Презентация исследовательской работы "Квадратные уравнения"

• 1 слайд

  Исследовательская работа
  Квадратные уравнения
  
  Учащиеся 8 класса:
  Гришина Рита
  Ларионов Антон
  Серёгина Анжела
  Федорина Кристина
  Шумилин Женя
  
  Учитель Черникова М.Н.
  

• 2 слайд

  План.
  История квадратных уравнений.
  Определение и виды квадратных уравнений.
  Способы решения квадратных уравнений.
  Литература.
  

• 3 слайд

  История.
  Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребностью решать проблемы связанные с разделением земли, нахождением ее площади, земельными работами военного характера, а также с развитием таких наук, как математика и астрономия. Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н.э. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.
  

• 4 слайд

  Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестно, каким образом вавилоняне пришли к этим методам: почти на всех найденных до сих пор клинописных текстах сохранились лишь указания к нахождению корней уравнений, но не указано, как они были выведены. Однако, несмотря на развитость математики в те времена, в этих текстах нет ни малейшего упоминания о отрицательных числах и об общих методах решения уравнений.
  
  
  

• 5 слайд

  В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений.
  Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные обладали каким-то общим правилом решения задач с неизвестными величинами. Это правило совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом они дошли до него. Все найденные до сих пор папирусные и клинописные тексты приводят лишь задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, авторы их лишь изредка снабжали их скупыми комментариями, типа: “Смотри!”, “Делай так!”, “Ты на правильном пути”.
  
  
  

• 6 слайд

  Определение.
  Квадратным уравнением называется уравнение вида
  
  ах²+bх+с=0,
  
  где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а≠0.
  
  Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения.
  Число а называют первым коэффициентом,
  b — вторым коэффициентом и с — свободным членом.
  
  
  

• 7 слайд

  
  
  Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.
  
  
  Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
  
  ПРИМЕР. -6х²+4х+3=0 а=-6, b=4, с=3
  

• 8 слайд

  Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
  Так, уравнения
  -2x²+7=0, b =0
  Зх²-10х=0, с=0
  -4x²=0, b =0 и с=0
  — неполные квадратные уравнения.
  

• 9 слайд

  1) ах²+с=0, где с ≠0;
  2) ах²+bх=0, где b ≠ 0;
  3) ах²=0.
  Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.
  

• 10 слайд

  Для решения неполного квадратного уравнения вида
  ах²+с=0, где с ≠0
  переносят его свободный член в правую часть и делят обе части на а.
  Получают уравнение х²=-с/а, равносильное уравнению
  ах²+с=0.
  Так как с≠0, то –с/а ≠ 0.
  Если –с/а >0, то уравнение имеет два корня
  х1=-√–с/а и х2=√–с/а
  Если –с/а <0, то уравнение не имеет корней.
  

• 11 слайд

  Примеры.
  1. -3 х² +15=0
  -3х²=-15
  х²=5
  х=√5 или х=-√5
  Ответ: √5 ; -√5
  
  2. 5х²+25=5
  5х²=5-25
  5х²=-20
  х²=-4, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней.
  Ответ: корней нет.
  

• 12 слайд

  Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при
  b ≠О раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
  х (ах+ b)=0.
  
  Произведение х (ах+b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
  х=0 или ах+b=0.
  
  Решая уравнение ах+b=0, в котором а≠0, находим:
  ах= -b, х= -b/а
  
  Следовательно, произведение х(ах+ b) обращается в нуль при х=0 и при х= -b/а. Корнями уравнения ах² +bх=0 являются числа 0 и - b /а
  Значит, неполное квадратное уравнение вида а х²+ b х=0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.
  
  Неполное квадратное уравнение вида ах²=0 равносильно уравнению х²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.
  
  

• 13 слайд

  1. 4х²+9х=0
  х(4х+9)=0
  х=0 или 4х+9=0
  4х=-9
  х=-9:4
  х=-2,25
  Ответ: 0; -2,25.
  2. х²=0
  Ответ: 0.
  Примеры.
  

