением задачи является точка пересечения двух прямых, найти координаты этой точки, решая систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

5. Презентация задачи .

- представить целевую функция и систему ограничений, вид области допустимых решений (многоугольник, открытое множество и т.д), решение.

P.S. При необходимости использовать опорные конспекты и справочный материал.



Лидер группы (переделать)

Оценивание практической работы

Ф.И.О.

Оценка











Оценка «2» – не принимал участия в обсуждении решения задачи, материалом не владеет.

Оценка «3» –мало принимал участие в обсуждении задачи, не достаточно усвоил материал занятия;

Оценка «4» - принимал участие в обсуждении, материал занятия знает, но не в полном объёме;

Оценка «5» – активно принимал участие в обсуждении, отлично владеет знаниями по материалу занятия.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 16.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров201
Номер материала ДВ-067150
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх