972959
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрезентация исследовательской работы "Квадратные уравнения"

Презентация исследовательской работы "Квадратные уравнения"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Квадратные уравнения Учащиеся 8 класса: Гришина Рита Ларионов Антон Серёгина...
История квадратных уравнений. Определение и виды квадратных уравнений. Способ...
Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребно...
Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестн...
В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических постр...
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где...
 Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.
Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с...
1) ах²+с=0, где с ≠0; 2) ах²+bх=0, где b ≠ 0; 3) ах²=0.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, где с ≠0 переносят...
1. -3 х² +15=0 -3х²=-15 х²=5 х=√5 или х=-√5 Ответ: √5 ; -√5 2. 5х²+25=5 5х²=5...
Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при b ≠О расклады...
1. 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: 0; -2,25. 2....
ах²+bх+с=0 Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель) Если Д0, то ур...
ах²+2kх+с=0 Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1 -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1 2а ¯...
Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадра...
х²+10х+25=0 Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получи...
х²-6х-7=0 Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то получен...
х²+8х-1=0 Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то получен...
Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а Пример. 2х²+3х-5=0...
Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а Пример. 2х²+10х+8=0 2+...
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических...
Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1. Произведени...
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,вз...
Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1•x2 = q, то о...
1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒ x1²+x2²=p²−2q ; 2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2)...
Учебник «Алгебра» 8 класс, Математический энциклопедический словарь. Интернет.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Квадратные уравнения Учащиеся 8 класса: Гришина Рита Ларионов Антон Серёгина
Описание слайда:

Квадратные уравнения Учащиеся 8 класса: Гришина Рита Ларионов Антон Серёгина Анжела Федорина Кристина Шумилин Женя Учитель Черникова М.Н.

2 слайд История квадратных уравнений. Определение и виды квадратных уравнений. Способ
Описание слайда:

История квадратных уравнений. Определение и виды квадратных уравнений. Способы решения квадратных уравнений. Литература.

3 слайд Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребно
Описание слайда:

Необходимость решения квадратных уравнений, в древности была вызвана потребностью решать проблемы связанные с разделением земли, нахождением ее площади, земельными работами военного характера, а также с развитием таких наук, как математика и астрономия. Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н.э. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.

4 слайд Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестн
Описание слайда:

Известно, что методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестно, каким образом вавилоняне пришли к этим методам: почти на всех найденных до сих пор клинописных текстах сохранились лишь указания к нахождению корней уравнений, но не указано, как они были выведены. Однако, несмотря на развитость математики в те времена, в этих текстах нет ни малейшего упоминания о отрицательных числах и об общих методах решения уравнений.

5 слайд В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических постр
Описание слайда:

В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные обладали каким-то общим правилом решения задач с неизвестными величинами. Это правило совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом они дошли до него. Все найденные до сих пор папирусные и клинописные тексты приводят лишь задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, авторы их лишь изредка снабжали их скупыми комментариями, типа: “Смотри!”, “Делай так!”, “Ты на правильном пути”.

6 слайд Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где
Описание слайда:

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а≠0. Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом и с — свободным членом.

7 слайд  Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.
Описание слайда:

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что корней нет.

8 слайд Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с
Описание слайда:

Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x²+7=0, b =0 Зх²-10х=0, с=0 -4x²=0, b =0 и с=0 — неполные квадратные уравнения.

9 слайд 1) ах²+с=0, где с ≠0; 2) ах²+bх=0, где b ≠ 0; 3) ах²=0.
Описание слайда:

1) ах²+с=0, где с ≠0; 2) ах²+bх=0, где b ≠ 0; 3) ах²=0.

10 слайд Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, где с ≠0 переносят
Описание слайда:

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, где с ≠0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части на а. Получают уравнение х²=-с/а, равносильное уравнению ах²+с=0. Так как с≠0, то –с/а ≠ 0. Если –с/а >0, то уравнение имеет два корня х1=-√–с/а и х2=√–с/а Если –с/а <0, то уравнение не имеет корней.

11 слайд 1. -3 х² +15=0 -3х²=-15 х²=5 х=√5 или х=-√5 Ответ: √5 ; -√5 2. 5х²+25=5 5х²=5
Описание слайда:

1. -3 х² +15=0 -3х²=-15 х²=5 х=√5 или х=-√5 Ответ: √5 ; -√5 2. 5х²+25=5 5х²=5-25 5х²=-20 х²=-4, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

12 слайд Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при b ≠О расклады
Описание слайда:

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+ b х=0 при b ≠О раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение х (ах+ b)=0. Произведение х (ах+b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х=0 или ах+b=0. Решая уравнение ах+b=0, в котором а≠0, находим: ах= -b, х= -b/а Следовательно, произведение х(ах+ b) обращается в нуль при х=0 и при х= -b/а. Корнями уравнения ах² +bх=0 являются числа 0 и - b /а Значит, неполное квадратное уравнение вида а х²+ b х=0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня. Неполное квадратное уравнение вида ах²=0 равносильно уравнению х²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

13 слайд 1. 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: 0; -2,25. 2.
Описание слайда:

1. 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: 0; -2,25. 2. х²=0 Ответ: 0.