• 14 слайд

  Формула квадратных уравнений
  ах²+bх+с=0
  Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель)
  Если Д<0, то уравнение не имеет корней.
  Если Д=0, то уравнение имеет 1 корень
  Если Д>0, то уравнение имеет 2 корня.
  3х²-7+4=0 , а=3, b=-7, с=4
  Д=(-7) ²-4 ∙3 ∙4=49-48=1›0, уравнение имеет два корня.
  -(-7)±√1 _ 7±1
  2∙3 ¯ 6
  
  Х1=8/6 х2=1
  
  Ответ: 1; 8/6.
  

• 15 слайд

  Формула корней
  квадратного уравнения
  

• 16 слайд

  Формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом
  ах²+2kх+с=0
  Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1
  
  -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1
  2а ¯ 2а
  
  - k ± √ Д1
  а
  
  
  9х²-14х+5=0
  Д1=(-7) ²-9∙5=4
  7 ±2
  9
  х1=1; х2=5/9
  
  Ответ: 1; 5/9.
  

• 17 слайд

  Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадратными уравнениями.
  х²-4х+8=0
  Приведённые квадратные уравнения
  

• 18 слайд

  х²+10х+25=0
  Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим
  (х+5) ²=0
  х+5=0
  х=-5
  Ответ: -5.
  Решение приведённых квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
  

• 19 слайд

  х²-6х-7=0
  Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то полученное выражение можно записать в виде (х-3) ², т.е. в виде квадрата двучлена.
  х²-6х-7+9=9
  х²-6х+9=9+7
  х²-6х+9=16
  (х-3) ²=16
  х-3=4 или х-3=-4
  х=7 х=-1
  Ответ: -1; 7.
  
  
  
  
  

• 20 слайд

  х²+8х-1=0
  Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то полученное выражение можно записать в виде (х+4) ², т.е. в виде квадрата двучлена.
  х²+8х-1+16=16
  х²+8х+16=17
  (х+4) ²=17
  х+4=√17 или х+4=- √17
  х= √17-4 х=- √17-4
  Ответ:- √17-4 ; √17-4
  

• 21 слайд

  Нахождение корней квадратного уравнения
  Если в уравнении ах²+bх+с =0
  а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а
  Пример.
  2х²+3х-5=0
  2+3+(-5)=0 х 1=1 х 2=-с/а=-2,5
  Д=b²-4ас=3²-4•2•(-5)=9+40 =49>0, 2кор.
  Х=(-b±√Д):2а=(-3±7): 4
  х 1=(-3+7):4=1 и х 2=(-3-7):4=-2,5
  Ответ: 1; -2,5
  
  
  
  
  
  
  

• 22 слайд

  Если в уравнении ах²+bх+с =0
  а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а
  Пример.
  2х²+10х+8=0
  2+8=10 х 1=-1 х 2=-с/а=-4
  Д=b²-4ас=10²-4•2•8=100-64 =36>0, 2кор.
  х=(-b±√Д):2а=(-10±6): 4
  х 1=(-10+6):4=-1 и х 2=(-10-6):4=-4
  Ответ: -1; -4
  
  

• 23 слайд

  ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
  Теорема Виета
  

• 24 слайд

  Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1.
  Произведение корней 7 ∙(-1)=-7 =с,
  Сумма корней 7+(-1)=6= - b.
  Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
  
  
  

• 25 слайд

  Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  Рассмотрим приведенное квадратное уравнение.
  Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член — буквой q:
  x²+px+q=0.
  Теорема
  

• 26 слайд

  Обратная Теорема
  Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям
  x1 + x2 = – p и x1•x2 = q,
  то они удовлетворяют квадратному уравнению x²+ px + q = 0.
  

• 27 слайд

  Соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения
  x² + px + q = 0.
  1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒
  x1²+x2²=p²−2q ;
  
  2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2) ⇒
  x1+x2=−p(p²−3q) 
  
  

• 28 слайд

  Учебник «Алгебра» 8 класс,
  Математический энциклопедический словарь.
  Интернет.
  Литература.
  

• 29 слайд

  Спасибо за внимание