Презентация "История систем счисления"

История систем счисления

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет в рублях и копейках и т.д. и т.п. Числа, цифры … они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос не простой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике  принято называть цифрами.

Но что же люди понимают тогда под словом число?

Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности.

Сегодня, в начале XXI века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления.  А что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающее число. Например, наша привычная десятичная система счисления является позиционной: в числе 34  цифра 3 обозначается количество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа, называется непозиционными. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления.

Позиционные системы счисления – результата длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев,  относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.).

Ученые  назвали такой способ записи чисел единичной («палочной») системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков — палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее  применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек; при записи большого числа легко ошибиться — нанести лишнее  количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Можно предположить, что для  облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В древнеегипетской системе счисления использовались специальные знаки  (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵ 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз.

В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи.

Например, число 345 древние египтяне записывали так:         

Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Так же далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации — вавилонской — люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц и лежачий клин  - для обозначения десятков. Клинья-то и служили «цифрами» в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком (прямой клин), что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 60², 216000 = 60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов:    (Эта запись соответствует числу 132 = 2 * 60 + 12).

Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

Число 92 = 60 + 32  записывали так: , а число 444 = 7 * 60 + 24 в этой системе записи чисел имело вид: .

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только                   92 = 60 + 32, но и, например, 3632 = 3600 + 32 = 60² + 32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда - , что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Число 3632 теперь нужно было записывать так:          .

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.

Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим и 360 частей (градусов).

Римская система счисления

Знакомая нам римская система счисления принципиально ненамного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни: в книгах, в фильмах.

В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

2) разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей  «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х(10), перед D(500) и М(1000) — только С(100), перед V(5) — только I(1);

3) сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид 

XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = 30 + 2 (две группы первого вида).

Число 444, имеющее в десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = 400 +40+4 (три группы второго вида).

Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) +

(V - I) = 1000 + 900 +50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»).

Алфавитные системы

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси.

Числа от 1 до 10 записывали так:

Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак «~» - титло. Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов:                                    

Интересно, что числа от 11 (один — на десять) до 19 (девять - на десять) записывали так же, как говорили, то есть «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков.

Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали. Удобны ли алфавитные системы?

Мы видим, что запись получилась не  длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Но эти системы были удобны только для записи чисел до 1000.

Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и большие 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000... записывали теми же «цифрами», что и 1, 2; 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу  специальный знак ≠.

Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».                        

Таким образом, для обозначения «тем» (множественное число от слова тьма) первые 9 «цифр» обводились кружками.

10 тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда.

Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

Индийская мультипликативная система

Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к Истории о древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек ». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни -  у. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: ЗУ 2Х 3.

В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. С использованием введенных обозначений число 100 можно записать в виде 1У.

Чуть позже перестали писать названия разрядов, и это стало следующей ступенью к позиционному принципу (подобно тому, как мы пишем «320», а не «3 сотни, 2 десятка»). Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Появление нуля

Современная десятичная система счисления возникла в Индии приблизительно в V веке н.э. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего изобретения – цифры 0 для обозначения отсутствующей величины.

Как же появился ноль?

Вспомним, что уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого значения разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе  с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Но самым замечательным было то, что для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ О (по первой букве греческого алфавита слова Ouden - ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом современного нуля.

Десятичная система счисления

Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э., переняв общетеоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии уже использовалась мультипликативная система счисления. По утверждению историков, примерно в это же время там познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим круглым нулем. Соединив свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации числе греческих астрономов, индийские ученые сделали завершающий шаг в создании всем известной десятичной системы счисления.

В современной десятичной системе счисления, которая является позиционной, используется 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Почему мы называем наши цифры арабскими? Дело в том, что с возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при подсчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему счисления в Европу. И с начала XII века десятичная система получила распространение во всей Европе под названием арабской.

Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. Вот с тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, и называют арабскими.

В данной таблице показано постепенное видоизменение цифр, употреблявшихся арабами.

• 1 слайд

  История систем счисления
  
  
  Авторы проекта учащиеся 6 класса МОУ «Покровская СОШ»:
  Дюдяева Татьяна, Филатова Елена,
  Овсянникова Екатерина, Корягин Антон
  
  
  Руководитель проекта: Дюндикова Л.А., учитель математики и
  информатики МОУ «Покровская СОШ»
  

• 2 слайд

  Цифры и числа
  Цифры – это символы, участвующие в записи числа.
  
  
  

• 3 слайд

  Система счисления
  – это способ записи (изображения) чисел.
  
  
  

• 4 слайд

  Система счисления
  Позиционные
  десятичная система счисления
  34 304
  
  30 300
  Непозиционные
  римская система счисления
  XXIV (24)
  
  10 10
  

• 5 слайд

  Единичная система
  

• 6 слайд

  Древнеегипетская система
  

• 7 слайд

  Древнеегипетская система
  
  

• 8 слайд

  Римская система
  
  

• 9 слайд

  Вавилонская система
  
  

• 10 слайд

  Вавилонская система
  
  :
  
  

• 11 слайд

  Вавилонская система
  
  :
  
  

• 12 слайд

  Вавилонская система
  
  :
  
  

• 13 слайд

  Вавилонская система
  
  :
  
  

• 14 слайд

  Алфавитные системы
  
  :
  
  

• 15 слайд

  Алфавитная система Древней Руси
  
  :
  
  

• 16 слайд

  Алфавитная система Древней Руси
  
  :
  
  

• 17 слайд

  Алфавитная система Древней Руси
  
  :
  
  

• 18 слайд

  Мультипликативные системы
  
  :
  
  

• 19 слайд

  Появление цифры 0
  
  :
  
  

• 20 слайд

  Десятичная система счисления
  
  :
  
  

• 21 слайд

  Спасибо за внимание!
  До новых встреч!