Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация исследовательской работы "Квадратные уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация исследовательской работы "Квадратные уравнения"

библиотека
материалов
Квадратные уравнения Учащиеся 8 класса: Гришина Рита Ларионов Антон Серёгина...
История квадратных уравнений. Определение и виды квадратных уравнений. Способ...
Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребно...
Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестн...
В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических постр...
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где...
 Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.
Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с...
1) ах²+с=0, где с ≠0; 2) ах²+bх=0, где b ≠ 0; 3) ах²=0.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, где с ≠0 переносят...
1. -3 х² +15=0 -3х²=-15 х²=5 х=√5 или х=-√5 Ответ: √5 ; -√5 2. 5х²+25=5 5х²=5...
Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при b ≠О расклады...
1. 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: 0; -2,25. 2....
ах²+bх+с=0 Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель) Если Д0, то ур...
ах²+2kх+с=0 Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1 -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1 2а ¯...
Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадра...
х²+10х+25=0 Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получи...
х²-6х-7=0 Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то получен...
х²+8х-1=0 Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то получен...
Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а Пример. 2х²+3х-5=0...
Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а Пример. 2х²+10х+8=0 2+...
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических...
Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1. Произведени...
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,вз...
Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1•x2 = q, то о...
1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒ x1²+x2²=p²−2q ; 2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2)...
Учебник «Алгебра» 8 класс, Математический энциклопедический словарь. Интернет.
29 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Квадратные уравнения Учащиеся 8 класса: Гришина Рита Ларионов Антон Серёгина
Описание слайда:

Квадратные уравнения Учащиеся 8 класса: Гришина Рита Ларионов Антон Серёгина Анжела Федорина Кристина Шумилин Женя Учитель Черникова М.Н.

№ слайда 2 История квадратных уравнений. Определение и виды квадратных уравнений. Способ
Описание слайда:

История квадратных уравнений. Определение и виды квадратных уравнений. Способы решения квадратных уравнений. Литература.

№ слайда 3 Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребно
Описание слайда:

Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребностью решать проблемы связанные с разделением земли, нахождением ее площади, земельными работами военного характера, а также с развитием таких наук, как математика и астрономия. Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н.э. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.

№ слайда 4 Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестн
Описание слайда:

Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестно, каким образом вавилоняне пришли к этим методам: почти на всех найденных до сих пор клинописных текстах сохранились лишь указания к нахождению корней уравнений, но не указано, как они были выведены. Однако, несмотря на развитость математики в те времена, в этих текстах нет ни малейшего упоминания о отрицательных числах и об общих методах решения уравнений.

№ слайда 5 В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических постр
Описание слайда:

В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные обладали каким-то общим правилом решения задач с неизвестными величинами. Это правило совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом они дошли до него. Все найденные до сих пор папирусные и клинописные тексты приводят лишь задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, авторы их лишь изредка снабжали их скупыми комментариями, типа: “Смотри!”, “Делай так!”, “Ты на правильном пути”.

№ слайда 6 Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где
Описание слайда:

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а≠0. Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом и с — свободным членом.

№ слайда 7  Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.
Описание слайда:

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.

№ слайда 8 Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с
Описание слайда:

Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x²+7=0, b =0 Зх²-10х=0, с=0 -4x²=0, b =0 и с=0 — неполные квадратные уравнения.

№ слайда 9 1) ах²+с=0, где с ≠0; 2) ах²+bх=0, где b ≠ 0; 3) ах²=0.
Описание слайда:

1) ах²+с=0, где с ≠0; 2) ах²+bх=0, где b ≠ 0; 3) ах²=0.

№ слайда 10 Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, где с ≠0 переносят
Описание слайда:

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, где с ≠0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части на а. Получают уравнение х²=-с/а, равносильное уравнению ах²+с=0. Так как с≠0, то –с/а ≠ 0. Если –с/а >0, то уравнение имеет два корня х1=-√–с/а и х2=√–с/а Если –с/а <0, то уравнение не имеет корней.

№ слайда 11 1. -3 х² +15=0 -3х²=-15 х²=5 х=√5 или х=-√5 Ответ: √5 ; -√5 2. 5х²+25=5 5х²=5
Описание слайда:

1. -3 х² +15=0 -3х²=-15 х²=5 х=√5 или х=-√5 Ответ: √5 ; -√5 2. 5х²+25=5 5х²=5-25 5х²=-20 х²=-4, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

№ слайда 12 Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при b ≠О расклады
Описание слайда:

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при b ≠О раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение х (ах+ b)=0. Произведение х (ах+b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х=0 или ах+b=0. Решая уравнение ах+b=0, в котором а≠0, находим: ах= -b, х= -b/а Следовательно, произведение х(ах+ b) обращается в нуль при х=0 и при х= -b/а. Корнями уравнения ах² +bх=0 являются числа 0 и - b /а Значит, неполное квадратное уравнение вида а х²+ b х=0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня. Неполное квадратное уравнение вида ах²=0 равносильно уравнению х²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

№ слайда 13 1. 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: 0; -2,25. 2.
Описание слайда:

1. 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: 0; -2,25. 2. х²=0 Ответ: 0.

