Презентация исследовательской работы по математике на тему "Графический способ решения уравнений с параметрм""

• 1 слайд

  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
  Башкирская гимназия села Учалы
  
  
  Исследовательский проект на тему:
  “Графический способ решения уравнений с параметром”
  
  
  
  
  
  
  Научный руководитель:
  Учитель математики
  Хамматова Р.Н
  
  
  
  Выполнила: Фаткуллина Альбина
  Башкирская гимназия с.Учалы, 10 б класс
  

• 2 слайд

  При изучении курса математики я пришла к мысли, что математика имеет широкую возможность к исследованию окружающей действительности. Так, как она сама взята из этого мира и выражает часть присущих ему форм и связей. Существует много задач в физике, биологии, экономике, экологии и т.д. для решения которых возникает необходимость построения математических моделей процессов, содержащих две меняющиеся величины: переменную и параметр. Этой моделью является уравнение с параметром. Некоторые из таких уравнений легче всего решаются графически. Этот подход нагляден и более доступен для понимания учащихся. При решении задач с параметром четче осознаешь суть изучаемых явлений
  Цель проекта исследования. При помощи построения графиков функций и элементов математического анализа научится решать уравнения с параметром и применять эти знания в перспективе к решению прикладных задач описывающих проблемы из экономики, экологии, политики, смежной науки- физики и т.д..
  В данный момент лично для меня и учащихся старших классов наибольшую ценность имеет умение решать задачи с параметром, которые предлагаются на ЕГЭ.
  Коротко о сути графического способа решения уравнения с параметром. Записывают уравнение так, чтобы слева от «равно» стояла функция без параметра, а справа от «равно» находилась функция с параметром. Строят графики этих функций. Решением уравнения является общая точка этих функций то, есть абсцисса точки пересечения графиков. Задачей является, найти все значения параметра «а» при которых графики функций пересекаются в нужном количестве точек. Приведу решение трех не очень сложных уравнений.
  

• 3 слайд

  В зависимости от значения а, найти всевозможные решения уравнения.
  
  |x|+2-a=0
  |x|+2=a
  Пусть f(x)=|x|+2 и g(x)=a
  
  2 решение
  1 решение
  Нет решений
  g(x)=a. a<2
  g(x)=a, a=2
  f(x)=|x|+2, g(x)=a, a>2
  y
  x
  2
  Ответ: при а=2, 1 решение
  при а>2, 2 решение
  при a<2, нет решений
  0
  

• 4 слайд

  В зависимости от значения а, найти всевозможные решения уравнения.
  
  x2-2x-a=0
  x(x-2)=a
  Пусть f(x)=x(x-2) и g(x)=a
  Построим графики, где
  xв=1
  Ув=-1 для параболы
  
  у
  3
  2 решения
  g(x), a>1
  1 решение
  Нет решения
  g(x)=a, a=1
  g(x)=a, a<1
  x
  -1
  3
  0
  1
  Ответ: при а=1, 1 решение
  при a>1, 2 решения
  при a<1, нет решений
  

• 5 слайд

  Найти все значения а, при каждом из которых уравнение 1-2х=а-3|x| имеют более двух корней.
  Решаем графически (1-2х)¬=а-3|x|
  Пусть f(x)=(1-2x)¬; g(x)=a-3|x|
  Строим графики этих функций
  у
  х
  f(x)=(1-2x) ¬
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  1
  2
  3
  -1
  -2
  -3
  g(x)=a-3|x|
  

• 6 слайд

  Сделаю пояснения к решению третей задачи. Графики функций пересекаются в более двух точках (конкретно в трех), при условии, что одна из этих точек известна, это в точке с абсциссой х=0,5. Вычислим значение параметра «а», подставив х=0,5 в исходное уравнение, получили а=1,5.Найдем «а», если g(х)=а-3х является касательной к иррациональной функции. А вот здесь пригодятся знания математического анализа. Производная функции в точке, которая является общей точкой касательной и иррациональной функции равна угловому коэффициенту касательной g(x)=a-3x, k= -3. Подставив это значение «k=-3» в исходное уравнение. Сделав вычисления получим а=5/3. Итак, а=[1,5; 5/3).
  И еще немного о прикладном значении уравнений с параметром. Этой проблемой занимаются много Российских ученых математиков: А. М. Гольдман, Г. В. Дорофеев, О. Е. Егоров, И. Ф. Шарыгин, М. С. Якир и другие.
  В прикладных задачах можно интерпритировать функциональные зависимости как модели с параметром.
  Линейная функция и сила упругости, как модель равномерного движения. S= V • t, F=k •∆х.
  Тело движется по закону S(t)=2bt²-t³/3b-(2b-1)t. Определить время остановки тела при всех значениях «в». А теперь в прикладной интерпритации: f(x)=2bx²-x³/3b-(2b-1)x.
  Можно решать задачи о радиоактивном распаде. Можно ли утверждать, что существует такой период времени T, по прошествии которого, начиная с любого момента, масса радиоактивного вещества станет вдвое меньше.
  Можно ли утверждать, что существует такой промежуток времени T, по пришествии которого, начиная с любого момента популяция бактерий удвоится.
  Все эти задачи исследуются и решаются с помощью уравнения с параметром.
  Подведу итог: Этот проект мне был интересен для саморазвития, для понимания, что математика-это часть общечеловеческой культуры, универсальный язык, позволяющий описывать окружающий мир. И в результате глубокого изучения темы параметры можно более успешно подготовиться к ЕГЭ по математике.
  В исследовании была использована литература:
  Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики. 1990-96 с.
  Карлщук А. Ю. Формирование исследовательских умений школьников в процессе решения математических задач с параметром. 2001-198 с.
  Журнал «Математика для школьников.» 2006 -1 номер. «графический способ решения уравнений с параметром.»
  
  
  

Краткое описание документа:

В данной презентации исследуется возможности решения задач, уравнений с параметром графическим способом. Исследуются графики двух функций, пересекающихся в одной точке, все случаи расположения этих графиков при дополнительной неизвестной. В третьем уравнении для решения задачи привлечена производная функции, равная угловому коэффициенту касательной, представленной формулой линейной функции. На этой задаче учащиеся видят применение производной в задачах ЕГЭ