14 слайд ах²+bх+с=0 Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель) Если Д0, то ур
Описание слайда:

ах²+bх+с=0 Д= b²-4ас. («Дискриминант» по-латыни – различитель) Если Д<0, то уравнение не имеет корней. Если Д=0, то уравнение имеет 1 корень Если Д>0, то уравнение имеет 2 корня. 3х²-7+4=0 , а=3, b=-7, с=4 Д=(-7) ²-4 ∙3 ∙4=49-48=1›0, уравнение имеет два корня. -(-7)±√1 _ 7±1 2∙3 ¯ 6 Х1=8/6 х2=1 Ответ: 1; 8/6.

15 слайд
Описание слайда:

16 слайд ах²+2kх+с=0 Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1 -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1 2а ¯
Описание слайда:

ах²+2kх+с=0 Д= (2k)²-4ас=4 k²-4ас= 4(k²-ас)=4 Д1 -2 k±√ Д _ - 2k± 2√ Д1 2а ¯ 2а - k ± √ Д1 а 9х²-14х+5=0 Д1=(-7) ²-9∙5=4 7 ±2 9 х1=1; х2=5/9 Ответ: 1; 5/9.

17 слайд Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадра
Описание слайда:

Уравнения у которых первый коэффициент равен 1 называются приведёнными квадратными уравнениями. х²-4х+8=0

18 слайд х²+10х+25=0 Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получи
Описание слайда:

х²+10х+25=0 Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим (х+5) ²=0 х+5=0 х=-5 Ответ: -5.

19 слайд х²-6х-7=0 Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то получен
Описание слайда:

х²-6х-7=0 Можно заметить, если к разности х²-6х прибавить число 9, то полученное выражение можно записать в виде (х-3) ², т.е. в виде квадрата двучлена. х²-6х-7+9=9 х²-6х+9=9+7 х²-6х+9=16 (х-3) ²=16 х-3=4 или х-3=-4 х=7 х=-1 Ответ: -1; 7.

20 слайд х²+8х-1=0 Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то получен
Описание слайда:

х²+8х-1=0 Можно заметить, если к сумме х²+2∙4х прибавить число 16, то полученное выражение можно записать в виде (х+4) ², т.е. в виде квадрата двучлена. х²+8х-1+16=16 х²+8х+16=17 (х+4) ²=17 х+4=√17 или х+4=- √17 х= √17-4 х=- √17-4 Ответ:- √17-4 ; √17-4

21 слайд Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а Пример. 2х²+3х-5=0
Описание слайда:

Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+b+с=0, то х 1=1 и х 2=-с/а Пример. 2х²+3х-5=0 2+3+(-5)=0 х 1=1 х 2=-с/а=-2,5 Д=b²-4ас=3²-4•2•(-5)=9+40 =49>0, 2кор. Х=(-b±√Д):2а=(-3±7): 4 х 1=(-3+7):4=1 и х 2=(-3-7):4=-2,5 Ответ: 1; -2,5

22 слайд Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а Пример. 2х²+10х+8=0 2+
Описание слайда:

Если в уравнении ах²+bх+с =0 а+с=b, то х 1=-1 х 2=-с/а Пример. 2х²+10х+8=0 2+8=10 х 1=-1 х 2=-с/а=-4 Д=b²-4ас=10²-4•2•8=100-64 =36>0, 2кор. х=(-b±√Д):2а=(-10±6): 4 х 1=(-10+6):4=-1 и х 2=(-10-6):4=-4 Ответ: -1; -4

23 слайд ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических
Описание слайда:

ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Теорема Виета

24 слайд Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1. Произведени
Описание слайда:

Уравнение х²-6х-7=0, где а=1, b=-6, с=-7 имеет корни х=7 и х=-1. Произведение корней 7 ∙(-1)=-7 =с, Сумма корней 7+(-1)=6= - b. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

25 слайд Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,вз
Описание слайда:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член — буквой q: x²+px+q=0.

26 слайд Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1•x2 = q, то о
Описание слайда:

Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1•x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x²+ px + q = 0.

27 слайд 1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒ x1²+x2²=p²−2q ; 2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2)
Описание слайда:

1) x1²+x2²=(x1+x2) ²−2x1x2 ⇒ x1²+x2²=p²−2q ; 2) x1+x2=(x1+x2)((x1+x2)²−3x1x2) ⇒ x1+x2=−p(p²−3q) 

28 слайд Учебник «Алгебра» 8 класс, Математический энциклопедический словарь. Интернет.
Описание слайда:

Учебник «Алгебра» 8 класс, Математический энциклопедический словарь. Интернет.

29 слайд
Описание слайда:

Общая информация

Номер материала: ДA-031630

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.