№ слайда 14 ах²+bх+с=0 Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель) Если Д0, то ур
Описание слайда:

ах²+bх+с=0 Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель) Если Д<0, то уравнение не имеет корней. Если Д=0, то уравнение имеет 1 корень Если Д>0, то уравнение имеет 2 корня. 3х²-7+4=0 , а=3, b=-7, с=4 Д=(-7) ²-4 ∙3 ∙4=49-48=1›0, уравнение имеет два корня. -(-7)±√1 _ 7±1 2∙3 ¯ 6 Х1=8/6 х2=1 Ответ: 1; 8/6.

№ слайда 15
Описание слайда:

№ слайда 16 ах²+2kх+с=0 Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1 -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1 2а ¯
Описание слайда:

ах²+2kх+с=0 Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1 -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1 2а ¯ 2а - k ± √ Д1 а 9х²-14х+5=0 Д1=(-7) ²-9∙5=4 7 ±2 9 х1=1; х2=5/9 Ответ: 1; 5/9.

№ слайда 17 Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадра
Описание слайда:

Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадратными уравнениями. х²-4х+8=0

№ слайда 18 х²+10х+25=0 Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получи
Описание слайда:

х²+10х+25=0 Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим (х+5) ²=0 х+5=0 х=-5 Ответ: -5.

№ слайда 19 х²-6х-7=0 Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то получен
Описание слайда:

х²-6х-7=0 Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то полученное выражение можно записать в виде (х-3) ², т.е. в виде квадрата двучлена. х²-6х-7+9=9 х²-6х+9=9+7 х²-6х+9=16 (х-3) ²=16 х-3=4 или х-3=-4 х=7 х=-1 Ответ: -1; 7.

№ слайда 20 х²+8х-1=0 Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то получен
Описание слайда:

х²+8х-1=0 Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то полученное выражение можно записать в виде (х+4) ², т.е. в виде квадрата двучлена. х²+8х-1+16=16 х²+8х+16=17 (х+4) ²=17 х+4=√17 или х+4=- √17 х= √17-4 х=- √17-4 Ответ:- √17-4 ; √17-4

№ слайда 21 Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а Пример. 2х²+3х-5=0
Описание слайда:

Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а Пример. 2х²+3х-5=0 2+3+(-5)=0 х 1=1 х 2=-с/а=-2,5 Д=b²-4ас=3²-4•2•(-5)=9+40 =49>0, 2кор. Х=(-b±√Д):2а=(-3±7): 4 х 1=(-3+7):4=1 и х 2=(-3-7):4=-2,5 Ответ: 1; -2,5

№ слайда 22 Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а Пример. 2х²+10х+8=0 2+
Описание слайда:

Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а Пример. 2х²+10х+8=0 2+8=10 х 1=-1 х 2=-с/а=-4 Д=b²-4ас=10²-4•2•8=100-64 =36>0, 2кор. х=(-b±√Д):2а=(-10±6): 4 х 1=(-10+6):4=-1 и х 2=(-10-6):4=-4 Ответ: -1; -4

№ слайда 23 ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических
Описание слайда:

ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Теорема Виета

№ слайда 24 Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1. Произведени
Описание слайда:

Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1. Произведение корней 7 ∙(-1)=-7 =с, Сумма корней 7+(-1)=6= - b. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

№ слайда 25 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,вз
Описание слайда:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член — буквой q: x²+px+q=0.

№ слайда 26 Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1•x2 = q, то о
Описание слайда:

Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1•x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x²+ px + q = 0.

№ слайда 27 1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒ x1²+x2²=p²−2q ; 2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2)
Описание слайда:

1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒ x1²+x2²=p²−2q ; 2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2) ⇒ x1+x2=−p(p²−3q) 

№ слайда 28 Учебник «Алгебра» 8 класс, Математический энциклопедический словарь. Интернет.
Описание слайда:

Учебник «Алгебра» 8 класс, Математический энциклопедический словарь. Интернет.

№ слайда 29
Описание слайда:


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 07.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров213
Номер материала ДA-031630
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх